15.5: Проективні перетворення

Біекція від реальної проективної площини до себе, яка посилає лінії до ліній, називається проективним перетворенням.

Зауважимо, що будь-яке аффінне перетворення визначає проективне перетворення на відповідній реальній проективній площині. Ми назвемо такі проективні перетворення афінними; це проективні перетворення, які посилають ідеальну лінію до себе.

Розширена перспективна проекція, розглянута в попередньому розділі, дає ще одне джерело прикладів проективних перетворень.

Теорема$\PageIndex{1}$

З огляду на$\ell$ пряму в реальній проективній площині, існує перспективна проекція, яка посилає$\ell$ на ідеальну лінію.

Більше того, перетворення перспективи є афінним або, у відповідній системі координат, його можна записати як композицію розширення перспективної проекції

$\beta:(x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})$

і аффінне перетворення.

Доказ

Ми можемо вибрати систему$(x,y)$ координат, таку, що лінія$\ell$ визначається рівнянням$y=0$. Тоді розширення$\beta$ дає необхідну трансформацію.

Виправте проективне перетворення$\gamma$. Якщо$\gamma$ посилає ідеальну лінію до себе, то вона повинна бути афінною. Це доводить теорему в даному випадку.

Припустимо,$\gamma$ посилає ідеальну лінію до лінії$\ell$. Виберіть перспективну проекцію$\beta$, як зазначено вище. Композиція$\beta\circ\gamma$ посилає ідеальну лінію до себе. Тобто,$\gamma=\beta\circ\gamma$ є афінним. Зауважте, що$\beta$ є самооберненою; отже$\alpha=\beta\circ \gamma$ — звідси і результат.

Вправа$\PageIndex{1}$

$P\mapsto P'$Дозволяти бути (а) афінне перетворення, (б) перспективна проекція$(x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})$, визначена, або (c) довільне проективне перетворення. Припустимо,$P_1,P_2,P_3,P_4$ лежати на одній лінії. Покажіть, що

$\dfrac{P_1P_2\cdot P_3P_4}{P_2 P_3 \cdot P_4 P_1}=\dfrac{P'_1P'_2\cdot P'_3P'_4}{P'_2P'_3\cdot P'_4P'_1};$

тобто кожна з цих карт зберігає перехресне відношення для чотирикраток точок на одній лінії.

Підказка

Щоб довести (а), застосуйте Пропозицію 14.3.1.

Щоб довести (б), припустимо$P_i = (x_i, y_i)$; показати і використовувати це

$\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(x_1 - x_2) \cdot (x_3 - x_4)}{(x_2 - x_3)\cdot (x_4 - x_1)}|$

якщо все$P_i$ лежать на горизонтальній лінії$y = b$, а

$\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(y_1 - y_2) \cdot (y_3 - y_4)}{(y_2 - y_3)\cdot (y_4 - y_1)}|$

інакше. (Див. 20.8.4 для іншого доказу.)

Щоб довести (c), застосувати (a), (b) та теорему$\PageIndex{1}$.