13.5: Диференціальні рівняння

Метод приховування

Ми будемо використовувати часткові дроби і метод coverup. Будемо вважати, що ви бачили часткові дроби. Якщо ви не пам'ятаєте їх добре або ніколи не бачили методу приховування.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішіть$y'' - y = e^{2t}$$y(0) = 1$,$y'(0) = 1$ використовуючи перетворення Лапласа.

Рішення

Телефонуйте$\mathcal{L} (y) = Y$. Застосувати перетворення Лапласа до рівняння дає

$$(s^2 Y - sy(0) - y'(0)) - Y = \dfrac{1}{s - 2}\nonumber$$

Трохи алгебри тепер дає

$$(s^2 - 1) Y = \dfrac{1}{s - 2} + s + 1.\nonumber$$

Так

$$Y = \dfrac{1}{(s - 2)(s^2 - 1)} + \dfrac{s + 1}{s^2 - 1} = \dfrac{1}{(s - 2)(s^2 - 1)} + \dfrac{1}{s - 1}\nonumber$$

Використовуйте часткові дроби для запису

$$Y = \dfrac{A}{s - 2} + \dfrac{B}{s - 1} + \dfrac{C}{s + 1} + \dfrac{1}{s - 1}.\nonumber$$

Метод прикриття дає$A = 1/3, B = -1/2, C = 1/6.$

Ми визнаємо

$$\dfrac{1}{s - a}\nonumber$$

як перетворення Лапласа$e^{at}$, так

$$y(t) = Ae^{2t} + Be^t + Ce^{-t} + e^t = \dfrac{1}{3} e^{2t} - \dfrac{1}{2} e^t + \dfrac{1}{6} e^{-t} + e^t.\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити$y'' - y = 1$$y(0) = 0$,,$y'(0) = 0$.

Рішення

Решта (нульові) початкові умови приємні тим, що вони не додадуть жодних термінів до алгебри. Як і в попередньому прикладі, ми застосовуємо перетворення Лапласа до всього рівняння.

$$s^2 Y - Y = \dfrac{1}{s}, \text{ so } Y = \dfrac{1}{s(s^2 - 1)} = \dfrac{1}{s(s - 1)(s+1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s -1} + \dfrac{C}{s + 1}\nonumber$$

Метод прикриття дає$A = -1, B = 1/2, C = 1/2$. Отже,

$$y = A + Be^t + Ce^{-t} = -1 + \dfrac{1}{2} e^t + \dfrac{1}{2} e^{-t}.\nonumber$$