13.3: Експоненціальний тип

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62644

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Перетворення Лапласа визначається, коли інтеграл для нього збігається. Функції експоненціального типу - це клас функцій, для яких інтеграл сходиться для всіх\(s\) з досить\(\text{Re} (s)\) великими.

Визначення

Ми говоримо, що\(f(t)\) має експоненціальний тип,\(a\) якщо існує\(M\) такий, що\(|f(t)| < Me^{at}\) для всіх\(t \ge 0\).

Примітка

Як ми його визначили, експоненціальний тип функції не є унікальним. Наприклад, функція експоненціального типу 2 явно також експоненціального типу 3. Приємно, але не завжди потрібно, знайти найменший експоненціальний тип для функції.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(f\) має експоненціальний тип,\(a\) то\(\mathcal{L} (f)\) сходиться абсолютно для\(\text{Re} (s) > a\).

Доказ

Доведено абсолютну збіжність обмеженням

\[|f(t) e^{-st}|.\]

Ключовим тут є те, що\(\text{Re} (s) > a\) має на увазі\(\text{Re} (a - s) < 0\). Отже, ми можемо написати

\[\int_{0}^{\infty} |f(t) e^{-st}|\ dt \le \int_{0}^{\infty} |Me^{(a - s)t}|\ dt = \int_{0}^{\infty} Me^{\text{Re} (a - s)t} \ dt\]

Останній інтеграл чітко сходиться, коли\(\text{Re} (a - s) < 0\). \(\text{RED}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Ось список деяких функцій експоненціального типу.

\[\begin{array} {rclcl} {f(t) = e^{at}} & : & {|f(t)| < 2e^{\text{Re} (a) t}} & \ & {\text{(exponential type Re} (a))} \\ {f(t) = 1} & : & {|f(t)| < 2 = 2e^{0 - t}} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \\ {f(t) = \cos (\omega t)} & : & {|f(t)| \le 1} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \end{array}\]

У вищесказаному всі нерівності призначені для\(t \ge 0\).

Бо\(f(t) = t\), зрозуміло, що для будь-якого\(a > 0\) існує\(M\) залежність від\(a\) такого, що\(|f(t)| \le Me^{at}\) для\(t \ge 0\). Насправді, це проста вправа для обчислення, щоб показати\(M = 1/(ae)\) роботи. Отже,\(f(t) = t\) має експоненціальний тип\(a\) для будь-якого\(a > 0\).

Те ж саме стосується\(t^n\). Варто зазначити, що це випливає, оскільки, якщо\(f\) має експоненціальний тип\(a\) і\(g\) має експоненціальний тип,\(b\) то\(fg\) має експоненціальний тип\(a + b\). Отже, якщо\(t\) має експоненціальний тип,\(a\) то\(t^n\) має експоненціальний тип\(na\).