13.1: Основи наборів

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 13: Набори
- 13.2: Союз, перетин та доповнення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Колекціонер мистецтва може володіти колекцією картин, тоді як меломан може зберігати колекцію компакт-дисків. Будь-яка колекція предметів може сформувати набір.

Сет

Набір - це сукупність різних об'єктів, які називаються елементами множини

Набір можна визначити, описуючи вміст, або перерахувавши елементи множини, укладені в фігурні дужки.

Приклад 1

Деякі приклади множин, визначених описом вмісту:

Набір всіх парних чисел
Набір всіх книг, написаних про подорожі до Чилі

Деякі приклади множин, визначених шляхом перерахування елементів множини:

{1, 3, 9, 12}
{червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, синій, індиго, фіолетовий}

Набір просто визначає вміст; порядок не важливий. Множина, представлена {1, 2, 3}, еквівалентна множині {3, 1, 2}.

Позначення

Зазвичай ми будемо використовувати змінну для представлення множини, щоб полегшити посилання на цей набір пізніше.

Символ $\in$ означає «є елементом».

Набір, який не містить елементів $\{ \}$ , називається порожнім набором і позначається $\emptyset$

Приклад 2

Нехай $A=\{1,2,3,4\}$

Щоб відзначити, що 2 є елементом множини, ми б написати $2 \in A$

Іноді колекція може містити не всі елементи набору. Наприклад, Кріс володіє трьома альбомами Мадонни. Хоча колекція Кріса є набором, ми також можемо сказати, що це підмножина більшого набору всіх альбомів Мадонни.

Підмножина

Підмножина множини $A$ - це ще одна множина, яка містить лише елементи з множини $A$ , але може містити не всі елементи $A$ .

Якщо $B$ є підмножиною $A,$ ми пишемо $B \subseteq A$

Правильна підмножина — це підмножина, яка не ідентична вихідній множині — вона містить менше елементів.

Якщо $B$ є належним підмножиною $A$ , ми пишемо $B \subset A$

Приклад 3

Розглянемо ці три комплекти

$A=$ набір всіх парних чисел $\quad B=\{2,4,6\} \quad C=\{2,3,4,6\}$

Тут, $B \subset A$ оскільки кожен елемент також $B$ є парним числом, так і є елементом $A$ .

Більш формально, ми могли б сказати, $B \subset A$ так як якщо $x \in B,$ тоді $x \in A$

Це також правда, що $B \subset C$ .

$C$ не є підмножиною $A$ , оскільки $C$ містить елемент, 3, який не міститься в $A$

Приклад 4

Припустимо, набір містить п'єси «Багато гараздів ні про що», «Макбет» та «Нічний сон в літню ніч». Що таке більший набір це може бути підмножиною?

Рішення

Тут є багато можливих відповідей. Одним з них був би набір п'єс Шекспіра. Це також підмножина безлічі всіх п'єс, коли-небудь написаних. Це також підмножина всієї британської літератури.

Спробуйте зараз 1

Набір $A=\{1,3,5\} .$ Що таке більший набір це може бути підмножиною?

Відповідь: Є кілька відповідей: Безліч всіх непарних чисел менше 10. Безліч всіх непарних чисел. Множина всіх цілих чисел. Безліч всіх дійсних чисел.