Search

4.6: PDE, поділ змінних та рівняння теплоти
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/4%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%A4%D1%83%D1%80'%D1%94_%D1%82%D0%B0_PDE/4.06%3A_PDE%2C_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D0%BB_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%B8
Нагадаємо, що рівняння з частинними похідними або PDE - це рівняння, що містить частинні похідні щодо декількох незалежних змінних. Рішення PDE буде нашим основним застосуванням серій Фур'є. PDE вважа...Нагадаємо, що рівняння з частинними похідними або PDE - це рівняння, що містить частинні похідні щодо декількох незалежних змінних. Рішення PDE буде нашим основним застосуванням серій Фур'є. PDE вважається лінійним, якщо залежна змінна та її похідні з'являються щонайбільше до першої потужності та без функцій. Ми будемо говорити лише про лінійні PDE. Разом з PDE ми зазвичай вказували деякі граничні умови.
4.2: Тригонометрична серія
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/4%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%A4%D1%83%D1%80'%D1%94_%D1%82%D0%B0_PDE/4.02%3A_%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F
\[\begin{align}\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} t \sin(nt)dt \\ &= \frac{2}{\pi} \int^\pi_{0} t \sin(nt)dt \\ &= \frac{2}{\pi} \left( \left[ \frac{-t \cos(nt)}{n}\right] ^\pi_{t=0}... $\begin{align}\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} t \sin(nt)dt \\ &= \frac{2}{\pi} \int^\pi_{0} t \sin(nt)dt \\ &= \frac{2}{\pi} \left( \left[ \frac{-t \cos(nt)}{n}\right] ^\pi_{t=0}+\frac{1}{n} \int^\pi_{0} \cos(nt)dt\right) \\ &= \frac{2}{\pi} \left( \frac{- \pi \cos(n \pi)}{n}+0\right) \\ &= \frac{-2 \cos(n \pi)}{n}=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}.\end{aligned}\end{align} \nonumber$
3.E: Системи ОДУ (вправи)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/3%3A_%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3/3.E%3A_%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3_(%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8)
Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів...Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів-інженерів. Обов'язковою умовою курсу є основна послідовність обчислення.
2.E: Лінійні ОДУ вищого порядку (вправи)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/2%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%9E%D0%94%D0%98_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83/2.E%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83_(%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8)
Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів...Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів-інженерів. Обов'язковою умовою курсу є основна послідовність обчислення.
3.1: Вступ до систем ОДУ
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/3%3A_%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3/3.1%3A_%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%9E%D0%94%D0%A3
Часто у нас немає лише однієї залежної змінної, а лише одного диференціального рівняння, ми можемо закінчитися системами з декількох рівнянь та декількох залежних змінних, навіть якщо ми почнемо з одн...Часто у нас немає лише однієї залежної змінної, а лише одного диференціального рівняння, ми можемо закінчитися системами з декількох рівнянь та декількох залежних змінних, навіть якщо ми почнемо з одного рівняння.
2: Лінійні ОДИ вищого порядку
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/2%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%9E%D0%94%D0%98_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83
У цьому розділі ми підемо трохи далі і розглянемо рівняння другого порядку, які є рівняннями, що містять другі похідні залежної змінної. Методи розв'язання, які ми досліджуємо, відрізняються від розгл...У цьому розділі ми підемо трохи далі і розглянемо рівняння другого порядку, які є рівняннями, що містять другі похідні залежної змінної. Методи розв'язання, які ми досліджуємо, відрізняються від розглянутих раніше, і рішення, як правило, включають тригонометричні функції, а також експоненціальні функції. Тут ми зосередимося насамперед на рівняннях другого порядку з постійними коефіцієнтами.
4.4: Серія синусів та косинусів
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/4%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%A4%D1%83%D1%80'%D1%94_%D1%82%D0%B0_PDE/4.04%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D1%96%D0%B2_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D1%96%D0%B2
Можливо, ви вже помітили, що непарна функція не має косинусних термінів у рядах Фур'є, а парна функція не має синусоїдальних термінів у рядах Фур'є. Це спостереження не випадковість. Розглянемо парну ...Можливо, ви вже помітили, що непарна функція не має косинусних термінів у рядах Фур'є, а парна функція не має синусоїдальних термінів у рядах Фур'є. Це спостереження не випадковість. Розглянемо парну і непарну періодичну функцію докладніше.
1.1: Інтеграли як розв'язки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/1%3A_ODES_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F/1.1%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8_%D1%8F%D0%BA_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BA%D0%B8
Якщо ми замінимо $e^{-kD}$ довільною $C$ константою, ми можемо позбутися від барів абсолютних значень (що ми можемо зробити як $D$ було довільним). Рівняння $y' = y^2$ дуже приємне і визначене скр...Якщо ми замінимо $e^{-kD}$ довільною $C$ константою, ми можемо позбутися від барів абсолютних значень (що ми можемо зробити як $D$ було довільним). Рівняння $y' = y^2$ дуже приємне і визначене скрізь, але рішення визначається лише на якомусь інтервалі $(-\infty, C)$ або $(C, \infty)$ . Наприклад, якщо ми накладемо умову $y(0) = 1$ , то рішення є $y=\frac{1}{1-x}$ , і ми б розглядали це рішення тільки для $x$ інтервалу $(-\infty,1)$ .
5.1: Проблеми Штурма-Ліувілля
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/5%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC/5.1%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%A8%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BC%D0%B0-%D0%9B%D1%96%D1%83%D0%B2%D1%96%D0%BB%D0%BB%D1%8F
Класичне «рівняння Штурма-Ліувілля» є дійсним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. У найпростіших випадках всі коефіцієнти неперервні на скінченному замкнутому інтервалі [a, b], а p (x)...Класичне «рівняння Штурма-Ліувілля» є дійсним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. У найпростіших випадках всі коефіцієнти неперервні на скінченному замкнутому інтервалі [a, b], а p (x) має неперервну похідну.
6.4: Дельта Дірака та імпульсна характеристика
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/6%3A_%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0/6.4%3A_%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0_%D0%94%D1%96%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0
Часто в додатках ми вивчаємо фізичну систему, вводячи короткий імпульс, а потім бачачи, що робить система. Отриману поведінку часто називають імпульсною характеристикою.
4.E: Серія Фур'є та PDE (вправи)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_(Lebl)/4%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%A4%D1%83%D1%80'%D1%94_%D1%82%D0%B0_PDE/4.E%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%A4%D1%83%D1%80'%D1%94_%D1%82%D0%B0_PDE_(%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8)
Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів...Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів-інженерів. Обов'язковою умовою курсу є основна послідовність обчислення.