15.2: Евклідовий простір

Повторимо побудову метрики$d_2$ в просторі.

Припустимо, що$\mathbb{R}^3$ позначає множину всіх трійок$(x,y,z)$ дійсних чисел. Припустимо$A=(x_A,y_A,z_A)$ і$B=(x_B,y_B,z_B)$ є довільними точками в$\mathbb{R}^3$. Визначити$\mathbb{R}^3$ метрику можна наступним чином:

$AB := \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.$

Отриманий метричний простір називається евклідовим простором.

Підмножина точок в$\mathbb{R}^3$ називається площиною, якщо її можна описати рівнянням

$a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0$

для деяких констант$a$$b$,$c$, і$d$ таких, що принаймні одне з значень$a$,$b$ або$c$ відрізняється від нуля.

Це просто показати наступне:

• Будь-яка площина в евклідовому просторі ізометрична до евклідової площини.
• Будь-які три точки в просторі лежать на площині.
• Перетин двох різних площин (якщо він непорожній) - це лінія в кожній з цих площин.

Ці твердження дають можливість узагальнити багато понять і результатів від евклідової площини геометрії до евклідового простору шляхом застосування геометрії площини в площині простору.