Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.8: Використовуйте радикали у функціях

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59606

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    До кінця цього розділу ви зможете:

    • Оцініть радикальну функцію
    • Знайти область радикальної функції
    • Радикальні функції графа

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Вирішити:\(1−2x≥0\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.50.
    2. Для\(f(x)=3x−4\), оцініть\(f(2),f(−1),f(0)\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.48.
    3. Графік\(f(x)=\sqrt{x}\). Вкажіть область та діапазон функції в інтервальній нотації.
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.56.

    Оцініть радикальну функцію

    У цьому розділі ми продовжимо нашу попередню роботу функціями, щоб включити радикали. Якщо функція визначається радикальним виразом, ми називаємо її радикальною функцією.

    • Функція квадратного кореня є\(f(x)=\sqrt{x}\).
    • Функція кореня куба є\(f(x)=\sqrt[3]{x}\).
    Визначення\(\PageIndex{1}\): radical function

    Радикальна функція - це функція, яка визначається радикальним виразом.

    Щоб оцінити радикальну функцію, ми знаходимо значення\(f(x)\) для заданого значення так\(x\) само, як ми робили в нашій попередній роботі з функціями.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt{2 x-1}\) знайдіть

    1. \(f(5)\)
    2. \(f(-2)\)

    Рішення:

    а.

    \(f(x)=\sqrt{2 x-1}\)

    Для оцінки\(f(5)\),\(5\) замінюємо\(x\).

    \(f(5)=\sqrt{2 \cdot 5-1}\)

    Спростити.

    \(f(5)=\sqrt{9}\)

    Візьміть квадратний корінь.

    \(f(5)=3\)

    б.

    \(f(x)=\sqrt{2 x-1}\)

    Для оцінки\(f(-2)\),\(-2\) замінюємо\(x\).

    \(f(-2)=\sqrt{2(-2)-1}\)

    Спростити.

    \(f(-2)=\sqrt{-5}\)

    Оскільки квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним числом, функція не має значення at\(x=-2\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt{3 x-2}\) знайдіть

    1. \(f(6)\)
    2. \(f(0)\)
    Відповідь
    1. \(f(6)=4\)
    2. немає значення при\(x=0\)
    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Для функції\(g(x)=\sqrt{5x+5}\) знайдіть

    1. \(g(4)\)
    2. \(g(-3)\)
    Відповідь
    1. \(g(4)=5\)
    2. немає значення при\(f(-3)\)

    Дотримуємося тієї ж процедури, щоб оцінити кубові корені.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Для функції\(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\) знайдіть

    1. \(g(14)\)
    2. \(g(-2)\)

    Рішення:

    а.

    \(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\)

    Для оцінки\(g(14)\),\(14\) замінюємо\(x\).

    \(g(14)=\sqrt[3]{14-6}\)

    Спростити.

    \(g(14)=\sqrt[3]{8}\)

    Беремо кубик кореня.

    \(g(14)=2\)

    б.

    \(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\)

    Для оцінки\(g(-2)\),\(-2\) замінюємо\(x\).

    \(g(-2)=\sqrt[3]{-2-6}\)

    Спростити.

    \(g(-2)=\sqrt[3]{-8}\)

    Беремо кубик кореня.

    \(g(-2)=-2\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Для функції\(g(x)=\sqrt[3]{3 x-4}\) знайдіть

    1. \(g(4)\)
    2. \(g(1)\)
    Відповідь
    1. \(g(4)=2\)
    2. \(g(1)=-1\)
    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Для функції\(h(x)=\sqrt[3]{5 x-2}\) знайдіть

    1. \(h(2)\)
    2. \(h(-5)\)
    Відповідь
    1. \(h(2)=2\)
    2. \(h(-5)=-3\)

    Наступний приклад має четверте коріння.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\) знайдіть

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(-12)\)

    Рішення:

    а.

    \(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\)

    Для оцінки\(f(4)\),\(4\) замінюємо\(x\).

    \(f(4)=\sqrt[4]{5 \cdot 4-4}\)

    Спростити.

    \(f(4)=\sqrt[4]{16}\)

    Візьміть четвертий корінь.

    \(f(4)=2\)

    б.

    \(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\)

    Для оцінки\(f(-12)\),\(-12\) замінюємо\(x\).

    \(f(-12)=\sqrt[4]{5(-12)-4}\)

    Спростити.

    \(f(-12)=\sqrt[4]{-64}\)

    Оскільки четвертий корінь від'ємного числа не є дійсним числом, функція не має значення at\(x=-12\).

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt[4]{3 x+4}\) знайдіть

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(-1)\)
    Відповідь
    1. \(f(4)=2\)
    2. \(f(-1)=1\)
    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Для функції\(g(x)=\sqrt[4]{5 x+1}\) знайдіть

    1. \(g(16)\)
    2. \(g(3)\)
    Відповідь
    1. \(g(16)=3\)
    2. \(g(3)=2\)

    Знайти область радикальної функції

    Щоб знайти область і діапазон радикальних функцій, ми використовуємо наші властивості радикалів. Для радикала з парним індексом, ми сказали, що радиканд повинен бути більше або дорівнює нулю, оскільки парні корені від'ємних чисел не є дійсними числами. Для непарного індексу радиканд може бути будь-яким дійсним числом. Ми повторюємо властивості тут для довідки.

    Властивості\(\sqrt[n]{a}\)

    Коли\(n\) парне число і:

    • \(a \geq 0\), то\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом.
    • \(a<0\), то не\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом.

    Коли\(n\) є непарним числом,\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом для всіх значень\(a\).

    Отже, щоб знайти область радикальної функції з парним індексом, встановимо радиканд більше або дорівнює нулю. Для непарного радикала індексу радикад може бути будь-яким дійсним числом.

    Домен радикальної функції

    Коли показник радикала парний, радикаі повинен бути більше або дорівнює нулю.

    Коли індекс радикала непарний, радикаі може бути будь-яким дійсним числом.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть домен функції,\(f(x)=\sqrt{3 x-4}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Рішення:

    Так як функція,\(f(x)=\sqrt{3 x-4}\) має радикал з індексом\(2\), який парний, ми знаємо, радиканд повинен бути більше або дорівнює\(0\). Ми встановлюємо радиканд більше або дорівнює,\(0\) а потім вирішуємо, щоб знайти домен.

    Вирішити.

    \(\begin{aligned} 3 x-4 & \geq 0 \\ 3 x & \geq 4 \\ x & \geq \frac{4}{3} \end{aligned}\)

    Домен всіх значень\(f(x)=\sqrt{3 x-4}\),\(x \geq \frac{4}{3}\) і ми запишемо його в інтервальне позначення як\(\left[\frac{4}{3}, \infty\right)\).

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть домен функції,\(f(x)=\sqrt{6 x-5}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Відповідь

    \(\left[\frac{5}{6}, \infty\right)\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть домен функції,\(f(x)=\sqrt{4-5 x}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Відповідь

    \(\left(-\infty, \frac{4}{5}\right]\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть домен функції,\(g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Рішення:

    Вирішити функцію,\(g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}\) має радикал з індексом\(2\), який парний, ми знаємо радиканд повинен бути більше або дорівнює\(0\).

    Радиканд не може бути нулем, оскільки чисельник не дорівнює нулю.

    \(\frac{6}{x-1}\)Щоб бути більшим за нуль, знаменник повинен бути додатним, оскільки чисельник є додатним. Ми знаємо, що позитив, розділений на позитив, є позитивним.

    Ставимо\(x-1>0\) і вирішуємо.

    \(x-1>0\)

    Вирішити.

    \(x>1\)

    Крім того, оскільки радиканд - це дріб, ми повинні розуміти, що знаменник не може бути нулем.

    Вирішуємо\(x-1=0\) знайти значення, яке необхідно виключити з домену.

    \(x-1=0\)

    Вирішити.

    \(x=1\)так\(x/neq 1\) в домені.

    Збираючи це разом, ми отримуємо домен,\(x>1\) і ми пишемо його як\((1, \infty)\).

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Знайдіть домен функції,\(f(x)=\sqrt{\frac{4}{x+3}}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Відповідь

    \((-3, \infty)\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Знайдіть домен функції,\(h(x)=\sqrt{\frac{9}{x-5}}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Відповідь

    \((5, \infty)\)

    Наступний приклад передбачає кубічний корінь і тому зажадає різного мислення.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Знайдіть домен функції,\(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Рішення:

    Оскільки функція,\(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\) має радикал з індексом\(3\), який непарний, ми знаємо радиканд може бути будь-яким дійсним числом. Це говорить нам, що домен - це будь-яке реальне число. У інтервальних позначеннях пишемо\((-\infty, \infty)\).

    Домен всіх дійсних\(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\) чисел, і ми записуємо його в інтервальне позначення як\((-\infty, \infty)\).

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Знайдіть домен функції,\(f(x)=\sqrt[3]{3 x^{2}-1}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Відповідь

    \((-\infty, \infty)\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Знайдіть домен функції,\(g(x)=\sqrt[3]{5 x-4}\). Запишіть домен в інтервальне позначення.

    Відповідь

    \((-\infty, \infty)\)

    Радикальні функції графа

    Перш ніж ми графуємо будь-яку радикальну функцію, спочатку знайдемо область функції. Для функції індекс парний, і тому радиканд повинен бути більше або дорівнює\(0\).\(f(x)=\sqrt{x}\)

    Це говорить нам про домен,\(x≥0\) і ми пишемо це в інтервалі позначення як\([0,∞)\).

    Раніше ми використовували точкове побудова графіків для графіка функції,\(f(x)=\sqrt{x}\). Ми вибрали\(x\) -values, підставили їх в а потім створили діаграму. Зверніть увагу, що ми вибрали точки, які є ідеальними квадратами, щоб полегшити прийняття квадратного кореня.

    На малюнку показаний графік функції квадратного кореня на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від 0 до 7. Вісь Y проходить від 0 до 7. Функція має початкову точку в (0, 0) і проходить через точки (1, 1) і (4, 2). Поруч із графіком показано таблицю з 3 стовпцями та 5 рядками. Перший рядок є рядком заголовка з виразами “xâ€, “f (x) = квадратний корінь xâ€, і â€( x, f (x)) â€. Другий рядок містить цифри 0, 0 та (0, 0). Третій ряд має цифри 1, 1, і (1, 1). Четвертий ряд має цифри 4, 2, і (4, 2). П'ятий ряд має цифри 9, 3, і (9, 3).
    Малюнок 8.7.1

    Як тільки ми побачимо графік, ми можемо знайти діапазон функції. \(y\)Значення функції більше або рівні нулю. Діапазон тоді є\([0,∞)\).

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt{x+3}\),

    1. знайти домен
    2. графік функції
    3. використовувати графік для визначення діапазону

    Рішення:

    1. Так як радикал має індекс\(2\), ми знаємо радикаі повинен бути більше або дорівнює нулю. Якщо\(x+3 \geq 0\), то\(x \geq-3\). Це говорить нам, що домен - це всі значення\(x \geq-3\) і записуються в інтервальних позначеннях як\([-3, \infty)\).
    2. Для графіка функції ми вибираємо точки в інтервалі\([-3, \infty)\), який також дасть нам радикаі який буде легко взяти квадратний корінь.
    На малюнку показано графік функції квадратного кореня на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 3 до 3. Вісь Y проходить від 0 до 7. Функція має початкову точку в (негативний 3, 0) і проходить через точки (негативні 2, 1) і (1, 2). Поруч із графіком показано таблицю з 3 стовпцями та 5 рядками. Перший рядок є рядком заголовка з виразами “xâ€, “f (x) = квадратний корінь кількості x плюс 3â€, і “( x, f (x)) â€. Другий рядок містить числа від'ємні 3, 0 та (від'ємні 3, 0). Третій ряд має числа від'ємні 2, 1 і (від'ємні 2, 1). Четвертий ряд має цифри 1, 2, і (1, 2). П'ятий ряд має цифри 6, 3, і (6, 3).
    Малюнок 8.7.2

    c Дивлячись на графік, ми бачимо\(y\) -значення функції більше або рівні нулю. Діапазон тоді є\([0, \infty)\).

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt{x+2}\),

    1. знайти домен
    2. графік функції
    3. використовувати графік для визначення діапазону
    Відповідь
    1. домен:\([-2, \infty)\)

    2. На малюнку показано графік функції квадратного кореня на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 2 до 6. Вісь Y працює від 0 до 8. Функція має початкову точку в (негативний 2, 0) і проходить через точки (негативні 1, 1) і (2, 2).
      Малюнок 8.7.3
    3. діапазон:\([0, \infty)\)
    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt{x-2}\),

    1. знайти домен
    2. графік функції
    3. використовувати графік для визначення діапазону
    Відповідь
    1. домен:\([2, \infty)\)

    2. На малюнку показано графік функції квадратного кореня на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від 0 до 8. Вісь Y працює від 0 до 6. Функція має початкову точку в (2, 0) і проходить через точки (3, 1) і (6, 2).
      Малюнок 8.7.4
    3. діапазон:\([0, \infty)\)

    У нашій попередній роботі графічні функції, ми графували,\(f(x)=x^{3}\) але ми не графували функцію\(f(x)=\sqrt[3]{x}\). Ми зробимо це зараз в наступному прикладі.

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt[3]{x}\),

    1. знайти домен
    2. графік функції
    3. використовувати графік для визначення діапазону

    Рішення:

    а Оскільки радикал має індекс\(3\), ми знаємо радиканд може бути будь-яким дійсним числом. Це говорить нам, що домен - це всі дійсні числа і записуються в інтервальних позначеннях як\((-\infty, \infty)\)

    б Для графіка функції ми вибираємо точки в інтервалі\((-\infty, \infty)\), який також дасть нам радикаі який буде легко взяти кубічний корінь.

    На малюнку показаний графік функції кореня куба на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y проходить від негативних 10 до 10. Функція має центральну точку в (0, 0) і проходить через точки (1, 1), (негативний 1, негативний 1), (8, 2) і (негативний 8, негативний 2). Поруч із графіком показано таблицю з 3 стовпцями та 6 рядками. Перший рядок є рядком заголовка з виразами “xâ€, “f (x) = кубичний корінь xâ€, і â€( x, f (x)) â€. Другий ряд має числа від'ємні 8, від'ємні 2 і (від'ємні 8, від'ємні 2). Третій рядок містить числа від'ємний 1, від'ємний 1 і (від'ємний 1, від'ємний 1). Четвертий ряд має цифри 0, 0 і (0, 0). П'ятий ряд має цифри 1, 1, і (1, 1). Шостий ряд має цифри 8, 2, і (8, 2).
    Малюнок 8.7.5

    c Дивлячись на графік, ми бачимо\(y\) -значення функції - це всі дійсні числа. Діапазон тоді є\((-\infty, \infty)\).

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Для функції\(f(x)=-\sqrt[3]{x}\),

    1. знайти домен
    2. графік функції
    3. використовувати графік для визначення діапазону
    Відповідь
    1. домен:\((-\infty, \infty)\)

    2. На малюнку показано графік функції кореня куба на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 2 до 2. Вісь Y проходить від негативних 2 до 2. Функція має центральну точку в (0, 0) і проходить через точки (1, негативний 1) і (негативний 1, 1).
      Малюнок 8.7.6
    3. діапазон:\((-\infty, \infty)\)
    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Для функції\(f(x)=\sqrt[3]{x-2}\),

    1. знайти домен
    2. графік функції
    3. використовувати графік для визначення діапазону
    Відповідь
    1. домен:\((-\infty, \infty)\)

    2. На малюнку показано графік функції кореня куба на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативного 1 до 5. Вісь Y проходить від негативних 3 до 3. Функція має центральну точку в (2, 0) і проходить через точки (1, негативний 1) і (3, 2).
      Малюнок 8.7.7
    3. діапазон:\((-\infty, \infty)\)

    Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з радикальними функціями.

    • Домен радикальної функції
    • Домен радикальної функції 2
    • Пошук області радикальної функції

    Ключові поняття

    • Властивості\(\sqrt[n]{a}\)
      • Коли\(n\) - парне число і:
        \(a≥0\),\(\sqrt[n]{a}\) то дійсне число.
        \(a<0\), то не\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом.
      • Коли\(n\) є непарним числом,\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом для всіх значень\(a\).
    • Домен радикальної функції
      • Коли показник радикала парний, радикаі повинен бути більше або дорівнює нулю.
      • Коли індекс радикала непарний, радикаі може бути будь-яким дійсним числом.

    Глосарій

    радикальна функція
    Радикальна функція - це функція, яка визначається радикальним виразом.