11.6: Теорема Гріна

Зміна змінних

Примітка: лекції FIXME4

В одній змінній у нас знайома зміна змінних\[\int_a^b f\bigl(g(x)\bigr) g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \, dx .\] Це може бути дивно, що аналог у більш високих вимірах досить складний. Перше ускладнення - орієнтація. Якщо ми використовуємо визначення інтеграла з цієї глави, то у нас немає поняття\(\int_a^b\) проти\(\int_b^a\). Ми просто інтегруємо через інтервал\([a,b]\). З цим позначенням тоді зміна змінних стає\[\int_{[a,b]} f\bigl(g(x)\bigr) \left\lvert {g'(x)} \right\rvert\, dx = \int_{g([a,b])} f(x) \, dx .\] У цьому розділі ми спробуємо отримати аналог в такому вигляді.

Спочатку ми хочемо побачити, що грає роль\(\left\lvert {g'(x)} \right\rvert\). Якщо ми думаємо про це,\(g'(x)\) то це масштабування\(dx\). Інтеграл вимірює обсяги, тому в одному вимірі він вимірює довжину. Якщо наша\(g\) була лінійною, тобто\(g(x)=Lx\), то\(g'(x) = L\). Тоді довжина інтервалу\(g([a,b])\) просто\(\left\lvert {L} \right\rvert(b-a)\). Це тому, що\(g([a,b])\) є або\([La,Lb]\) або\([Lb,La]\). Ця властивість тримається у вищому вимірі з\(\left\lvert {L} \right\rvert\) заміненою абсолютною величиною детермінанти.

[prop:volrectdet] Припустимо, що\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) це прямокутник і\(T \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^n\) є лінійним. Тоді\(T(R)\) є Йорданія вимірна і\(V\bigl(T(R)\bigr) = \left\lvert {\det T} \right\rvert V(R)\).

Досить довести для елементарних матриць. Доказ залишають як вправу.

Далі ми помічаємо, що цей результат все ще\(g\) тримається, якщо не обов'язково лінійний, інтегруючи абсолютне значення Якобіян. Тобто у нас наступна лема

Припустимо,\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) це замкнутий обмежений Jordan вимірюваний набір, а\(S \subset U\) для відкритого набору\(U\). \(g \colon U \to {\mathbb{R}}^n\)Це один до одного безперервно диференційоване відображення таке, що ніколи не\(J_g\) дорівнює нулю\(S\). Тоді\[V\bigl(g(S)\bigr) = \int_S \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx .\]

ФІКСУВАТИ

Ліва сторона\(\int_{R'} \chi_{g(S)}\), де інтеграл береться на досить великий прямокутник\(R'\), який містить\(g(S)\). Права сторона -\(\int_{R} \left\lvert {J_g} \right\rvert\) для досить великого прямокутника\(R\), який містить\(S\). Нехай\(\epsilon > 0\) дадуть. \(R\)Розділіть на підпрямокутники, позначте\(R_1,R_2,\ldots,R_K\) тими підпрямокутниками, які перетинаються\(S\). Припустимо, що перегородка досить добре така, що\[\epsilon + \int_S \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx \geq \sum_{j=1}^N \Bigl(\sup_{x \in S \cap R_j} \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \Bigr) V(R_j)\]... \[\sum_{j=1}^N \Bigl(\sup_{x \in S \cap R_j} \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \Bigr) V(R_j) \geq \sum_{j=1}^N \left\lvert {J_g(x_j)} \right\rvert V(R_j) = \sum_{j=1}^N V\bigl(Dg(x_j) R_j\bigr)\]... FIXME... повинен\(x_j\) правильно вибрати?

Нехай

ФІКСУВАТИ

Так\(\left\lvert {J_g(x)} \right\rvert\) само і заміна\(\left\lvert {g'(x)} \right\rvert\) на кілька розмірів. Зверніть увагу, що наступна теорема має більш загальне значення, але цього твердження достатньо для багатьох застосувань.

Припустимо, що\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) це відкритий обмежений Jordan вимірюваний набір, і\(g \colon S \to {\mathbb{R}}^n\) це один до одного безперервно диференційоване відображення,\(g(S)\) таке, що Йорданія\(J_g\) вимірюється і ніколи не дорівнює нулю\(S\).

Припустимо,\(f \colon g(S) \to {\mathbb{R}}\) що Riemann\(f \circ g\) інтегрується, то Riemann інтегрується на\(S\) і\[\int_{g(S)} f(x) \, dx = \int_S f\bigl(g(x)\bigr) \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx .\]

ФІКСУВАТИ

FIXME: зміна змінних для функцій з компактною підтримкою

ВИПРАВИТИ МЕНЕ 4

Вправи

Доведіть.

ФІКСУВАТИ

---

1. Якщо ви хочете фанк векторний простір над іншим полем,\({\mathbb{R}}\) це нескінченний розмірний векторний простір над раціональними числами. ↩