8.2: Взаємовиключні події та правило додавання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67050

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Визначте складені події за допомогою об'єднання, перетину та доповнення.
Визначте взаємовиключні події
Використовуйте Правило додавання для обчислення ймовірності для об'єднань подій.

В останньому розділі ми навчилися знаходити об'єднання, перетин і доповнення набору. Тепер ми будемо використовувати ці операції набору для опису подій.

Об'єднання двох подій E і F, E$\cup$ F - це сукупність результатів, які знаходяться в E або в F або в обох.
Перетин двох подій E і F, E$\cap$ F - це сукупність результатів, які знаходяться як в E, так і в F.
Доповненням події E, позначеної E ^c, є сукупність результатів у вибірковому просторі S, яких немає в E.

Варто відзначити, що Р (Е в⁾ = 1 - Р (Е). Це випливає з того, що якщо простір вибірки має$n$ елементи, а Е -$k$ елементи, то E ^c має$n - k$ елементи. Тому,

\[P\left(E^{c}\right)=\frac{n-k}{n}=1-\frac{k}{n}=1-P(E) \nonumber \]

Особливий інтерес для нас представляють події, результати яких не перетинаються. Ми називаємо ці події взаємовиключними.

Кажуть, що дві події E і F є взаємовиключними, якщо вони не перетинаються: E$\cap$ F =$\varnothing$.

Далі ми визначимо, чи є дана пара подій взаємовиключними.

Приклад$\PageIndex{1}$

З стандартної колоди витягується карта. Визначте, чи є пара подій, наведених нижче, взаємовиключною.

E = {Намальована карта - туз}

F = {Намальована карта - це серце}

Рішення

Очевидно, що туз сердець належить до обох сетів. Тобто

\[\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\text { Ace of hearts }\} \neq \varnothing \nonumber \]

Тому події Е і F не є взаємовиключними.

Приклад$\PageIndex{2}$

Розкочуються два кубика. Визначте, чи є пара подій, наведених нижче, взаємовиключною.

G = {Сума граней шість}

H = {Одна матриця показує чотири}

Рішення

Для наочності перерахуємо елементи обох наборів.

G = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} і H = {(2, 4), (4, 2)}

Зрозуміло, G$\cap$ H = {(2, 4), (4, 2)}$\neq \varnothing$.

Тому два набори не є взаємовиключними.

Приклад$\PageIndex{3}$

У сім'ї троє дітей. Визначте, чи є наступна пара подій взаємовиключними.

M = {Сім'я має принаймні одного хлопчика}

N = {Сім'я має всіх дівчат}

Рішення

Хоча відповідь може бути зрозумілою, перерахуємо обидва набори.

М = {BBB, BBG, БГБ, БГГ, ГББ, ГБГ, ГГБ} і N = {ГГГ}

Зрозуміло, M$\cap$ N =$\varnothing$

Тому події М і N є взаємовиключними.

Ми зараз розглянемо проблеми, які передбачають об'єднання двох подій.

Враховуючи дві події, E, F, потім знаходження ймовірності E$\cup$ F, це те саме, що знайти ймовірність того, що E станеться, або F станеться, або обидва станеться.

Приклад$\PageIndex{4}$

Якщо прокочується плашка, яка ймовірність отримання парного числа або числа більше чотирьох?

Рішення

Дозвольте E бути подією, що число, показане на матриці, є парним числом, і нехай F бути подією, що число показано більше чотирьох.

Простір зразка S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Подія E = {2, 4, 6} і подія F = {5, 6}

Нам потрібно знайти P (E$\cup$ F).

Оскільки P (E) = 3/6, а P (F) = 2/6, студент може сказати P (E$\cup$ F) = 3/6 + 2/6. Це буде неправильно, оскільки елемент 6, який є як в E, так і в F, був зарахований двічі, один раз як елемент E і один раз як елемент F Іншими словами, множина E$\cup$ F має лише чотири елементи, а не п'ять: набір E$\cup$ F = {2,4,5,6}

Тому Р (Е$\cup$ Ф) = 4/6, а не 5/6.

Це можна проілюструвати діаграмою Венна. Ми використаємо діаграму Венна, щоб переглянути приклад$\PageIndex{4}$ та вивести правило ймовірності, яке ми можемо використовувати для обчислення ймовірностей для об'єднань подій.

Приклад простору S, події E і F і E$\cap$ F перераховані нижче.

\[\mathrm{S}=\{1,2,3,4,5,6\}, \mathrm{E}=\{2,4,6\}, \mathrm{F}=\{5,6\}, \text { and } \mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{6\} \nonumber. \nonumber \]

$Розділ 8.2 PNG$

На наведеному вище малюнку показані S, E, F та E$\cap$ F.

Знаходження ймовірності E$\cup$ F, це те ж саме, що знайти ймовірність того, що Е станеться, або F станеться, або обидва станеться.

Якщо порахувати кількість елементів n (E) в E, і додати до нього кількість елементів n (F) в F, точки і в E і F підраховуються двічі, один раз як елементи E і один раз як елементи F. Тепер якщо відняти з суми n (E) + n (F), число n (E$\cap$ F), прибираємо дублічність і отримуємо правильне відповідь. Так, як правило,

\[\mathrm{n}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{n}(\mathrm{E})+\mathrm{n}(\mathrm{F})-\mathrm{n}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \nonumber \]

Діливши все рівняння на n (S), отримаємо

\[\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{F})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}-\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})} \nonumber \]

Оскільки ймовірність події - це кількість елементів у цій події, поділена на кількість всіх можливих результатів, ми маємо

\[\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})-\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \nonumber \]

Застосовуючи вищеописане наприклад$\PageIndex{4}$, отримуємо

\[\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=3 / 6+2 / 6-1 / 6=4 / 6 \nonumber \]

Це тому, що, коли ми додаємо P (E) і P (F), ми додали P (E$\cap$ F) двічі. Тому ми повинні відняти P (E$\cap$ F) один раз.

Це дає нам загальну формулу, звану Правилом додавання, для знаходження ймовірності об'єднання двох подій. Оскільки подія E$\cup$ F - це подія, що відбудеться E, АБО F станеться, АБО обидва станеться, ми іноді називаємо це правило додавання для подій АБО. У ньому зазначається

Правило додавання

\[\mathbf{P}(\mathbf{E} \cup \mathbf{F})=\mathbf{P}(\mathbf{E})+\mathbf{P}(\mathbf{F})-\mathbf{P}(\mathbf{E} \cap \mathbf{F}) \nonumber \]

Якщо, і тільки якщо, дві події$\mathrm{E}$ і$\mathrm{F}$ є взаємовиключними, то$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\varnothing$ і$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=0$, і отримуємо$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})$

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо карта витягнута з колоди, скористайтеся правилом додавання, щоб знайти ймовірність отримання туза або серця.

Рішення

Нехай А буде подією, що карта - туз, а H подією, що це серце.

Так як в колоді чотири тузи, і тринадцять сердець,

Р (А) = 4/52 і Р (Н) = 13/52.

Крім того, оскільки перетин двох подій складається лише з однієї карти, туза сердець, тепер у нас є:

Р (А$\cap$ Н) = 1/52

Нам потрібно знайти P (A$\cup$ H):

\ begin {вирівняний}
\ математика {P} (\ mathrm {A}\ cup\ mathrm {H}) &=\ математика {P} (\ математика {A}) +\ mathrm {P} (\ mathrm {P}) -\ матрм {P} (\ математика {A}\ cap\ mathrm {H})\
&&= 4/52+13/52-1/52=16/52
\ кінець {вирівняний}

Приклад$\PageIndex{6}$

Дві кубики кидаються, а події F і T такі:

F = {Сума кубиків дорівнює чотирьом} і T = {Принаймні одна матриця показує три}

Знайти P (F$\cup$ T).

Рішення

Перерахуємо F і T, а F$\cap$ T наступним чином:

F = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

T = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (1, 3), (2, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}

F$\cap$ Т = {(1, 3), (3, 1)}

Так як Р (Ф$\cup$ Т) = Р (Ф) + П (Т) - П (Ф$\cap$ Т)

У нас Р (Ф$\cup$ Т) = 3/36 + 11/36 - 2/36 = 12/36.

Приклад$\PageIndex{7}$

Пан Вашингтон шукає посаду викладача математики в своєму улюбленому коледжі громади в Купертіно. Його працевлаштування залежить від двох умов: схвалює чи рада посаду, і чи обирає його комісія з найму. Є 80% шансів, що рада затвердить посаду, і є 70% шанс, що комітет з найму його обере. Якщо є 90% шансів, що хоча б одна з двох умов, затвердження правління або його вибір, буде виконана, яка ймовірність того, що пан Вашингтон буде найнятий?

Рішення

Нехай A буде подією, коли рада затверджує позицію, а S - подія, яку містер Вашингтон отримує обраний. У нас є,

Р (А) = 0,80, Р (С) = 0,70, а Р (А$\cup$ С) = 0,90.

Нам потрібно знайти, P (A$\cap$ S).

Формула додавання говорить, що,

\[P(A \cup S)=P(A)+P(S)-P(A \cap S) \nonumber \]

Підставивши відомі значення, отримуємо

\[.90=.80+.70-P(\mathrm{A} \cap \mathrm{S}) \nonumber \]

Тому Р (А$\cap$ С) = ,60.

Приклад$\PageIndex{8}$

Імовірність того, що ці вихідні будуть холодними, становить .6, ймовірність того, що буде дощовим, дорівнює .7, а ймовірність того, що буде і холодно, і дощове - 0,5. Яка ймовірність того, що не буде ні холодно, ні дощово?

Рішення

Нехай C буде подією, що вихідні будуть холодними, а R - подією, що буде дощовим. Нам дано, що

\[\mathrm{P}(\mathrm{C})=.6, \quad \mathrm{P}(\mathrm{R})=.7, \quad \mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{R})=.5 \nonumber \]

Спочатку знаходимо P (C$\cup$ R) за допомогою правила додавання.

\[P(C \cup R) = P(C) + P(R) - P(C \cap R) = .6 + .7 - .5 = .8 \nonumber \]

Потім знаходимо P ((C$\cup$ R) ^c) за допомогою правила доповнення.

\[P\left((C \cup R)^{c}\right)=1-P(C \cup R)=1-.8=.2 \nonumber \]

Підсумовуємо цей розділ, перерахувавши важливі правила.

Резюме

Правило додавання

Для двох подій$\mathrm{E}$ і$\mathrm{F}$,$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})-\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})$

Правило додавання для взаємовиключних подій

Якщо дві події$\mathrm{E}$ і$\mathrm{F}$ є взаємовиключними, то$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cup \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})$

Правило доповнення

Якщо$\mathrm{E}^c$ є доповненням події$\mathrm{E}$, то$\mathrm{P}(\mathrm{E}^c) = 1 - \mathrm{P}(\mathrm{E})$

Цілі навчання

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Правило додавання

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Резюме