3.6: Лінійні інтеграли

Інгредієнти для лінійних (також званих контуром або контуром) інтегралів такі:

• Векторне поле$F = (M, N)$
• Крива,$\gamma (t) = (x(t), y(t))$ визначена для$a \le t \le b$

Тоді лінійний інтеграл$F$ уздовж$\gamma$ визначається

$$\int_{\gamma} F \cdot dr = \int_a^b F(\gamma (t)) \cdot y'(t)dt = \int_{\gamma} M\ dx + N\ dy.$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Дозволяти$F = (-y/r^2, x/r^2)$ і нехай$\gamma$ буде одиниця кола. Обчислити лінійний інтеграл$F$ уздовж$\gamma$.

Рішення

Ви повинні мати можливість надати відповідь на цей приклад

Властивості лінійних інтегралів

1. Незалежний від параметризації.

2. Зворотний напрямок на знаку$\Rightarrow$ зміни кривої. Тобто,

$$\int_{-C} F \cdot dr = -\int_{C} F \cdot dr.$$

(Тут$-C$ означає ту саму криву, пройдену у зворотному напрямку.)

3. Якщо$C$ закритий, то ми іноді вказуємо це позначенням$\oint_{C} F \cdot dr = \oint_{C} M\ dx + N\ dy$.

Фундаментальна теорема градієнтних полів

Теорема$\PageIndex{1}$ Fundamental theorem for gradient fields

Якщо$F = nabla f$ тоді$\int_{\gamma} F \cdot d r = f(P) - f(Q)$, де$Q, P$ знаходяться початкова і кінцева точки відповідно$\gamma$.

Доказ

За правилом ланцюга ми маємо

$$\dfrac{df(\gamma (t))}{dt} = \nabla f(\gamma (t)) \cdot \gamma '(t) = F(\gamma (t)) \cdot y'(t).$$

Останнє рівність випливає з нашого припущення, що$F = \nabla f$. Тепер ми можемо це, коли ми обчислюємо інтеграл лінії:

$$\begin{array} {rcl} {\int_{\gamma} F \cdot dr} & = & {\int_a^b F (\gamma (t)) \cdot y' (t)\ dt} \\ {} & = & {\int_a^b \dfrac{df(\gamma (t))}{dt} dt} \\ {} & = & {f(\gamma (b)) - f(\gamma (a))} \\ {} & = & {f(P) - f(Q)} \end{array}$$

Зверніть увагу, що третя рівність випливає з фундаментальної теореми числення.

Визначення: Потенційна функція

Якщо$F$ векторне поле є градієнтним полем, з$F = \nabla f$, то ми викликаємо$f$ потенційну функцію для$F$.

Примітка: звичайною термінологією фізики буде$f$ виклик потенційної функції для$F$.

незалежність і консервативні функції

Визначення: Шляхом Незалежності

Для векторного поля$F$ лінійний інтеграл$\int F \cdot dr$ називається незалежним від шляху, якщо для будь-яких двох точок$P$ і$Q$ лінійний інтеграл має однакове значення для$every$ шляху між$P$ і$Q$.

Теорема$\PageIndex{2}$

$\int_C F \cdot dr$is path inependent еквівалентний$\oint_{C} F \cdot dr = 0$ для будь-якого замкнутого шляху.

Ескіз доказу

Намалюйте два шляхи від$Q$ до$P$. Слідом за одним від$Q$ до$P$ і зворотним від іншого назад до$P$ є замкнутим шляхом. Еквівалентність слід легко. Для більш детальної інформації ми звертаємось до більш детального огляду лінійних інтегралів та теореми Гріна.

Визначення: Консервативне векторне поле

Векторне поле з незалежними від шляху лінійними інтегралами, еквівалентно поле, лінійні інтеграли якого навколо будь-якого замкнутого циклу дорівнює 0, називається консервативним векторним полем.

Теорема$\PageIndex{3}$

Ми маємо таку еквівалентність: На зв'язаній області градієнтне поле консервативне, а консервативне поле - градієнтне поле.

Доказ

Знову ж таки, ми посилаємо вас на більш детальний огляд для деталей. По суті, якщо$F$ консервативний, то ми можемо визначити потенційну функцію$f(x, y)$ як лінійний інтеграл$F$ від деякої базової точки до$(x, y)$.