8.5: Хаос

Ви напевно чули історію про клапоть крила метелика в Амазонії, що спричиняє урагани в Північній Атлантиці. У попередньому розділі ми згадували, що невелика зміна початкових умов планет може призвести до дуже різної конфігурації планет у довгостроковій перспективі. Це приклади хаотичних систем. Математичний хаос насправді не хаос, є точний порядок за лаштунками. Все ще детерміновано. Однак хаотична система надзвичайно чутлива до початкових умов. Це також означає, що навіть невеликі помилки, викликані числовим наближенням, дуже швидко створюють великі помилки, тому їх майже неможливо наблизити протягом тривалого часу. Це значна частина неприємностей, оскільки хаотичні системи взагалі не можуть бути вирішені аналітично.

Візьмемо, наприклад, погоду. Оскільки невелика зміна початкових умов (наприклад, температура в кожній точці атмосфери) дає різко різні прогнози за відносно короткий час, ми не можемо точно передбачити погоду. Це тому, що ми насправді не знаємо точних початкових умов, ми вимірюємо температуру в декількох точках з деякою помилкою, а потім якось оцінюємо, що між ними. Ми не можемо точно виміряти вплив кожного крила метелика. Тоді ми будемо вирішувати чисельно введення нових помилок. Ось чому ви не повинні довіряти прогнозу погоди більше, ніж на кілька днів.

Ідея хаотичної поведінки була вперше помічена Едвардом Лоренцем в 1960-х роках при спробі моделювати термічно індуковану конвекцію (рух) повітря. Рівняння Лоренца дивився на форму відносно простої системи:

$$x' = -10x +10y, \quad y' = 28x-y-xz, \quad z'=-\frac{8}{3}z + xy . \nonumber$$

Невелика зміна початкових умов дає зовсім інше рішення через досить короткий час.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Дуже простим прикладом, з яким читач може експериментувати, який відображає хаотичну поведінку, є подвійний маятник. Рівняння, які керують цією системою, дещо складні, і їх виведення досить стомлююче, тому ми не будемо морочитися записувати їх. Ідея полягає в тому, щоб поставити маятник на кінець іншого маятника. Якщо подивитися на рух нижньої маси, то рух буде здаватися хаотичним. Цей тип системи є основою для цілого ряду офісних новинок настільних іграшок. Побудувати версію дуже просто. Візьміть шматок нитки і зав'яжіть дві важкі гайки в різних точках струни; один на кінці, а один трохи вище. Тепер дайте нижній гайці трохи натиснути, поки гойдалки не надто великі, а струна залишається щільною, у вас є подвійна маятникова система.

Рівняння Даффінга та дивні атрактори

Вивчимо так зване рівняння Даффінга:

$$x'' + a x' + bx + cx^3 = C \cos(\omega t) . \nonumber$$

Тут$a$, $b$, $c$, $C$, and $\omega$ are constants. You will recognize that except for the $c x^3$ term, this equation looks like a forced mass-spring system. The $c x^3$ term comes up when the spring does not exactly obey Hooke's law (which no real-world spring actually does obey exactly). When $c$ is not zero, the equation does not have a nice closed form solution, so we have to resort to numerical solutions as is usual for nonlinear systems. Not all choices of constants and initial conditions will exhibit chaotic behavior. Let us study

$$x''+0.05 x' + x^3 = 8\cos(t) . \nonumber$$

Рівняння не є автономним, тому ми не зможемо намалювати векторне поле в фазовій площині. Однак ми все ще можемо намалювати траєкторії. На малюнку$\PageIndex{2}$ we plot trajectories for $t$ going from $0$ to $15$, for two very close initial conditions $(2,3)$ and $(2,2.9)$, and also the solutions in the $(x,t)$ space. The two trajectories are close at first, but after a while diverge significantly. This sensitivity to initial conditions is precisely what we mean by the system behaving chaotically.

Рисунок$\PageIndex{2}$: Ліворуч дві траєкторії у фазовому просторі для$0\leq t\leq 15$ рівняння Даффінга одну з початковими умовами,$(2,3)$ а іншу з$(2, 2.9)$. Праворуч два рішення в$(x,t)$ -space.

Давайте подивимося на довгострокову поведінку. На малюнку$\PageIndex{3}$, we plot the behavior of the system for initial conditions $(2,3)$, but for much longer period of time. Note that for this period of time it was necessary to use a ridiculously large number of steps$^{1}$ in the numerical algorithm used to produce the graph, as even small errors quickly propagate. From the graph it is hard to see any particular pattern in the shape of the solution except that it seems to oscillate, but each oscillation appears quite unique. The oscillation is expected due to the forcing term.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Розв'язок заданого рівняння Даффінга для$t$ від$0$ до$100$.

Взагалі аналізувати хаотичні системи, або знайти порядок за божевіллям дуже складно, але спробуємо зробити те, що ми зробили для стандартної масово-пружинної системи. Один із способів ми проаналізували, що відбувається, полягає в тому, що ми з'ясували, яка довгострокова поведінка (не залежить від початкових умов). З малюнка вище зрозуміло, що ми не отримаємо приємного опису довгострокової поведінки, але, можливо, ми зможемо з'ясувати певний порядок того, що відбувається на кожному «коливанні» і що спільного у цих коливань.

Концепція, яку ми вивчимо, - це розділ Poincar é $^{2}$. Замість того, щоб дивитися$t$ in a certain interval, we will look at where the system is at a certain sequence of points in time. Imagine flashing a strobe at a certain fixed frequency and drawing the points where the solution is during the flashes. The right strobing frequency depends on the system in question. The correct frequency to use for the forced Duffing equation (and other similar systems) is the frequency of the forcing term. For the Duffing equation above, find a solution $\bigl(x(t),y(t)\bigr)$, and look at the points

$$\bigl(x(0),y(0)\bigr), \quad \bigl(x(2\pi),y(2\pi)\bigr), \quad \bigl(x(4\pi),y(4\pi)\bigr), \quad \bigl(x(6\pi),y(6\pi)\bigr), \quad \ldots \nonumber$$

Оскільки нас насправді не цікавить перехідна частина рішення, тобто частина рішення, яка залежить від початкової умови, ми пропускаємо деяку кількість кроків на початку. Наприклад, ми можемо пропустити перші 100 таких кроків і почати будувати точки на$t = 100(2\pi)$, that is

$$\bigl(x(200\pi),y(200\pi)\bigr), \quad \bigl(x(202\pi),y(202\pi)\bigr), \quad \bigl(x(204\pi),y(204\pi)\bigr), \quad \bigl(x(206\pi),y(206\pi)\bigr), \quad \ldots \nonumber$$

Сюжет цих точок - розділ Пуанкаре. Після побудови достатньої кількості точок, на малюнку з'являється цікавий візерунок$\PageIndex{4}$ (the left hand picture), a so-called strange attractor.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Дивний атрактор. Ліва ділянка без фазового зсуву, права ділянка має фазовий зсув$\frac{\pi}{4}$.

Якщо у нас є послідовність точок, то атрактор - це набір, до якого точки в послідовності з часом стають все ближче і ближче, тобто притягуються. Розділ Пуанкаре вище насправді не є самим атрактором, але оскільки точки дуже близькі до нього, ми можемо побачити його форму. Дивний атрактор на малюнку - це дуже складний набір, і він насправді має фрактальну структуру, тобто, якби ви збільшували масштаб, наскільки хочете, ви б продовжували бачити таку ж складну структуру.

Початкова умова насправді не має ніякого значення. Якби ми почали з іншого початкового стану, точки врешті-решт тяжіють до атрактора, і так до тих пір, поки ми викидаємо перші кілька точок, ми завжди отримуємо ту ж картину.

Дивно, що хаотична система, така як рівняння Даффінга, зовсім не випадкова. До нього дуже складний порядок, і дивний атрактор щось говорить про цей порядок. Ми не можемо сказати, в якому стані система буде в кінцевому підсумку, але, враховуючи фіксовану частоту стробінгу, ми можемо звузити її до точок на атракторі.

Якщо ви використовуєте фазовий зсув, наприклад$\frac{\pi}{4}$, and look at the times

$$\frac{\pi}{4}, \quad 2\pi+\frac{\pi}{4}, \quad 4\pi+\frac{\pi}{4}, \quad 6\pi+\frac{\pi}{4}, \quad \ldots \nonumber$$

ви отримаєте трохи інший дивлячись атрактор. Малюнок є правою стороною фігури$\PageIndex{4}$. It is as if we had rotated, distorted slightly, and then moved the original. Therefore for each phase shift you can find the set of points towards which the system periodically keeps coming back to.

Ви повинні вивчити зображення і особливо помітити масштаби - де ці атрактори розташовані у фазовій площині. Зверніть увагу на регіони, де живе дивний атрактор, і порівняйте його з сюжетом траєкторій на малюнку$\PageIndex{2}$.

Порівняємо обговорення в цьому розділі з обговоренням у розділі 2.6 про вимушені коливання. Візьмемо рівняння

$$x''+2p x' + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos (\omega t) . \nonumber$$

Це як рівняння Даффінга, але без$x^3$ term. The steady periodic solution is of the form

$$x = C \cos (\omega t + \gamma) . \nonumber$$

Стробінг з використанням частоти$\omega$ we would obtain a single point in the phase space. So the attractor in this setting is a single point---an expected result as the system is not chaotic. In fact it was the opposite of chaotic. Any difference induced by the initial conditions dies away very quickly, and we settle into always the same steady periodic motion.

Система Лоренца

У двох вимірах, щоб мати таку хаотичну поведінку, яку ми шукаємо, ми повинні вивчати вимушені або неавтономні системи, такі як рівняння Даффінга. Завдяки теоремі Пуанкара е -Бендоксона, якщо автономна двовимірна система має рішення, яке існує протягом усього часу в майбутньому і не йде до нескінченності, то отримуємо граничний цикл або замкнуту траєкторію. Навряд чи хаотична поведінка, яку ми шукаємо.

У трьох вимірах навіть автономні системи можуть бути хаотичними. Давайте дуже коротко повернемося до системи Лоренца

$$x' = -10x +10y, \qquad y' = 28x-y-xz, \qquad z'=-\frac{8}{3}z + xy . \nonumber$$

Система Лоренца - це автономна система в трьох вимірах, що демонструє хаотичну поведінку. Див. Малюнок$\PageIndex{5}$ for a sample trajectory, which is now a curve in three-dimensional space.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Траєкторія в системі Лоренца.

Рішення будуть схильні до атрактора в просторі, так званого атрактора Лоренца. В цьому випадку не потрібно ніякого штроблення. Знову ж таки, ми не можемо зовсім побачити сам атрактор, але якщо ми спробуємо дотримуватися рішення досить довго, як на малюнку, ми отримаємо досить хорошу картину того, як виглядає атрактор. Атрактор Лоренца також є дивним атрактором і має складну фрактальну структуру. І, як і для рівняння Даффінга, те, що ми хочемо намалювати, - це не вся траєкторія, а почати малювати траєкторію через деякий час, як тільки вона буде близька до атрактора.

Шляхи - це не просто повторювана вісімка. Траєкторія буде обертатися деяке, здавалося б, випадкове число разів зліва, потім спина кілька разів праворуч, і так далі. Оскільки ця система виникла в прогнозуванні погоди, можна, можливо, уявити кілька днів теплої погоди, а потім кілька днів холодної погоди, де нелегко передбачити, коли зміниться погода, так само, як це не дуже легко передбачити далеко заздалегідь, коли рішення стрибне на іншу сторону. Див. Малюнок$\PageIndex{6}$ for a plot of the $x$ component of the solution drawn above. A negative $x$ corresponds to the left "loop" and a positive $x$ corresponds to the right "loop".

Малюнок$\PageIndex{6}$: Графік$x(t)$ складової розв'язку.

Велика частина математики, яку ми вивчали в цій книзі, досить класична і добре зрозуміла. З іншого боку, хаос, включаючи систему Лоренца, продовжує залишатися предметом сучасних досліджень. Крім того, хаос знайшов застосування не тільки в науках, але і в мистецтві.

Виноски

[1] Насправді для довідки було використано 30 000 кроків з алгоритмом Рунге—Кутта, див. Вправи в Розділі 1.7.

[2] Названий на честь французького полімату Жюля Анрі Пуанкаре (1854-1912).