13.2: Союз, перетин та доповнення

Зазвичай множини взаємодіють. Наприклад, ви і новий сусід по кімнаті вирішуєте влаштувати домашню вечірку, і ви обидва запрошуєте своє коло друзів. На цій вечірці поєднуються два набори, хоча може виявитися, що є деякі друзі, які були в обох сетах.

Союз, перехрестя та доповнення

Об'єднання двох множин містить всі елементи, що містяться в будь-якому множині (або обох множинок).

Союз нотується$A \cup B$

Більш формально,$x \in A \cup B$ якщо$x \in A$ або$x \in B$ (або обидва)

Перетин двох множин містить тільки ті елементи, які є в обох множинок.

Перехрестя позначено$A \cap B$

Більш формально,$x \in A \cap B$ якщо$x \in A$ і$x \in B$

Доповнення набору А містить все, чого немає в наборі А.

Доповнення позначається$A$, або$A^{c}$, або іноді$\sim A$.

Приклад 5

Розглянемо набори:

$\quad A=\{\text { red, green, blue }\} \quad B=\{\text { red, yellow, orange }\} \quad C=\{\text { red, orange, yellow, green, blue, purple }\}$

1. Знайти$A \cup B$
2. Знайти$A \cap B$
3. Знайти$A^{c} \cap C$

Рішення

а) Об'єднання містить всі елементи в будь-якому наборі:$A \cup B=\{\text { red, green, blue, yellow, orange }\}$

Зверніть увагу, що ми перераховуємо лише червоний один раз.

б) Перетин містить всі елементи в обох множині:$A \cap B=\{\text { red }\}$

в) Тут ми шукаємо всі елементи, які не знаходяться в комплекті$A$ і також знаходяться в$C$.

$A^{c} \cap C=\{\text { orange, yellow, purple }\}$

Спробуйте зараз 2

Використовуючи набори з попереднього прикладу, знайдіть$A \cup C$ і$B^{c} \cap A$

Відповідь

$A \cup C=\{\text { red, orange, yellow, green, blue purple }\}$

$B^{c} \cap A=\{\text { green, blue }\}$

Зверніть увагу, що в наведеному вище прикладі було б важко просто попросити,$A^{c},$ оскільки все, від кольорової фуксії до цуценят та арахісового масла, входить до комплекту. З цієї причини доповнення зазвичай використовуються лише з перехрестями або коли у нас є універсальний набір.

Універсальний набір

Універсальний набір - це набір, який містить всі цікавлять нас елементи. Це повинно бути визначено контекстом.

Доповнення є відносно універсального набору, тому$A^{C}$ містить всі елементи в універсальному наборі, яких немає в$A$.

Приклад 6

1. Якби ми обговорювали пошук книг, універсальним набором могли б стати всі книги в бібліотеці.
2. Якби ми групували ваших друзів у Facebook, універсальним набором були б усі ваші друзі Facebook.
3. Якщо ви працювали з наборами чисел, універсальним набором можуть бути всі цілі числа, всі цілі числа або всі дійсні числа

Приклад 7

Припустимо, універсальний набір - це$U=$ всі цілі числа від$1$ до$9 .$ Якщо$A=\{1,2,4\}$, то

$A^{c}=\{3,5,6,7,8,9\}$

Як ми бачили раніше за допомогою виразу$A^{c} \cap C,$ set операції можуть бути згруповані разом. Символи групування можуть використовуватися як з арифметикою - для примусового порядку операцій.

Приклад 8

Припустимо

$H=\{\text { cat, dog, rabbit, mouse }\}, F=\{\text { dog, cow, duck, pig, rabbit }\} \quad W=\{\text { duck, rabbit, deer, frog, mouse }\}$

1. Знайти$(H \cap P) \cup W$
2. Знайти$H \cap(F \cup W)$
3. Знайти$(H \cap P) \cap W$

Рішення

а) Починаємо з перехрестя:$H \cap F=\{\text { dog, rabbit }\}$

Тепер ми об'єднуємо цей результат з$W:(H \cap F) \cup W=\{\text{dog, duck, rabbit, deer, frog, mouse }\}$

б) Починаємо з союзу:$F \cup W=\{\text{dog, cow, rabbit, duck, pig, deer, frog, mouse }\}$

Тепер ми перетинаємо цей результат з$H: H \cap(F \cup W)=\{\text { dog, rabbit, mouse }\}$

в) Починаємо з перехрестя:$H \cap F=\{\mathrm{dog}, \text { rabbit }\}$

Тепер ми хочемо знайти елементи$W$, яких немає в$\mathrm{H} \cap F$

$(H \cap P)^{c} \cap W=\{\text { duck, deer, frog, mouse }\}$