15.3: Космічна модель

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59157

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Давайте ідентифікуємо евклідову площину з площиною\(\Pi\) в\(\mathbb{R}^3\) евклідовому просторі, яка не проходить через початок\(O\). \(\hat{\Pi}\)Позначають проективним завершенням\(\Pi\).

\(\Phi\)Позначте множиною всіх рядків у пробілі через\(O\). Визначимо біекцію\(P \leftrightarrow \dot P\) між\(\hat \Pi\) і\(\Phi\). Якщо\(P\in \Pi\), то візьміть лінію\(\dot P=(OP)\); якщо\(P\) є ідеальною точкою\(\hat \Pi\), тому вона визначається паралельним олівцем ліній, то візьміть лінію\(\dot P\) через\(O\) паралельно лініям в цьому олівці.

Далі\(\Psi\) позначаємо множиною всі площини в просторі через\(O\). Подібним чином ми можемо визначити біджекцію\(\ell\leftrightarrow \dot \ell\) між лініями в\(\hat \Pi\) і\(\Psi\). Якщо лінія не\(\ell\) є ідеальною, то візьміть площину,\(\dot \ell\) яка містить\(\ell\) і\(O\); якщо лінія\(\ell\) ідеальна,\(\dot \ell\) то візьміть площину через,\(O\) що паралельно до\(\Pi\) (тобто\(\dot{\ell} \cap \Pi=\emptyset\)).

Спостереження\(\PageIndex{1}\)

\(P\)і\(\ell\) бути точкою і лінією в реальній проективній площині. Тоді\(P \in \ell\) якщо і тільки якщо\(\dot{P} \subset \dot{\ell}\), де\(\dot{P}\) і\(\dot{\ell}\) позначають лінію і площину, визначені побудованими двоєкторами.