13.2: Перетворення Лапласа
- Page ID
- 62654
Перетворення Лапласа функції\(f(t)\) визначається інтегралом
\[\mathcal{L} (f;s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\ dt,\]
для тих,\(s\) де інтеграл сходиться. Тут\(s\) дозволяється приймати комплексні значення.
Перетворення Лапласа стосується лише\(f(t)\) для\(t \ge 0\). Взагалі, кажучи, ми можемо вимагати\(f(t) = 0\) для\(t < 0\).
Там, де позначення зрозумілі, ми будемо використовувати букву верхнього регістру для позначення перетворення Лапласа, наприклад,\(\mathcal{L} (f; s) = F(s)\).
Визначене нами перетворення Лапласа іноді називають одностороннім перетворенням Лапласа. Існує двосторонній варіант, де інтеграл йде від\(-\infty\) до\(\infty\).
перші приклади
Давайте обчислимо кілька прикладів. Ми також помістимо ці результати в таблицю перетворення Лапласа в кінці цих нотаток.
Нехай\(f(t) = e^{at}\). Обчислюйте\(F(s) = \mathcal{L} (f; s)\) безпосередньо. Дайте область в комплексній\(s\) -площині, де сходиться інтеграл.
\[\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (e^{at} ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st}\ dt = \int_{0}^{\infty} e^{(a - s) t} \ dt = \dfrac{e^{(a - s) t}}{a - s} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{1}{s - a} & \text{ if Re} (s) > \text{Re} (a) \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}\]
Остання формула походить від підключення\(\infty\) до експоненціальної. Це 0, якщо\(\text{Re} (a - s) < 0\) і не визначено інакше.
Нехай\(f(t) = b\). Обчислюйте\(F(s) = \mathcal{L} (f; s)\) безпосередньо. Дайте область в комплексній\(s\) -площині, де сходиться інтеграл.
\[\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (b ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} be^{-st}\ dt = \dfrac{be^{- st}}{- s} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{b}{s} & \text{ if Re} (s) > 0 \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}\]
Остання формула походить від підключення\(\infty\) до експоненціальної. Це 0, якщо\(\text{Re} (-s) < 0\) і не визначено інакше.
Нехай\(f(t) = t\). Обчислюйте\(F(s) = \mathcal{L} (f;s)\) безпосередньо. Дайте область в комплексній\(s\) -площині, де сходиться інтеграл.
\[\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (t ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} te^{-st}\ dt = \dfrac{te^{- st}}{- s} - \dfrac{e^{- st}}{s^2} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{1}{s^2} & \text{ if Re} (s) > 0 \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}\]
Обчислити
\[\mathcal{L} (\cos (\omega t)).\]
Рішення
використовуємо формулу
\[\cos (\omega t) = \dfrac{e^{i\omega t} + e^{-i \omega t}}{2}.\]
Отже,
\[\mathcal{L} (\cos (\omega t); s) = \dfrac{1/(s - i\omega) + 1/(s + i\omega)}{2} = \dfrac{s}{s^2 + \omega^2}.\]
Зв'язок з перетворенням Фур'є
Перетворення Лапласа і Фур'є тісно пов'язані між собою. Насправді перетворення Лапласа часто називають перетворенням Фур'є-Лапласа. Щоб побачити зв'язок, ми почнемо з перетворення Фур'є функції\(f(t)\).
\[\hat{f} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.\]
Якщо ми\(f(t) = 0\) припускаємо\(t < 0\), що це стає
\[\hat{f} (\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.\]
Тепер, якщо\(s = i\omega\) тоді перетворення Лапласа
\[\mathcal{L}(f; s) = \mathcal{L} (f; i\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.\]
Порівнюючи ці два рівняння, ми бачимо, що\(\hat{f} (\omega) = \mathcal{L} (f; i \omega)\). Ми бачимо перетворення в основному ті ж речі, використовуючи різні позначення —принаймні для функцій, які 0 для\(t < 0\).