8.4: Обмеження циклів
- Page ID
- 61717
Для нелінійних систем траєкторії не просто потрібно наближатися або залишати одну точку. Насправді вони можуть наблизитися до більшого набору, наприклад, кола або іншої замкнутої кривої.
Осцилятор Ван дер Поля \(^{1}\)являє собою наступне рівняння
\[x''-\mu(1-x^2) x' + x = 0, \nonumber \]
де\(\mu\) is some positive constant. The Van der Pol oscillator originated with electrical circuits, but finds applications in diverse fields such as biology, seismology, and other physical sciences.
Для простоти скористаємося\(\mu = 1\). A phase diagram is given in the left hand plot in Figure \(\PageIndex{1}\). Notice how the trajectories seem to very quickly settle on a closed curve. On the right hand plot we have the plot of a single solution for \(t=0\) to \(t=30\) with initial conditions \(x(0) = 0.1\) and \(x'(0) = 0.1\). Notice how the solution quickly tends to a periodic solution.
Осцилятор Ван дер Пол є прикладом так званої релаксаційної коливання. Слово релаксація походить від раптового стрибка (дуже крута частина рішення). Для більших\(\mu\) the steep part becomes even more pronounced, for small \(\mu\) the limit cycle looks more like a circle. In fact setting \(\mu = 0\), we get \(x''+x=0\), which is a linear system with a center and all trajectories become circles.
Замкнута крива в фазовому портреті вище називається граничним циклом. Граничний цикл - це замкнута траєкторія, така, що принаймні одна інша траєкторія спіралі в неї (або спіралі з неї). Якщо всі траєкторії, які починаються поблизу граничного циклу спіралі в нього, то граничний цикл називається асимптотично стійким. Граничний цикл в генераторі Ван дер Поля асимптотично стабільний.
З огляду на граничний цикл на автономній системі, будь-яке рішення, яке запускається на ній, є періодичним. Насправді це справедливо для будь-якої траєкторії, яка представляє собою замкнуту криву (так звана замкнута траєкторія). Така крива називається періодичної орбітою. Точніше, якщо\(\bigl(x(t),y(t)\bigr)\) is a solution such that for some \(t_0\) the point \(\bigl(x(t_0),y(t_0)\bigr)\) lies on a periodic orbit, then both \(x(t)\) and \(y(t)\) are periodic functions (with the same period). That is, there is some number \(P\) such that \(x(t) = x(t+P)\) and \(y(t) = y(t+P)\).
Розглянемо систему
\[\label{eq:2} x' = f(x,y), ~~~~~ y' = g(x,y) , \]
де функції\(f\) and \(g\) have continuous derivatives in some region \(R\) in the plane.
Припустимо\(R\) is a closed bounded region (a region in the plane that includes its boundary and does not have points arbitrarily far from the origin). Suppose \(\bigl(x(t), y(t)\bigr)\) is a solution of \(\eqref{eq:2}\) in \(R\) that exists for all \(t \geq t_0\). Then either the solution is a periodic function, or the solution spirals towards a periodic solution in \(R\).
Основна точка теореми полягає в тому, що якщо ви знайдете одне рішення, яке існує для всіх досить\(t\) великих (тобто, як\(t\) йде до нескінченності) і залишається в обмеженій області, то ви знайшли або періодичну орбіту, або рішення, яке спіралі наближається до граничного циклу або прагне до критичної точки. Тобто в довгостроковій перспективі поведінка дуже близька до періодичної функції. Зверніть увагу, що постійний розчин в критичній точці є періодичним (з будь-яким періодом). Теорема - це скоріше якісне твердження, ніж щось, що допомагає нам у обчисленнях. На практиці важко знайти аналітичні рішення і так важко чітко показати, що вони існують протягом усього часу. Але якщо ми думаємо, що рішення існує, ми чисельно вирішуємо протягом великого часу, щоб наблизити граничний цикл. Ще одне застереження полягає в тому, що теорема працює лише у двох вимірах. У трьох вимірах і вище просто занадто багато місця.
Теорема застосовується до всіх розв'язків осцилятора Ван дер Поля. Розчини, які починаються в будь-якій точці, крім початку,\((0,0)\) будуть прагнути до періодичного рішення навколо граничного циклу, і якщо початкова умова\((0,0)\) призведе до постійного рішення\(x=0\),\(y=0\).
Розглянемо\[x' = y + {(x^2+y^2-1)}^2 x, \qquad y' = -x + {(x^2+y^2-1)}^2 y. \nonumber \] векторне поле поряд з розв'язками з початковими умовами\((1.02,0)\)\((0.9,0)\), і\((0.1,0)\) намальовані на малюнку\(\PageIndex{2}\).
Зверніть увагу, що точки на одиничному колі (відстань один від початку) задовольняють\(x^2+y^2-1=0\). І\(x(t) = \sin(t)\),\(y = \cos(t)\) є рішенням системи. Тому у нас замкнута траєкторія. Для точок з одиничного кола, другий член в\(x'\) штовхає рішення далі від\(y\) -осі, ніж система\(x' = y\)\(y' = -x\), і\(y'\) відштовхує рішення далі від\(x\) -осі, ніж лінійна система\(x'=y\),\(y' = -x\). Іншими словами, для всіх інших початкових умов траєкторія буде спіраллю.
Це означає, що для початкових умов всередині одиничного кола розчин спіралі виходить у напрямку до періодичного розв'язку на одиничному колі, а для початкових умов поза одиничним колом розчини спіралі відходять до нескінченності. Тому одиничний круг є граничним циклом, але не асимптотично стійким. Теорема Пуанкаре — Бендіксона застосовується до початкових точок всередині одиничного кола, оскільки ці розв'язки залишаються обмеженими, але не до тих, хто зовні, оскільки ці розв'язки йдуть до нескінченності.
Дуже схожий аналіз застосовується до системи\[x' = y + {(x^2+y^2-1)} x, \qquad y' = -x + {(x^2+y^2-1)} y. \nonumber \] Ми все ще отримуємо замкнуту траєкторію на одиничному колі, і точки поза одиничною окружністю спіраль виходять до нескінченності, але тепер точки всередині одиниці окружності спіралі до критичної точки на початку. Таким чином, ця система не має граничного циклу, навіть якщо вона має замкнуту траєкторію.
Завдяки теоремі Пікара (3.1.1) ми виявляємо, що незалежно від того, де ми знаходимося в площині, ми завжди можемо знайти рішення трохи далі за часом, поки\(f\) і\(g\) мають безперервні похідні. Отже, якщо ми знайдемо замкнуту траєкторію в автономній системі, то для кожної початкової точки всередині замкнутої траєкторії рішення буде існувати весь час і воно залишиться обмеженим (воно залишиться всередині замкнутої траєкторії). Отже, в той момент, коли ми знайшли рішення вище навколо одиничного кола, ми знали, що для кожної початкової точки всередині кола, рішення існує за весь час і застосовується теорема Пуанкаре - Бендіксона.
Давайте далі розглянемо умови, коли граничних циклів (або періодичних орбіт) не існує. Ми припускаємо,\(\eqref{eq:2}\) що рівняння визначено на просто пов'язаній області, тобто області без дірок, яку ми можемо обійти. Наприклад, вся площина - це просто з'єднана область, а також внутрішня частина диска блоку. Однак вся площина мінус точка не є просто зв'язаним доменом, оскільки вона має на початку.
Припустимо\(f\) and \(g\) are defined in a simply connected region \(R\). If the expression\(^{4}\)
\[ \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} \nonumber \]
завжди позитивний або завжди негативний\(R\) (except perhaps a small set such as on isolated points or curves) then the system \(\eqref{eq:2}\) has no closed trajectory inside \(R\).
Теорема дає нам спосіб виключити існування замкнутої траєкторії, а отже, і спосіб виключення граничних циклів. Виняток щодо точок або ліній дійсно означає, що ми можемо дозволити вираз бути нулем в декількох точках, або, можливо, на кривій, але не на будь-якому більшому наборі.
Давайте подивимося на\(x'=y+y^2e^x\), \(y'=x\) in the entire plane (see Example 8.2.2.) The entire plane is simply connected and so we can apply the theorem. We compute \(\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} = y^2e^x+ 0\). The function \(y^2e^x\) is always positive except on the line \(y=0\). Therefore, via the theorem, the system has no closed trajectories.
У деяких книгах (або Інтернеті) теорема не викладається ретельно, і вона робить висновок, що періодичних розв'язків немає. Це не зовсім правильно. Наведений вище приклад має дві критичні точки і, отже, він має постійні рішення, а постійні функції є періодичними. Висновок теореми повинен полягати в тому, що не існує траєкторій, що утворюють замкнуті криві. Іншим способом констатувати висновок теореми було б сказати, що не існує непостійних періодичних розв'язків, які залишаються в\(R\).
Давайте розглянемо дещо більш складний приклад. Візьміть систему\(x'=-y-x^2\), \(y'=-x+y^2\) (see Example 8.2.1). We compute \(\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} = 2x + 2y\). This expression takes on both signs, so if we are talking about the whole plane we cannot simply apply the theorem. However, we could apply it on the set where \(x+y > 0\). Via the theorem, there is no closed trajectory in that set. Similarly, there is no closed trajectory in the set \(x+y < 0\). We cannot conclude (yet) that there is no closed trajectory in the entire plane. Perhaps half of it is in the set where \(x+y >0\) and the other half is in the set where \(x+y < 0\).
Ключ полягає в тому, щоб подивитися на набір\(x+y=0\), or \(x=-y\). Let us make a substitution \(x=z\) and \(y=-z\) (so that \(x=-y\)). Both equations become \(z'=z-z^2\). So any solution of \(z'=z-z^2\), gives us a solution \(x(t)=z(t)\), \(y(t)=-z(t)\). In particular, any solution that starts out on the line \(x+y=0\), stays on the line \(x+y = 0\). In other words, there cannot be a closed trajectory that starts on the set where \(x+y > 0\) and goes through the set where \(x+y < 0\), as it would have to pass through \(x+y = 0\).
Розглянемо\(x' = y+(x^2+y^2-1)x\)\(y' = -x +(x^2+y^2-1)y\), і розглянемо\(R\) даний регіон\(x^2+y^2 > \frac{1}{2}\). Тобто область поза колом радіуса,\(R\)\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) центрована на початку координат. Тоді відбувається замкнута траєкторія в\(R\), а саме\(x=\cos(t)\),\(y=\sin(t)\). Крім того,\[\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} = 4x^2+4y^2-2 , \nonumber \] що завжди позитивно\(R\). Так що ж відбувається? Теорема Бендіксона-Дюлака не застосовується, оскільки область\(R\) не просто з'єднана - вона має отвір, коло, яке ми вирізаємо!
Виноски
[1] Названий на честь голландського фізика Бальтазара ван дер Поля (1889—1959).
[2] Івар Отто Бендіксон (1861—1935) — шведський математик.
[3] Анрі Дюлак (1870—1955) — французький математик.
[4] Зазвичай вираз у теоремі Бендіксона-Дулака призначений\(\frac{\partial (\varphi f)}{\partial x}+\frac{\partial (\varphi g)}{\varphi y}\) для деякої безперервно диференційованої функції\(\varphi\). Для простоти розглянемо лише випадок\(\varphi =1\).