1.1: Набори

Це лише свого роду «визначення», оскільки це не суворе визначення набору. Наприклад, що ми маємо на увазі під «колекцією» об'єктів? Цього «визначення» буде достатньо для нашого курсу, але майте на увазі, що визначення набору таким розпливчастим способом може призвести до деяких серйозних математичних проблем, таких як парадокс Рассела. Математик, чия експертиза полягає в теорії множин, може неприємно розбурхувати, якщо ви спробуєте визначити набір, як ми маємо вище.

Примітка

\(S\)Дозволяти бути набором усіх наборів, які не є членами самих себе. Чи\(S\) є членом себе? Якщо ви добре подумаєте про це, то побачите, що не\(S\) може бути ні членом самого себе, ні членом самого себе. Ух ой! Це протиріччя відоме як «парадокс Рассела» (названий на честь британського філософа, математика та всебічного академіка Бертрана Рассела). Математики мають справу з цим, оголосивши, що деякі колекції об'єктів, які називаються класами, насправді не є множинами.

Визначення: Елементи та порожній набір

Члени набору називаються його елементами. Якщо\(S\) є множиною, ми\(x\in S\) пишемо вказати «\(x\)є елементом\(S\text{,}\)» і\(x \not\in S\) вказувати «не\(x\) є елементом\(S\text{.}\)» Існує унікальний набір, що не містить елементів; він називається порожнім набором, і позначається\(\emptyset\text{.}\)

Множини повинні бути чітко визначені: тобто повинні бути чітко зрозумілі, які об'єкти знаходяться в наборі, а які ні. Наприклад, множина всіх цілих чисел чітко визначена, але множина всіх великих цілих чисел не є чітко визначеною, оскільки незрозуміло, що означає «великий» у цьому контексті.

Ми посилаємося на деякі набори так часто в математиці, що у нас є спеціальні позначення для них.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Деякі загальні набори:

\(\begin{array} &&\mathbb{Z} &\;\;\;\;\;\text{the set of all integers (the Z comes “zahlen,” the German word for “numbers”)} \\ &\mathbb{Q} &\;\;\;\;\;\text{set of all rational numbers} \\ &\mathbb{R} &\;\;\;\;\;\text{the set of all real numbers} \\ &\mathbb{C} &\;\;\;\;\;\text{the set of all complex numbers} \\ &\mathbb{N} &\;\;\;\;\; \text{the set of all natural numbers, i.e., \(\{0, 1, 2, \ldots\}\)}\\ & &\;\;\;\;\;\ text {(Майте на увазі, що багато книг/математиків не включають\(0\) в набір натуральних чисел}\ end {array}\)

Ми можемо далі написати позначити по\(\mathbb{Z}^+\) the set of all positive integers, and by \(\mathbb{Z}^*\) the set of all nonzero integers. Can you guess what the penultimate notation represents if we replace \(\mathbb{Z}\) with \(\mathbb{Q}\) or \(\mathbb{R}\text{,}\) and/or \(+\) with \(-\text{?}\) What about what the last notation, if we replace \(\mathbb{Z}\) with \(\mathbb{Q}\text{,}\) \(\mathbb{R}\text{,}\) or \(\mathbb{C}\text{?}\)

Ми також надаємо позначення для часто розглянутих множин матриць:

Визначення

Даним\(m,n \in \mathbb{Z}^+\) і множиною\(S\text{,}\) ми\(\mathbb{M}_{m\times n}(S)\) визначаємо як множина всіх\(m \times n\) матриць над\(S\) (тобто всіх\(m\times n\) матриць з записами в\(S\)). Використовуємо стенографічні\(\mathbb{M}_n(S)\) позначення множини\(\mathbb{M}_{n\times n}(S)\text{.}\)

Одним із поширених способів опису множини є перелік його елементів у фігурних дужках, розділених комами; ви можете використовувати еліпси для позначення повторюваного шаблону елементів. Кілька прикладів,\(\{1,4,\pi\}\text{,}\)\(\{3, 4, 5, \ldots\}\text{,}\) і\(\{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}\text{;}\) останній з них можна записати більш стисло, як\(\{0,\pm 2, \pm 4,\ldots\}\text{.}\) Зауважте, що оскільки елементи множини невпорядковані,\(\{1,4,\pi\}\) множини і,\(\{4,\pi, 1\}\text{,}\) наприклад, ідентичні.

Інший метод - використання нотації set-builder. Це складається з назви елемента (або імен), за яким слідує двокрапка (означає «такий, що»), за яким слідує логічний вираз, що включає ім'я (и) елемента, всі оточені фігурними дужками.

Примітка

Використання двокрапки для позначення «такого, що» є дійсним лише у наведеному вище контексті позначення set-builder. За межами цього контексту ніколи не слід використовувати двокрапку для позначення «такий, що»; замість цього використовуйте абревіатуру «s.t.» або випишіть фактичні слова. І навпаки, ніколи не використовуйте один із цих способів позначення «такого, що» у нотації set-builder; завжди використовуйте двокрапку там. Чому? Конвенція.

Наприклад,

\ begin {рівняння*}\ {x\ in\ mathbb {Z}: x > 4\}\ кінець {рівняння*}

це набір в\(\{5, 6, 7, \ldots\}\text{,}\) той час як

\ begin {рівняння*}\ {z\ in\ mathbb {C}: |z|=1\}\ кінець {рівняння*}

множина всіх комплексних чисел на відстані\(1\) from the origin in the complex plane.

Примітка

Якщо хтось просто пише\(\{x\,:\,x>4\}\text{,}\), незрозуміло, що це за множина; це може бути набір усіх цілих чисел більше\(4\), або набір всіх дійсних чисел більше 4, або щось інше. Коли можна, краще ідентифікувати іменований елемент (и) як член (члени) відомого множини, наприклад\(\mathbb{R}\) або,\(\mathbb{Z}\text{,}\) коли це можливо.

Визначення: Підмножина і надмножина

Набір\(A\) є підмножиною\(B\) (і набір\(B\) є надмножиною\(A\)), якщо кожен елемент в також\(A\) є в\(B\text{.}\) Ми позначаємо «\(A\)є підмножиною\(B\)»\(A\subseteq B\text{.}\) множиною\(A\) і кажуть,\(B\) що він дорівнює , і ми пишемо,\(A=B\text{,}\) якщо вони містять точно такі ж елементи; еквівалентно,\(A=B\) якщо і тільки якщо\(A \subseteq B\) і\(B\subseteq A\text{.}\) Set\(A\) є належним підмножиною множина,\(B\) якщо\(A\subseteq B\) але\(A\neq B\text{;}\) ми пишемо це\(A\subsetneq B\text{.}\)

Зауваження

Іноді позначення\(A\subset B\) використовується для позначення того, що\(A\) є належною підмножиною,\(B\text{,}\) а іноді це просто означає, що\(A\) це підмножина - належна чи неналежна -\(B\text{.}\) Ми не будемо використовувати позначення\(A \subset B\) в цьому тексті.

Примітка

Один часто доводить, що два\(A\) набори і\(B\) рівні, доводячи, що\(A\subseteq B\) і\(B\subseteq A\text{.}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

У нас є наступне:\(\mathbb{Z}^+ \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}\text{.}\)

Визначення: Потужність Set

Набір потужності\(A\text{,}\)\(P(A)\text{,}\) позначається множиною всіх підмножин\(A\text{.}\) (Зверніть увагу, що набір потужності будь-якого набору містить порожній набір як елемент.)

Примітка

Будьте обережні, щоб правильно використовувати фігурні дужки при написанні наборів потужності! Пам'ятайте, силовий набір набору - це набір наборів.

Нижче наведено хороший приклад правильного використання брекетів.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Якщо\(A=\{a,b\}\text{,}\) тоді\(P(A)=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\text{.}\) Зауважте, що елемент\(\{a,b\}\) також\(P(A)\) може бути записаний просто як\(A\text{.}\)

Визначення: Союз, Перетин, Різниця та Розмежування

Якщо\(A\) і\(B\) є підмножинами\(U\text{,}\) множини, то об'єднання\(A\) і\(B\text{,}\)\(A\cup B\text{,}\) позначається\(A\cup B=\{x\in U : x\in A \text{ or } x\in B\};\) множина, перетин\(A\) і\(B\text{,}\)\(A\cap B\text{,}\) позначається\(A\cap B=\{x \in U: x\in A \text{ and } x\in B\};\) множина і різниця \(A\)і\(B\text{,}\) позначається\(A-B\) (або\(A\setminus B\)), є множиною\(A-B=\{x: x\in A \text{ and } x\not\in B\}.\)
Більш загально, враховуючи будь-яку колекцію підмножин\(A_i\) (\(i\)у деякому наборі індексів\(I\)) множини об'єднання\(A_i\) є\(U\text{,}\)

\ begin {рівняння*}\ bigcup_ {i\ in I} a_i=\ {x\ in U: x\ in A_i\ text {для деяких} i\ in I\},\ end {рівняння*}

і перетин\(A_i\) is

\ begin {рівняння*}\ bigcap_ {i\ in I} a_i=\ {x\ in U: x\ in a_i\ text {для кожного} i\ in I\}. \ end {рівняння*}

\(A\)Множини і\(B\) нез'єднані, якщо загалом\(A\cap B=\emptyset\text{.}\) множини\(A_i\) (\(i\)в деякому наборі індексів\(I\)) нез'єднані, якщо

\ begin {рівняння*}\ bigcap_ {i\ in I} a_i=\ порожня множина\ кінець {рівняння*}

і взаємно розмежовуються, якщо

\ begin {рівняння*} a_i\ cap a_j=\ порожній набір\ текст {для всіх} i\ neq j\ in I\ end {рівняння*}

Зверніть увагу, що для будь-яких підмножин\(A\) і\(B\) множини,\(U\text{,}\)\(A\cap B \subseteq A \subseteq A\cup B\) а\(A\cap B \subseteq B \subseteq A\cup B\text{.}\) також зауважте, що якщо sets\(A_i\) (\(i \in I\)) взаємно нез'єднані, то вони також нез'єднані, але вони можуть бути нез'єднаними, не будучи взаємно нероз'єднаними. Наприклад, набори\(\{i, i+1\}\) для\(i\in \mathbb{Z}\) є неспільними, але не взаємно нероз'єднаними. (Ви розумієте, чому?)

Визначимо ще один спосіб «комбінування» наборів.

Визначення: Прямий продукт та замовлена пара

Нехай\(A\) і\(B\) будуть набори. Тоді прямий добуток (або декартовий\(A\times B\) добуток)\(A\) і\(B\) є безліччю

\ begin {рівняння*} A\ раз B =\ {(a, b):\ текст {\(a\in A\),\(b\in B\)}\}. \ end {рівняння*}

Елемент\(A\times B\) називається\((a,b)\) впорядкованою парою. Більш загалом,\(A_1, A_2, \ldots, A_n\) якщо набори для деяких,\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) то продукт\(A_i\) є

\ begin {рівняння*} A_1\ times A_2\ раз\ cdots\ раз a_n=\ {(a_1, a_2\ ldots, a_n): a_i\ in a_i\ text {для} i = 1,2,\ ldots, n\};\ кінець {рівняння*}

елементи цього\(a_1, a_2, \ldots, a_n\) виробу називаються\(n\)-tuples (or triples, if \(n=3\)). (You can also have products of infinitely many sets, but we will not discuss that in this course.) Finally, if each set \(A_i\) is the same set \(A\text{,}\) we can use the notation \(A^n\) to denote the product

\ begin {рівняння*} A\ раз B =\ {(a, b):\ текст {\(a\in A\),\(b\in B\)}\}. \ end {рівняння*}

\(n\)копій\(A\text{.}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Наприклад, декартова площина - це множина,\(\mathbb{R}^2\text{,}\) а множина\(\mathbb{Z} \times \mathbb{R}\) складається саме з точок на площині з цілими\(x\) -координатами (тобто точок, які лежать на вертикальних лініях, що перетинають\(x\) вісь -за цілими значеннями).