Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.6: Лінійні інтеграли

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62764

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Інгредієнти для лінійних (також званих контуром або контуром) інтегралів такі:

    • Векторне поле\(F = (M, N)\)
    • Крива,\(\gamma (t) = (x(t), y(t))\) визначена для\(a \le t \le b\)

    Тоді лінійний інтеграл\(F\) уздовж\(\gamma\) визначається

    \[\int_{\gamma} F \cdot dr = \int_a^b F(\gamma (t)) \cdot y'(t)dt = \int_{\gamma} M\ dx + N\ dy.\]

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Дозволяти\(F = (-y/r^2, x/r^2)\) і нехай\(\gamma\) буде одиниця кола. Обчислити лінійний інтеграл\(F\) уздовж\(\gamma\).

    Рішення

    Ви повинні мати можливість надати відповідь на цей приклад

    Властивості лінійних інтегралів

    1. Незалежний від параметризації.

    2. Зворотний напрямок на знаку\(\Rightarrow\) зміни кривої. Тобто,

    \[\int_{-C} F \cdot dr = -\int_{C} F \cdot dr.\]

    (Тут\(-C\) означає ту саму криву, пройдену у зворотному напрямку.)

    3. Якщо\(C\) закритий, то ми іноді вказуємо це позначенням\(\oint_{C} F \cdot dr = \oint_{C} M\ dx + N\ dy\).

    Фундаментальна теорема градієнтних полів

    Теорема\(\PageIndex{1}\) Fundamental theorem for gradient fields

    Якщо\(F = nabla f\) тоді\(\int_{\gamma} F \cdot d r = f(P) - f(Q)\), де\(Q, P\) знаходяться початкова і кінцева точки відповідно\(\gamma\).

    Доказ

    За правилом ланцюга ми маємо

    \[\dfrac{df(\gamma (t))}{dt} = \nabla f(\gamma (t)) \cdot \gamma '(t) = F(\gamma (t)) \cdot y'(t).\]

    Останнє рівність випливає з нашого припущення, що\(F = \nabla f\). Тепер ми можемо це, коли ми обчислюємо інтеграл лінії:

    \[\begin{array} {rcl} {\int_{\gamma} F \cdot dr} & = & {\int_a^b F (\gamma (t)) \cdot y' (t)\ dt} \\ {} & = & {\int_a^b \dfrac{df(\gamma (t))}{dt} dt} \\ {} & = & {f(\gamma (b)) - f(\gamma (a))} \\ {} & = & {f(P) - f(Q)} \end{array}\]

    Зверніть увагу, що третя рівність випливає з фундаментальної теореми числення.

    Визначення: Потенційна функція

    Якщо\(F\) векторне поле є градієнтним полем, з\(F = \nabla f\), то ми викликаємо\(f\) потенційну функцію для\(F\).

    Примітка: звичайною термінологією фізики буде\(f\) виклик потенційної функції для\(F\).

    незалежність і консервативні функції

    Визначення: Шляхом Незалежності

    Для векторного поля\(F\) лінійний інтеграл\(\int F \cdot dr\) називається незалежним від шляху, якщо для будь-яких двох точок\(P\) і\(Q\) лінійний інтеграл має однакове значення для\(every\) шляху між\(P\) і\(Q\).

    Теорема\(\PageIndex{2}\)

    \(\int_C F \cdot dr\)is path inependent еквівалентний\(\oint_{C} F \cdot dr = 0\) для будь-якого замкнутого шляху.

    Ескіз доказу

    Намалюйте два шляхи від\(Q\) до\(P\). Слідом за одним від\(Q\) до\(P\) і зворотним від іншого назад до\(P\) є замкнутим шляхом. Еквівалентність слід легко. Для більш детальної інформації ми звертаємось до більш детального огляду лінійних інтегралів та теореми Гріна.

    Визначення: Консервативне векторне поле

    Векторне поле з незалежними від шляху лінійними інтегралами, еквівалентно поле, лінійні інтеграли якого навколо будь-якого замкнутого циклу дорівнює 0, називається консервативним векторним полем.

    Теорема\(\PageIndex{3}\)

    Ми маємо таку еквівалентність: На зв'язаній області градієнтне поле консервативне, а консервативне поле - градієнтне поле.

    Доказ

    Знову ж таки, ми посилаємо вас на більш детальний огляд для деталей. По суті, якщо\(F\) консервативний, то ми можемо визначити потенційну функцію\(f(x, y)\) як лінійний інтеграл\(F\) від деякої базової точки до\((x, y)\).