11.6: Теорема Гріна

Зміна змінних

Примітка: лекції FIXME4

В одній змінній у нас знайома зміна змінних $$\int_a^b f\bigl(g(x)\bigr) g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \, dx .$$ Це може бути дивно, що аналог у більш високих вимірах досить складний. Перше ускладнення - орієнтація. Якщо ми використовуємо визначення інтеграла з цієї глави, то у нас немає поняття$\int_a^b$ проти$\int_b^a$. Ми просто інтегруємо через інтервал$[a,b]$. З цим позначенням тоді зміна змінних стає $$\int_{[a,b]} f\bigl(g(x)\bigr) \left\lvert {g'(x)} \right\rvert\, dx = \int_{g([a,b])} f(x) \, dx .$$ У цьому розділі ми спробуємо отримати аналог в такому вигляді.

Спочатку ми хочемо побачити, що грає роль$\left\lvert {g'(x)} \right\rvert$. Якщо ми думаємо про це,$g'(x)$ то це масштабування$dx$. Інтеграл вимірює обсяги, тому в одному вимірі він вимірює довжину. Якщо наша$g$ була лінійною, тобто$g(x)=Lx$, то$g'(x) = L$. Тоді довжина інтервалу$g([a,b])$ просто$\left\lvert {L} \right\rvert(b-a)$. Це тому, що$g([a,b])$ є або$[La,Lb]$ або$[Lb,La]$. Ця властивість тримається у вищому вимірі з$\left\lvert {L} \right\rvert$ заміненою абсолютною величиною детермінанти.

[prop:volrectdet] Припустимо, що$R \subset {\mathbb{R}}^n$ це прямокутник і$T \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^n$ є лінійним. Тоді$T(R)$ є Йорданія вимірна і$V\bigl(T(R)\bigr) = \left\lvert {\det T} \right\rvert V(R)$.

Досить довести для елементарних матриць. Доказ залишають як вправу.

Далі ми помічаємо, що цей результат все ще$g$ тримається, якщо не обов'язково лінійний, інтегруючи абсолютне значення Якобіян. Тобто у нас наступна лема

Припустимо,$S \subset {\mathbb{R}}^n$ це замкнутий обмежений Jordan вимірюваний набір, а$S \subset U$ для відкритого набору$U$. $g \colon U \to {\mathbb{R}}^n$Це один до одного безперервно диференційоване відображення таке, що ніколи не$J_g$ дорівнює нулю$S$. Тоді $$V\bigl(g(S)\bigr) = \int_S \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx .$$

ФІКСУВАТИ

Ліва сторона$\int_{R'} \chi_{g(S)}$, де інтеграл береться на досить великий прямокутник$R'$, який містить$g(S)$. Права сторона -$\int_{R} \left\lvert {J_g} \right\rvert$ для досить великого прямокутника$R$, який містить$S$. Нехай$\epsilon > 0$ дадуть. $R$Розділіть на підпрямокутники, позначте$R_1,R_2,\ldots,R_K$ тими підпрямокутниками, які перетинаються$S$. Припустимо, що перегородка досить добре така, що $$\epsilon + \int_S \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx \geq \sum_{j=1}^N \Bigl(\sup_{x \in S \cap R_j} \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \Bigr) V(R_j)$$ ... $$\sum_{j=1}^N \Bigl(\sup_{x \in S \cap R_j} \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \Bigr) V(R_j) \geq \sum_{j=1}^N \left\lvert {J_g(x_j)} \right\rvert V(R_j) = \sum_{j=1}^N V\bigl(Dg(x_j) R_j\bigr)$$ ... FIXME... повинен$x_j$ правильно вибрати?

Нехай

ФІКСУВАТИ

Так$\left\lvert {J_g(x)} \right\rvert$ само і заміна$\left\lvert {g'(x)} \right\rvert$ на кілька розмірів. Зверніть увагу, що наступна теорема має більш загальне значення, але цього твердження достатньо для багатьох застосувань.

Припустимо, що$S \subset {\mathbb{R}}^n$ це відкритий обмежений Jordan вимірюваний набір, і$g \colon S \to {\mathbb{R}}^n$ це один до одного безперервно диференційоване відображення,$g(S)$ таке, що Йорданія$J_g$ вимірюється і ніколи не дорівнює нулю$S$.

Припустимо,$f \colon g(S) \to {\mathbb{R}}$ що Riemann$f \circ g$ інтегрується, то Riemann інтегрується на$S$ і $$\int_{g(S)} f(x) \, dx = \int_S f\bigl(g(x)\bigr) \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx .$$

ФІКСУВАТИ

FIXME: зміна змінних для функцій з компактною підтримкою

ВИПРАВИТИ МЕНЕ 4

Вправи

Доведіть.

ФІКСУВАТИ

---

1. Якщо ви хочете фанк векторний простір над іншим полем,${\mathbb{R}}$ це нескінченний розмірний векторний простір над раціональними числами. ↩