8.3: Застосування нелінійних систем

У цьому розділі ми вивчаємо два дуже стандартних приклади нелінійних систем. Спочатку ми розглянемо нелінійне рівняння маятника. Ми бачили лінеаризацію рівняння маятника раніше, але ми зазначили, що це справедливо лише для малих кутів і коротких часів. Тепер з'ясуємо, що відбувається при великих кутах. Далі ми розглянемо рівняння хижака-здобич, яке знаходить різні застосування в моделюючих задачах біології, хімії, економіки та інших країн.

Маятник

Перший приклад, який ми вивчаємо, - це рівняння маятника\(\theta''+\frac{g}{L} \sin \theta = 0\). Тут\(\theta\) є кутове зміщення,\(g\) є гравітаційне прискорення, і\(L\) це довжина маятника. У цьому рівнянні ми ігноруємо тертя, тому ми говоримо про ідеалізований маятник.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Це рівняння є консервативним рівнянням, тому ми можемо використовувати наш аналіз консервативних рівнянь з попереднього розділу. Змінимо рівняння на двовимірну систему в змінних\((\theta,\omega)\) шляхом введення нової змінної\(\omega\):\[\begin{bmatrix} \theta \\ \omega \end{bmatrix} ' = \begin{bmatrix} \omega \\ - \frac{g}{L} \sin \theta \end{bmatrix} . \nonumber \]

Критичними точками цієї системи є коли\(\omega = 0\) і\(-\frac{g}{L} \sin \theta = 0\), або іншими словами, якщо\(\sin \theta = 0\). Таким чином, критичні точки, коли\(\omega = 0\) і\(\theta\) є кратним\(\pi\). Тобто точки є\(\ldots (-2\pi,0), (-\pi,0), (0,0), (\pi,0), (2\pi,0) \ldots\). Поки критичних точок нескінченно багато, всі вони ізольовані. Обчислимо якобійську матрицю:\[\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial \theta} \Bigl( \omega \Bigr) & \frac{\partial}{\partial \omega} \Bigl( \omega \Bigr) \\ \frac{\partial}{\partial \theta} \Bigl( - \frac{g}{L} \sin \theta \Bigr) & \frac{\partial}{\partial \omega} \Bigl( - \frac{g}{L} \sin \theta \Bigr) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - \frac{g}{L} \cos \theta & 0 \end{bmatrix} . \nonumber \]

Для консервативних рівнянь існує два типи критичних точок. Або стійкі центри, або сідлові точки. Власними значеннями якобійської матриці є\(\lambda = \pm \sqrt{-\frac{g}{L}\cos \theta}\).

Власні значення будуть реальними, коли\(\cos \theta < 0\). Це відбувається при непарних кратних\(\pi\). Власні значення будуть чисто уявними, коли\(\cos \theta > 0\). Це відбувається при парних кратних\(\pi\). Тому система має стійкий центр в точках\(\ldots (-2\pi,0), (0,0), (2\pi,0) \ldots\), а в точках вона має нестійке сідло\(\ldots (-3\pi,0), (-\pi,0), (\pi,0), (3\pi,0) \ldots\). Подивіться на фазову діаграму на малюнку\(\PageIndex{2}\), куди для простоти пускаємо\(\frac{g}{L} = 1\).

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Діаграма фазової площини та деякі траєкторії нелінійного рівняння маятника.

У лінеаризованому рівнянні ми маємо лише одну критичну точку, центр в\((0,0)\). Тепер ми більш чітко бачимо, що ми мали на увазі, коли говорили, що лінеаризація хороша для малих кутів. Горизонтальна вісь - кут відхилення. Вертикальна вісь - кутова швидкість маятника. Припустимо, ми починаємо з\(\theta = 0\) (без відхилення), а починаємо з невеликої кутової швидкості\(\omega\). Потім траєкторія продовжує обходити критичну точку\((0,0)\) в приблизному колі. Це відповідає коротким перемахуванням маятника вперед-назад. Коли\(\theta\) залишається малим, траєкторії дійсно виглядають як кола і, отже, дуже близькі до нашої лінеаризації.

Коли ми даємо маятнику досить великий поштовх, він проходить через вершину і продовжує крутитися навколо своєї осі. Така поведінка відповідає хвилястим кривим, які не перетинають горизонтальну вісь на фазовій діаграмі. Припустимо, ми подивимося на верхні криві, коли кутова швидкість\(\omega\) велика і позитивна. Потім маятник збирається навколо і навколо своєї осі. Швидкість буде великою, коли маятник знаходиться поблизу дна, а швидкість найменша, коли маятник знаходиться близько до верхньої частини своєї петлі.

У кожній критичній точці існує рівноважне рішення. Розглянемо рішення\(\theta = 0\); маятник не рухається і звисає прямо вниз. Це стійке місце для маятника, отже, це стабільна рівновага.

Інший тип рішення рівноваги знаходиться, наприклад, в нестабільній точці\(\theta = \pi\). Тут маятник знаходиться догори дном. Звичайно, ви можете збалансувати маятник таким чином, і він залишиться, але це нестабільна рівновага. Навіть самий крихітний поштовх змусить маятник почати дико розгойдуватися.

Див. Рисунок\(\PageIndex{3}\) для діаграми. Перша картина - це стабільна рівновага\(\theta = 0\). Друга картинка відповідає тим, що на діаграмі стану навколо,\(\theta =0\) коли кутова швидкість мала. Наступна картина - нестійка рівновага\(\theta = \pi\). Остання картинка відповідає хвилястим лініям для великих кутових швидкостей.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Різні можливості руху маятника.

Кількість

\[\frac{1}{2} \omega^2 - \frac{g}{L} \cos \theta \nonumber \]

консервується будь-яким розчином. Це енергія або гамільтоніан системи.

У нас є консервативне рівняння і тому (вправа) траєкторії задаються

\[\omega = \pm \sqrt{ \frac{2g}{L} \cos \theta + C} , \nonumber \]

для різних значень\(C\). Let us look at the initial condition of \((\theta_0,0)\), that is, we take the pendulum to angle \(\theta_0\), and just let it go (initial angular velocity 0). We plug the initial conditions into the above and solve for \(C\) to obtain

\[C = - \frac{2g}{L} \cos \theta_0 . \nonumber \]

Таким чином, вираз для траєкторії є

\[\omega = \pm \sqrt{ \frac{2g}{L}} \sqrt{ \cos \theta - \cos \theta_0 } . \nonumber \]

Розберемося з періодом. Тобто час, необхідний для того, щоб маятник розгойдався вперед-назад. Ми помічаємо, що коливання про початок у фазовій площині симетрично щодо обох\(\theta\) and the \(\omega\) axis. That is, in terms of \(\theta\), the time it takes from \(\theta_0\) to \(-\theta_0\) is the same as it takes from \(-\theta_0\) back to \(\theta_0\). Furthermore, the time it takes from \(-\theta_0\) to \(0\) is the same as to go from \(0\) to \(\theta_0\). Therefore, let us find how long it takes for the pendulum to go from angle 0 to angle \(\theta_0\), which is a quarter of the full oscillation and then multiply by 4.

Розбираємося на цей раз, знаходячи\(\frac{dt}{d\theta}\) and integrating from \(0\) to \(\omega_0\). The period is four times this integral. Let us stay in the region where \(\omega\) is positive. Since \(\omega = \frac{d\theta}{dt}\), inverting we get

\[\frac{dt}{d\theta} = \sqrt{\frac{L}{2g}} \frac{1}{\sqrt{\cos \theta - \cos \theta_0 }} . \nonumber \]

Тому період\(T\) is given by

\[T = 4 \sqrt{\frac{L}{2g}} \int_0^{\theta_0} \frac{1}{\sqrt{\cos \theta - \cos \theta_0 }}\, d\theta . \nonumber \]

Інтеграл є неправильним інтегралом, і ми не можемо в цілому оцінити його символічно. Ми повинні вдатися до числового наближення, якщо ми хочемо обчислити конкретний\(T\).

Нагадаємо з розділу 2.4, лінеаризоване рівняння\(\theta''+\frac{g}{L}\theta = 0\) has period

\[T_{\text{linear}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} . \nonumber \]

змова\(T\), \(T_{\text{linear}}\), and the relative error \(\frac{T-T_{\text{linear}}}{T}\) in Figure \(\PageIndex{4}\). The relative error says how far is our approximation from the real period percentage-wise. Note that \(T_{\text{linear}}\) is simply a constant, it does not change with the initial angle \(\theta_0\). The actual period \(T\) gets larger and larger as \(\theta_0\) gets larger. Notice how the relative error is small when \(\theta_0\) is small. It is still only \(15\%\) when \(\theta_0 = \frac{\pi}{2}\), that is, a 90 degree angle. The error is \(3.8\%\) when starting at \(\frac{\pi}{4}\), a 45 degree angle. At a 5 degree initial angle, the error is only \(0.048 \%\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Графік\(T\) і\(T_{\text{linear}}\) з\(\frac{g}{L}=1\) (ліворуч) та графік відносної помилки\(\frac{T-T_{\text{linear}}}{T}\) (праворуч), для\(\theta_{0}\) між\(0\) і\(\frac{\pi}{2}\).

Хоча це не відразу очевидно з формули, це правда, що

\[\lim_{\theta_0 \uparrow \pi} T = \infty . \nonumber \]

Тобто період переходить до нескінченності у міру наближення початкового кута до нестійкої точки рівноваги. Тож якщо ми поставимо маятник майже догори дном, це може зайняти дуже багато часу, перш ніж він опуститься. Це узгоджується з обмежуючою поведінкою, де точно перевернутий маятник ніколи не робить коливань, тому ми могли б думати про це як про нескінченний період.

Системи «Хижак-здобич» або Лотка-Вольтерра

Одним з найбільш поширених простих застосувань нелінійних систем є так звані \(^{1}\)системи хижак-видобуток або Лотка-Вольтерра. Наприклад, ці системи виникають, коли два види взаємодіють, один як видобуток, а один як хижак. Тоді не дивно, що рівняння також бачать застосування в економіці. Система виникає і в хімічних реакціях. У біології ця система рівнянь пояснює природні періодичні варіації популяцій різних видів в природі. Перед застосуванням диференціальних рівнянь ці періодичні варіації в популяції збивали з пантелику біологів.

Тримаємося з класичним прикладом зайців і лисиць в лісі, це найпростіше для розуміння. \[\begin{align}\begin{aligned} & x = \# \text{ of hares (the prey),} \\ & y = \# \text{ of foxes (the predator).} \end{aligned}\end{align} \nonumber \]Коли зайців багато, їжі для лисиць предостатньо, тому популяція лисиць зростає. Однак, коли популяція лисиць зростає, лисиці їдять більше зайців, тому, коли лисиць багато, популяція зайців повинна знижуватися, і навпаки. Модель Лотки-Вольтерри передбачає, що така поведінка описується системою рівнянь,\[\begin{align}\begin{aligned} & x' = (a-by)x, \\ & y' = (cx-d)y, \end{aligned}\end{align} \nonumber \] де\(a,b,c,d\) є деякі параметри, що описують взаємодію лисиць і зайців \(^{2}\). У цій моделі це все позитивні цифри.

Розберемо ідею, що стоїть за цією моделлю. Модель є дещо складнішою ідеєю, заснованою на експоненціальній моделі населення. По-перше,\[x' = (a-by)x = ax - byx . \nonumber \] Очікується, що зайці просто ростуть експоненціально за відсутності лисиць, саме там і вступає\(ax\) термін, зростання популяції пропорційний самій популяції. Ми припускаємо, що зайці завжди знаходять достатньо їжі і мають достатньо місця для розмноження. Однак є й інша складова\(-byx\), тобто популяція також зменшується пропорційно чисельності лисиць. Разом ми можемо записати рівняння як\((a-by)x\), так це як експоненціальне зростання або занепад, але константа залежить від кількості лисиць.

Рівняння для лисиць дуже схоже,\[y' = (cx-d)y = cxy-dy . \nonumber \] розгорніть знову лисицям потрібна їжа (зайці) для розмноження: чим більше їжі, тим більше швидкість зростання, звідси і\(cxy\) термін. З іншого боку, є природні смерті в популяції лисиць, а отже і\(-dy\) термін.

Без подальших зволікань почнемо з явного прикладу. Припустимо, рівняння\[x' = (0.4-0.01y)x, \qquad y' = (0.003x-0.3)y . \nonumber \] див. малюнок\(\PageIndex{5}\) для фазового портрета. У цьому прикладі має сенс також будувати графіки\(x\) і\(y\) як графіки щодо часу. Тому другий графік на малюнку\(\PageIndex{5}\) - це графік\(x\) і\(y\) на вертикальній осі (видобуток\(x\) - тонша лінія з більш високими вершинами), проти часу на горизонтальній осі. Конкретне рішення було графічно з початковими умовами\(20\) лисиць і\(50\) зайців.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Фазовий портрет (зліва) і графіки\(x\) і\(y\) для зразка розчину (праворуч).

Розберемо, що ми бачимо на графіках. Ми працюємо в загальних налаштуваннях, а не ставимо конкретні цифри. Починаємо з пошуку критичних точок. Набір\((a-by)x = 0\), і\((cx-d)y = 0\). Перше рівняння задовольняється, якщо\(x=0\) або\(y=\frac{a}{b}\). Якщо\(x=0\), друге рівняння має на увазі\(y=0\). Якщо\(y= \frac{a}{b}\), друге рівняння має на увазі\(x=\frac{d}{c}\). Існує два рівноваги:\((0,0)\) при тому, коли тварин взагалі немає, і при\((\frac{d}{c},\frac{a}{b})\). У нашому конкретному\(x = \frac{d}{c} = 100\) прикладі і\(y = \frac{a}{b} = 40\). Це точка, де налічується 100 зайців і 40 лисиць.

Обчислюємо якобійську матрицю:\[\begin{bmatrix} a-by & -bx \\ cy & cx-d \end{bmatrix} . \nonumber \] На початку\((0,0)\) ми отримуємо матрицю\(\left[ \begin{smallmatrix} a & 0 \\ 0 & -d \end{smallmatrix} \right]\), тому власні значення є\(a\) і\(-d\), отже, дійсними і протилежними знаками. Так що критичною точкою на початку є сідло. Це має сенс. Якби ви почали з якихось лисиць, але без зайців, то лисиці б вимерли, тобто ви б наблизилися до походження. Якби ви починали без лисиць і декількох зайців, то зайці продовжували б розмножуватися без чека, і так ви б пішли від походження.

Гаразд, як щодо іншої критичної точки в\((\frac{d}{c},\frac{a}{b})\). Тут якобійська матриця стає\[\begin{bmatrix} 0 & -\frac{bd}{c} \\ \frac{ac}{b} & 0 \end{bmatrix} . \nonumber \] Задовольняти власні значення\(\lambda^2 + ad = 0\). Іншими словами,\(\lambda = \pm i \sqrt{ad}\). Власні значення є чисто уявними, ми знаходимося в тому випадку, коли ми не можемо вирішити, використовуючи лише лінеаризацію. Ми могли б мати стабільний центр, спіральну раковину або спіральне джерело. Тобто рівновага могла бути асимптотично стабільною, стабільною або нестабільною. Звичайно, я дав вам картину вище, яка, здається, означає, що це стабільний центр. Але ніколи не довіряйте лише картині. Можливо, коливання стають все більше і більше, але тільки дуже повільно. Звичайно, це було б погано, оскільки це означало б, що рано чи пізно щось піде не так з нашим населенням. І я намалював лише дуже конкретний приклад з дуже конкретними траєкторіями.

Як ми можемо бути впевнені, що перебуваємо в стабільній ситуації? Як ми вже говорили раніше, у випадку з чисто уявними власнимизначеннями нам доведеться зробити трохи більше роботи. Раніше ми виявили, що для консервативних систем існувала певна величина, яка була збережена на траєкторіях, і, отже, траєкторії повинні були йти в замкнутих контурах. Подібну техніку ми можемо використовувати тут. Треба лише розібратися, що таке законсервована кількість. Після деяких проб і помилок виявляємо,\[C = \frac{y^a x^d}{e^{cx+by}} = y^a x^d e^{-cx-by} \nonumber \] що константа збережена. Така величина називається постійною руху. Давайте перевіримо\(C\) дійсно постійну руху. Як ми перевіряємо, скажете ви? Ну, константа - це те, що не змінюється з часом, тому давайте обчислимо похідну щодо часу:\[C' = a y^{a-1}y' x^d e^{-cx-by} + y^a d x^{d-1} x' e^{-cx-by} + y^a x^d e^{-cx-by} (-cx'-by') . \nonumber \] Наші рівняння дають нам те, що\(x'\) і\(y'\) є так давайте підключимо їх:

\[\begin{align}\begin{aligned} C' & = a y^{a-1} (cx-d)y x^d e^{-cx-by} + y^a d x^{d-1} (a-by)x e^{-cx-by} \\ & \phantom{mm} + y^a x^d e^{-cx-by} \bigl(-c(a-by)x-b(cx-d)y\bigr) \\ & = y^a x^d e^{-cx-by} \Bigl( a (cx-d) + d (a-by) + \bigl(-c(a-by)x-b(cx-d)y\bigr) \Bigr) \\ & = 0 . \end{aligned}\end{align} \nonumber \]Так що по\(C\) траєкторіях постійна. Насправді вираз\(C = \frac{y^a x^d}{e^{cx+by}}\) дає нам неявне рівняння для траєкторій. У будь-якому випадку, як тільки ми виявили цю константу руху, повинно бути правдою, що траєкторії - це прості криві, тобто криві рівня\(\frac{y^a x^d}{e^{cx+by}}\). Виходить, критична точка в\((\frac{d}{c},\frac{a}{b})\) - максимум для\(C\) (залишається як вправу). Так\((\frac{d}{c},\frac{a}{b})\) само є стабільна точка рівноваги, і нам не доведеться турбуватися про вимерання лисиць і зайців або їх популяції вибухають.

Однією з вад цієї чудової моделі є те, що кількість лисиць і зайців є дискретними величинами, і ми моделюємо з безперервними змінними. Наша модель не має жодних проблем з тим, щоб бути\(0.1\) лисицею в лісі, наприклад, тоді як насправді це не має сенсу. Наближення є розумним до тих пір, поки кількість лисиць і зайців велика, але це не має особливого сенсу для невеликих чисел. Потрібно бути обережним в інтерпретації будь-яких результатів від такої моделі.

Цікавим наслідком (можливо, протиінтуїтивним) цієї моделі є те, що додавання тварин до лісу може призвести до вимирання, оскільки варіації стануть занадто великими, і одна з популяцій наблизиться до нуля. Наприклад, припустимо, що є\(20\) лисиці і\(50\) зайці, як і раніше, але тепер ми приводимо більше лисиць, доводячи їх кількість до\(200\). Якщо ми запустимо обчислення, ми виявимо, що кількість зайців впаде трохи більше, ніж\(1\) зайця у всьому лісі. Насправді це, швидше за все, означає, що зайці вимирають, і тоді лисиці вимруть так само, як і їм буде нічого їсти.

Показувати, що система рівнянь має стійке рішення, може бути дуже складною задачею. Коли Ісаак Ньютон висунув свої закони планетарних рухів, він довів, що єдина планета, що обертається навколо одного Сонця, є стабільною системою. Але будь-яка Сонячна система з більш ніж\(1\) планетою виявилася дуже складною. Насправді така система поводиться хаотично (див. Розділ 8.5), тобто невеликі зміни початкових умов призводять до зовсім інших довгострокових результатів. З числових експериментів і вимірювань ми знаємо, що земля не вилетить у порожній простір або врізатися в сонце, принаймні кілька мільйонів років або близько того. Але ми не знаємо, що відбувається поза цим.

Виноски

[1] Названий на честь американського математика, хіміка та статистика Альфреда Джеймса Лотки (1880—1949) та італійського математика і фізика Віто Вольтерра (1860—1940).

[2] Ця взаємодія не закінчується добре для зайця.