1.7: Порядок операцій

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.6: Експоненти та квадратні корені
- 1.E: Огляд вправи і зразок іспиту

Anonymous
LibreTexts

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте та працюйте з угрупованням символів.
Зрозумійте порядок операцій.
Спрощення за допомогою порядку операцій.

Угруповання символів

У обчисленні, де задіяно більше однієї операції, символи групування допомагають повідомити нам, які операції виконати в першу чергу. Символи групування, які зазвичай використовуються в алгебрі, є

$\begin{array} {cl}{(\:\:)}&{\color{Cerulean}{Parentheses}}\\{[\:\:]}&{\color{Cerulean}{Brackets}}\\{\{\:\:\}}&{\color{Cerulean}{Braces}}\\{\frac{\:\:}{\:\:}}&{\color{Cerulean}{Fraction\:bar}} \end{array}$

Всі перераховані вище символи групування, а також абсолютне значення мають однаковий порядок пріоритету. Спочатку виконуйте операції всередині самого внутрішнього символу групування або абсолютного значення.

Приклад $\PageIndex{1}$

Спростити:

$5-(4-12)$ .

Рішення:

Спочатку виконайте операції в дужках. У цьому випадку спочатку віднімаємо $12$ від $4$ .

$\begin{aligned} 5-(4-12)&=5-(-8) \\ &=5+8 \\ &=13 \end{aligned}$

Відповідь:

$13$

Приклад $\PageIndex{2}$

Спростити:

$3\{−2[−(−3−1)]\}$ .

Рішення:

Відповідь:

$-24$

Приклад $\PageIndex{3}$

Спростити:

$\frac{5-|4-(-3)|}{|-3|-(5-7)}$ .

Рішення:

$\begin{aligned} \frac{5-|4-(-3)|}{|-3|-(5-7)}&=\frac{5-|4+3|}{|-3|-(-2)} \\ &=\frac{5-|7|}{|-3|+2} \\ &=\frac{5-7}{3+2} \\ &=\frac{-2}{5} \\ &=-\frac{2}{5} \end{aligned}$

Відповідь:

$-\frac{2}{5}$

Вправа $\PageIndex{1}$

Спростити:

$−[−3(2+3)]$ .

Відповідь: $15$

Порядок операцій

Коли в рамках розрахунку потрібно застосувати кілька операцій, ми повинні дотримуватися певного порядку, щоб забезпечити єдиний правильний результат.

Виконуйте всі обчислення в межах самих внутрішніх дужок або угруповання символів.
Оцініть всі показники.
Виконуйте операції множення і ділення зліва направо.
Нарешті, виконайте всі залишилися операції додавання і віднімання зліва направо.

Примітка

Увага: Зверніть увагу, що операції множення та ділення повинні працювати зліва направо.

Приклад $\PageIndex{4}$

Спростити:

$5^{2}−4⋅3÷12$ .

Рішення:

Спочатку оцініть, $5^{2}$ а потім виконайте множення та ділення, коли вони з'являються зліва направо.

$\begin{aligned} 5^{2}-4\cdot 3\div 12 &=25-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{4\cdot 3}}} \color{black}{\div 12} \\ &=25-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 12}}} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{25}}}\color{black}{-1} \\ &=24 \end{aligned}$

Оскільки операції множення та ділення повинні працювати зліва направо, іноді правильно виконувати ділення перед множенням.

Приклад $\PageIndex{5}$

Спростити:

$2^{4}−12÷3⋅2+11$ .

Рішення:

Почніть з оцінки показника, $2^{4}=2⋅2⋅2⋅2=16$ .

$\begin{aligned} 2^{4}-12\div 3\cdot 2+11&=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 3}}}\color{black}{\cdot 2+11} \\ &=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{4\cdot 2}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{16-8}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{8+11}}}\\ &=19 \end{aligned}$

Перше множення призводить до неправильного результату.

$\begin{aligned} 2^{4}-12\div 3\cdot 2+11&=16-12\div\color{black}{\underset{\color{red}{Incorrect}}{\color{red}{\underbrace{\color{black}{3\cdot 2}}}}}\color{black}{+11} \\ &=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 6}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{16-2}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{14+11}}} \\ &=25\quad\color{red}{x} \end{aligned}$

Відповідь:

$19$

Приклад $\PageIndex{6}$

Спростити:

$−3−5^{2}+(−7)^{2}$ .

Рішення:

Подбайте про те, щоб правильно визначити підставу при квадратурах.

$\begin{aligned} -3-5^{2}+(-7)^{2}&=-3-25+49 \\ &=-28+49 \\ &=21 \end{aligned}$

Відповідь:

$21$

Приклад $\PageIndex{7}$

Спростити:

$5−3[2^{3}−5+7(−3)]$ .

Рішення:

Заманливо спочатку відняти $5 − 3$ , але це призведе до неправильного результату. Порядок операцій вимагає від нас спрощення в дужках в першу чергу.

$\begin{aligned} 5-3[2^{3}-5+7(-3)]&=5-3[8-5-21] \\ &=5-3[-18] \\ &=5+54 \\ &=59 \end{aligned}$

Віднімання $5 − 3$ першим призводить до неправильного результату.

$\begin{aligned} 5-3[2^{3}-5+7(-3)]&=\underset{\color{red}{Incorrect}}{\color{red}{\underbrace{\color{black}{5-3}}}}\color{black}{[8-5-21]} \\&=2[-18] \\ &=-36\quad\color{red}{x} \end{aligned}$

Відповідь:

$59$

Приклад $\PageIndex{8}$

Спростити:

$−3^{2}−[5−(4^{2}−10)]$ .

Рішення:

Спочатку виконайте операції в найглибших дужках.

Відповідь:

$-8$

Приклад $\PageIndex{9}$

Спростити:

$\left(−\frac{2}{3}\right)^{2}÷\left[\frac{5}{3}−\left(−\frac{1}{2}\right)^{3}\right]$ .

Рішення:

$\begin{aligned} \left(−\frac{2}{3}\right)^{2}÷\left[\frac{5}{3}−\left(−\frac{1}{2}\right)^{3}\right]&=\left(-\frac{2}{3} \right)^{2}\div \left[\frac{5}{3}-\left(-\frac{1}{8}\right)\right] \\&=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\left[\frac{5}{3}+\frac{1}{8}\right] \\ &=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\left[\frac{40}{24}+\frac{3}{24}\right] \\ &=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\frac{43}{24} \\ &=\frac{4}{\color{Cerulean}{\underset{3}{\cancel{\color{black}{9}}}}}\color{black}{\cdot\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{8}{\cancel{\color{black}{24}}}}}{43}} \\ &=\frac{32}{129} \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac{32}{129}$

Ми рідше помилимося, якщо працюємо по одній операції за раз. Деякі проблеми можуть включати абсолютне значення, і в цьому випадку ми призначаємо йому той самий порядок пріоритету, що і дужки.

Приклад $\PageIndex{10}$

Спростити:

$2−4|−4−3|+(−2)^{4}$ .

Рішення:

Ми починаємо з оцінки абсолютного значення, а потім показника $(−2)^{4}=(−2)(−2)(−2)(−2)=+16$ .

Відповідь:

$-10$

Вправа $\PageIndex{2}$

Спростити:

$10÷5⋅2|(−4)+|−3||+(−3)^{2}$ .

Відповідь: $13$

Ключові виноси

Символи групування вказують, які операції потрібно виконати першими. Зазвичай ми групуємо математичні операції з дужками, дужками, дужками та рядком дробу. Ми також групуємо операції в межах абсолютних значень. Всі групи мають однаковий порядок пріоритету: операції всередині самого внутрішнього групування виконуються першими.
Застосовуючи операції в рамках розрахунку, дотримуйтесь порядку операцій, щоб забезпечити єдиний правильний результат.
- Спочатку зверніться до найглибших дужок або групувань.
- Спростити всі експоненти.
- Виконуйте операції множення і ділення зліва направо.
- Нарешті, виконайте операції додавання і віднімання зліва направо.
Важливо виділити той факт, що операції множення і ділення повинні застосовуватися так, як вони з'являються зліва направо. Поширеною помилкою завжди виконувати множення перед діленням, що, як ми бачили, в деяких випадках дає неправильні результати.

Вправа $\PageIndex{3}$ Order of Operations

Спростити.

$−7−3⋅5$
$3+2⋅3$
$−3(2)−6^{2}$
$2(−3)^{2}+5(−4)$
$\frac{6}{3}*2$
$6/(3*2)$
$−\frac{1}{2}−\frac{3}{5}⋅\frac{2}{3}$
$\frac{5}{8}÷\frac{1}{2}−\frac{5}{6}$
$3.2^{2}−6.9÷2.3$
$8.2−3÷1.2⋅2.1$
$2+3(−2)−7$
$8÷2−3⋅2$
$3+6^{2}÷12$
$5−4^{2}÷(−8)$
$−9−3⋅2÷3(−2)$
$−2−3^{2}+(−2)^{2}$
$12÷6⋅2−2^{2}$
$4⋅3÷12⋅2−(−2)^{2}$
$(−5)^{2}−2(5)^{2}÷10$
$−3(4−7)+2$
$(−2+7)^{2}−10^{2}$
$10−7(3+2)+7^{2}$
$−7−3(4−2⋅8)$
$5−3 [6−(2+7)]$
$1+2 [(−2)^{3}−(−3)^{2}]$
$−3 [2(7−5)÷4⋅(−2)+(−3)^{3}]$
$−7^{2}−[−20−(−3)^{2}]−(−10)$
$4.7−3.2(4−1.2^{3})$
$−5.4(6.1−3.1÷0.1)−8.2^{2}$
$−7.3^{2}+(−9.3)^{2}−37.8÷1.8$
$2−7(3^{2}−3+4⋅3)$
$(\frac{1}{2})^{2}−(−\frac{2}{3})^{2}$
$(\frac{1}{2})^{3}+(−2)^{3}$
$(−\frac{1}{3})^{2}−(−\frac{2}{3})^{3}$
$\frac{1}{3}−\frac{1}{2}⋅\frac{1}{5}$
$\frac{5}{8}÷\frac{3}{2}⋅\frac{14}{15}$
$5⋅\frac{2}{15}−(\frac{1}{2})^{3}$
$\frac{5}{17}(\frac{3}{5}−\frac{4}{35})$
$\frac{3}{16}÷(\frac{5}{12}−\frac{1}{2}+\frac{2}{3})⋅4$
$(\frac{2}{3})^{2}−(\frac{1}{2})^{2}$
$\frac{1}{2} [\frac{3}{4}⋅(−4)^{2}−2]^{2}$
$6⋅[(\frac{2}{3})^{2}−(\frac{1}{2})^{2}]÷(−2)^{2}$
$(−5)^{2}+\frac{3}{2}−\frac{4}{2}+2⋅7$
$(−3.2−3.3)(8.7−4.7)(−4.7+3.9+2.1)$
$2−[3−(5−7)^{2}]3(6−32)$
$\frac{2+3⋅6−4⋅32}{2−32}$
$(2+7)⋅2−\frac{23}{10}+\frac{9}{2}+3^{3}$
$\frac{(−1−3)^{2}−1}{5−3⋅(−7+22)−5}$
$(7+4*(−2)) / (−3+(−2)^{2})$
$4+3*((−3)^{3}+5^{2}) / 6−2^{2}$

Відповідь

1. $−22$

3. $−42$

5. $4$

7. $−\frac{9}{10}$

9. $7.24$

11. $−11$

13. $6$

15. $−5$

17. $0$

19. $20$

21. $−75$

23. $29$

25. $−33$

27. $−10$

29. $67.22$

31. $−124$

33. $−\frac{63}{8}$

35. $\frac{7}{30}$

37. $\frac{13}{24}$

39. $\frac{9}{7}$

41. $50$

43. $−17$

45. $−\frac{1}{3}$

47. $\frac{5}{59}$

49. $−1$

Вправа $\PageIndex{4}$ Order of Operations

Мері придбала $14$ пляшки води за $ $0.75$ за пляшку, $4$ фунти асорті цукерок по $ $3.50$ за фунт, і $16$ пакети мікрохвильового попкорну вартістю $ $0.50$ кожен для її партії. Яким був її загальний рахунок?
Джо купив чотири $8$ -foot $2$ -by- $4$ дошки за $ $24.00$ . Скільки він витратив на лінійну ногу?
Маргарет купила два футляри газованої води в місцевому магазині знижок за $ $23.52$ . Якщо кожен випадок містив $24$ пляшки, скільки вона витратила на пляшку?
Біллі заробляє $ $12.00$ за годину і «півтора часу» за кожну годину, яку він працює більше $40$ годин на тиждень. Яка його оплата за $47$ години роботи на цьому тижні?
Одрі купила $4$ мішки з мармуру, кожен з яких містить $15$ асорті мармуру. Якщо вона бажає розділити їх рівномірно між своїми $3$ дітьми, скільки отримає кожна дитина?
Марк і Джанет подорожували додому з коледжу на свято Подяки. Вони розділили водіння, але Марк проїхав вдвічі далі, ніж Джанет. Якщо Джанет проїхала $135$ милі, то скільки миль склала вся поїздка?

Відповідь

1. $$32.50$

3. $$0.49$

5. $20$ мармуру

Вправа $\PageIndex{5}$ Order of Operations with Absolute Values

Спростити.

$3+2|−5|$
$9−4|−3|$
$−(−|2|+|−10|)$
$−(|−6|−|−8|)$
$|−(40−|−22|)|$
$||−5|−|10||$
$−(|−8|−5)^{2}$
$(|−1|−|−2|)^{2}$
$−4+2|2^{2}−3^{2}|$
$−10−|4−5^{2}|$
$−|(−5)^{2}+4^{2}÷8|$
$−(−3−[ 6−|−7|])$
$−2[7−(4+|−7|)]$
$3−7 |−2−3|+4^{3}$
$7−5|6^{2}−5^{2}|+(−7)^{2}$
$(−4)^{2}−|−5+(−2)^{3}|−3^{2}$
$\frac{2}{3}−|\frac{1}{2}−(−\frac{4}{3})^{2}|$
$−30|\frac{10}{3}−\frac{1}{2}÷\frac{1}{5}|$
$(−4)^{3}−(2−|−4|)÷|−3^{2}+7|$
$[10−3(6−|−8|)] ÷4−5^{2}$

Відповідь

1. $13$

3. $−8$

5. $18$

7. $−9$

11. $6$

13. $−27$

15. $8$

17. $1$

19. $−\frac{11}{18}$

21. $−63$

Вправа $\PageIndex{6}$ Order of Operations with Absolute Values

Знайти відстань між заданими числами на числовому рядку.

$\frac{1}{2}$ і $−\frac{1}{4}$
$−\frac{3}{4}$ і $−\frac{2}{3}$
$−\frac{5}{8}$ і $−\frac{3}{4}$
$−\frac{7}{5}$ і $\frac{3}{7}$
$−0.5$ і $8.3$
$10.7$ і $−2.8$
$3\frac{1}{5}$ і $−2\frac{1}{3}$
$5\frac{3}{4}$ і $0$

Відповідь

1. $\frac{3}{4}$ одиниця

3. $\frac{1}{8}$ одиниця

5. $8.8$ одиниць

7. $5\frac{8}{15}$ одиниць

Вправа $\PageIndex{7}$ Discussion Board Topics

Перетворення різних прикладів у цьому розділі на еквівалентні вирази за допомогою текстових символів.
Що таке PEMDAS і чого його не вистачає?
Обговоріть важливість правильного групування і наведіть кілька прикладів.
Експериментуйте з порядком операцій на калькуляторі і діліться своїми результатами.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися