9.2: Вирази квадратного кореня
- Page ID
- 58605
Квадратні коріння
Коли ми вивчали показники в розділі 2.5, ми зазначили, що\(4^2 = 16\) і\((-4)^2 = 16\). Ми бачимо, що\(16\) це квадрат обох\(4\) і\(-4\). Так як\(16\) походить від\(4\)\(-4\) квадратизації або,\(4\) і\(-4\) називаються квадратними коренями\(16\). Таким чином,\(16\) має два квадратних кореня,\(4\) і\(-4\). Зверніть увагу, що ці два квадратних кореня протилежні один одному.
Можна сказати, що
Квадратний корінь позитивного числа\(x\) - це число таке, що коли він знаходиться в квадраті, число\(x\) результатів.
Кожне додатне число має два квадратних кореня, один позитивний квадратний корінь і один негативний квадратний корінь. Крім того, два квадратних кореня позитивного числа є протилежними один одному. Квадратний корінь 0 дорівнює 0.
Набір зразків A
Два квадратних кореня\(49\) є\(7\) і\(-7\) так:
\(7^2 = 49\)і\((-7)^2 = 49\).
Два квадратних кореня\(\dfrac{49}{64}\) є\(\dfrac{7}{8}\) і\(\dfrac{-7}{8}\) так:
\((\dfrac{7}{8})^2 = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{49}{64}\)і\((\dfrac{-7}{8})^2 = \dfrac{-7}{8} \cdot \dfrac{-7}{8} = \dfrac{49}{64}\)
Практика Set A
Назвіть обидва квадратні корені кожного з наступних чисел.
\(36\)
- Відповідь
-
\(6\)і\(-6\)
\(25\)
- Відповідь
-
\(5\)і\(-5\).
\(100\)
- Відповідь
-
\(10\)і\(-10\)
\(64\)
- Відповідь
-
\(8\)і\(-8\)
\(1\)
- Відповідь
-
\(1\)і\(-1\)
\(\dfrac{1}{4}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{2}\)і\(-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{9}{16}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{4}\)і\(-\dfrac{3}{4}\)
\(0.1\)
- Відповідь
-
\(0.1\)і\(−0.1\)
\(0.09\)
- Відповідь
-
\(0.03\)і\(−0.03\)
Основні та вторинні квадратні корені
Існує позначення для відрізнення позитивного квадратного кореня числа\(x\) від негативного квадратного кореня\(x\).
Якщо\(x\) є додатним дійсним числом, то
\(\sqrt{x}\)являє собою позитивний квадратний корінь\(x\). Позитивний квадратний корінь числа називається основним квадратним коренем числа.
\(-\sqrt{x}\)представляє негативний квадратний корінь\(x\). Негативний квадратний корінь числа називається вторинним квадратним коренем числа.
\(-\sqrt{x}\)вказує вторинний квадратний корінь\(x\).
У виразі\(\sqrt{x}\),
\(\sqrt{}\)називається радикальним знаком.
\(x\)називається радикандом.
\(\sqrt{x}\)називається радикальним
Горизонтальна смуга, яка з'являється прикріплена до знаку радикала\(\sqrt{}\), - це угруповання символ, який вказує радиканд.
Тому що\(\sqrt{x}\) і\(-\sqrt{x}\) є два квадратних кореня\(x\),
\((\sqrt{x})(\sqrt{x}) = x\)і\((-\sqrt{x})(-\sqrt{x}) = x\).
Набір зразків B
Запишіть основний і вторинний квадратні корені кожного числа.
\(9\)
Основний квадратний корінь:\(\sqrt{9} = 3\)
Вторинний квадратний корінь:\(-\sqrt{9} = -3\)
\(15\)
Основний квадратний корінь:\(\sqrt{15}\)
Вторинний квадратний корінь:\(-\sqrt{15}\)
Використовуйте калькулятор, щоб отримати десяткове наближення для двох квадратних коренів\(34\). Округлення до двох знаків після коми.
На калькуляторі:
Тип:\(34\)
Натисніть:\(\sqrt{}\)
Дисплей Читає:\(5.8309519\)
Округлити до\(5.83\)
Зверніть увагу, що символ квадратного кореня на калькуляторі є\(\sqrt{}\). Це, звичайно, означає, що калькулятор видасть тільки позитивний квадратний корінь. Ми повинні самі поставити негативний квадратний корінь.
\(\sqrt{34}\)\ приблизно 5,83\) і\(-\sqrt{34} \approx -5.83\)
Зверніть увагу: символ\(\approx\) означає «приблизно дорівнює».
Число\(\sqrt{50}\) між якими двома цілими числами?
Так як\(7^2 = 49, \sqrt{49} = 7\).
Так як\(8^2 = 64, \sqrt{64} = 8\). Таким чином,
\(7 < \sqrt{50} < 8\)
Таким чином,\(\sqrt{50}\) є число між\(7\) і\(8\).
Практика Set B
Запишіть основний і вторинний квадратні корені кожного числа.
\(100\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{100} = 10\)і\(-\sqrt{100} = -10\)
\(121\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{121} = 11\)і\(-\sqrt{121} = -11\)
\(35\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{35}\)і\(-\sqrt{35}\)
Використовуйте калькулятор, щоб отримати десяткове наближення для двох квадратних коренів\(35\). Округлення до двох знаків після коми.
- Відповідь
-
\ 95.92\) і\(-5.92\)
Значущі вирази
Оскільки ми знаємо, що квадрат будь-якого дійсного числа є додатним числом або нулем, ми можемо бачити, що вирази, такі як\(\sqrt{-16}\) не описують дійсні числа. Немає реального числа, яке можна звести в квадрат, яке буде виробляти\(-16\). Для\(\sqrt{x}\) того, щоб бути дійсним числом, ми повинні мати\(x \ge 0\). У нашому дослідженні алгебри ми будемо вважати, що всі змінні і всі вирази в радикандах представляють невід'ємні числа (числа більше або рівні нулю).
Набір зразків C
Напишіть належні обмеження, які повинні бути розміщені на змінній так, щоб кожен вираз представляв дійсне число.
\(\sqrt{x-3}\)щоб бути дійсним числом, ми повинні мати:
\(x - 3 \ge 0\)або\(x \ge 3\)
\(\sqrt{2m + 7}\)Щоб бути дійсним числом, ми повинні мати:
\(2m + 7 \ge 0\)або\(2m \ge -7\) або\(m \ge \dfrac{-7}{2}\)
Практика Set C
Напишіть належні обмеження, які повинні бути розміщені на змінній так, щоб кожен вираз представляв дійсне число.
\(\sqrt{x+5}\)
- Відповідь
-
\(x \ge -5\)
\(\sqrt{y - 8}\)
- Відповідь
-
\(y≥8\)
\(\sqrt{3a + 2}\)
- Відповідь
-
\(a \ge -\dfrac{2}{3}\)
\(\sqrt{5m - 6}\)
- Відповідь
-
\(m \ge \dfrac{6}{5}\)
Спрощення квадратних коренів
Коли змінні виникають в радиканді, ми часто можемо спростити вираз, видаливши знак радикала. Ми можемо зробити це, маючи на увазі, що радиканд - це квадрат якогось іншого виразу. Ми можемо спростити радикал, шукаючи вираз, квадрат якого - радиканд. Наступні спостереження допоможуть нам знайти квадратний корінь змінної величини.
Так як\((x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} - x^6, x^3\) являє собою квадратний корінь з\(x^6\). Також
Так як\((x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8, x^4\) являє собою квадратний корінь з\(x^8\). Також
Так як\((x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}, x^6\) являє собою квадратний корінь з\(x^{12}\). Також
Ці приклади припускають наступне правило:
Якщо змінна має парну експоненту, її квадратний корінь можна знайти шляхом ділення цього показника на\(2\).
Приклади Sample Set B ілюструють використання цього правила.
Набір зразків D
Спростіть кожен вираз, видаливши знак радикалу. Припустімо, що кожна змінна невід'ємна.
\(\sqrt{a^2}\)Ми шукаємо вираз, квадрат якого є\(a^2\). З тих пір\((a)^2 = a^2\),
\(\sqrt{a^2} = a\)Зауважте, що\(2 \div 2 = 1\)
\(\sqrt{y^8}\)Ми шукаємо вираз, квадрат якого є\(y^8\). З тих пір\((y^4)^2 = y^8\),
\(\sqrt{y^8} = y^4\)Зауважте, що\(8 \div 2 = 4\).
\(\sqrt{25m^2n^6}\). Ми шукаємо вираз, квадрат якого є\(25m^2n^6\). З тих пір\((5mn^3)^2 = 25m^2n^6\),
\(\sqrt{25m^2n^6} = 5mn^3\)Зверніть увагу, що\(2 \div 2 = 1\) і\(6 \div 2 = 3\).
\(-\sqrt{121a^{10}(b-1)^4}\)Ми шукаємо вираз, квадрат якого є\(121a^{10}(b-1)^4\). Так як
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
\ лівий [11 a^ {5} (b-1) ^ {2}\ праворуч] ^ {2} &= 121a^ {10} (б-1) ^4,\
\\ sqrt {121a^ {10} (б-1) ^4} &= 1a^5 (b-1) ^2\
\ текст {Потім,} sqrt {121a^ {10} (b-1) ^4} &= -11a^5 (б-1) ^2 &\ текст {Зверніть увагу, що} 10\ div 2 = 5\ text {і} 4\ div 2 = 2
\ end {масив}\)
Практика Set D
Спростіть кожен вираз, видаливши знак радикалу. Припустімо, що кожна змінна невід'ємна.
\(\sqrt{y^8}\)
- Відповідь
-
\(y^4\)
\(\sqrt{16a^4}\)
- Відповідь
-
\(4a^2\)
\(\sqrt{49x^4y^6}\)
- Відповідь
-
\(7x^2y^3\)
\(-\sqrt{100x^8y^{12}z^2}\)
- Відповідь
-
\(-10x^4y^6z\)
\(-\sqrt{36(a+5)^4}\)
- Відповідь
-
\(-6a(a+5)^2\)
\(\sqrt{225w^4(z^2-1)^2}\)
- Відповідь
-
\(15w^2(z^2 - 1)\)
\(\sqrt{0.25y^6z^{14}}\)
- Відповідь
-
\(0.5y^3z^7\)
\(\sqrt{x^{2n}}\),\(n\) де натуральне число
- Відповідь
-
\(x^n\)
\(\sqrt{x^{4n}}\), Де\(n\) - натуральне число.
- Відповідь
-
\(x^{2n}\)
Вправи
Скільки квадратних коренів має кожне позитивне дійсне число?
- Відповідь
-
два
Символ\(\sqrt{}\) представляє, який квадратний корінь числа?
Символ\(-\sqrt{}\) представляє, який квадратний корінь числа?
- Відповідь
-
вторинний
Для наступних задач знайдіть два квадратних кореня заданого числа.
64
81
- Відповідь
-
9 і −9
25
121
- Відповідь
-
11 і −11
144
225
- Відповідь
-
15 і −15
10 000
\(\dfrac{1}{16}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{4}\)і\(-\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{1}{49}\)
\(\dfrac{25}{36}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{5}{6}\)і\(-\dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{121}{225}\)
\(0.04\)
- Відповідь
-
\(0.2\)і\(-0.2\)
\(0.16\)
\(1.21\)
- Відповідь
-
\(1.1\)і\(−1.1\)
Для наступних завдань оцініть кожен вираз. Якщо вираз не представляє дійсне число, напишіть «не дійсне число».
\(\sqrt{49}\)
\(\sqrt{64}\)
- Відповідь
-
\(8\)
\(-\sqrt{36}\)
\(-\sqrt{100}\)
- Відповідь
-
\(-10\)
\(-\sqrt{169}\)
\(-\sqrt{\dfrac{36}{81}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2}{3}\)
\(-\sqrt{\dfrac{121}{169}}\)
\(\sqrt{-225}\)
- Відповідь
-
не дійсне число
\(\sqrt{-36}\)
\(-\sqrt{-1}\)
- Відповідь
-
не дійсне число
\(-\sqrt{-5}\)
\(-(-\sqrt{9})\)
- Відповідь
-
\(3\)
\(-(-\sqrt{0.81})\)
Для наступних проблем напишіть належні обмеження, які повинні бути розміщені на змінній, щоб вираз представляло дійсне число.
\(\sqrt{y + 10}\)
- Відповідь
-
\(y≥−10\)
\(\sqrt{x + 4}\)
\(\sqrt{a - 16}\)
- Відповідь
-
\(a≥16\)
\(\sqrt{h - 11}\)
\(\sqrt{2k - 1}\)
- Відповідь
-
\(k \ge \dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{7x + 8}\)
\(\sqrt{-2x - 8}\)
- Відповідь
-
\(x≤−4\)
\(\sqrt{-5y + 15}\)
Для наступних проблем спрощуйте кожен вираз, видаливши знак радикала.
\(\sqrt{m^6}\)
- Відповідь
-
\(m^3\)
\(\sqrt{k^{10}}\)
\(\sqrt{a^8}\)
- Відповідь
-
\(a^4\)
\(\sqrt{h^{16}}\)
\(\sqrt{x^4y^{10}}\)
- Відповідь
-
\(x^2y^5\)
\(\sqrt{a^6b^{20}}\)
\(\sqrt{a^4b^6}\)
- Відповідь
-
\(a^2b^3\)
\(\sqrt{x^8y^{14}}\)
\(\sqrt{81a^2b^2}\)
- Відповідь
-
\(9ab\)
\(\sqrt{49x^6y^4}\)
\(\sqrt{100m^8n^2}\)
- Відповідь
-
\(10m^4n\)
\(\sqrt{225p^{14}r^{16}}\)
\(\sqrt{36x^{22}y^{44}}\)
- Відповідь
-
\(6x^{11}y^{22}\)
\(\sqrt{169w^4z^6(m-1)^2}\)
\(\sqrt{25x^{12}(y-1)^4}\)
- Відповідь
-
\(5x^6(y-1)^2\)
\(\sqrt{64a^{10}(a+4)^{14}}\)
\(\sqrt{9m^6n^4(m + n)^{18}}\)
- Відповідь
-
\(3m^3n^2(m + n)^9\)
\(\sqrt{25m^{26}n^{42}r^{66}s^{84}}\)
\(\sqrt{(f-2)^2(g+6)^4}\)
- Відповідь
-
\((f-2)(g+6)^4\)
\(\sqrt{(2c - 3)^6 + (5c + 1)^2}\)
\(-\sqrt{64r^4s^{22}}\)
- Відповідь
-
\(-8r^2s^{11}\)
\(-\sqrt{121a^6(a-4)^8}\)
\(-[-\sqrt{(w+6)^2}]\)
- Відповідь
-
\(w + 6\)
\(-[-\sqrt{4a^2b^2(c^2 + 8)^2}]\)
\(\sqrt{1.21h^4k^4}\)
- Відповідь
-
\(1.1h^2k^2\)
\(\sqrt{2.25m^6p^6}\)
\(-\sqrt{\dfrac{169a^2b^4c^6}{196x^4y^6z^8}}\)
- Відповідь
-
\(-\dfrac{12ab^2c^3}{14x^2y^3z^4}\)
\(-[\sqrt{\dfrac{81y^4(z-1)^2}{225x^8z^4w^6}}]\)
Вправи для рецензування
Знайдіть частку. \(\dfrac{x^2 - 1}{4x^2 - 1} \div \dfrac{x-1}{2x + 1}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x+1}{2x-1}\)
Знайти суму. \(\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{3}{x+1} + \dfrac{2}{x^2 - 1}\)
Вирішіть рівняння, якщо це можливо:\(\dfrac{1}{x-2} = \dfrac{3}{x^2 - x - 2} - \dfrac{3}{x+1}\)
- Відповідь
-
Ніякого розчину;\(x=2\) виключається.
Виконуємо поділ:\(\dfrac{15x^3 - 5x^2 + 10x}{5x}\)
Виконуємо поділ:\(\dfrac{x^3 - 5x^2 + 13x - 21}{x-3}\)
- Відповідь
-
\(x^2 - 2x + 7\)