Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.5: Диференціальні рівняння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62662

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Метод приховування

    Ми будемо використовувати часткові дроби і метод coverup. Будемо вважати, що ви бачили часткові дроби. Якщо ви не пам'ятаєте їх добре або ніколи не бачили методу приховування.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Вирішіть\(y'' - y = e^{2t}\)\(y(0) = 1\),\(y'(0) = 1\) використовуючи перетворення Лапласа.

    Рішення

    Телефонуйте\(\mathcal{L} (y) = Y\). Застосувати перетворення Лапласа до рівняння дає

    \[(s^2 Y - sy(0) - y'(0)) - Y = \dfrac{1}{s - 2}\nonumber \]

    Трохи алгебри тепер дає

    \[(s^2 - 1) Y = \dfrac{1}{s - 2} + s + 1.\nonumber \]

    Так

    \[Y = \dfrac{1}{(s - 2)(s^2 - 1)} + \dfrac{s + 1}{s^2 - 1} = \dfrac{1}{(s - 2)(s^2 - 1)} + \dfrac{1}{s - 1}\nonumber \]

    Використовуйте часткові дроби для запису

    \[Y = \dfrac{A}{s - 2} + \dfrac{B}{s - 1} + \dfrac{C}{s + 1} + \dfrac{1}{s - 1}.\nonumber \]

    Метод прикриття дає\(A = 1/3, B = -1/2, C = 1/6.\)

    Ми визнаємо

    \[\dfrac{1}{s - a}\nonumber \]

    як перетворення Лапласа\(e^{at}\), так

    \[y(t) = Ae^{2t} + Be^t + Ce^{-t} + e^t = \dfrac{1}{3} e^{2t} - \dfrac{1}{2} e^t + \dfrac{1}{6} e^{-t} + e^t.\nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Вирішити\(y'' - y = 1\)\(y(0) = 0\),,\(y'(0) = 0\).

    Рішення

    Решта (нульові) початкові умови приємні тим, що вони не додадуть жодних термінів до алгебри. Як і в попередньому прикладі, ми застосовуємо перетворення Лапласа до всього рівняння.

    \[s^2 Y - Y = \dfrac{1}{s}, \text{ so } Y = \dfrac{1}{s(s^2 - 1)} = \dfrac{1}{s(s - 1)(s+1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s -1} + \dfrac{C}{s + 1}\nonumber \]

    Метод прикриття дає\(A = -1, B = 1/2, C = 1/2\). Отже,

    \[y = A + Be^t + Ce^{-t} = -1 + \dfrac{1}{2} e^t + \dfrac{1}{2} e^{-t}.\nonumber \]