8: Нелінійні системи
- Page ID
- 61703
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Лінійних рівнянь вистачає в багатьох додатках, але насправді більшість явищ вимагають нелінійних рівнянь. Однак нелінійні рівняння, як відомо, складніші для розуміння, ніж лінійні, і багато дивних нових явищ з'являються, коли ми дозволяємо нашим рівнянням бути нелінійними.
- 8.1: Лінеаризація, критичні точки та рівноваги
- Нелінійні рівняння часто можуть бути апроксимовані лінійними, якщо нам потрібно тільки рішення «локально», наприклад, лише на короткий проміжок часу, або тільки для певних параметрів. Розуміння лінійних рівнянь також може дати нам якісне розуміння більш загальної нелінійної задачі. Ідея схожа на те, що ви зробили в обчисленні, намагаючись наблизити функцію лінією з правильним нахилом.
- 8.2: Стабільність та класифікація ізольованих критичних точок
- Критична точка ізолюється, якщо вона є єдиною критичною точкою в якомусь невеликому «сусідстві» точки. Тобто, якщо ми збільшимо досить далеко, це єдина критична точка, яку ми бачимо. У наведеному вище прикладі критична точка була виділена. Якби з іншого боку була б ціла крива критичних точок, то вона не була б ізольована.
- 8.3: Застосування нелінійних систем
- У цьому розділі ми вивчимо два дуже стандартних приклади нелінійних систем. Спочатку ми розглянемо нелінійне рівняння маятника. Ми бачили лінеаризацію рівняння маятника раніше, але ми зазначили, що це справедливо лише для малих кутів і коротких часів. Зараз ми з'ясуємо, що відбувається при великих кутах. Далі ми розглянемо рівняння хижака-здобич, яке знаходить різні застосування в моделюючих задачах в біології, хімії, економіці та інших місцях.
- 8.4: Обмеження циклів
- Для нелінійних систем траєкторії не просто потрібно наближатися або залишати одну точку. Насправді вони можуть наблизитися до більшого набору, наприклад, кола або іншої замкнутої кривої.
- 8.5: Хаос
- Математичний хаос насправді не хаос, є точний порядок за лаштунками. Все ще детерміновано. Однак хаотична система надзвичайно чутлива до початкових умов. Це також означає, що навіть невеликі помилки, викликані числовим наближенням, дуже швидко створюють великі помилки, тому їх майже неможливо наблизити протягом тривалого часу. Це значна частина неприємностей, оскільки хаотичні системи взагалі не можуть бути вирішені аналітично.
- 8.E: Нелінійні рівняння (вправи)
- Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів-інженерів. Обов'язковою умовою курсу є основна послідовність обчислення.
Мініатюра: подвійний стрижень маятника анімації, що показує хаотичну поведінку. Запуск маятника з дещо іншого початкового стану призведе до зовсім іншої траєкторії. Подвійний стрижневий маятник - одна з найпростіших динамічних систем, що має хаотичні рішення. (Громадське надбання; Catslash).