8.2: Стабільність та класифікація ізольованих критичних точок

Ізольовані критичні точки та майже лінійні системи

Критична точка ізолюється, якщо вона є єдиною критичною точкою в якомусь невеликому «сусідстві» точки. Тобто, якщо ми збільшимо досить далеко, це єдина критична точка, яку ми бачимо. У наведеному вище прикладі критична точка була виділена. Якби з іншого боку була б ціла крива критичних точок, то вона не була б ізольована.

Система називається майже лінійної (в критичній точці)\((x_0,y_0)\)) if the critical point is isolated and the Jacobian at the point is invertible, or equivalently if the linearized system has an isolated critical point. In such a case, the nonlinear terms will be very small and the system will behave like its linearization, at least if we are close to the critical point.

Зокрема, система, яку ми щойно бачили в прикладах 8.1.1 та 8.1.2, має дві ізольовані критичні точки.\((0,0)\) and \((0,1)\), and is almost linear at both critical points as both of the Jacobian matrices \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\) and \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) are invertible.

З іншого боку, така система, як\(x' = x^2\),\(y' = y^2\) has an isolated critical point at \((0,0)\), however the Jacobian matrix

\[\begin{bmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2y \end{bmatrix} \nonumber \]

дорівнює нулю, коли\((x,y) = (0,0)\). Therefore the system is not almost linear. Even a worse example is the system \(x' = x\),\(y' = x^2\),which does not have an isolated critical point, as \(x'\) and \(y'\) are both zero whenever \(x=0\), that is, the entire \(y\) axis.

На щастя, найчастіше критичні точки ізолюються, а система практично лінійна в критичних точках. Отже, якщо ми дізнаємося, що тут відбувається, ми розібралися з більшістю ситуацій, які виникають у додатках.

Стабільність та класифікація ізольованих критичних точок

Коли ми маємо ізольовану критичну точку, система майже лінійна в цій критичній точці, і ми обчислили пов'язану лінеаризовану систему, ми можемо класифікувати, що відбувається з рішеннями. Ми більш-менш використовуємо класифікацію для лінійних двозмінних систем з розділу 3.5, з одним незначним застереженням. Перерахуємо поведінку залежно від власних значень якобійської матриці в критичній точці в табл\(\PageIndex{1}\). Ця таблиця дуже схожа на таблицю 3.5.1, за винятком відсутніх «центральних» точок. Центри ми обговоримо пізніше, так як вони складніші.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Поведінка майже лінійної системи поблизу ізольованої критичної точки.

власні значення якобійської матриці	Поведінка	Стабільність
реальні і обидва позитивні	джерело/нестабільний вузол	нестабільний
реальні і обидва негативні	мийка/стабільний вузол	асимптотично стабільний
реальні і протилежні ознаки	сідло	нестабільний
комплекс з позитивною реальною частиною	спіральне джерело	нестабільний
комплекс з негативною реальною частиною	спіральна раковина	асимптотично стабільний

У новій третій колонці ми позначили точки як асимптотично стабільні або нестабільні. Формально стабільна критична точка\((x_0,y_0)\) is one where given any small distance \(\epsilon\) to \((x_0,y_0)\),and any initial condition within a perhaps smaller radius around \((x_0,y_0)\),the trajectory of the system will never go further away from \((x_0,y_0)\) than \(\epsilon\). An unstable critical point is one that is not stable. Informally, a point is stable if we start close to a critical point and follow a trajectory we will either go towards, or at least not get away from, this critical point.

Стабільна критична точка\((x_0,y_0)\) is called asymptotically stable if given any initial condition sufficiently close to \((x_0,y_0)\) and any solution \(\bigl( x(t), y(t) \bigr)\) given that condition, then

\[\lim_{t \to \infty} \bigl( x(t), y(t) \bigr) = (x_0,y_0) . \nonumber \]

Тобто критична точка асимптотично стабільна, якщо будь-яка траєкторія для досить близького початкового стану йде в сторону критичної точки.\((x_0,y_0)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо\(x'=-y-x^2\), \(y'=-x+y^2\). See Figure \(\PageIndex{1}\) for the phase diagram. Let us find the critical points. These are the points where \(-y-x^2 = 0\) and \(-x+y^2=0\). The first equation means \(y = -x^2\), and so \(y^2 = x^4\). Plugging into the second equation we obtain \(-x+x^4 = 0\). Factoring we obtain \(x(1-x^3)=0\). Since we are looking only for real solutions we get either \(x=0\) or \(x=1\). Solving for the corresponding \(y\) using \(y = -x^2\),we get two critical points, one being \((0,0)\) and the other being \((1,-1)\). Clearly the critical points are isolated. Let us compute the Jacobian matrix:

\[\begin{bmatrix}-2x & -1 \\-1 & 2y\end{bmatrix} . \nonumber \]

У точці\((0,0)\) we get the matrix \(\left[ \begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix} \right]\) and so the two eigenvalues are \(1\) and \(-1\). As the matrix is invertible, the system is almost linear at \((0,0)\). As the eigenvalues are real and of opposite signs, we get a saddle point, which is an unstable equilibrium point.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Фазовий портрет з кількома траєкторіями вибірки\(x'=-y-x^{2}\),\(y'=-x+y^{2}\).

У точці\((1,-1)\) we get the matrix \(\left[ \begin{smallmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -2 \end{smallmatrix} \right]\) і обчисленні власних значень ми отримуємо\(-1\),\(-3\).The matrix is invertible, and so the system is almost linear at \((1,-1)\). As we have real власні значення як негативні, критична точка - раковина, а значить і асимптотично стійка точка рівноваги. Тобто, якщо ми почнемо з будь-якої точки\((x_i,y_i)\) close to \((1,-1)\) as an initial condition and plot a trajectory, it will approach \((1,-1)\). In other words,

\[\lim_{t \to \infty} \bigl( x(t), y(t) \bigr) = (1,-1) . \nonumber \]

Як видно з діаграми, така поведінка вірно навіть для деяких початкових точок, досить далеких від\((1,-1)\),but it is definitely not true for all initial points.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Давайте подивимося на\(x'=y+y^2e^x\), \(y'=x\). First let us find the critical points. These are the points where \(y+y^2e^x = 0\) and \(x=0\). Simplifying we get \(0=y+y^2 = y(y+1)\). So the critical points are \((0,0)\) and \((0,-1)\),and hence are isolated. Let us compute the Jacobian matrix:

\[\begin{bmatrix}y^2e^x & 1+2ye^x \\1 & 0\end{bmatrix}. \nonumber \]

У точці\((0,0)\) we get the matrix \(\left[ \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right]\) and so the two eigenvalues are \(1\) and \(-1\). As the matrix is invertible, the system is almost linear at \((0,0)\). And, as the eigenvalues are real and of opposite signs, we get a saddle point, which is an unstable equilibrium point.

У точці\((0,-1)\) we get the matrix \(\left[ \begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right]\) whose eigenvalues are \(\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}\). The matrix is invertible, and so the system is almost linear at \((0,-1)\). As we have complex eigenvalues with positive real part, the critical point is a spiral source, and therefore an unstable equilibrium point.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Фазовий портрет з кількома траєкторіями вибірки\(x'=y+y^{2}e^{x}\),\(y'=x\).

Див. Малюнок\(\PageIndex{2}\) для фазової діаграми. Зверніть увагу на дві критичні точки та поведінку стрілок у векторному полі навколо цих точок.

Проблеми з центрами

Нагадаємо, лінійна система з центром означала, що траєкторії рухалися по замкнутих еліптичних орбітах в деякому напрямку навколо критичної точки. Таку критичну точку ми б назвали центром або стабільним центром. Це не була б асимптотично стабільна критична точка, оскільки траєкторії ніколи не наближаються до критичної точки, але принаймні, якщо ви почнете досить близько до критичної точки, ви залишитеся близько до критичної точки. Найпростіший приклад такої поведінки - лінійна система з центром. Інший приклад - критична точка.\((0,0)\) in Example 8.1.1.

Біда з центром в нелінійній системі полягає в тому, що чи йде траєкторія до критичної точки або від неї, регулюється знаком реальної частини власних значень якобіян. Оскільки ця реальна частина дорівнює нулю в самій критичній точці, вона може мати будь-який знак поблизу, тобто траєкторія може бути витягнута до критичної точки або від неї.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Легким прикладом, де виставляється таке проблемне поведінку, є система.\(x'=y, y' = -x+y^3\). The only critical point is the origin \((0,0)\). The Jacobian matrix is

\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 y^2 \\ \end{bmatrix} . \nonumber \]

В\((0,0)\) the Jacobian matrix is \(\left[ \begin{smallmatrix}0 & 1 \\-1 & 0 \\\end{smallmatrix} \right]\),which has eigenvalues \(\pm i\). Therefore, the linearization has a center.

Використовуючи квадратне рівняння, власні значення якобійської матриці в будь-якій точці\((x,y)\) are

\[\lambda = \frac{3}{2}y^2 \pm i \frac{\sqrt{4-9y^4}}{2} . \nonumber \]

У будь-якій точці, де\(y \not= 0\) (so at most points near the origin), the eigenvalues have a positive real part (\(y^2\) can never be negative). This positive real part will pull the trajectory away from the origin. A sample trajectory for an initial condition near the origin is given in Figure \(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Нестабільна критична точка (спіральне джерело) на початку\(x'=y\)\(y'=-x+y^{3}\), навіть якщо лінеаризація має центр.

Мораль прикладу полягає в тому, що необхідний подальший аналіз, коли лінеаризація має центр. Аналіз, як правило, буде складнішим, ніж у наведеному вище прикладі, і, швидше за все, буде включати розгляд у кожному конкретному випадку. Таке ускладнення не повинно вас дивувати. На даний момент у вашій математичній кар'єрі ви бачили багато місць, де простий тест є безрезультатним, можливо, починаючи з другого похідного тесту на максимуми або мінімуми, і вимагає більш ретельного та, можливо, спеціального аналізу ситуації.

консервативні рівняння

Рівняння форми

\[x'' + f(x) = 0 \nonumber \]

для довільної функції\(f(x)\) is called a conservative equation. For example the pendulum equation is a conservative equation. The equations are conservative as there is no friction in the system so the energy in the system is "conserved." Let us write this equation as a system of nonlinear ODE.

\[x' = y, \qquad y' = -f(x) . \nonumber \]

Ці типи рівнянь мають ту перевагу, яку ми можемо легко вирішити для їх траєкторій. Хитрість полягає в тому, щоб спочатку подумати\(y\) as a function of \(x\) for a moment. Then use the chain rule

\[x'' = y' = y \frac{dy}{dx} , \nonumber \]

де просте вказує на похідну щодо\(t\). We obtain \(y \frac{dy}{dx} + f(x) = 0\). We integrate with respect to \(x\) to get \(\int y \frac{dy}{dx} \,dx + \int f(x)\, dx = C\). In other words

\[\frac{1}{2} y^2 + \int f(x)\, dx = C . \nonumber \]

Отримано неявне рівняння для траєкторій, з різними\(C\) giving different trajectories. The value of \(C\) is conserved on any trajectory. This expression is sometimes called the Hamiltonian or the energy of the system. If you look back to Section 1.8, you will notice that \(y\frac{dy}{dx} + f(x) = 0\) is an exact equation, and we just found a potential function.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдемо траєкторії для рівняння\(x'' + x-x^2 = 0\), which is the equation from Example 8.1.1. The corresponding first order system is

\[x' = y , \qquad y' = -x+x^2 . \nonumber \]

Траєкторії задовольняють

\[\frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 = C . \nonumber \]

Вирішуємо для\(y\)

\[y = \pm \sqrt{-x^2 + \frac{2}{3} x^3 + 2C} . \nonumber \]

Поклавши ці графіки, ми отримуємо саме траєкторії на малюнку 8.1.2. Зокрема, ми помічаємо, що поблизу походження траєкторії є замкнутими кривими: вони продовжують обходити походження, ніколи не спіралі всередину або назовні. Тому ми виявили спосіб перевірити, що критична точка на\((0,0)\) is a stable center. The critical point at \((0,1)\) is a saddle as we already noticed. This example is typical for conservative equations.

Розглянемо довільне консервативне рівняння. Траєкторії задаються

\[y = \pm \sqrt{ - 2 \int f(x)\, dx + 2C} . \nonumber \]

Таким чином, всі траєкторії відображаються по всій\(x\)-axis. In particular, there can be no spiral sources nor sinks. All critical points occur when \(y=0\) (the \(x\)-axis), that is when \(x' = 0\). The critical points are simply those points on the \(x\)-axis where \(f(x) = 0\). The Jacobian matrix is

\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\-f'(x) & 0\end{bmatrix} . \nonumber \]

Таким чином, критична точка майже лінійна, якщо\(f'(x) \not= 0\) at the critical point. Let \(J\) denote the Jacobian matrix, then the eigenvalues of \(J\) are solutions to

\[0 = \det(J - \lambda I) = \lambda^2 + f'(x) . \nonumber \]

Тому\(\lambda = \pm \sqrt{-f'(x)}\). In other words, either we get real eigenvalues of opposite signs, or we get purely imaginary eigenvalues. There are only two possibilities for critical points, either an unstable saddle point, or a stable center. There are never any asymptotically stable points, sinks, or sources.