3.1: Показники та коріння
- Page ID
- 57387
Цілі навчання
- розуміти і вміти читати експоненціальні позначення
- зрозуміти поняття root і вміти читати кореневі позначення
- вміти використовувати калькулятор, який має\(y^x\) ключ для визначення кореня
Експоненціальне позначення
Визначення: Експоненціальне позначення
Ми відзначили, що множення - це опис повторного додавання. Експоненціальне позначення - це опис повторного множення.
Припустимо, у нас є повторне множення
\(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8\)
Визначення: Показник
Фактор 8 повторюється 5 разів. Експоненціальне позначення використовує верхній індекс для кількості повторень множника. Верхній індекс ставиться на повторюваний коефіцієнт\(8^5\), в даному випадку. Верхній індекс називається експонентою.
Визначення: Функція експоненти
Показник фіксує кількість однакових факторів, які повторюються при множенні.
Набір зразків A
Запишіть наступне множення за допомогою показників.
\(3 \cdot 3\). Оскільки фактор 3 з'являється 2 рази, ми записуємо це як
Рішення
\(3^2\)
Набір зразків A
\(62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62\). Оскільки фактор 62 з'являється 9 разів, ми записуємо це як
Рішення
\(62^9\)
Розгорніть (запишіть без показників) кожне число.
Набір зразків A
\(12^4\). Показник 4 записує 4 множники 12 в множенні. Таким чином,
Рішення
\(12^4 = 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12\)
Набір зразків A
\(706^3\). Показник 3 записує 3 множники 706 в множенні. Таким чином,
Рішення
\(706^3 = 706 \cdot 706 \cdot 706\)
Практика Set A
Запишіть наступне за допомогою експонентів.
\(37 \cdot 37\)
- Відповідь
-
\(37^2\)
Практика Set A
\(16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16\)
- Відповідь
-
\(16^5\)
Практика Set A
\(9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9\)
- Відповідь
-
\(9^{10}\)
Напишіть кожне число без показників.
Практика Set A
\(85^3\)
- Відповідь
-
\(85 \cdot 85 \cdot 85\)
Практика Set A
\(4^7\)
- Відповідь
-
\(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4\)
Практика Set A
\(1,739^2\)
- Відповідь
-
\(1,739 \cdot 1,739\)
Читання експоненціальних позначень
У ряді таких як\(8^5\).
Підстава
8 називається підставою.
Показник, Потужність
5 називається експонентою, або потужністю. \(8^5\)читається як «вісім до п'ятої влади», або простіше, як «вісім до п'ятої», або «п'ята влада восьми».
У квадраті
Коли ціле число піднімається до другого ступеня, кажуть, що це квадрат. Число\(5^2\) можна прочитати як
5 до другої потужності, або
5 до другої, або
5 в квадраті.
Кубічний Коли ціле число піднімається до третьої потужності, кажуть, що воно кубічне. Число\(5^3\) можна прочитати як
5 до третьої потужності, або
5 до третьої, або
5 кубічних.
Коли ціле число піднімається до ступеня 4 або вище, ми просто говоримо, що це число підвищується до цієї конкретної потужності. Число\(5^8\) можна прочитати як
5 до восьмої потужності, або просто
5 до восьмої.
Коріння
В англійській мові слово «root» може означати джерело чогось. У математичному плані слово «корінь» використовується для позначення того, що одне число є джерелом іншого числа шляхом повторного множення.
Квадратний корінь
Ми знаємо\(49 = 7^2\), що, тобто\(49 = 7 \cdot 7\). Через повторне множення, 7 є джерелом 49. Таким чином, 7 - це корінь з 49. Оскільки два 7 повинні бути помножені разом, щоб отримати 49, то 7 називається другим або квадратним коренем 49.
Кубик Корінь
Ми знаємо\(8 = 2^3\), що, тобто\(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\). Через повторне множення, 2 є джерелом 8. Таким чином, 2 - це корінь з 8. Оскільки три 2 повинні бути помножені разом, щоб отримати 8, 2 називається третім або кубовим коренем 8.
Ми можемо продовжувати цей шлях, щоб побачити такі корені, як четверте коріння, п'яте коріння, шосте коріння і так далі.
Читання кореневих позначень
Існує символ, який використовується для позначення коренів числа. Його називають радикальним знаком\(\sqrt[n]{\ \ \ \ }\)
Радикальний знак\(\sqrt[n]{\ \ \ \ }\)
Символ\(\sqrt[n]{\ \ \ \ }\) називається радикальним знаком і позначає n-й корінь числа.
Ми обговорюємо конкретні корені за допомогою радикального знака наступним чином:
Квадратний корінь
\(\sqrt[2]{\text{number}}\) позначає квадратний корінь числа під знаком радикала. Прийнято опускати 2 в прикорінний знак при обговоренні квадратних коренів. Під символом\(\sqrt{\ \ \ \ }\) розуміється квадратний корінь радикальний знак.
\(\sqrt{49} = 7\)так як\(7 \cdot 7 = 7^2 = 49\)
Cube Root
\(\sqrt[3]{\text{number}}\) вказує кубічний корінь числа під знаком радикала.
\(\sqrt[3]{8} = 2\)так як\(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8\)
Четвертий Корінь
\(\sqrt[4]{\text{number}}\) вказує на четвертий корінь числа під знаком радикала.
\(\sqrt[4]{81} = 3\)так як\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81\)
в такому вираженні, як\(\sqrt[5]{32}\)
\(\sqrt{\ \ \ \ }\)Радикальний знак називають радикальним знаком.
Індекс
5 називається індексом. (Індекс описує вказаний корінь.)
Радиканд 32 називається радикандом.
Радикальним
\(\sqrt[5]{32}\) називають радикальним (або радикальним виразом).
Набір зразків B
Знайдіть кожен корінь.
\(\sqrt{25}\)Щоб визначити квадратний корінь з 25, ми запитуємо: «Яке ціле число в квадраті дорівнює 25?» З нашого досвіду з множенням ми знаємо, що це число дорівнює 5. Таким чином,
Рішення
\(\sqrt{25} = 5\)
Перевірка:\(5 \cdot 5 = 5^2 = 25\)
Набір зразків B
\(\sqrt[5]{32}\)Щоб визначити п'ятий корінь з 32, ми запитуємо: «Яке ціле число, підняте до п'ятої влади, дорівнює 32?» Це число 2.
Рішення
\(\sqrt[5]{32} = 2\)
Перевірка:\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32\)
Практика Set B
Знайдіть наступні корені, використовуючи лише знання множення.
\(\sqrt{64}\)
- Відповідь
-
8
Практика Set B
\(\sqrt{100}\)
- Відповідь
-
10
Практика Set B
\(\sqrt[3]{64}\)
- Відповідь
-
4
Практика Set B
\(\sqrt[6]{64}\)
- Відповідь
-
2
Калькулятори
Калькулятори з\(1/x\) клавішами\(\sqrt{x}\)\(y^x\), і можуть бути використані для пошуку або наближення коренів.
Набір зразків C
Скористайтеся калькулятором, щоб знайти\(\sqrt{121}\)
Рішення
| Дисплей Читає | ||
| Тип | 121 | 121 |
| Преса | \(\sqrt{x}\) | 11 |
Набір зразків C
Знайти\(\sqrt[7]{2187}\).
Рішення
| Дисплей Читає | ||
| Тип | 2187 | 2187 |
| Преса | \(y^x\) | 2187 |
| Тип | 7 | 7 |
| Преса | \(1/x\) | .1428 5714 |
| Преса | = | 3 |
\(\sqrt[3]{2187} = 3\)(що означає, що\(3^7 = 2187\))
Практика Set C
Використовуйте калькулятор, щоб знайти наступні корені.
\(\sqrt[3]{729}\)
- Відповідь
-
9
Практика Set C
\(\sqrt[4]{8503056}\)
- Відповідь
-
54
Практика Set C
\(\sqrt{53361}\)
- Відповідь
-
231
Практика Set C
\(\sqrt[12]{16777216}\)
- Відповідь
-
4
Вправи
Для наступних завдань запишіть вирази за допомогою експоненціальних позначень.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
\(4 \cdot 4\)
- Відповідь
-
\(4^2\)
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\(12 \cdot 12\)
Вправа\(\PageIndex{3}\)
\(9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9\)
- Відповідь
-
\(9^4\)
Вправа\(\PageIndex{4}\)
\(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\)
Вправа\(\PageIndex{5}\)
\(826 \cdot 826 \cdot 826\)
- Відповідь
-
\(826^3\)
Вправа\(\PageIndex{6}\)
\(3,021 \cdot 3,021 \cdot 3,021 \cdot 3,021 \cdot 3,021\)
Вправа\(\PageIndex{7}\)
\(\begin{matrix} \underbrace{6 \cdot 6 \cdots\cdots 6} \\ {\text{85 factors of 6}} \end{matrix}\)
- Відповідь
-
\(6^{85}\)
Вправа\(\PageIndex{8}\)
\(\begin{matrix} \underbrace{2 \cdot 2 \cdots\cdots 2} \\ {\text{112 factors of 2}} \end{matrix}\)
Вправа\(\PageIndex{9}\)
\(\begin{matrix} \underbrace{1 \cdot 1 \cdots\cdots 1} \\ {\text{3,008 factors of 1}} \end{matrix}\)
- Відповідь
-
\(1^{3008}\)
Для наступних проблем розгорніть терміни. (Не знайдіть фактичне значення.)
Вправа\(\PageIndex{10}\)
\(5^3\)
Вправа\(\PageIndex{11}\)
\(7^4\)
- Відповідь
-
\(7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7\)
Вправа\(\PageIndex{12}\)
\(15^2\)
Вправа\(\PageIndex{13}\)
\(117^5\)
- Відповідь
-
\(117 \cdot 117 \cdot 117 \cdot 117 \cdot 117\)
Вправа\(\PageIndex{14}\)
\(61^6\)
Вправа\(\PageIndex{15}\)
\(30^2\)
- Відповідь
-
\(30 \cdot 30\)
Для наступних завдань визначте значення кожної з повноважень. Використовуйте калькулятор, щоб перевірити кожен результат.
Вправа\(\PageIndex{16}\)
\(3^2\)
Вправа\(\PageIndex{17}\)
\(4^2\)
- Відповідь
-
\(4 \cdot 4 = 16\)
Вправа\(\PageIndex{18}\)
\(1^2\)
Вправа\(\PageIndex{19}\)
\(10^2\)
- Відповідь
-
\(10 \cdot 10 = 100\)
Вправа\(\PageIndex{20}\)
\(11^2\)
Вправа\(\PageIndex{21}\)
\(12^2\)
- Відповідь
-
\(12 \cdot 12 = 144\)
Вправа\(\PageIndex{22}\)
\(13^2\)
Вправа\(\PageIndex{23}\)
\(15^2\)
- Відповідь
-
\(15 \cdot 15 = 225\)
Вправа\(\PageIndex{24}\)
\(1^4\)
Вправа\(\PageIndex{25}\)
\(3^4\)
- Відповідь
-
\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)
Вправа\(\PageIndex{26}\)
\(7^3\)
Вправа\(\PageIndex{27}\)
\(10^3\)
- Відповідь
-
\(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\)
Вправа\(\PageIndex{28}\)
\(100^2\)
Вправа\(\PageIndex{29}\)
\(8^3\)
- Відповідь
-
\(8 \cdot 8 \cdot 8 = 512\)
Вправа\(\PageIndex{30}\)
\(5^5\)
Вправа\(\PageIndex{31}\)
\(9^3\)
- Відповідь
-
\(9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\)
Вправа\(\PageIndex{32}\)
\(6^2\)
Вправа\(\PageIndex{33}\)
\(7^1\)
- Відповідь
-
\(7^1 = 7\)
Вправа\(\PageIndex{34}\)
\(1^{28}\)
Вправа\(\PageIndex{35}\)
\(2^7\)
- Відповідь
-
\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128\)
Вправа\(\PageIndex{36}\)
\(0^5\)
Вправа\(\PageIndex{37}\)
\(8^4\)
- Відповідь
-
\(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 4,096\)
Вправа\(\PageIndex{38}\)
\(5^8\)
Вправа\(\PageIndex{39}\)
\(6^9\)
- Відповідь
-
\(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 10,077,696\)
Вправа\(\PageIndex{40}\)
\(25^3\)
Вправа\(\PageIndex{41}\)
\(42^2\)
- Відповідь
-
\(42 \cdot 42 = 1,764\)
Вправа\(\PageIndex{42}\)
\(31^3\)
Вправа\(\PageIndex{43}\)
\(15^5\)
- Відповідь
-
\(15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15 = 759,375\)
Вправа\(\PageIndex{44}\)
\(2^{20}\)
Вправа\(\PageIndex{45}\)
\(816^2\)
- Відповідь
-
\(816 \cdot 816 = 665,856\)
Для наступних проблем знайдіть коріння (використовуючи свої знання про множення). Використовуйте калькулятор, щоб перевірити кожен результат.
Вправа\(\PageIndex{46}\)
\(\sqrt{9}\)
Вправа\(\PageIndex{47}\)
\(\sqrt{16}\)
- Відповідь
-
4
Вправа\(\PageIndex{48}\)
\(\sqrt{36}\)
Вправа\(\PageIndex{49}\)
\(\sqrt{64}\)
- Відповідь
-
8
Вправа\(\PageIndex{50}\)
\(\sqrt{121}\)
Вправа\(\PageIndex{51}\)
\(\sqrt{144}\)
- Відповідь
-
12
Вправа\(\PageIndex{52}\)
\(\sqrt{169}\)
Вправа\(\PageIndex{53}\)
\(\sqrt{225}\)
- Відповідь
-
15
Вправа\(\PageIndex{54}\)
\(\sqrt[3]{27}\)
Вправа\(\PageIndex{55}\)
\(\sqrt[5]{32}\)
- Відповідь
-
2
Вправа\(\PageIndex{56}\)
\(\sqrt[7]{1}\)
Вправа\(\PageIndex{57}\)
\(\sqrt{400}\)
- Відповідь
-
20
Вправа\(\PageIndex{58}\)
\(\sqrt{900}\)
Вправа\(\PageIndex{59}\)
\(\sqrt{10,000}\)
- Відповідь
-
100
Вправа\(\PageIndex{60}\)
\(\sqrt{324}\)
Вправа\(\PageIndex{61}\)
\(\sqrt{3,600}\)
- Відповідь
-
60
Для наступних завдань скористайтеся калькулятором з ключами\(\sqrt{x}\)\(y^x\), і\(1/x\) щоб знайти кожне з значень.
Вправа\(\PageIndex{62}\)
\(\sqrt{676}\)
Вправа\(\PageIndex{63}\)
\(\sqrt{1,156}\)
- Відповідь
-
34
Вправа\(\PageIndex{64}\)
\(\sqrt{46,225}\)
Вправа\(\PageIndex{65}\)
\(\sqrt{17,288,964}\)
- Відповідь
-
4 158
Вправа\(\PageIndex{66}\)
\(\sqrt[3]{3,375}\)
Вправа\(\PageIndex{67}\)
\(\sqrt[4]{331,776}\)
- Відповідь
-
24
Вправа\(\PageIndex{68}\)
\(\sqrt[8]{5,764,801}\)
Вправа\(\PageIndex{69}\)
\(\sqrt[12]{16,777,216}\)
- Відповідь
-
4
Вправа\(\PageIndex{70}\)
\(\sqrt[8]{16,777,216}\)
Вправа\(\PageIndex{71}\)
\(\sqrt[10]{9,765,625}\)
- Відповідь
-
5
Вправа\(\PageIndex{72}\)
\(\sqrt[4]{160,000}\)
Вправа\(\PageIndex{73}\)
\(\sqrt[3]{531,441}\)
- Відповідь
-
81
Вправи для огляду
Вправа\(\PageIndex{74}\)
Використовуйте числа 3, 8 і 9, щоб проілюструвати асоціативну властивість додавання.
Вправа\(\PageIndex{75}\)
У множенні вкажіть ім'я\(8 \cdot 4 = 32\), дане числам 8 і 4.
- Відповідь
-
81
Вправа\(\PageIndex{76}\)
Чи\(15 \div 0\) існує частка? Якщо так, то що це таке?
Вправа\(\PageIndex{77}\)
Чи\(0 \div 15\) існує частка? Якщо так, то що це таке?
- Відповідь
-
Так; 0
Вправа\(\PageIndex{78}\)
Використовуйте числа 4 і 7, щоб проілюструвати комутативну властивість множення.