13.7: Системні функції та перетворення Лапласа
- Page ID
- 62671
Коли ми ввели критерій стійкості Найквіста, ми без будь-яких обґрунтувань заявили, що система стабільна, якщо всі полюси системної функції\(G(s)\) знаходяться в лівій півплощині. Ми також стверджували, що полюси відповідають експоненціальним режимам системи. У цьому розділі ми використаємо перетворення Лапласа для більш повної розробки цих ідей для диференціальних рівнянь.
Огляд блискавки 18.03
- \(D = \dfrac{d}{dt}\)називається диференціальним оператором. Застосовується до функції\(f(t)\) ми
\[Df = \dfrac{df}{dt}.\]
читаємо\(Df\) як «\(D\)застосовано до»\(f\).Якщо\(f(t) = t^3 + 2\) тоді\(Df = 3t^2, D^2f = 6t\).
- Якщо\(P(s)\) є поліном, то\(P(D)\) називається поліноміальним диференціальним оператором.
Припустимо\(P(s) = s^2 + 8s + 7\). Що таке\(P(D)\)? Обчислення\(P(D)\) застосовується до\(f(t) = t^3 + 2t + 5\). Обчислення\(P(D)\) застосовується до\(g(t) = e^{2t}\).
Рішення
\(P(D) = D^2 + 8D + 7I\). (The\(I\) in\(7I\) - оператор ідентичності.) Для обчислення\(P(D) f\) обчислюємо всі терміни і підсумовуємо їх:
\[\begin{array} {rcl} {f(t)} & = & {t^3 + 2t + 5} \\ {Df(t)} & = & {3t^2 + 2} \\ {D^2 f(t)} & = & {6t} \end{array}\]
Тому:\((D^2 + 8D + 7I) f = 6t + 8(3t^2 + 2) + 7(t^3 + 2t + 5) = 7t^3 + 24t^2 + 20t + 51.\)
\[\begin{array} {rcl} {g(t)} & = & {e^{2t}} \\ {Dg(t)} & = & {2e^{2t}} \\ {D^2 g(t)} & = & {4e^{2t}} \end{array}\]
Тому:\((D^2 + 8D + 7I) g = 4e^{2t} + 8(2) e^{2t} + 7e^{2t} = (4 + 16 + 7) e^{2t} = P(2) e^{2t}\).
Правило підміни - це просте твердження про похідні експоненціальних чисел.
Для поліноміального диференціального оператора\(P(D)\) ми маємо
\[P(D) e^{st} = P(s) e^{st}.\]
- Доказ
-
Це очевидно. Ми «доведемо це» на прикладі. Нехай\(P(D) = D^2 + 8D + 7I\). Тоді
\[P(D) e^{at} = a^2 e^{at} + 8ae^{at} + 7e^{at} = (a^2 + 8a + 7) e^{at} = P(a) e^{at}.\]
Давайте продовжимо працювати з цього конкретного прикладу. З неї ми зможемо нагадати про загальний підхід до розв'язання диференціальних рівнянь з постійним коефіцієнтом.
Припустимо\(P(s) = s^2 + 8s + 7\). Знайдіть експоненціальні режими рівняння\(P(D) y = 0\).
Рішення
Експоненціальні режими є розв'язками форми\(y(t) = e^{s_0 t}\). Використання правила заміщення
\[P(D) e^{s_0 t} = 0 \Leftrightarrow P(s_0) = 0.\]
Тобто,\(y (t) = e^{s_0 t}\) це режим саме тоді, коли\(s_0\) є корінь\(P(s)\). Коріння у\(P(s)\) них -1, -7. Отже, модальні рішення
\[y_1(t) = e^{-t} \ \ \text{and} \ \ y_2 (t) = e^{-7t}.\]
Повторити попередній приклад за допомогою перетворення Лапласа.
Рішення
Для цього розв'яжемо диференціальне рівняння з довільними початковими умовами:
\[P(D) y = y'' + 8y' + 7y = 0; \ \ y(0) = c_1, y'(0) = c_2.\]
Нехай\(Y(s) = \mathcal{L} (y; s)\). Застосовуючи перетворення Лапласа до рівняння, отримаємо
\[(s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 8(sY(s) - y(0)) + 7Y(s) = 0\]
Алгебра:
\[(s^2 + 8s + 7) Y(s) - sc_1 - c_2 - 8c_1 = 0 \Leftrightarrow Y = \dfrac{sc_1 + 8c_1 + c_2}{s^2 + 8s + 7}\]
Факторинг знаменника і за допомогою часткових дробів отримаємо
\[Y(s) = \dfrac{sc_1 + 8c_1 + c_2}{s^2 + 8s + 7} = \dfrac{sc_1 + 8c_1 + c_2}{(s + 1) (s + 7)} = \dfrac{A}{s + 1} + \dfrac{B}{s + 7}.\]
Нас не турбують точні значення\(A\) і\(B\). Взявши обернену Лапласа, отримуємо
\[y(t) = Ae^{-t} + Be^{-7t}.\]
Тобто являє собою лінійну комбінацію експоненціальних режимів.\(y(t)\)
Слід зауважити, що знаменник у виразі for\(Y(s)\) - це не що інше, як характерний многочлен\(P(s)\).
система функція
З тим\(P(s)\) же, що і в прикладі 13.7.2 вирішуємо неоднорідне ДЕ з початковими умовами спокою:\(P(D) y = f(t)\),\(y(0) = 0\),\(y'(0) = 0\).
Рішення
Беручи перетворення Лапласа рівняння, отримаємо
\[P(s) Y(s) = F(s).\]
Тому
\[Y(s) = \dfrac{1}{P(s)} F(s)\]
Ми не можемо знайти\(y(t)\) явно, тому що\(f(t)\) не вказано.
Але, ми можемо зробити наступні визначення та спостереження. Нехай\(G(s) = 1/P(s)\). Якщо ми\(f\) оголосимо входом і\(y\) виходом цієї лінійної інваріантної системи часу, то\(G(s)\) називається системною функцією. Отже, у нас є
\[Y(s) = G(s) \cdot F(s).\]
Формулу\(Y = G \cdot F\) можна сформулювати як
output =\(\times\) вхід системної функції.
Відзначимо добре, коріння\(P(s)\) відповідають експоненціальним режимам системи, тобто полюси\(G(s)\) відповідають експоненціальним режимам.
Система називається стабільною, якщо режими все розпадаються до 0 як\(t\) йдуть до нескінченності. Тобто, якщо всі полюси мають негативну реальну частину.
Цей приклад полягає в тому, щоб підкреслити, що не всі системні функції мають форму\(1/P(s)\). Розглянемо систему, змодельовану диференціальним рівнянням
\[P(D)x = Q(D) f,\]
де\(P\) і\(Q\) є поліномами. Припустимо\(f\), що ми вважаємо\(x\) вхідним і бути виходом. Знайдіть системну функцію.
Рішення
Якщо ми почнемо з початкових умов відпочинку,\(x\) а\(f\) потім перетворення Лапласа дає\(P(s) X(s) = Q(s) F(s)\) або
\[X(s) = \dfrac{Q(s)}{P(s)} \cdot F(s)\]
Використання рецептури
output =\(\times\) вхід системної функції.
ми бачимо, що системна функція
\[G(s) = \dfrac{Q(s)}{P(s)}.\]
Зверніть увагу, що коли\(f(t) = 0\) диференціальне рівняння стає\(P(D) x = 0\). Якщо зробити припущення, що\(Q(s)/P(s)\) є в зменшеному вигляді, тобто\(P\) і не\(Q\) мають спільних нулів, то режими системи (які відповідають кореням\(P(s)\)) все ж є полюсами системної функції.
Всі системи LTI мають системні функції. Вони навіть не всі форми\(Q(s)/P(s)\). Але, в\(s\) -domain, вихід завжди системна функція разів на вхід. Якщо функція системи не раціональна, то вона може мати нескінченну кількість полюсів. Стабільність характеризувати складніше, але при деяких розумних припущеннях система буде стабільною, якщо всі полюси знаходяться в лівій півплощині.
Системну функцію ще називають передавальною функцією. Ви можете думати про це як про опис того, як система передає вхід на вихід.