15.2: Евклідовий простір

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59158

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Повторимо побудову метрики\(d_2\) в просторі.

Припустимо, що\(\mathbb{R}^3\) позначає множину всіх трійок\((x,y,z)\) дійсних чисел. Припустимо\(A=(x_A,y_A,z_A)\) і\(B=(x_B,y_B,z_B)\) є довільними точками в\(\mathbb{R}^3\). Визначити\(\mathbb{R}^3\) метрику можна наступним чином:

\(AB := \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.\)

Отриманий метричний простір називається евклідовим простором.

Підмножина точок в\(\mathbb{R}^3\) називається площиною, якщо її можна описати рівнянням

\(a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0\)

для деяких констант\(a\)\(b\),\(c\), і\(d\) таких, що принаймні одне з значень\(a\),\(b\) або\(c\) відрізняється від нуля.

Це просто показати наступне:

Будь-яка площина в евклідовому просторі ізометрична до евклідової площини.
Будь-які три точки в просторі лежать на площині.
Перетин двох різних площин (якщо він непорожній) - це лінія в кожній з цих площин.

Ці твердження дають можливість узагальнити багато понять і результатів від евклідової площини геометрії до евклідового простору шляхом застосування геометрії площини в площині простору.