1: Вектори в евклідовому просторі

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У векторному (або багатовимірному) численні ми будемо мати справу з функціями двох-трьох змінних (зазвичай $x, y$ або $x, y, z$ , відповідно). Графік функції двох змінних, скажімо $z = f(x,y)$ , лежить в евклідовому просторі, яке в декартовій системі координат складається з усіх впорядкованих трійок дійсних чисел $(a, b, c)$ . Так як евклідове простір є 3-мірним, позначимо його шляхом $\mathbb{R}^{3}$ . Графік $f$ складається з точок $(x, y, z) = (x, y, f(x, y))$ .

1.1: Вступ
У векторному (або багатоваріантному) численні ми будемо мати справу з функціями двох-трьох змінних (зазвичай $x, y$ або $x, y, z$ , відповідно). Графік функції двох змінних, скажімо $z = f(x,y)$ , лежить в евклідовому просторі, яке в декартовій системі координат складається з усіх впорядкованих трійок дійсних чисел $(a, b, c)$ . Так як евклідове простір є 3-вимірним, позначимо його по $\mathbb{R}^{3}$ . Графік $f$ складається з точок $(x, y, z) = (x, y, f(x, y))$ .
1.2: Векторна алгебра
Тепер, коли ми знаємо, що таке вектори, ми можемо почати виконувати деякі звичайні алгебраїчні операції над ними (наприклад, додавання, віднімання). Перш ніж це зробити, ми введемо поняття скаляра. Термін скалярний був придуманий для передачі сенсу чогось, що можна було б представити точкою на шкалі або градуйованою лінійкою. Слово вектор походить від латинської мови, де воно означає «носій». Прикладами скалярних величин є маса, електричний заряд і швидкість (не швидкість).
1.3: Точковий продукт
Можливо, ви помітили, що, хоча ми визначали множення вектора на скаляр в попередньому розділі про векторну алгебру, ми не визначали множення вектора на вектор. Тепер ми побачимо один тип множення векторів, який називається точковим добутком.
1.4: Перехресний продукт
У розділі 1.3 ми визначили точковий добуток, який дав спосіб множення двох векторів. Отриманий добуток, однак, був скаляром, а не вектором. У цьому розділі ми визначимо добуток двох векторів, що призводить до іншого вектора. Цей твір, званий перехресним добутком, визначається лише для векторів в $\mathbb{R}^{3}$ . Визначення може здатися дивним і не має мотивації, але ми побачимо геометричну основу для нього незабаром.
1.5: Лінії та площини
Тепер, коли ми знаємо, як виконувати деякі операції над векторами, ми можемо почати мати справу з деякими звичними геометричними об'єктами, такими як лінії та площини, мовою векторів. Причина цього проста: використання векторів полегшує вивчення об'єктів у тривимірному евклідовому просторі. Спочатку розглянемо рядки.
1.6: Поверхні
Площина в евклідовому просторі є прикладом поверхні, яку ми неформально визначимо як набір розв'язків рівняння F (x, y, z) =0 у R3, для деякої реальної функції F. Наприклад, площина, задана ax+by+cz+d=0, є набором розв'язків F (x, y, z) =0 для функції F (x, y, z) =ax+by+cz+d. поверхні 2- габаритний. Площина - найпростіша поверхня, так як вона «плоска». У цьому розділі ми розглянемо деякі більш складні поверхні, найважливішими з яких є сфери і циліндри.
1.7: Криволінійні координати
Два типи криволінійних координат, які ми розглянемо, - це циліндричні та сферичні координати. Замість того, щоб посилатися на точку через сторони прямокутного паралелепіпеда, як у випадку з декартовими координатами, ми будемо думати про точку як лежить на циліндрі або сфері. Циліндричні координати часто використовуються, коли є симетрія навколо $z$ -осі; сферичні координати корисні, коли існує симетрія щодо початку.
1.8: Векторно-значні функції
Векторно-значна функція дійсної змінної - це правило, яке пов'язує вектор $\textbf{f}(t)$ з дійсним числом $t$ , де $t$ знаходиться в деякій $D$ підмножині $\mathbb{R}^1$ (називається доменом $f$ ). Ми пишемо f: $D →$ $\mathbb{R}^ 3$ щоб позначити, що f є відображенням $D$ в $\mathbb{R}^ 3$ .
1.9: Довжина дуги
Крива може мати багато параметризацій, з різною швидкістю, тож яку з них найкраще використовувати? У деяких ситуаціях параметризація довжини дуги може бути корисною. Ідея цього полягає в тому, щоб замінити параметр $t$ , для будь-якої заданої плавної параметризації, $\textbf{f}(t)$ $[a,b]$ визначеної на, новим параметром $s$ .
1.E: Вектори в евклідієвому просторі (вправи)
Проблеми і вибір варіантів вирішення глави.

Автори та атрибуція

Template:ContribCorral
Thumbnail: Illustration of the Cartesian coordinate system for 3D. (Public Domain; Jorge Stolfi).