Search

17.2: Проективна модель
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/17%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C/17.02%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C
\[\cosh a = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{\sqrt{1 - t^2} + s}{\sqrt{1 - t^2} - s} + \dfrac{\sqrt{1 - t^2} - s}{\sqrt{1 - t^2} + s}) = \dfrac{\sqrt{1 - t^2}}{\sqrt{1 - t^2 - s^2}} = \dfrac{\sqrt{1 - t^2}}... $\cosh a = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{\sqrt{1 - t^2} + s}{\sqrt{1 - t^2} - s} + \dfrac{\sqrt{1 - t^2} - s}{\sqrt{1 - t^2} + s}) = \dfrac{\sqrt{1 - t^2}}{\sqrt{1 - t^2 - s^2}} = \dfrac{\sqrt{1 - t^2}}{\sqrt{1 - u^2}}.$
3.3: Той самий знак леми
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/03%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%96%D0%B2%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B8/3.03%3A_%D0%A2%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8
Тоді для будь-яких $X \in (PQ)$ кутів $PQX$ і $PQ'X$ мають такий же знак. Застосовуючи Слідство 3.2.1, для $P_t = P$ , і $Q_t$ $X_t = X$ , ми отримуємо, що $\angle PQX$ має той же знак, що і\(\an...Тоді для будь-яких $X \in (PQ)$ кутів $PQX$ і $PQ'X$ мають такий же знак. Застосовуючи Слідство 3.2.1, для $P_t = P$ , і $Q_t$ $X_t = X$ , ми отримуємо, що $\angle PQX$ має той же знак, що і $\angle PQ'X$ . Тому $\angle CAB$ має той же знак, що і $\angle ZAC$ який в свою чергу має той же знак, що і $\measuredangle ABC = \measuredangle ZBC$ . Застосовуючи Слідство 3.2.1, для $P_t = P$ , і $Q_t = Q$ $X_t$ , ми отримуємо, що $\angle PQX$ має той же знак, що і $\angle PQY$ .
1: Попередні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96
8.5: Рівновіддалена властивість
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/08%3A_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0/8.05%3A_%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B2%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C
Потім точка $X$ лежить на бісектрисі зовнішньої бісектриси $\angle ABC$ if і тільки якщо $X$ рівновіддалена від ліній $(AB)$ і $(BC)$ . $2 \cdot \measuredangle XBA \equiv \measuredangle XBY$ ,\(2...Потім точка $X$ лежить на бісектрисі зовнішньої бісектриси $\angle ABC$ if і тільки якщо $X$ рівновіддалена від ліній $(AB)$ і $(BC)$ . $2 \cdot \measuredangle XBA \equiv \measuredangle XBY$ , $2 \cdot \measuredangle XBC \equiv \measuredangle XBZ.$ $\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv 0$ або $\measuredangle XBA + \measuredangle XBC \equiv \pi,$
20.5: Площа суцільних прямокутників
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/20%3A_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0/20.05%3A_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D1%81%D1%83%D1%86%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D1%96%D0%B2
$\begin{aligned} s(a,b)&=s(a',b)+s(a-a',b)\ge \\ &\ge s(a',b)= \\ &\ge s(a',b')+s(a',b-b')\ge \\ &\ge s(a',b').\end{aligned}$ \(\begin{aligned} s(\tfrac kl,\tfrac mn)&=k \cdot s(\tfrac 1l,\tfrac mn)... $\begin{aligned} s(a,b)&=s(a',b)+s(a-a',b)\ge \\ &\ge s(a',b)= \\ &\ge s(a',b')+s(a',b-b')\ge \\ &\ge s(a',b').\end{aligned}$ $\begin{aligned} s(\tfrac kl,\tfrac mn)&=k \cdot s(\tfrac 1l,\tfrac mn)= \\ &=k\cdot m \cdot s(\tfrac 1l,\tfrac 1n)= \\ &=k\cdot m\cdot \tfrac 1l\cdot s(1, \tfrac 1n)= \\ &=k\cdot m\cdot \tfrac 1l\cdot \tfrac 1n\cdot s(1,1)= \\ &=\tfrac kl\cdot\tfrac mn\end{aligned}$
4.3: Ізоселі трикутники
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/04%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/4.03%3A_%D0%86%D0%B7%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8
Трикутник з двома рівними сторонами називається рівнобедреним; решта - підставою.
20.1: Суцільні трикутники
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/20%3A_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0/20.01%3A_%D0%A1%D1%83%D1%86%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8
Безліч всіх точок всередині $\triangle ABC$ і з його сторін $[AB]$ $[BC]$ , $[CA]$ буде називатися суцільним трикутником $ABC$ і позначено $\blacktriangle ABC$ . Дійсно, достатньо показати, що якщ...Безліч всіх точок всередині $\triangle ABC$ і з його сторін $[AB]$ $[BC]$ , $[CA]$ буде називатися суцільним трикутником $ABC$ і позначено $\blacktriangle ABC$ . Дійсно, достатньо показати, що якщо $f$ це рух, який $\blacktriangle ABC$ відображає $\blacktriangle A'B'C'$ , то $f$ відображає кожну вершину $\triangle ABC$ до вершини $\triangle A'B'C'$ .
Євклідова площина і його родичі (Petrunin)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)
Ця книга розрахована на семестровий курс з основ геометрії і має бути строгим, консервативним, елементарним і мінімалістичним.
17.1: Спеціальна ін'єкція на h-площині
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/17%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C/17.01%3A_%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%96%D0%BD'%D1%94%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_h-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96
Припустимо, що $\Lambda$ позначає площину; вона містить точки $A$ $B$ , $P'$ ,, $\hat P$ і коло $\Gamma=\Sigma\cap\Lambda$ . (Він також містить $Q'$ і, $\hat{Q}$ але ми не будемо використовувати ...Припустимо, що $\Lambda$ позначає площину; вона містить точки $A$ $B$ , $P'$ ,, $\hat P$ і коло $\Gamma=\Sigma\cap\Lambda$ . (Він також містить $Q'$ і, $\hat{Q}$ але ми не будемо використовувати ці пункти деякий час.) $\begin{aligned} PQ_h&:=\ln\frac{A Q\cdot B P}{QB\cdot PA}= \\ &=\ln\left(\frac{A \hat Q\cdot B \hat P}{\hat QB\cdot \hat PA}\right)^{\frac12}= \\ &=\tfrac12\cdot\ln\frac{A \hat Q\cdot B \hat P}{\hat QB\cdot \hat PA}.\end{aligned}$
13.5: Конформна інтерпретація
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/13%3A_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_h-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B8/13.05%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%BD%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F
\(\begin{array} {rcl} {\lim_{n \to \infty} n \cdot y_n} & = & {\dfrac{2}{1 - a^2} \cdot \lim_{n \to \infty} n \cdot x_n =} \\ {} & = & {\dfrac{4 \cdot \pi \cdot a}{1 - a^2} =} \\ {} & = & {\dfrac{4 \c... $\begin{array} {rcl} {\lim_{n \to \infty} n \cdot y_n} & = & {\dfrac{2}{1 - a^2} \cdot \lim_{n \to \infty} n \cdot x_n =} \\ {} & = & {\dfrac{4 \cdot \pi \cdot a}{1 - a^2} =} \\ {} & = & {\dfrac{4 \cdot \pi \cdot (\dfrac{e^r - 1}{e^r + 1})}{1 - (\dfrac{e^r - 1}{e^r + 1})^2} =} \\ {} & = & {2 \cdot \pi \cdot \dfrac{e^r - e^{-r}}{2} =} \\ {} & = & {2 \cdot \pi \cdot \sinh r.} \end{array}$
18.6: Метод комплексних координат
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%84%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D1%96_(Petrunin)/18%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8/18.06%3A_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82
Позначте за $a$ $b$ , $u$ , $v$ , і $w$ комплексні координати $A$ , $B$ , $U$ , $V$ , і $W$ відповідно. Пізніше означає $|\dfrac{u - a}{b - a}| = |\dfrac{b - v}{a - v}| = |\dfrac{a - b}{w - b}|$ , ...Позначте за $a$ $b$ , $u$ , $v$ , і $w$ комплексні координати $A$ , $B$ , $U$ , $V$ , і $W$ відповідно. Пізніше означає $|\dfrac{u - a}{b - a}| = |\dfrac{b - v}{a - v}| = |\dfrac{a - b}{w - b}|$ , що, і $\arg \dfrac{b - a}{u - a} = \arg \dfrac{a - b}{w - b}$ . $\dfrac{b - a}{u - a} = \dfrac{a - v}{b - v} = \dfrac{w - b}{a -b} = \dfrac{w - v}{u - v}.$ $\dfrac{(b - a) + (a -v) + (w - b)}{(u - a) + (b - v) + (a -b)} = \dfrac{w - v}{u - v}.$