13.4: Властивості перетворення Лапласа

Ми вже використовували лінійність перетворення Лапласа при обчисленні$\mathcal{L} (\cos (\omega t))$. Давайте офіційно запишемо його як власність.

Нерухомість 1

Перетворення Лапласа є лінійним. Тобто, якщо$a$ і$b$ є константами і$f$ і$g$ є функціями, то

$$\mathcal{L} (af + bg) = a \mathcal{L} (f) + b \mathcal{L} (g).$$

(Доказ тривіальний - інтеграція лінійна.)

Нерухомість 2

Ключовою властивістю перетворення Лапласа є те, що з деякими технічними деталями

Перетворення Лапласа перетворює похідні$t$ в множення на$s$ (плюс деякі деталі).

Це доведено в наступній теоремі.

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$f(t)$ має експоненціальний тип$a$ і перетворення Лапласа,$F(s)$ то

$$\mathcal{L} (f'(t); s) = sF(s) - f(0), \text{ valid for Re}(s) > a.$$

Доказ

Доводимо це за допомогою інтеграції частинами.

$\mathcal{L} (f'; s) = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st}\ dt = f(t) e^{-st} \vert_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} s f(t) e^{-st} \ dt = -f(0) + sF(s).$

На останньому кроці ми використовували той факт, що в$t = \infty, f(t) e^{-st} = 0$, що випливає з припущення про експоненціальному типі.

Рівняння 13.5.2 дає нам формули для всіх похідних$f$.

$$\mathcal{L} (f''; s) = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)$$

$$\mathcal{L} (f'''; s) = s^3 F(s) - s^2 f(0) - sf'(0) - f''(0)$$

$Proof$. Для рівняння 13.5.3:

$\mathcal{L} (f''; s) = \mathcal{L} ((f')'; s) = s \mathcal{L} (f'; s) - f'(0) = s(sF(s) - f(0)) - f'(0) = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0). \text{ QED}$

Рівняння доказу 13.5.4 подібне. Крім того, подібні заяви тримаються для похідних вищого порядку.

Примітка

Існує ще одне ускладнення, якщо ми хочемо розглянути функції, які є переривчастими на початку або якщо ми хочемо дозволити бути$f(t)$ узагальненою функцією, як$\delta (t)$. У цих випадках$f(0)$ не визначено, тому наші формули не визначені. Технічне виправлення полягає$0^{-}$ в заміні 0 на визначення та всі формули для перетворення Лапласа. Ви можете дізнатися більше про це, взявши 18.031.

Нерухомість 3. Теорема$\PageIndex{2}$

Якщо$f(t)$ має експоненціальний тип$a$, то$F(s)$ є аналітичною функцією для$\text{Re} (s) > a$ і

$$F'(s) = -\mathcal{L} (tf(t); s).$$

Доказ

Беремо похідну від$F(s)$. Абсолютна конвергенція для$\text{Re} (s)$ великих гарантує, що ми можемо змінити порядок інтеграції та прийняття похідної.

$F'(s) = \dfrac{d}{ds} \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}\ dt = \int_{0}^{\infty} -t f(t) e^{-st}\ dt = \mathcal{L} (-tf(t); s).$

Це доводить рівняння 13.5.5.

Рівняння 13.5.5 називається правилом$s$ -похідної. Ми можемо розширити його на більше похідних у$s$: Припустимо$\mathcal{L} (f;s) = F(s)$. Потім,

$$\mathcal{L} (tf(t); s) = -F'(s)$$

$$\mathcal{L} (t^n f(t); s) = (-1)^n F^{(n)} (s)$$

Рівняння 13.5.6 таке ж, як і рівняння 13.5.5 вище. З цього випливає рівняння 13.5.7.

Приклад$\PageIndex{1}$

Використовуйте правило$s$ -derivative і$\mathcal{L} (1;s) = 1/s$ формулу для обчислення перетворення Лапласа$t^n$ для$n$ натурального цілого числа.

Рішення

Нехай$f(t) = 1$ і$F(s) = \mathcal{L} (f; s)$. Використовуючи правило$s$ -derivative отримуємо

$\mathcal{L} (t;s) = \mathcal{L} (t f; s) = -F' (s) = \dfrac{1}{s^2}$

$\mathcal{L} (t^2;s) = \mathcal{L} (t^2 f; s) = (-1)^2 F'' (s) = \dfrac{2}{s^3}$

$\mathcal{L} (t^n;s) = \mathcal{L} (t^n f; s) = (-1)^n F^n (s) = \dfrac{n!}{s^{n + 1}}$

Нерухомість 4$t$-shift rule.

Як завжди, припустимо$f(t) = 0$ для$t < 0$. Припустимо$a > 0$. Потім,

$$\mathcal{L} (f(t - a); s) = e^{-as} F(s)$$

Доказ

Повертаємося до визначення перетворення Лапласа і робимо зміну змінних$\tau = t - a$.

$\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (f(t - a); s)} & = & {\int_{0}^{\infty} f(t - a) e^{-st}\ dt = \int_{a}^{\infty} f(t - a) e^{-st}\ dt} \\ {} & = & {\int_{0}^{\infty} f(\tau) e^{-s(\tau + a)} \ d \tau = e^{-sa} \int_{0}^{\infty} f(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau = e^{-sa} F(s).} \end{array}$

Властивості в Рівняннях 13.5.1-13.5.8 будуть використані в прикладах нижче. Вони також знаходяться в таблиці в кінці цих приміток.