7.E: Методи силових рядів (вправи)
- Page ID
- 61557
7.1: Серія живлення
Чи є силовий ряд\( \sum_{k=0}^\infty e^k x^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Чи є силовий ряд\( \sum_{k=0}^\infty k x^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Чи є силовий ряд\( \sum_{k=0}^\infty k! x^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Чи є силовий ряд\( \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k)!} {(x-10)}^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Визначте серію Тейлора для\(\sin x\) around the point \(x_0 = \pi\).
Визначте серію Тейлора для\(\ln x\) around the point \(x_0 = 1\), and find the radius of convergence.
Визначте ряд Тейлора і його радіус збіжності\(\dfrac{1}{1+x}\) around \(x_0 = 0\).
Визначте ряд Тейлора і його радіус збіжності\(\dfrac{x}{4-x^2}\) around \(x_0 = 0\). Hint: You will not be able to use the ratio test.
Розгорнути\(x^5+5x+1\) as a power series around \(x_0 = 5\).
Припустимо, що тест на співвідношення застосовується до серії\( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\). Show, using the ratio test, that the radius of convergence of the differentiated series is the same as that of the original series.
Припустимо, що\(f\) is an analytic function such that \(f^{(n)}(0) = n\). Find \(f(1)\).
Чи є силовий ряд\( \sum_{n=1}^\infty {(0.1)}^n x^n\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
- Відповідь
-
Так. Радіус збіжності дорівнює\(10\).
Чи є силовий ряд\( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} x^n\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
- Відповідь
-
Так. Радіус збіжності дорівнює\(e\).
Використовуючи геометричний ряд, розгорніть\(\frac{1}{1-x}\) around \(x_0=2\). For what \(x\) does the series converge?
- Відповідь
-
\(\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{1-(2-x)}\)Отже\(\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}(x-2)^{n}\), що сходиться для\(1<x<3\).
Знайдіть серію Тейлора для\(x^7 e^x\) around \(x_0 = 0\).
- Відповідь
-
\(\sum\limits_{n=7}^\infty \frac{1}{(n-7)!} x^{n}\)
Уявіть\(f\) and \(g\) are analytic functions such that \(f^{(k)}(0) = g^{(k)}(0)\) for all large enough \(k\). What can you say about \(f(x)-g(x)\)?
- Відповідь
-
\(f(x)-g(x)\)є многочленомним. Підказка: Використовуйте серію Тейлора.
7.2: Послідовні розв'язки лінійних ОДУ другого порядку
У наступних вправах, коли його попросять вирішити рівняння за допомогою методів силових рядів, слід знайти перші кілька членів ряду і, якщо можливо, знайти загальну формулу для\(k^{\text{th}}\) coefficient.
Використовуйте методи силових рядів для вирішення\(y''+y = 0\) at the point \(x_0 = 1\).
Використовуйте методи силових рядів для вирішення\(y''+4xy = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
Використовуйте методи силових рядів для вирішення\(y''-xy = 0\) at the point \(x_0 = 1\).
Використовуйте методи силових рядів для вирішення\(y''+x^2y = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
Методи працюють для інших замовлень, ніж другого порядку. Спробуйте методи цього розділу, щоб вирішити систему першого замовлення\(y'-xy = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
Рівняння порядку Чебишева\(p\):
- Вирішити\((1-x^2)y''-xy' + p^2y = 0\) using power series methods at \(x_0=0\).
- Для чого\(p\) is there a polynomial solution?
Знайти поліноміальний розв'язок для\((x^2+1) y''-2xy'+2y = 0\) using power series methods.
- Використовуйте методи силових рядів для вирішення\((1-x)y''+y = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
- Використовуйте рішення для частини а), щоб знайти рішення для\(xy''+y=0\) around the point \(x_0=1\).
Використовуйте методи силових рядів для вирішення\(y'' + 2 x^3 y = 0\) at the point \(x_0 =0\).
- Відповідь
-
\(a_{2}=0\),\(a_{3}=0\),\(a_{4}=0\), Відношення повторення (для\(k\geq 5\)):\(a_{k}=\frac{-2a_{k-5}}{k(k-1)}\), так\(y(x)=a_{0}+a_{1}x-\frac{a_{0}}{10}x^{5}-\frac{a_{1}}{15}x^{6}+\frac{a_{0}}{450}x^{10}+\frac{a_{1}}{825}x^{11}-\frac{a_{0}}{47250}x^{15}-\frac{a_{1}}{99000}x^{16}+\cdots\)
Ми також можемо використовувати методи степеневих рядів у неоднорідних рівняннях.
- Використовуйте методи силових рядів для вирішення\(y'' - x y = \frac{1}{1-x}\) at the point \(x_0 = 0\). Hint: Recall the geometric series.
- Тепер вирішуємо для початкової умови\(y(0)=0\), \(y'(0) = 0\).
- Відповідь
-
- \(a_{2}=\frac{1}{2}\), і для\(k\geq 1\) нас є\(a_{k}=\frac{a_{k-3}+1}{k(k-1)}\), так\(y(x)=a_{0}+a_{1}x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{a_{0}+1}{6}x^{3}+\frac{a_{1}+1}{12}x^{4}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{a_{0}+2}{30}x^{6}+\frac{a_{1}+2}{42}x^{7}+\frac{5}{112}x^{8}+\frac{a_{0}+3}{72}x^{9}+\frac{a_{1}+3}{90}x^{10}+\cdots\)
- \(y(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{12}x^{4}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{1}{15}x^{6}+\frac{1}{21}x^{7}+\frac{5}{112}x^{8}+\frac{1}{24}x^{9}+\frac{1}{30}x^{10}+\cdots\)
Спроба вирішити\(x^2 y'' - y = 0\) at \(x_0 = 0\) using the power series method of this section (\(x_0\) is a singular point). Чи можете ви знайти хоча б одне рішення? Чи можете ви знайти більше одного рішення?
- Відповідь
-
Застосовуючи метод цього розділу безпосередньо, ми отримуємо\(a_{k}=0\) для всіх,\(k\) і\(y(x)=0\) тому єдине рішення, яке ми знаходимо.
7.3: Особливі точки та метод Фробеніуса
Знайдіть конкретний (тип Frobenius) рішення\(x^2 y'' + x y' + (1+x) y = 0\).
Знайдіть конкретний (тип Frobenius) рішення\(x y'' - y = 0\).
Знайдіть конкретний (тип Frobenius) рішення\(y'' +\frac{1}{x}y' - xy = 0\).
Знайдіть загальне рішення\(2 x y'' + y' - x^2 y = 0\).
Знайдіть загальне рішення\(x^2 y'' - x y' -y = 0\).
У наступних рівняннях класифікують точку\(x=0\) як звичайну, регулярну однину або однину, але не регулярну однину.
- \(x^2(1+x^2)y''+xy=0\)
- \(x^2y''+y'+y=0\)
- \(xy''+x^3y'+y=0\)
- \(xy''+xy'-e^xy=0\)
- \(x^2y''+x^2y'+x^2y=0\)
У наступних рівняннях класифікують точку\(x=0\) як звичайну, регулярну однину або однину, але не регулярну однину.
- \(y''+y=0\)
- \(x^3y''+(1+x)y=0\)
- \(xy''+x^5y'+y=0\)
- \(\sin(x)y''-y=0\)
- \(\cos(x)y''-\sin(x)y=0\)
- Відповідь
-
- звичайна,
- однина, але не регулярна однина,
- регулярні однини,
- регулярні однини,
- звичайний.
Знайдіть загальне рішення\(x^2 y'' -y = 0\).
- Відповідь
-
\(y=Ax^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+Bx^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)
Знайдіть конкретне рішення\(x^2 y'' +(x-\frac{3}{4})y = 0\).
- Відповідь
-
\(y=x^{3/2}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{-1}}{k!(k+2)!}x^{k}\)(Врахуйте, що для зручності ми не підбирали\(a_{0}=1\).)
Знайдіть загальне рішення\(x^2 y'' - x y' +y = 0\).
- Відповідь
-
\(y=Ax+Bx\ln (x)\)