13.4: Властивості перетворення Лапласа
- Page ID
- 62669
Ми вже використовували лінійність перетворення Лапласа при обчисленні\(\mathcal{L} (\cos (\omega t))\). Давайте офіційно запишемо його як власність.
Перетворення Лапласа є лінійним. Тобто, якщо\(a\) і\(b\) є константами і\(f\) і\(g\) є функціями, то
\[\mathcal{L} (af + bg) = a \mathcal{L} (f) + b \mathcal{L} (g).\]
(Доказ тривіальний - інтеграція лінійна.)
Ключовою властивістю перетворення Лапласа є те, що з деякими технічними деталями
Перетворення Лапласа перетворює похідні\(t\) в множення на\(s\) (плюс деякі деталі).
Це доведено в наступній теоремі.
Якщо\(f(t)\) має експоненціальний тип\(a\) і перетворення Лапласа,\(F(s)\) то
\[\mathcal{L} (f'(t); s) = sF(s) - f(0), \text{ valid for Re}(s) > a.\]
- Доказ
-
Доводимо це за допомогою інтеграції частинами.
\(\mathcal{L} (f'; s) = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st}\ dt = f(t) e^{-st} \vert_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} s f(t) e^{-st} \ dt = -f(0) + sF(s).\)
На останньому кроці ми використовували той факт, що в\(t = \infty, f(t) e^{-st} = 0\), що випливає з припущення про експоненціальному типі.
Рівняння 13.5.2 дає нам формули для всіх похідних\(f\).
\[\mathcal{L} (f''; s) = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)\]
\[\mathcal{L} (f'''; s) = s^3 F(s) - s^2 f(0) - sf'(0) - f''(0)\]
\(Proof\). Для рівняння 13.5.3:
\(\mathcal{L} (f''; s) = \mathcal{L} ((f')'; s) = s \mathcal{L} (f'; s) - f'(0) = s(sF(s) - f(0)) - f'(0) = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0). \text{ QED}\)
Рівняння доказу 13.5.4 подібне. Крім того, подібні заяви тримаються для похідних вищого порядку.
Існує ще одне ускладнення, якщо ми хочемо розглянути функції, які є переривчастими на початку або якщо ми хочемо дозволити бути\(f(t)\) узагальненою функцією, як\(\delta (t)\). У цих випадках\(f(0)\) не визначено, тому наші формули не визначені. Технічне виправлення полягає\(0^{-}\) в заміні 0 на визначення та всі формули для перетворення Лапласа. Ви можете дізнатися більше про це, взявши 18.031.
Якщо\(f(t)\) має експоненціальний тип\(a\), то\(F(s)\) є аналітичною функцією для\(\text{Re} (s) > a\) і
\[F'(s) = -\mathcal{L} (tf(t); s).\]
- Доказ
-
Беремо похідну від\(F(s)\). Абсолютна конвергенція для\(\text{Re} (s)\) великих гарантує, що ми можемо змінити порядок інтеграції та прийняття похідної.
\(F'(s) = \dfrac{d}{ds} \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}\ dt = \int_{0}^{\infty} -t f(t) e^{-st}\ dt = \mathcal{L} (-tf(t); s).\)
Це доводить рівняння 13.5.5.
Рівняння 13.5.5 називається правилом\(s\) -похідної. Ми можемо розширити його на більше похідних у\(s\): Припустимо\(\mathcal{L} (f;s) = F(s)\). Потім,
\[\mathcal{L} (tf(t); s) = -F'(s)\]
\[\mathcal{L} (t^n f(t); s) = (-1)^n F^{(n)} (s)\]
Рівняння 13.5.6 таке ж, як і рівняння 13.5.5 вище. З цього випливає рівняння 13.5.7.
Використовуйте правило\(s\) -derivative і\(\mathcal{L} (1;s) = 1/s\) формулу для обчислення перетворення Лапласа\(t^n\) для\(n\) натурального цілого числа.
Рішення
Нехай\(f(t) = 1\) і\(F(s) = \mathcal{L} (f; s)\). Використовуючи правило\(s\) -derivative отримуємо
\(\mathcal{L} (t;s) = \mathcal{L} (t f; s) = -F' (s) = \dfrac{1}{s^2}\)
\(\mathcal{L} (t^2;s) = \mathcal{L} (t^2 f; s) = (-1)^2 F'' (s) = \dfrac{2}{s^3}\)
\(\mathcal{L} (t^n;s) = \mathcal{L} (t^n f; s) = (-1)^n F^n (s) = \dfrac{n!}{s^{n + 1}}\)
Як завжди, припустимо\(f(t) = 0\) для\(t < 0\). Припустимо\(a > 0\). Потім,
\[\mathcal{L} (f(t - a); s) = e^{-as} F(s)\]
- Доказ
-
Повертаємося до визначення перетворення Лапласа і робимо зміну змінних\(\tau = t - a\).
\(\begin{array} {rcl} {\mathcal{L} (f(t - a); s)} & = & {\int_{0}^{\infty} f(t - a) e^{-st}\ dt = \int_{a}^{\infty} f(t - a) e^{-st}\ dt} \\ {} & = & {\int_{0}^{\infty} f(\tau) e^{-s(\tau + a)} \ d \tau = e^{-sa} \int_{0}^{\infty} f(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau = e^{-sa} F(s).} \end{array}\)
Властивості в Рівняннях 13.5.1-13.5.8 будуть використані в прикладах нижче. Вони також знаходяться в таблиці в кінці цих приміток.