Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.2: Союз, перетин та доповнення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66362

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зазвичай множини взаємодіють. Наприклад, ви і новий сусід по кімнаті вирішуєте влаштувати домашню вечірку, і ви обидва запрошуєте своє коло друзів. На цій вечірці поєднуються два набори, хоча може виявитися, що є деякі друзі, які були в обох сетах.

    Союз, перехрестя та доповнення

    Об'єднання двох множин містить всі елементи, що містяться в будь-якому множині (або обох множинок).

    Союз нотується\(A \cup B\)

    Більш формально,\(x \in A \cup B\) якщо\(x \in A\) або\(x \in B\) (або обидва)

    Перетин двох множин містить тільки ті елементи, які є в обох множинок.

    Перехрестя позначено\(A \cap B\)

    Більш формально,\(x \in A \cap B\) якщо\(x \in A\) і\(x \in B\)

    Доповнення набору А містить все, чого немає в наборі А.

    Доповнення позначається\(A\), або\(A^{c}\), або іноді\(\sim A\).

    Приклад 5

    Розглянемо набори:

    \(\quad A=\{\text { red, green, blue }\} \quad B=\{\text { red, yellow, orange }\} \quad C=\{\text { red, orange, yellow, green, blue, purple }\}\)

    1. Знайти\(A \cup B\)
    2. Знайти\(A \cap B\)
    3. Знайти\(A^{c} \cap C\)
    Рішення

    а) Об'єднання містить всі елементи в будь-якому наборі:\(A \cup B=\{\text { red, green, blue, yellow, orange }\}\)

    Зверніть увагу, що ми перераховуємо лише червоний один раз.

    б) Перетин містить всі елементи в обох множині:\(A \cap B=\{\text { red }\}\)

    в) Тут ми шукаємо всі елементи, які не знаходяться в комплекті\(A\) і також знаходяться в\(C\).

    \(A^{c} \cap C=\{\text { orange, yellow, purple }\}\)

    Спробуйте зараз 2

    Використовуючи набори з попереднього прикладу, знайдіть\(A \cup C\) і\(B^{c} \cap A\)

    Відповідь

    \(A \cup C=\{\text { red, orange, yellow, green, blue purple }\}\)

    \(B^{c} \cap A=\{\text { green, blue }\}\)

    Зверніть увагу, що в наведеному вище прикладі було б важко просто попросити,\(A^{c},\) оскільки все, від кольорової фуксії до цуценят та арахісового масла, входить до комплекту. З цієї причини доповнення зазвичай використовуються лише з перехрестями або коли у нас є універсальний набір.

    Універсальний набір

    Універсальний набір - це набір, який містить всі цікавлять нас елементи. Це повинно бути визначено контекстом.

    Доповнення є відносно універсального набору, тому\(A^{C}\) містить всі елементи в універсальному наборі, яких немає в\(A\).

    Приклад 6

    1. Якби ми обговорювали пошук книг, універсальним набором могли б стати всі книги в бібліотеці.
    2. Якби ми групували ваших друзів у Facebook, універсальним набором були б усі ваші друзі Facebook.
    3. Якщо ви працювали з наборами чисел, універсальним набором можуть бути всі цілі числа, всі цілі числа або всі дійсні числа

    Приклад 7

    Припустимо, універсальний набір - це\(U=\) всі цілі числа від\(1\) до\(9 .\) Якщо\(A=\{1,2,4\}\), то

    \(A^{c}=\{3,5,6,7,8,9\}\)

    Як ми бачили раніше за допомогою виразу\(A^{c} \cap C,\) set операції можуть бути згруповані разом. Символи групування можуть використовуватися як з арифметикою - для примусового порядку операцій.

    Приклад 8

    Припустимо

    \(H=\{\text { cat, dog, rabbit, mouse }\}, F=\{\text { dog, cow, duck, pig, rabbit }\} \quad W=\{\text { duck, rabbit, deer, frog, mouse }\}\)

    1. Знайти\((H \cap P) \cup W\)
    2. Знайти\(H \cap(F \cup W)\)
    3. Знайти\((H \cap P) \cap W\)
    Рішення

    а) Починаємо з перехрестя:\(H \cap F=\{\text { dog, rabbit }\}\)

    Тепер ми об'єднуємо цей результат з\(W:(H \cap F) \cup W=\{\text{dog, duck, rabbit, deer, frog, mouse }\}\)

    б) Починаємо з союзу:\(F \cup W=\{\text{dog, cow, rabbit, duck, pig, deer, frog, mouse }\}\)

    Тепер ми перетинаємо цей результат з\(H: H \cap(F \cup W)=\{\text { dog, rabbit, mouse }\}\)

    в) Починаємо з перехрестя:\(H \cap F=\{\mathrm{dog}, \text { rabbit }\}\)

    Тепер ми хочемо знайти елементи\(W\), яких немає в\(\mathrm{H} \cap F\)

    \((H \cap P)^{c} \cap W=\{\text { duck, deer, frog, mouse }\}\)