15.3: Космічна модель

Давайте ідентифікуємо евклідову площину з площиною$\Pi$ в$\mathbb{R}^3$ евклідовому просторі, яка не проходить через початок$O$. $\hat{\Pi}$Позначають проективним завершенням$\Pi$.

$\Phi$Позначте множиною всіх рядків у пробілі через$O$. Визначимо біекцію$P \leftrightarrow \dot P$ між$\hat \Pi$ і$\Phi$. Якщо$P\in \Pi$, то візьміть лінію$\dot P=(OP)$; якщо$P$ є ідеальною точкою$\hat \Pi$, тому вона визначається паралельним олівцем ліній, то візьміть лінію$\dot P$ через$O$ паралельно лініям в цьому олівці.

Далі$\Psi$ позначаємо множиною всі площини в просторі через$O$. Подібним чином ми можемо визначити біджекцію$\ell\leftrightarrow \dot \ell$ між лініями в$\hat \Pi$ і$\Psi$. Якщо лінія не$\ell$ є ідеальною, то візьміть площину,$\dot \ell$ яка містить$\ell$ і$O$; якщо лінія$\ell$ ідеальна,$\dot \ell$ то візьміть площину через,$O$ що паралельно до$\Pi$ (тобто$\dot{\ell} \cap \Pi=\emptyset$).

Спостереження$\PageIndex{1}$

$P$і$\ell$ бути точкою і лінією в реальній проективній площині. Тоді$P \in \ell$ якщо і тільки якщо$\dot{P} \subset \dot{\ell}$, де$\dot{P}$ і$\dot{\ell}$ позначають лінію і площину, визначені побудованими двоєкторами.