1.4: Союзи та перехрестя

Template:MathJaxZach

У розділі 1.1 ми ввели визначення множин абстракцією, тобто визначення форми\(\Setabs{x}{\phi(x)}\). Тут ми викликаємо деяку властивість\(\phi\), і це властивість може згадати набори, які ми вже визначили. Так, наприклад, якщо\(A\) і\(B\) множини, набір\(\Setabs{x}{x \in A \lor x \in B}\) складається з усіх тих об'єктів, які є елементами\(A\) або\(B\), тобто, це набір, який поєднує в собі елементи\(A\) і \(B\). Ми можемо візуалізувати це, як на малюнку\(\PageIndex{1}\), де виділена область вказує на елементи двох наборів\(A\) і\(B\) разом.

Малюнок\(\PageIndex{1}\):\(A \cup B\) Об'єднання двох множин - це набір елементів s\(A\) разом з тими з\(B\).

Ця операція над множинами - об'єднання їх - дуже корисна і поширена, тому ми даємо їй формальне ім'я та символ.

Визначення\(\PageIndex{1}\): Union

Об'єднання двох наборів\(A\) і\(B\), написане\(A \cup B\), - це сукупність усіх речей, які є елементами\(A\)\(B\), або обидва.

\[A \cup B = \Setabs{x}{x \in A \lor x \in B}\nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Оскільки кратність елементів не має значення, об'єднання двох множин, які мають спільний елемент, містить цей елемент лише один раз, наприклад,\(\{ a, b, c\} \cup \{ a, 0, 1\} = \{a, b, c, 0, 1\}\).

Об'єднання множини та однієї з його підмножин є лише більшою множиною:\(\{a, b, c \} \cup \{a \} = \{a, b, c\}\).

Об'єднання набору з порожнім набором ідентично набору:\(\{a, b, c \} \cup \emptyset = \{a, b, c \}\).

Проблема\(\PageIndex{1}\)

Доведіть, що якщо\(A \subseteq B\), то\(A \cup B = B\).

Ми також можемо розглянути «подвійну» операцію до союзу. Це операція, яка формує сукупність всіх елементів, які є елементами,\(A\) а також є елементами\(B\). Ця операція називається перетином, і може бути зображена як на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Перетин\(A \cap B\) двох множин - це множина елементів s, які вони мають спільного.

Визначення\(\PageIndex{2}\): Intersection

Перетин двох множин\(A\) і\(B\), написано\(A \cap B\), є сукупністю всіх речей, які є елементами обох\(A\) і\(B\).

\[A \cap B = \Setabs{x}{x \in A \land x \in B}\nonumber\]

Дві множини називаються нероз'ємними, якщо їх перетин порожній. Це означає, що вони не мають спільних елементів.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Якщо дві множини не мають спільних елементів, їх перетин порожній:\(\{ a, b, c\} \cap \{ 0, 1\} = \emptyset\).

Якщо два множини мають спільні елементи, їх перетин є множиною всіх таких:\(\{a, b, c \} \cap \{a, b, d \} = \{a, b\}\).

Перетин множини з однією з його підмножин - це лише менша множина:\(\{a, b, c\} \cap \{a, b\} = \{a, b\}\).

Перетин будь-якої множини з порожнім набором порожній:\(\{a, b, c \} \cap \emptyset = \emptyset\).

Проблема\(\PageIndex{2}\)

Доведіть суворо, що якщо\(A \subseteq B\), то\(A \cap B = A\).

Ми також можемо сформувати об'єднання або перетин більш ніж двох множин. Елегантний спосіб боротьби з цим загалом полягає в наступному: припустимо, ви збираєте всі набори, які ви хочете сформувати об'єднання (або перетин) в єдиний набір. Тоді ми можемо визначити об'єднання всіх наших початкових множин як набір усіх об'єктів, які належать принаймні одному елементу множини, а перетин як набір усіх об'єктів, які належать кожному елементу множини.

Визначення\(\PageIndex{3}\)

Якщо\(A\) являє собою набір наборів, то\(\bigcup A\) це набір елементів елементів з\(A\):\[\begin{aligned} \bigcup A & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to an element of } A}, \text{ i.e.,}\\ & = \Setabs{x}{\text{there is a } B \in A \text{ so that } x \in B}\end{aligned}\]

Визначення\(\PageIndex{4}\)

Якщо\(A\) це набір множин, то\(\bigcap A\) це набір об'єктів, які\(A\) мають спільні всі елементи:\[\begin{aligned} \bigcap A & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to every element of } A}, \text{ i.e.,}\\ & = \Setabs{x}{\text{for all } B \in A, x \in B}\end{aligned}\]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Припустимо\(A = \{ \{ a, b \}, \{ a, d, e \}, \{ a, d \} \}\). Потім\(\bigcup A = \{ a, b, d, e \}\) і\(\bigcap A = \{ a \}\).

Проблема\(\PageIndex{3}\)

Покажіть, що якщо\(A\) є набором і\(A \in B\), то\(A \subseteq \bigcup B\).

Ми також могли б зробити те ж саме для послідовності наборів\(A_1\),,\(A_2\),...\[\begin{aligned} \bigcup_i A_i & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to one of the } A_i}\\ \bigcap_i A_i & = \Setabs{x}{x \text{ belongs to every } A_i}.\end{aligned}\]

Коли у нас є індекс множин, тобто якийсь набір,\(I\) такий, який ми розглядаємо\(A_i\) для кожного\(i \in I\), ми також можемо використовувати ці скорочення:\[\begin{aligned} \bigcup_{i \in I} A_i & = \bigcup \Setabs{A_i }{i \in I}\\ \bigcap_{i \in I} A_i & = \bigcap\Setabs{A_i}{i \in I}\end{aligned}\]

Нарешті, ми можемо захотіти подумати про набір всіх елементів\(A\), в яких немає\(B\). Ми можемо зобразити це як на малюнку\(\PageIndex{3}\).

Рисунок\(\PageIndex{3}\):\(A \setminus B\) Різниця двох множин - це множина тих елементів s, з\(A\) яких також не є елементом s of\(B\).

Визначення\(\PageIndex{5}\): Difference

Множинна різниця\(A \setminus B\) - це сукупність всіх елементів\(A\), з яких також не є елементами\(B\), т. Е.

\[A\setminus B = \Setabs{x}{x\in A \text{ and } x \notin B}.\nonumber\]

Проблема\(\PageIndex{4}\)

Доведіть, що якщо\(A \subsetneq B\), то\(B \setminus A \neq \emptyset\).