Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.5: Проективні перетворення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59154

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Біекція від реальної проективної площини до себе, яка посилає лінії до ліній, називається проективним перетворенням.

    Зауважимо, що будь-яке аффінне перетворення визначає проективне перетворення на відповідній реальній проективній площині. Ми назвемо такі проективні перетворення афінними; це проективні перетворення, які посилають ідеальну лінію до себе.

    Розширена перспективна проекція, розглянута в попередньому розділі, дає ще одне джерело прикладів проективних перетворень.

    Теорема\(\PageIndex{1}\)

    З огляду на\(\ell\) пряму в реальній проективній площині, існує перспективна проекція, яка посилає\(\ell\) на ідеальну лінію.

    Більше того, перетворення перспективи є афінним або, у відповідній системі координат, його можна записати як композицію розширення перспективної проекції

    \(\beta:(x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})\)

    і аффінне перетворення.

    Доказ

    Ми можемо вибрати систему\((x,y)\) координат, таку, що лінія\(\ell\) визначається рівнянням\(y=0\). Тоді розширення\(\beta\) дає необхідну трансформацію.

    Виправте проективне перетворення\(\gamma\). Якщо\(\gamma\) посилає ідеальну лінію до себе, то вона повинна бути афінною. Це доводить теорему в даному випадку.

    Припустимо,\(\gamma\) посилає ідеальну лінію до лінії\(\ell\). Виберіть перспективну проекцію\(\beta\), як зазначено вище. Композиція\(\beta\circ\gamma\) посилає ідеальну лінію до себе. Тобто,\(\gamma=\beta\circ\gamma\) є афінним. Зауважте, що\(\beta\) є самооберненою; отже\(\alpha=\beta\circ \gamma\) — звідси і результат.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    \(P\mapsto P'\)Дозволяти бути (а) афінне перетворення, (б) перспективна проекція\((x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})\), визначена, або (c) довільне проективне перетворення. Припустимо,\(P_1,P_2,P_3,P_4\) лежати на одній лінії. Покажіть, що

    \(\dfrac{P_1P_2\cdot P_3P_4}{P_2 P_3 \cdot P_4 P_1}=\dfrac{P'_1P'_2\cdot P'_3P'_4}{P'_2P'_3\cdot P'_4P'_1};\)

    тобто кожна з цих карт зберігає перехресне відношення для чотирикраток точок на одній лінії.

    Підказка

    Щоб довести (а), застосуйте Пропозицію 14.3.1.

    Щоб довести (б), припустимо\(P_i = (x_i, y_i)\); показати і використовувати це

    \(\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(x_1 - x_2) \cdot (x_3 - x_4)}{(x_2 - x_3)\cdot (x_4 - x_1)}|\)

    якщо все\(P_i\) лежать на горизонтальній лінії\(y = b\), а

    \(\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(y_1 - y_2) \cdot (y_3 - y_4)}{(y_2 - y_3)\cdot (y_4 - y_1)}|\)

    інакше. (Див. 20.8.4 для іншого доказу.)

    Щоб довести (c), застосувати (a), (b) та теорему\(\PageIndex{1}\).