3.7: Теорема Гріна

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Інгредієнти: $C$ проста замкнута крива (тобто немає самоперетину), і $R$ внутрішня частина $C$ .

$C$ повинен бути кусково-гладким (пройдено таким чином $R$ внутрішня область зліва) і кусково гладкою (кілька кутів в порядку).

Теорема $\PageIndex{1}$ : Green's Theorem

Якщо векторне поле $F = (M, N)$ визначено і диференціюється далі, $R$ то

$\oint_{C} M\ dx + N\ dy = \int \int_R N_x - M_y\ dA.$

У векторній формі це написано

$\oint_{C} F \cdot dr = \int \int_{R} \text{curl} F\ dA.$

де локон визначається як $\text{curl} F = (N_x - M_y)$