13.3: Експоненціальний тип

Перетворення Лапласа визначається, коли інтеграл для нього збігається. Функції експоненціального типу - це клас функцій, для яких інтеграл сходиться для всіх$s$ з досить$\text{Re} (s)$ великими.

Визначення

Ми говоримо, що$f(t)$ має експоненціальний тип,$a$ якщо існує$M$ такий, що$|f(t)| < Me^{at}$ для всіх$t \ge 0$.

Примітка

Як ми його визначили, експоненціальний тип функції не є унікальним. Наприклад, функція експоненціального типу 2 явно також експоненціального типу 3. Приємно, але не завжди потрібно, знайти найменший експоненціальний тип для функції.

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$f$ має експоненціальний тип,$a$ то$\mathcal{L} (f)$ сходиться абсолютно для$\text{Re} (s) > a$.

Доказ

Доведено абсолютну збіжність обмеженням

$$|f(t) e^{-st}|.$$

Ключовим тут є те, що$\text{Re} (s) > a$ має на увазі$\text{Re} (a - s) < 0$. Отже, ми можемо написати

$$\int_{0}^{\infty} |f(t) e^{-st}|\ dt \le \int_{0}^{\infty} |Me^{(a - s)t}|\ dt = \int_{0}^{\infty} Me^{\text{Re} (a - s)t} \ dt$$

Останній інтеграл чітко сходиться, коли$\text{Re} (a - s) < 0$. $\text{RED}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Ось список деяких функцій експоненціального типу.

$$\begin{array} {rclcl} {f(t) = e^{at}} & : & {|f(t)| < 2e^{\text{Re} (a) t}} & \ & {\text{(exponential type Re} (a))} \\ {f(t) = 1} & : & {|f(t)| < 2 = 2e^{0 - t}} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \\ {f(t) = \cos (\omega t)} & : & {|f(t)| \le 1} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \end{array}$$

У вищесказаному всі нерівності призначені для$t \ge 0$.

Бо$f(t) = t$, зрозуміло, що для будь-якого$a > 0$ існує$M$ залежність від$a$ такого, що$|f(t)| \le Me^{at}$ для$t \ge 0$. Насправді, це проста вправа для обчислення, щоб показати$M = 1/(ae)$ роботи. Отже,$f(t) = t$ має експоненціальний тип$a$ для будь-якого$a > 0$.

Те ж саме стосується$t^n$. Варто зазначити, що це випливає, оскільки, якщо$f$ має експоненціальний тип$a$ і$g$ має експоненціальний тип,$b$ то$fg$ має експоненціальний тип$a + b$. Отже, якщо$t$ має експоненціальний тип,$a$ то$t^n$ має експоненціальний тип$na$.