13.6: Таблиця трансформацій Лапласа
Властивості та правила
Ми припускаємо, щоf(t)=0 дляt<0.
Функція Трансформація
f(t) F(s)=∫∞0f(t)e−st dt (Definition)af(t)+bg(t) aF(s)+bG(s) (Linearity)eatf(t) F(s−a) (s−shift)f′(t) sF(s)−f(0) f″(t) s2F(s)−sf(0)−f′(0) f(n)(t) snF(s)−sn−1f(0)− ⋅⋅⋅−f(n−1)(0) tf(t) −F′(s) tnf(t) (−1)nF(n)(s) f(t−a) e−asF(s) (t−translation or t−shift)∫t0f(τ) dτ F(s)s (integration rule)f(t)t ∫∞sF(σ) dσ
Функція Перетворення області збіжності
1 1/s Re(s)>0eat 1/(s−a) Re(s)>Re(a)t 1/s2 Re(s)>0tn n!/sn+1 Re(s)>0cos(ωt) s/(s2+ω2) Re(s)>0sin(ωt) ω/(s2+ω2) Re(s)>0eatcos(ωt) (s−a)/((s−a)2+ω2) Re(s)>Re(a)eatsin(ωt) ω/((s−a)2+ω2) Re(s)>Re(a)δ(t) 1 all sδ(t−a) e−as all scosh(kt)=ekt+e−kt2 s/(s2−k2) Re(s)>ksinh(kt)=ekt−e−kt2 k/(s2−k2) Re(s)>k12ω3(sin(ωt)−ωtcos(ωt)) 1(s2+ω2)2 Re(s)>0t2ωsin(ωt) s(s2+ω2)2 Re(s)>012ω(sin(ωt)+ωtcos(ωt)) s2(s2+ω2)2 Re(s)>0tneat n!/(s−a)n+1 Re(s)>Re(a)1√πt 1√s Re(s)>0ta Γ(a+1)sa+1 Re(s)>0