13.2: Перетворення Лапласа

Визначення

Перетворення Лапласа функції$f(t)$ визначається інтегралом

$$\mathcal{L} (f;s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\ dt,$$

для тих,$s$ де інтеграл сходиться. Тут$s$ дозволяється приймати комплексні значення.

Важливе зауваження

Перетворення Лапласа стосується лише$f(t)$ для$t \ge 0$. Взагалі, кажучи, ми можемо вимагати$f(t) = 0$ для$t < 0$.

Стандартні позначення

Там, де позначення зрозумілі, ми будемо використовувати букву верхнього регістру для позначення перетворення Лапласа, наприклад,$\mathcal{L} (f; s) = F(s)$.

Визначене нами перетворення Лапласа іноді називають одностороннім перетворенням Лапласа. Існує двосторонній варіант, де інтеграл йде від$-\infty$ до$\infty$.

перші приклади

Давайте обчислимо кілька прикладів. Ми також помістимо ці результати в таблицю перетворення Лапласа в кінці цих нотаток.

Приклад$\PageIndex{1}$

Нехай$f(t) = e^{at}$. Обчислюйте$F(s) = \mathcal{L} (f; s)$ безпосередньо. Дайте область в комплексній$s$ -площині, де сходиться інтеграл.

$$\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (e^{at} ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st}\ dt = \int_{0}^{\infty} e^{(a - s) t} \ dt = \dfrac{e^{(a - s) t}}{a - s} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{1}{s - a} & \text{ if Re} (s) > \text{Re} (a) \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}$$

Остання формула походить від підключення$\infty$ до експоненціальної. Це 0, якщо$\text{Re} (a - s) < 0$ і не визначено інакше.

Приклад$\PageIndex{2}$

Нехай$f(t) = b$. Обчислюйте$F(s) = \mathcal{L} (f; s)$ безпосередньо. Дайте область в комплексній$s$ -площині, де сходиться інтеграл.

$$\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (b ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} be^{-st}\ dt = \dfrac{be^{- st}}{- s} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{b}{s} & \text{ if Re} (s) > 0 \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}$$

Остання формула походить від підключення$\infty$ до експоненціальної. Це 0, якщо$\text{Re} (-s) < 0$ і не визначено інакше.

Приклад$\PageIndex{3}$

Нехай$f(t) = t$. Обчислюйте$F(s) = \mathcal{L} (f;s)$ безпосередньо. Дайте область в комплексній$s$ -площині, де сходиться інтеграл.

$$\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (t ; s)} & = & {\int_{0}^{\infty} te^{-st}\ dt = \dfrac{te^{- st}}{- s} - \dfrac{e^{- st}}{s^2} \vert_{0}^{\infty}} \\ {rcl} {} & = & {= \begin{cases} \dfrac{1}{s^2} & \text{ if Re} (s) > 0 \\ \text{divergent} & \text{ otherwise} \end{cases}} \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{4}$

Обчислити

$$\mathcal{L} (\cos (\omega t)).$$

Рішення

використовуємо формулу

$$\cos (\omega t) = \dfrac{e^{i\omega t} + e^{-i \omega t}}{2}.$$

Отже,

$$\mathcal{L} (\cos (\omega t); s) = \dfrac{1/(s - i\omega) + 1/(s + i\omega)}{2} = \dfrac{s}{s^2 + \omega^2}.$$

Зв'язок з перетворенням Фур'є

Перетворення Лапласа і Фур'є тісно пов'язані між собою. Насправді перетворення Лапласа часто називають перетворенням Фур'є-Лапласа. Щоб побачити зв'язок, ми почнемо з перетворення Фур'є функції$f(t)$.

$$\hat{f} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.$$

Якщо ми$f(t) = 0$ припускаємо$t < 0$, що це стає

$$\hat{f} (\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.$$

Тепер, якщо$s = i\omega$ тоді перетворення Лапласа

$$\mathcal{L}(f; s) = \mathcal{L} (f; i\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t}\ dt.$$

Порівнюючи ці два рівняння, ми бачимо, що$\hat{f} (\omega) = \mathcal{L} (f; i \omega)$. Ми бачимо перетворення в основному ті ж речі, використовуючи різні позначення —принаймні для функцій, які 0 для$t < 0$.