1.13: Спрощення квадратних коренів

Пошук квадратного кореня числа є оберненою операцією зведення цього числа в квадрат. Пам'ятайте, квадрат числа - це те, що число разів себе. Наприклад,

\[5^{2}=5 \cdot 5=25 \nonumber\]

і

\[(-5)^{2}=(-5) \cdot(-5)=25. \nonumber\]

Квадратний корінь числа,\(n,\) записаного як\(\sqrt{n},\) позитивне число, яке дає\(n\) при множенні на себе. Наприклад,\(\sqrt{25}=5\) а не -5, тому що 5 - позитивне число, яке помножене на себе дає 25.

Ідеальні квадрати - це квадрати цілих чисел:

• \(1=1^{2}\)
• \(4=2^{2}\)
• \(9=3^{2}\)
• \(16=4^{2}\)
• \(25=5^{2}\)
• \(36=6^{2}\)
• \(49=7^{2}\)
• \(64=8^{2}\)
• \(81=9^{2}\)
• \(100=10^{2}, \ldots\)

і знайти їх квадратні коріння просто. Так

\[\begin{align*} \sqrt{16} &=\sqrt{4^{2}} \\[4pt] &=4 \\ \sqrt{100} &= \sqrt{10^{2}} \\[4pt] &=10. \end{align*}\]

Як щодо\(\sqrt{50} ?\) Чи можете ви придумати число, яке ви множите саме по собі, і відповідь\(50 ?\) Єдине, що ми можемо зробити, це спростити квадратний корінь. Ми говоримо, що квадратний корінь спрощується, якщо він не має ідеальних квадратних факторів.

Отже, для спрощення\(\sqrt{50}\) ми спочатку запишемо 50 в його коефіцієнт і шукаємо ідеальні квадрати.

\[50=25 \cdot 2=5^{2} \cdot 2 . \nonumber\]

Потім,

\[\begin{align*} \sqrt{50} &=\sqrt{25 \cdot 2} \\[4pt] &=\sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{2} \\[4pt] &=5 \cdot \sqrt{2}. \end{align*}\]

Обґрунтуванням поділу\(\sqrt{5^{2}}\) і\(\sqrt{2}\) є той факт, що квадратний корінь добутку дорівнює добутку квадратного кореня кожного фактора:

Правило продукту для радикалів

\[\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\]

Приклад 11.1

Спростіть кожне з наступних радикальних виразів:

1. \(\begin{align*} \sqrt{24} &=\sqrt{4 \cdot 6}=\sqrt{2^{2} \cdot 6} \\ &=\sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{6}=2 \cdot \sqrt{6} \end{align*}\)
2. \(\sqrt{108}=\sqrt{36 \cdot 3}=\sqrt{6^{2} \cdot 3}=\sqrt{6^{2}} \cdot \sqrt{3}=6 \cdot \sqrt{3}\)
3. \(\begin{align*} 2 \cdot \sqrt{80} &=2 \cdot \sqrt{16 \cdot 5}=2 \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5} \\ &=2 \cdot \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{5}=2 \cdot 4 \cdot \sqrt{5} \\ &=8 \cdot \sqrt{5} \end{align*}\)

Як поєднувати «як» квадратні коріння

Ми можемо поєднувати квадратні корені «як» так само, як ми поєднували «як терміни» у розділі 8.

Як квадратні коріння

Два (або більше) квадратних кореня «схожі», якщо вони мають однакову кількість під коренем.

Примітка: Завжди спрощуйте квадратний корінь, якщо це можливо, перш ніж ідентифікувати «подібні» коріння.

Приклад 11.2

Як квадратні коріння:

1. \(\sqrt{3}\)і\(-6 \sqrt{3}\)
2. \(2 \sqrt{5}\)і\(-4 \sqrt{5}\)
3. \(\sqrt{7}\)і\(\sqrt{28},\) тому, що\(\sqrt{28}=\sqrt{4 \cdot 7}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{7}=2 \sqrt{7}\)
4. \(\sqrt{90}\)і\(\sqrt{250}\) тому, що\(\sqrt{90}=\sqrt{9 \cdot 10}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{10}=3 \sqrt{10}\) і\(\sqrt{250}=\sqrt{25 \cdot 10}=\sqrt{25} \cdot \sqrt{10}=5 \sqrt{10}\)

Щоб додати або відняти радикали, нам потрібно спочатку спростити радикали, потім об'єднати подібно радикалам.

Приклад 11.3

Додайте або відніміть радикали:

1. \(\sqrt{160}+\sqrt{490}=\sqrt{16 \cdot 10}+\sqrt{49 \cdot 10}=\sqrt{16} \cdot \sqrt{10}+\sqrt{49} \cdot \sqrt{10}=4 \cdot \sqrt{10}+7 \cdot \sqrt{10}=(4+7) \sqrt{10}=11 \sqrt{10}\)
2. \(2 \sqrt{27}-5 \sqrt{3}=2 \sqrt{9 \cdot 3}-5 \sqrt{3}=2 \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}-5 \sqrt{3}=2 \cdot 3 \sqrt{3}-5 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}-5 \sqrt{3}=(6-5) \sqrt{3}=1 \sqrt{3}=\sqrt{3}\)
3. \(4 \sqrt{18}-7 \sqrt{8}-3 \sqrt{1}=4 \sqrt{9} \sqrt{2}-7 \sqrt{4} \sqrt{2}-3 \cdot 1=4 \cdot 3 \sqrt{2}-7 \cdot 2 \sqrt{2}-3=12 \sqrt{2}-14 \sqrt{2}-3=(12-14) \sqrt{2}-3=-2 \sqrt{2}-3\)

Примітка: Комбінувати можна тільки «як» коріння.

Як ми спрощуємо нечислові радикали?

Подібно до чисел, змінні всередині квадратного кореня, які знаходяться в квадраті (підняті до степені 2), можуть бути спрощені. Отже,\(\sqrt{x^{2}}=x\) таким же чином, що\(\sqrt{8^{2}}=8\). Отже, нам потрібно знайти якомога більше кратних змінних, які зведені в квадрат:

\[\begin{align*} \sqrt{x^{8}} &=\sqrt{x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2}} \\[4pt] &=\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \\[4pt] &=x \cdot x \cdot x \cdot x \\[4pt] &=x^{4} \\[4pt] \sqrt{x^{5}} &=\sqrt{x^{2} \cdot x^{2} \cdot x} \\[4pt] &=\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x} \\[4pt] &=x \cdot x \cdot \sqrt{x} \\[4pt] =x^{2} \sqrt{x}\end{align*}\]

Якщо у вас є число і змінна всередині квадратного кореня (або більше однієї змінної), ви працюєте з кожною з них окремо. Наприклад:

\[\sqrt{50 x^{8}}=\sqrt{50} \cdot \sqrt{x^{8}}=5 \sqrt{2} \cdot x^{4}=5 x^{4} \sqrt{2}\nonumber\]

Приклад 11.4

Спростіть кожне з наступних радикальних виразів:

а)\ (\ почати {вирівнювати*}
\ sqrt {y^ {4} x^ {8}} &=\ sqrt {y^ {4}}\ cdot\ sqrt {x^ {8}} =\ sqrt {2}\ cdot {2}}\ cdot\ sqrt {x^ {8}}\\
&=\ sqrt {2}}}\ cdot\ sqrt {y^ {2}}\ cdot\ sqrt {x^ {8}} =у\ cdot\ sqrt {x^ {8}} =y^ {2}\ cdot\ sqrt {x^ {8}}\
&=y^ {2}\ cdot x^ {4}\\
&=y^ {2} x^ {4}
\ end {align*}\)

б)\ (\ почати {вирівнювати*}
\ sqrt {200\ cdot м^ {4}} &=\ sqrt {200}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =\ sqrt {100\ cdot 2}\
cdot\ sqrt {m^ {4}}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =\ sqrt {10^ {2}}\ cdot\ sqrt {2}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =10\ cdot\ sqrt {2}\ cdot m^ {2}
\ cdot\ sqrt {2} =10 м^ {2}\ sqrt {2}
\ кінець {вирівнювати*}\)

c)\ (\ почати {вирівнювати*}
м^ {3}\ cdot\ sqrt {200\ cdot м^ {4}} &=м^ {3}\ cdot\ sqrt {200}\ cdot\ sqrt {m^ {4}}\ cdot\ sqrt {100\ cdot 2}\ cdot\ sqrt {
m^ {4}\\ &=м^ {3}\ cdot\ sqrt {10^ {2}\ cdot 2}\ cdot\ sqrt {m^ {4}} =м^ {3}\ cdot\ sqrt {10^ {2}}\ cdot\ sqrt {m^ {4}}\
&=m^ {3}\ cdot 10\ cdot\ sqrt {2}\ cdot m^ {2} =10 м^ {5}\ cdot\ sqrt {2}\\
&= 10 м^ {5}\ sqrt {2}
\ end {align*}\)

г)\ (\ почати {вирівнювати*}
2\ sqrt {63 x^ {3}} &=2\ cdot\ sqrt {63}\ cdot\ sqrt {x^ {3}} =2\ cdot\ sqrt {3}}\\ cdot\ sqrt {
2}}\\ cdot\ sqrt {3} точка 7}\ cdot\ sqrt {x^ {2}\ cdot x} =2\ cdot\ sqrt {3^ {2}}\ cdot\ sqrt {7}\ cdot\ sqrt {x^ {2}}\ cdot\ sqrt {x}\\
&= 2\ cdot 3\ sqrt {7}\ cdot x\ cdot\ sqrt {x} =6 х\ cdot\ sqrt {7 х} =6 х\ sqrt {7 х}
\ кінець {вирівня*}\)

Аналогічно правилу продукту, часткове правило дозволяє відокремити квадратні коріння наступним чином:

Частота правило для радикалів

\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

І зверніть увагу, що обидва правила можна прочитати справа наліво наступним чином:

\[\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}\nonumber\]

\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\nonumber\]

Це дає нам необхідні інструменти для об'єднання та спрощення квадратних коренів, коли операція є лише множенням або діленням.

Приклад 11.5

Спростити повністю:

1. \(\begin{align*} \frac{\sqrt{15} \sqrt{70}}{\sqrt{5}} &=\frac{\sqrt{15 \cdot 70}}{\sqrt{5}} \\ &=\sqrt{\frac{15 \cdot 70}{5}}=\sqrt{\frac{5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2}{5}} \\ &=\sqrt{5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7}=\sqrt{210} \end{align*}\)
2. \(\begin{align*} -x \sqrt{12 y^{3}} \cdot 3 y^{2} \sqrt{15 x} &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{12 y^{3} \cdot 15 x}=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{12 \cdot 15 x y^{3}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 x y^{3}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 3^{2} \cdot 5 x y \cdot y^{2}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{5 x y} \cdot \sqrt{y^{2}} \\ &=-3 x y^{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 x y} \cdot y \\ &=-18 x y^{3} \cdot \sqrt{5 x y} \end{align*}\)

Проблема виходу

Спростити:\(5 \sqrt{24}-2 \sqrt{54}-3 \sqrt{16}\)