5.8:5.7 Вступ до квадратних коренів

Нагадаємо, що

\[x^2 = x \cdot x.\nonumber \]

Квадрат числа

Число х ² називається квадратом числа х.

Таким чином, наприклад:

• 9 ² = 9 · 9 = 81. Тому число 81 - це квадрат числа 9.
• (−4) ² = (−4) (−4) = 16. Отже, число 16 є квадратом числа −4.

На полі ми розмістили «Список квадратів» цілих чисел від 0 до 25 включно.

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & x^2 \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ 4 & 16 \\ 5 & 25 \\ 6 & 36 \\ 7 & 49 \\ 8 & 64 \\ 9 & 81 \\ 10 & 100 \\ 11 & 121 \\ 12 & 144 \\ 13 & 169 \\ 14 & 196 \\ 15 & 225 \\ 16 & 256 \\ 17 & 289 \\ 18 & 324 \\ 19 & 361 \\ 20 & 400 \\ 21 & 441 \\ 22 & 484 \\ 23 & 529 \\ 24 & 576 \\ 25 & 625 \\ \hline \end{array}\nonumber \]

Квадратні коріння

Після того, як ви освоїли процес квадратування цілого числа, то ви готові до зворотного процесу квадратизації, взявши квадратний корінь цілого числа.

• Вище ми побачили, що 9 ² = 81. Число 81 ми назвали квадратом числа 9. І навпаки, ми називаємо число 9 квадратним коренем числа 81.
• Вище ми побачили, що (−4) ² = 16. Число 16 ми назвали квадратом числа −4. І навпаки, ми називаємо число −4 квадратним коренем числа 16.

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & \sqrt{x} \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 4 & 2 \\ 9 & 3 \\ 16 & 4 \\ 25 & 5 \\ 36 & 6 \\ 49 & 7 \\ 64 & 8 \\ 81 & 9 \\ 100 & 10 \\ 121 & 11 \\ 144 & 12 \\ 169 & 13 \\ 196 & 14 \\ 225 & 15 \\ 256 & 16 \\ 289 & 17 \\ 324 & 18 \\ 361 & 19 \\ 400 & 20 \\ 441 & 21 \\ 484 & 22 \\ 529 & 23 \\ 576 & 24 \\ 625 & 25 \\ \hline \end{array}\nonumber \]

Квадратний корінь

Якщо a ² = b, то a називається квадратним коренем числа b.

Приклад 1

Знайти квадратні коріння числа 49.

Рішення

Щоб знайти квадратний корінь з 49, ми повинні думати про число a таке, що ² = 49. На думку спадають два числа.

• (−7) ² = 49. Отже, −7 є квадратним коренем з 49.
• 7 ² = 49. Тому 7 - це квадратний корінь з 49.

Зверніть увагу, що 49 має два квадратних кореня, один з яких позитивний, а інший негативний.

Вправа

Знайти квадратні корені з 256.

Відповідь

−16, 16

Приклад 2

Знайти квадратні коріння числа 196. Рішення. Щоб знайти квадратний корінь 196, ми повинні думати про число a таке, що ² = 196. За допомогою з «Переліку квадратів» на думку приходять два числа.

• (−14) ² = 196. Отже, −14 є квадратним коренем з 196.
• 14 ² = 196. Тому 14 - квадратний корінь з 196.

Зверніть увагу, що 196 має два квадратних кореня, один з яких позитивний, а інший негативний.

Вправа

Знайдіть квадратні коріння 625.

Відповідь

−25, 25

Приклад 3

Знайти квадратні корені числа 0.

Рішення

Щоб знайти квадратний корінь 0, ми повинні думати про число a таке, що ² = 0. Є тільки одне таке число, а саме нуль. Отже, 0 - квадратний корінь 0.

Вправа

Знайдіть квадратні корені 9.

Відповідь

−3, 3

Приклад 4

Знайти квадратні корені числа −25.

Рішення

Щоб знайти квадратний корінь −25, ми повинні думати про число таке, що a ² = −25. Це неможливо, оскільки жоден квадрат дійсного числа (ціле число, ціле, дріб або десяткове число) не може бути від'ємним. Позитивний час позитивний позитивний і негативний час негативний також позитивний. Ви не можете зробити квадрат і отримати негативну відповідь. Отже, −25 не має квадратних коренів ².

Вправа

Знайти квадратні корені −81.

Відповідь

Їх немає.

² Принаймні не в преалгебрі. У пізніших курсах ви познайомитеся з множиною комплексних чисел, де −25 матиме два квадратних кореня.

Радикальні позначення

Оскільки (−3) ² = 9 і 3 ² = 9, і −3, і 3 є квадратними коренями 9. Спеціальне позначення, зване радикальним позначенням, використовується для запиту цих квадратних коренів.

• Радикальне позначення\(\sqrt{9}\), вимовлене «невід'ємний квадратний корінь 9», вимагає невід'ємного ³ квадратного кореня 9. Отже,

\(\sqrt{9}=3.\)

• Радикальне позначення\(− \sqrt{9}\), вимовлене «негативний квадратний корінь 9», вимагає негативного квадратного кореня 9. Отже,

\(− \sqrt{9} = −3.\)

Радикальні позначення

У виразі символ\(\sqrt{~}\) називається радикалом\(\sqrt{9}\), а число всередині радикала, в даному випадку число 9, називається радикандом.

Наприклад,

• У\(\sqrt{529}\) виразі число 529 - це радиканд.
• У\(\sqrt{a^2 + b^2}\) виразі вираз\(a2^ + b^2\) - радиканд.

Радикальні позначення і квадратний корінь

Якщо b - додатне число, то

1. \(\sqrt{b}\)викликає невід'ємний квадратний корінь від b.
2. \(− \sqrt{b}\)викликає негативний квадратний корінь від b.

Примітка: Невід'ємний еквівалентний вимові «не негативний;» тобто позитивний або нуль.

Приклад 5

Спростити: (a)\(\sqrt{121}\), (b)\(− \sqrt{625}\) і (c)\(\sqrt{0}\).

Рішення

(а) Звертаючись до списку квадратів, відзначимо, що 11 ² = 121 і (−11) ² = 121. Тому і 11, і −11 є квадратними коренями 121. Однак\(\sqrt{121}\) вимагає невід'ємного квадратного кореня 121. Таким чином,

\[\sqrt{121} = 11.\nonumber \]

(б) Звертаючись до списку квадратів, відзначимо, що 25 ² = 625 і (−25) ² = 625. Тому і 25, і −25 є квадратними коренями 625. Однак\(− \sqrt{625}\) вимагає негативного квадратного кореня 625. Таким чином,

\[− \sqrt{625} = −25.\nonumber \]

(c) Існує лише один квадратний корінь з нуля. Тому,

\[\sqrt{0}=0.\nonumber \]

Вправа

Спрощення: а)\(\sqrt{144}\) б)\(− \sqrt{324}\)

Відповідь

(а) 12 (б) −18

Приклад 6

Спростити: (a)\(− \sqrt{25}\), і (b)\(−\sqrt{25}\)

Рішення

(а) Оскільки 5 ² = 25 і (−5) ² = 25, і 5, і −5 є квадратними коренями 25. Однак позначення\(− \sqrt{25}\) вимагає негативного квадратного кореня 25. Таким чином,\(− \sqrt{25} = −5\).

(b) Неможливо встановити квадрат дійсне число (ціле число, ціле число, дріб або десяткове число) і отримати −25. Тому не існує дійсного квадратного кореня −25. Тобто не\(\sqrt{−25}\) є дійсним числом. Це невизначено. ⁴

Вправа

Спрощення: а)\(− \sqrt{36}\) б)\(\sqrt{−36}\)

Відповідь

(a) −6 (b) невизначено

³ Невід'ємний еквівалентний вимові «не негативний;» тобто позитивний або нуль.

⁴ Принаймні в преалгебрі. На більш пізніх курсах вас познайомлять з безліччю комплексних чисел, де\(\sqrt{−25}\) набуде нового значення.

Порядок операцій

З додаванням радикальних позначень, Правила, що керують порядком операцій, дещо змінюються.

Правила, що керують порядком операцій

При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
2. Оцініть всі показники та радикали, які з'являються у виразі.
3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
4. Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.

Єдина зміна правил - у пункті #2, який говорить: «Оцініть всі показники та радикали, що з'являються у виразі», ставлячи радикали на той же рівень, що і експоненти.

Приклад 7

Спростити:\(−3 \sqrt{9} + 12 \sqrt{4}\).

Рішення

Відповідно до Правил, що керують порядком операцій, ми повинні спочатку оцінити радикали в цьому вираженні.

\[ \begin{aligned} -3 \sqrt{9} + 12 \sqrt{4} = -3(3) + 12(2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate radicals first: } \sqrt{9} = 3} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } \sqrt{4} = 2.} \\ = -9 + 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } -3(3) = -9 \text{ and } 12(2) = 24.} \\ =15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } -9+24=15.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Спростити:\(2 \sqrt{4} - 3 \sqrt{9}\)

Відповідь

−5

Приклад 8

Спростити:\(−2 − 3 \sqrt{36}\).

Рішення

Відповідно до Правил, що керують порядком операцій, ми повинні спочатку оцінити радикали в цьому виразі, рухаючись зліва направо.

\[ \begin{aligned} -2-3 \sqrt{36} = -2-36 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate radicals first: } \sqrt{36}=6} \\ =-2-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3(6)=18.} \\ =-20 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract: } -2-18=-2+(-18)=-20.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Спростити:\(5 − 8 \sqrt{169}\)

Відповідь

−99

Приклад 9

Спростити: (а)\(\sqrt{9 + 16}\) і (b)\(\sqrt{9} + \sqrt{16}\).

Рішення

Застосовуйте правила, що керують порядком операцій.

а) У цьому випадку радикал діє як угруповання символів, тому ми повинні спочатку оцінити, що знаходиться всередині радикала.

\[ \begin{aligned} \sqrt{9+16} = \sqrt{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 9+16=25.} \\ = 5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Take nonnegative square root: } \sqrt{25} = 5.} \end{aligned}\nonumber \]

б) У цьому прикладі ми повинні спочатку оцінити квадратні коріння.

\[ \begin{aligned} \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Square root: } \sqrt{9} = 3 \text{ and } \sqrt{16} =4.} \\ =7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 3+4=7.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Спрощення: а)\(\sqrt{25 + 144}\) б)\(\sqrt{25} + \sqrt{144}\)

Відповідь

(а) 13 (б) 17

Дроби та десяткові дроби

Ми також можемо знайти квадратні коріння дробів і десяткових знаків.

Приклад 10

Спростити: (а)\(\sqrt{4}{9}\), і (b)\(− \sqrt{0.49}\).

Рішення

(а) Тому що\(\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{4}{9}\), то

\[\sqrt{ \frac{4}{9}} = \frac{2}{3}.\nonumber \]

(b) Оскільки (0,7) ² = (0,7) (0,7) = 0,49 і (−0,7) ² = (−0,7) (−0,7) = 0,49, і 0,7, і −0,7 є квадратними коренями 0,49. Однак\(− \sqrt{0.49}\) вимагає негативного квадратного кореня 0.49. Отже,

\[− \sqrt{0.49} = −0.7\nonumber \]

Вправа

Спрощення: а)\(\sqrt{ \frac{25}{49}}\) б)\(\sqrt{0.36}\)

Відповідь

(а) 5/7 (б) 0,6

Оцінка квадратних коренів

Квадрати в «Списку квадратів» називаються ідеальними квадратами. Кожен - квадрат цілого числа. Не всі числа є ідеальними квадратами. Наприклад, у випадку з\(\sqrt{24}\), немає цілого числа, квадрат якого дорівнює 24. Однак це не\(\sqrt{24}\) заважає бути цілком хорошим числом.

Ми можемо використовувати «Список квадратів», щоб знайти десяткові наближення, коли радиканд не є ідеальним квадратом.

Приклад 11

Оцініть\(\sqrt{24}\) за допомогою ворожіння. Використовуйте калькулятор, щоб знайти більш точний результат і порівняти цей результат зі своєю здогадкою.

Рішення

З «Переліку квадратів» зауважте, що 24 лежить між 16 і 25, тому 24 буде лежати між 4 і 5, причому √24 набагато ближче до 5, ніж до 4.

Давайте здогадаємося

\[\sqrt{24} \approx 4.8.\nonumber \]

Як перевірку, давайте квадрат 4.8.

\[(4.8)^2 = (4.8)(4.8) = 23.04\nonumber \]

Не зовсім 24! Зрозуміло, що\(\sqrt{24}\) має бути трохи більше 4,8.

Давайте скористаємося науковим калькулятором, щоб отримати краще наближення. З нашого калькулятора за допомогою кнопки квадратного кореня знаходимо

\[\sqrt{24} \approx 4.89897948557.\nonumber \]

Незважаючи на те, що це краще, ніж наша оцінка 4.8, це все ще лише наближення. Наш калькулятор був здатний забезпечити лише 11 знаків після коми. Однак точне десяткове подання\(\sqrt{24}\) - це нескінченна десяткова кома, яка ніколи не закінчується і ніколи не встановлює закономірність повторення.

Просто для задоволення, ось десяткове наближення,\(\sqrt{24}\) що з точністю до 1000 місць, люб'язно надано http://www.wolframalpha.com/.

4. 898979485566356196394568 14941178278393 189496 133 34025686538513450 19207549146300 53071886620968 928046937189189 202453228 3782497 177309 19675 1468 325 156790 24757 825495 535 3143 2495260210541823540446962621357973 381707 264886705091208067617878749171135693 1494487226082885405404323484042348403600160163 179615660260260145738 7987261674316 18880 1600887477 3750983 2902930782900 2408945 289626663 258702188948365709 90088932343453 26285099529629624900 80231 132090729180187 172335863963133253388 2638 1313 1717 275322105163 1235873 247235822058934176710257671059796648 20111738012830932248234782347823 47067988 208621 1598579693 4679065 105574720836593 1034 36607820735600 76724633 259 466056058099547820948527 2014 10252753937735 40128 1958 11851434656900577618302885149 2605926059264741510500684551 1983090852562596006129344159488 50604575685241068 1358957 200931938 7995987 1195081233427 173093069 124964165125537273856826826 127448670 17729603 1449 267446489475909 76288769586 7274018394820295570465511821263 19692156620734019070649453

Якби ви помножили це число саме по собі (квадрат числа), ви б отримали число, яке надзвичайно близьке до 24, але воно не було б точно 24. Було б ще невелике розбіжність.

Вправа

кошторис:\(\sqrt{83}\).

Відповідь

9.1

Важливе спостереження

Калькулятор може видавати лише кінцеву кількість десяткових знаків. Якщо десяткове подання вашого числа не закінчується в межах цієї обмеженої кількості знаків, то число у вікні калькулятора є лише наближенням.

• Десяткове подання 1/8 закінчиться в межах трьох знаків, тому більшість калькуляторів повідомлять точну відповідь, 0,125.
• Для контрасту 2/3 не припиняється. Калькулятор, здатний повідомити 11 місць точності, видає число 0.666666666667. Однак точне десяткове подання 2/3 дорівнює 0,6. Зверніть увагу, що калькулятор округляв в останню чергу і забезпечує лише наближення 2/3. Якщо ваш інструктор запитує точну відповідь на іспит або вікторину, то 0.666666666667, будучи наближенням, не є прийнятним. Ви повинні дати точну відповідь 2/3.

Вправи

У вправах 1-16 перерахуйте всі квадратні корені заданого числа. Якщо число не має квадратних коренів, напишіть «none».

1. 256

2. 361

3. −289

4. −400

5. 441

6. 36

7. 324

8. 0

9. 144

10. 100

11. −144

12. −100

13. 121

14. −196

15. 529

16. 400

---

У вправах 17-32 обчислити точний квадратний корінь. Якщо квадратний корінь не визначено, напишіть «undefined».

17. \(\sqrt{−9}\)

18. \(−\sqrt{−196}\)

19. \(\sqrt{576}\)

20. \(\sqrt{289}\)

21. \(\sqrt{−529}\)

22. \(\sqrt{−256}\)

23. \(− \sqrt{25}\)

24. \(\sqrt{225}\)

25. \(− \sqrt{484}\)

26. \(− \sqrt{36}\)

27. \(− \sqrt{196}\)

28. \(− \sqrt{289}\)

29. \(\sqrt{441}\)

30. \(\sqrt{324}\)

31. \(− \sqrt{4}\)

32. \(\sqrt{100}\)

---

У вправах 33-52 обчислити точний квадратний корінь.

33. \(\sqrt{0.81}\)

34. \(\sqrt{5.29}\)

35. \(\sqrt{3.61}\)

36. \(\sqrt{0.09}\)

37. \(\sqrt{ \frac{225}{16}}\)

38. \(\sqrt{ \frac{100}{81}}\)

39. \(\sqrt{3.24}\)

40. \(\sqrt{5.76}\)

41. \(\sqrt{ \frac{121}{49}}\)

42. \(\sqrt{ \frac{625}{324}}\)

43. \(\sqrt{ \frac{529}{121}}\)

44. \(\sqrt{\frac{4}{121}}\)

45. \(\sqrt{2.89}\)

46. \(\sqrt{4.41}\)

47. \(\sqrt{ \frac{144}{25}}\)

48. \(\sqrt{\frac{49}{36}}\)

49. \(\sqrt{ \frac{256}{361}}\)

50. \(\sqrt{\frac{529}{16}}\)

51. \(\sqrt{0.49}\)

52. \(\sqrt{4.84}\)

---

У вправах 53-70 обчислити точне значення даного виразу.

53. \(6 − \sqrt{576}\)

54. \(−2 − 7 \sqrt{576}\)

55. \(\sqrt{8^2 + 15^2}\)

56. \(\sqrt{7^2 + 24^2}\)

57. \(6 \sqrt{16} − 9 \sqrt{49}\)

58. \(3 \sqrt{441} + 6 \sqrt{484}\)

59. \(\sqrt{5^2 + 12^2}\)

60. \(\sqrt{15^2 + 20^2}\)

61. \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

62. \(\sqrt{6^2 + 8^2}\)

63. \(−2 \sqrt{324} − 6 \sqrt{361}\)

64. \(−6 \sqrt{576} − 8 \sqrt{121}\)

65. \(−4 − 3 \sqrt{529}\)

66. \(−1 + \sqrt{625}\)

67. \(−9 \sqrt{484} + 7 \sqrt{81}\)

68. \(− \sqrt{625} − 5 \sqrt{576}\)

69. \(2 − \sqrt{16}\)

70. \(8 − 6 \sqrt{400}\)

---

У вправах 71-76 виконайте наступні завдання для оцінки заданого квадратного кореня.

а) Визначте два цілих числа, між якими лежить квадратний корінь.

б) Намалюйте числовий рядок і знайдіть приблизне розташування квадратного кореня між двома цілими числами, знайденими в частині (a).

в) Без використання калькулятора оцініть квадратний корінь до найближчої десятої.

71. \(\sqrt{58}\)

72. \(\sqrt{27}\)

73. \(\sqrt{79}\)

74. \(\sqrt{12}\)

75. \(\sqrt{44}\)

76. \(\sqrt{88}\)

---

У Вправах 77-82 скористайтеся калькулятором, щоб наблизити квадратний корінь до найближчої десятої.

77. \(\sqrt{469}\)

78. \(\sqrt{73}\)

79. \(\sqrt{615}\)

80. \(\sqrt{162}\)

81. \(\sqrt{444}\)

82. \(\sqrt{223}\)

---

Відповіді

1. 16, −16

3. жоден

5. 21, −21

7. 18, −18

9. 12, −12

11. жоден

13. 11, −11

15. 23, −23

17. невизначений

19. 24

21. невизначений

23. −5

25. −22

27. −14

29. 21

31. −2

33. 0,9

35. 1,9

37. \(\frac{15}{4}\)

39. 1.8

41. 11 7

43. \(\frac{23}{11}\)

45. 1,7

47. \(\frac{12}{5}\)

49. \(\frac{16}{19}\)

51. 0,7

53. −18

55. 17

57. −39

59. 13

61. 5

63. −150

65. −73

67. −135

69. − 2

71. 7.6

73. 8,9

75. 6,6

77. 21.7

79. 24,8

81. 21.1