8.1: Лінеаризація, критичні точки та рівноваги
- Page ID
- 61731
За винятком кількох коротких об'їздів у главі 1, ми розглянули переважно лінійні рівняння. Лінійних рівнянь вистачає в багатьох додатках, але насправді більшість явищ вимагають нелінійних рівнянь. Однак нелінійні рівняння, як відомо, складніші для розуміння, ніж лінійні, і багато дивних нових явищ з'являються, коли ми дозволяємо нашим рівнянням бути нелінійними.
Не хвилюйтеся, ми не витрачали весь цей час на вивчення лінійних рівнянь. Нелінійні рівняння часто можуть бути апроксимовані лінійними, якщо нам потрібно тільки рішення «локально», наприклад, лише на короткий проміжок часу, або тільки для певних параметрів. Розуміння лінійних рівнянь також може дати нам якісне розуміння більш загальної нелінійної задачі. Ідея схожа на те, що ви зробили в обчисленні, намагаючись наблизити функцію лінією з правильним нахилом.
У розділі 2.4 ми розглянули маятник маси\(m\) and length \(L\). The goal was to solve for the angle \(\theta(t)\) as a function of the time \(t\). The equation for the setup is the nonlinear equation
\[\theta'' + \frac{g}{L} \sin \theta = 0 . \nonumber \]
Замість того, щоб розв'язувати це рівняння, ми вирішили досить простіше лінійне рівняння.
\[\theta'' + \frac{g}{L} \theta = 0 . \nonumber \]
Хоча рішення лінійного рівняння не зовсім те, що ми шукали, воно досить близьке до оригіналу, поки кут\(\theta\) is small and the time period involved is short.
Ви можете запитати: Чому б нам просто не вирішити нелінійну задачу? Ну, це може бути дуже важко, непрактично або неможливо вирішити аналітично, залежно від рівняння, про яке йде мова. Можливо, нас навіть не цікавить реальне рішення, нас може зацікавити лише якісне уявлення про те, що робить рішення. Наприклад, що відбувається, коли час йде до нескінченності?
Автономні системи та аналіз фазової площини
Обмежуємо свою увагу двовимірною автономною системою
\[x' = f(x,y) , \qquad y' = g(x,y) , \nonumber \]
де\(f(x,y)\) and \(g(x,y)\) are functions of two variables, and the derivatives are taken with respect to time \(t\). Solutions are functions \(x(t)\) and \(y(t)\) such that
\[x'(t) = f\bigl(x(t),y(t)\bigr), \qquad y'(t) = g\bigl(x(t),y(t)\bigr) . \nonumber \]
Те, як ми будемо аналізувати систему, дуже схожий на Розділ 1.6, де ми вивчали єдине автономне рівняння. Ідеї в двох вимірах однакові, але поведінка може бути набагато складнішою.
Можливо, найкраще розглядати систему рівнянь як одновекторне рівняння.
\[\label{eq:1}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} ' = \begin{bmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{bmatrix} . \]
Як і в розділі 3.1 ми малюємо фазовий портрет (або фазову діаграму), де кожна точка\((x,y)\) corresponds to a specific state of the system. We draw the vector field given at each point \((x,y)\) by the vector \(\left[ \begin{smallmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{smallmatrix} \right]\). And as before if we find solutions, we draw the trajectories by plotting all points \(\bigl(x(t),y(t)\bigr)\) for a certain range of \(t\).
Розглянемо рівняння другого порядку\(x''=-x+x^2\). Write this equation as a first order nonlinear system
\[x' = y , \qquad y' = -x+x^2 . \nonumber \]
Фазовий портрет з деякими траєкторіями намальований на малюнку\(\PageIndex{2}\).
З фазового портрета повинно бути зрозуміло, що навіть ця проста система має досить складну поведінку. Деякі траєкторії продовжують коливатися навколо початку, а деякі йдуть до нескінченності. Ми будемо часто повертатися до цього прикладу, і розберемо його повністю в цьому (і наступному) розділі.
Якщо ми збільшимо діаграму біля точки, де\(\left[ \begin{smallmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{smallmatrix} \right]\) не нуль, то поблизу стрілки вказують, як правило, в тому ж напрямку і мають по суті однакову величину. Іншими словами, поведінка не настільки цікава поблизу такої точки. Ми, звичайно, припускаємо, що\(f(x,y)\) і\(g(x,y)\) є безперервними.
Давайте зосередимося на тих точках фазової діаграми вище, де траєкторії, здається, починаються, закінчуються або йдуть навколо. Ми бачимо два таких моменти:\((0,0)\) and \((1,0)\). The trajectories seem to go around the point \((0,0)\), and they seem to either go in or out of the point \((1,0)\). Ці точки - це саме ті точки, де похідні обох\(x\) and \(y\) are zero. Let us define the critical points as the points \((x,y)\) such that
\[ \begin{bmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{bmatrix} = \vec{0} . \nonumber \]
Іншими словами, точки, де обидва\(f(x,y)=0\) and \(g(x,y)=0\).
Критичні моменти - це те, де поведінка системи в якомусь сенсі найскладніше. Якщо\(\left[ \begin{smallmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{smallmatrix} \right]\) is zero, then nearby, the vector can point in any direction whatsoever. Also, the trajectories are either going towards, away from, or around these points, so if we are looking for long term behavior of the system, we should look at what happens there.
Критичні точки також іноді називають рівновагами, оскільки ми маємо так звані рішення рівноваги в критичних точках. Якщо\((x_0,y_0)\) is a critical point, then we have the solutions
\[x(t) = x_0, \quad y(t) = y_0 . \nonumber \]
У прикладі\(\PageIndex{1}\), there are two equilibrium solutions:
\[x(t) = 0, \quad y(t) = 0, \qquad \text{and} \qquad x(t) = 1, \quad y(t) = 0. \nonumber \]
Порівняйте цю дискусію про рівноваги з обговоренням у розділі 1.6. Основна концепція точно така ж.
Лінеаризація
У розділі 3.5 ми вивчали поведінку однорідної лінійної системи двох рівнянь поблизу критичної точки. Для лінійної системи з двох змінних єдиною критичною точкою, як правило, є походження.\((0,0)\). Let us put the understanding we gained in that section to good use understanding what happens near critical points of nonlinear systems.
У обчисленні ми навчилися оцінювати функцію, беручи її похідну та лінеаризуючи. Аналогічно працюємо з нелінійними системами ОДУ. Припустимо\((x_0,y_0)\) is a critical point. First change variables to \((u,v)\), so that \((u,v)=(0,0)\) corresponds to \((x_0,y_0)\). That is,
\[u=x-x_0, \qquad v=y-y_0 . \nonumber \]
Далі нам потрібно знайти похідну. У багатоваріантному обчисленні ви, можливо, бачили, що декількома змінними версією похідної є Якобійська матриця \(^{1}\). Якобійська матриця векторно-значної функції\(\left[ \begin{smallmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{smallmatrix} \right]\) at \((x_0,y_0)\) is
\[ \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) ~~~~ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0) ~~~~ \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0) \end{bmatrix} . \nonumber \]
Ця матриця дає найкраще лінійне наближення,\(u\) and \(v\) (and therefore \(x\) and \(y\)) vary. We define the linearization of the equation \(\eqref{eq:1}\) як лінійна система.
\[ \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} ' = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) ~~~ ~\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)~~~~ \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} . \nonumber \]
Давайте продовжимо з тими ж рівняннями, що і приклад\(\PageIndex{1}\): \(x' = y\), \(y' = -x+x^2\). There are two critical points, \((0,0)\)and \((1,0)\). The Jacobian matrix at any point is
\[\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) ~~~~ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) ~~~~ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1+2x & 0 \end{bmatrix}. \nonumber \]
Тому при\((0,0)\), we have \(u=x\) and \(v=y\), and the linearization is
\[\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} ' =\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} , \nonumber \]
де\(u=x\) and \(v=y\).
У точці\((1,0)\), we have \(u=x-1\) and \(v=y\), and the linearization is
\[\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} ' =\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} . \nonumber \]
Т фазові діаграми двох лінеаризацій\((0,0)\) and \((1,0)\) are given в точці на малюнку\(\PageIndex{3}\). Note that the variables are now \(u\) і\(v\). Порівняти малюнок\(\PageIndex{3}\) with Figure \(\PageIndex{2}\), and look especially at the behavior near the critical points.
Виноски
[1] Названий на честь німецького математика Карла Ґустава Якоба Якобі (1804—1851).