Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.7: Порядок операцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58116

    • Anonymous
    • LibreTexts
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    • Визначте та працюйте з угрупованням символів.
    • Зрозумійте порядок операцій.
    • Спрощення за допомогою порядку операцій.

    Угруповання символів

    У обчисленні, де задіяно більше однієї операції, символи групування допомагають повідомити нам, які операції виконати в першу чергу. Символи групування, які зазвичай використовуються в алгебрі, є

    \(\begin{array} {cl}{(\:\:)}&{\color{Cerulean}{Parentheses}}\\{[\:\:]}&{\color{Cerulean}{Brackets}}\\{\{\:\:\}}&{\color{Cerulean}{Braces}}\\{\frac{\:\:}{\:\:}}&{\color{Cerulean}{Fraction\:bar}} \end{array}\)

    Всі перераховані вище символи групування, а також абсолютне значення мають однаковий порядок пріоритету. Спочатку виконуйте операції всередині самого внутрішнього символу групування або абсолютного значення.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Спростити:

    \(5-(4-12)\).

    Рішення:

    Спочатку виконайте операції в дужках. У цьому випадку спочатку віднімаємо\(12\) від\(4\).

    \(\begin{aligned} 5-(4-12)&=5-(-8) \\ &=5+8 \\ &=13 \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(13\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Спростити:

    \(3\{−2[−(−3−1)]\}\).

    Рішення:

    Відповідь:

    \(-24\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Спростити:

    \(\frac{5-|4-(-3)|}{|-3|-(5-7)}\).

    Рішення:

    \(\begin{aligned} \frac{5-|4-(-3)|}{|-3|-(5-7)}&=\frac{5-|4+3|}{|-3|-(-2)} \\ &=\frac{5-|7|}{|-3|+2} \\ &=\frac{5-7}{3+2} \\ &=\frac{-2}{5} \\ &=-\frac{2}{5} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(-\frac{2}{5}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Спростити:

    \(−[−3(2+3)]\).

    Відповідь

    \(15\)

    Порядок операцій

    Коли в рамках розрахунку потрібно застосувати кілька операцій, ми повинні дотримуватися певного порядку, щоб забезпечити єдиний правильний результат.

    1. Виконуйте всі обчислення в межах самих внутрішніх дужок або угруповання символів.
    2. Оцініть всі показники.
    3. Виконуйте операції множення і ділення зліва направо.
    4. Нарешті, виконайте всі залишилися операції додавання і віднімання зліва направо.

    Примітка

    Увага: Зверніть увагу, що операції множення та ділення повинні працювати зліва направо.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Спростити:

    \(5^{2}−4⋅3÷12\).

    Рішення:

    Спочатку оцініть,\(5^{2}\) а потім виконайте множення та ділення, коли вони з'являються зліва направо.

    \(\begin{aligned} 5^{2}-4\cdot 3\div 12 &=25-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{4\cdot 3}}} \color{black}{\div 12} \\ &=25-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 12}}} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{25}}}\color{black}{-1} \\ &=24 \end{aligned}\)

    Оскільки операції множення та ділення повинні працювати зліва направо, іноді правильно виконувати ділення перед множенням.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Спростити:

    \(2^{4}−12÷3⋅2+11\).

    Рішення:

    Почніть з оцінки показника,\(2^{4}=2⋅2⋅2⋅2=16\).

    \(\begin{aligned} 2^{4}-12\div 3\cdot 2+11&=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 3}}}\color{black}{\cdot 2+11} \\ &=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{4\cdot 2}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{16-8}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{8+11}}}\\ &=19 \end{aligned}\)

    Перше множення призводить до неправильного результату.

    \(\begin{aligned} 2^{4}-12\div 3\cdot 2+11&=16-12\div\color{black}{\underset{\color{red}{Incorrect}}{\color{red}{\underbrace{\color{black}{3\cdot 2}}}}}\color{black}{+11} \\ &=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 6}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{16-2}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{14+11}}} \\ &=25\quad\color{red}{x} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(19\)

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Спростити:

    \(−3−5^{2}+(−7)^{2}\).

    Рішення:

    Подбайте про те, щоб правильно визначити підставу при квадратурах.

    \(\begin{aligned} -3-5^{2}+(-7)^{2}&=-3-25+49 \\ &=-28+49 \\ &=21 \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(21\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Спростити:

    \(5−3[2^{3}−5+7(−3)]\).

    Рішення:

    Заманливо спочатку відняти\(5 − 3\), але це призведе до неправильного результату. Порядок операцій вимагає від нас спрощення в дужках в першу чергу.

    \(\begin{aligned} 5-3[2^{3}-5+7(-3)]&=5-3[8-5-21] \\ &=5-3[-18] \\ &=5+54 \\ &=59 \end{aligned}\)

    Віднімання\(5 − 3\) першим призводить до неправильного результату.

    \(\begin{aligned} 5-3[2^{3}-5+7(-3)]&=\underset{\color{red}{Incorrect}}{\color{red}{\underbrace{\color{black}{5-3}}}}\color{black}{[8-5-21]} \\&=2[-18] \\ &=-36\quad\color{red}{x} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(59\)

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Спростити:

    \(−3^{2}−[5−(4^{2}−10)]\).

    Рішення:

    Спочатку виконайте операції в найглибших дужках.

    Відповідь:

    \(-8\)

    Приклад\(\PageIndex{9}\)

    Спростити:

    \(\left(−\frac{2}{3}\right)^{2}÷\left[\frac{5}{3}−\left(−\frac{1}{2}\right)^{3}\right]\).

    Рішення:

    \(\begin{aligned} \left(−\frac{2}{3}\right)^{2}÷\left[\frac{5}{3}−\left(−\frac{1}{2}\right)^{3}\right]&=\left(-\frac{2}{3} \right)^{2}\div \left[\frac{5}{3}-\left(-\frac{1}{8}\right)\right] \\&=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\left[\frac{5}{3}+\frac{1}{8}\right] \\ &=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\left[\frac{40}{24}+\frac{3}{24}\right] \\ &=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\frac{43}{24} \\ &=\frac{4}{\color{Cerulean}{\underset{3}{\cancel{\color{black}{9}}}}}\color{black}{\cdot\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{8}{\cancel{\color{black}{24}}}}}{43}} \\ &=\frac{32}{129} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\frac{32}{129}\)

    Ми рідше помилимося, якщо працюємо по одній операції за раз. Деякі проблеми можуть включати абсолютне значення, і в цьому випадку ми призначаємо йому той самий порядок пріоритету, що і дужки.

    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    Спростити:

    \(2−4|−4−3|+(−2)^{4}\).

    Рішення:

    Ми починаємо з оцінки абсолютного значення, а потім показника\((−2)^{4}=(−2)(−2)(−2)(−2)=+16\).

    Відповідь:

    \(-10\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Спростити:

    \(10÷5⋅2|(−4)+|−3||+(−3)^{2}\).

    Відповідь

    \(13\)

    Ключові виноси

    • Символи групування вказують, які операції потрібно виконати першими. Зазвичай ми групуємо математичні операції з дужками, дужками, дужками та рядком дробу. Ми також групуємо операції в межах абсолютних значень. Всі групи мають однаковий порядок пріоритету: операції всередині самого внутрішнього групування виконуються першими.
    • Застосовуючи операції в рамках розрахунку, дотримуйтесь порядку операцій, щоб забезпечити єдиний правильний результат.
      • Спочатку зверніться до найглибших дужок або групувань.
      • Спростити всі експоненти.
      • Виконуйте операції множення і ділення зліва направо.
      • Нарешті, виконайте операції додавання і віднімання зліва направо.
    • Важливо виділити той факт, що операції множення і ділення повинні застосовуватися так, як вони з'являються зліва направо. Поширеною помилкою завжди виконувати множення перед діленням, що, як ми бачили, в деяких випадках дає неправильні результати.

    Вправа\(\PageIndex{3}\) Order of Operations

    Спростити.

    1. \(−7−3⋅5\)
    2. \(3+2⋅3\)
    3. \(−3(2)−6^{2}\)
    4. \(2(−3)^{2}+5(−4)\)
    5. \(\frac{6}{3}*2\)
    6. \(6/(3*2)\)
    7. \(−\frac{1}{2}−\frac{3}{5}⋅\frac{2}{3}\)
    8. \(\frac{5}{8}÷\frac{1}{2}−\frac{5}{6}\)
    9. \(3.2^{2}−6.9÷2.3\)
    10. \(8.2−3÷1.2⋅2.1\)
    11. \(2+3(−2)−7\)
    12. \(8÷2−3⋅2\)
    13. \(3+6^{2}÷12\)
    14. \(5−4^{2}÷(−8)\)
    15. \(−9−3⋅2÷3(−2)\)
    16. \(−2−3^{2}+(−2)^{2}\)
    17. \(12÷6⋅2−2^{2}\)
    18. \(4⋅3÷12⋅2−(−2)^{2}\)
    19. \((−5)^{2}−2(5)^{2}÷10\)
    20. \(−3(4−7)+2\)
    21. \((−2+7)^{2}−10^{2}\)
    22. \(10−7(3+2)+7^{2}\)
    23. \(−7−3(4−2⋅8)\)
    24. \(5−3 [6−(2+7)]\)
    25. \(1+2 [(−2)^{3}−(−3)^{2}]\)
    26. \(−3 [2(7−5)÷4⋅(−2)+(−3)^{3}]\)
    27. \(−7^{2}−[−20−(−3)^{2}]−(−10)\)
    28. \(4.7−3.2(4−1.2^{3})\)
    29. \(−5.4(6.1−3.1÷0.1)−8.2^{2}\)
    30. \(−7.3^{2}+(−9.3)^{2}−37.8÷1.8\)
    31. \(2−7(3^{2}−3+4⋅3)\)
    32. \((\frac{1}{2})^{2}−(−\frac{2}{3})^{2}\)
    33. \((\frac{1}{2})^{3}+(−2)^{3}\)
    34. \((−\frac{1}{3})^{2}−(−\frac{2}{3})^{3}\)
    35. \(\frac{1}{3}−\frac{1}{2}⋅\frac{1}{5}\)
    36. \(\frac{5}{8}÷\frac{3}{2}⋅\frac{14}{15}\)
    37. \(5⋅\frac{2}{15}−(\frac{1}{2})^{3}\)
    38. \(\frac{5}{17}(\frac{3}{5}−\frac{4}{35})\)
    39. \(\frac{3}{16}÷(\frac{5}{12}−\frac{1}{2}+\frac{2}{3})⋅4\)
    40. \((\frac{2}{3})^{2}−(\frac{1}{2})^{2}\)
    41. \(\frac{1}{2} [\frac{3}{4}⋅(−4)^{2}−2]^{2}\)
    42. \(6⋅[(\frac{2}{3})^{2}−(\frac{1}{2})^{2}]÷(−2)^{2}\)
    43. \((−5)^{2}+\frac{3}{2}−\frac{4}{2}+2⋅7\)
    44. \((−3.2−3.3)(8.7−4.7)(−4.7+3.9+2.1)\)
    45. \(2−[3−(5−7)^{2}]3(6−32)\)
    46. \(\frac{2+3⋅6−4⋅32}{2−32}\)
    47. \((2+7)⋅2−\frac{23}{10}+\frac{9}{2}+3^{3}\)
    48. \(\frac{(−1−3)^{2}−1}{5−3⋅(−7+22)−5}\)
    49. \((7+4*(−2)) / (−3+(−2)^{2})\)
    50. \(4+3*((−3)^{3}+5^{2}) / 6−2^{2}\)
    Відповідь

    1. \(−22\)

    3. \(−42\)

    5. \(4\)

    7. \(−\frac{9}{10}\)

    9. \(7.24\)

    11. \(−11\)

    13. \(6\)

    15. \(−5\)

    17. \(0\)

    19. \(20\)

    21. \(−75\)

    23. \(29\)

    25. \(−33\)

    27. \(−10\)

    29. \(67.22\)

    31. \(−124\)

    33. \(−\frac{63}{8}\)

    35. \(\frac{7}{30}\)

    37. \(\frac{13}{24}\)

    39. \(\frac{9}{7}\)

    41. \(50\)

    43. \(−17\)

    45. \(−\frac{1}{3}\)

    47. \(\frac{5}{59}\)

    49. \(−1\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\) Order of Operations

    1. Мері придбала\(14\) пляшки води за $\(0.75\) за пляшку,\(4\) фунти асорті цукерок по $\(3.50\) за фунт, і\(16\) пакети мікрохвильового попкорну вартістю $\(0.50\) кожен для її партії. Яким був її загальний рахунок?
    2. Джо купив чотири\(8\) -foot\(2\) -by-\(4\) дошки за $\(24.00\). Скільки він витратив на лінійну ногу?
    3. Маргарет купила два футляри газованої води в місцевому магазині знижок за $\(23.52\). Якщо кожен випадок містив\(24\) пляшки, скільки вона витратила на пляшку?
    4. Біллі заробляє $\(12.00\) за годину і «півтора часу» за кожну годину, яку він працює більше\(40\) годин на тиждень. Яка його оплата за\(47\) години роботи на цьому тижні?
    5. Одрі купила\(4\) мішки з мармуру, кожен з яких містить\(15\) асорті мармуру. Якщо вона бажає розділити їх рівномірно між своїми\(3\) дітьми, скільки отримає кожна дитина?
    6. Марк і Джанет подорожували додому з коледжу на свято Подяки. Вони розділили водіння, але Марк проїхав вдвічі далі, ніж Джанет. Якщо Джанет проїхала\(135\) милі, то скільки миль склала вся поїздка?
    Відповідь

    1. \($32.50\)

    3. \($0.49\)

    5. \(20\)мармуру

    Вправа\(\PageIndex{5}\) Order of Operations with Absolute Values

    Спростити.

    1. \(3+2|−5|\)
    2. \(9−4|−3|\)
    3. \(−(−|2|+|−10|)\)
    4. \(−(|−6|−|−8|)\)
    5. \(|−(40−|−22|)|\)
    6. \(||−5|−|10||\)
    7. \(−(|−8|−5)^{2}\)
    8. \((|−1|−|−2|)^{2}\)
    9. \(−4+2|2^{2}−3^{2}|\)
    10. \(−10−|4−5^{2}|\)
    11. \(−|(−5)^{2}+4^{2}÷8|\)
    12. \(−(−3−[ 6−|−7|])\)
    13. \(−2[7−(4+|−7|)]\)
    14. \(3−7 |−2−3|+4^{3}\)
    15. \(7−5|6^{2}−5^{2}|+(−7)^{2}\)
    16. \((−4)^{2}−|−5+(−2)^{3}|−3^{2}\)
    17. \(\frac{2}{3}−|\frac{1}{2}−(−\frac{4}{3})^{2}|\)
    18. \(−30|\frac{10}{3}−\frac{1}{2}÷\frac{1}{5}|\)
    19. \((−4)^{3}−(2−|−4|)÷|−3^{2}+7|\)
    20. \([10−3(6−|−8|)] ÷4−5^{2}\)
    Відповідь

    1. \(13\)

    3. \(−8\)

    5. \(18\)

    7. \(−9\)

    11. \(6\)

    13. \(−27\)

    15. \(8\)

    17. \(1\)

    19. \(−\frac{11}{18}\)

    21. \(−63\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\) Order of Operations with Absolute Values

    Знайти відстань між заданими числами на числовому рядку.

    1. \(\frac{1}{2}\)і\(−\frac{1}{4}\)
    2. \(−\frac{3}{4}\)і\(−\frac{2}{3}\)
    3. \(−\frac{5}{8}\)і\(−\frac{3}{4}\)
    4. \(−\frac{7}{5}\)і\(\frac{3}{7}\)
    5. \(−0.5\)і\(8.3\)
    6. \(10.7\)і\(−2.8\)
    7. \(3\frac{1}{5}\)і\(−2\frac{1}{3}\)
    8. \(5\frac{3}{4}\)і\(0\)
    Відповідь

    1. \(\frac{3}{4}\)одиниця

    3. \(\frac{1}{8}\)одиниця

    5. \(8.8\)одиниць

    7. \(5\frac{8}{15}\)одиниць

    Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

    1. Перетворення різних прикладів у цьому розділі на еквівалентні вирази за допомогою текстових символів.
    2. Що таке PEMDAS і чого його не вистачає?
    3. Обговоріть важливість правильного групування і наведіть кілька прикладів.
    4. Експериментуйте з порядком операцій на калькуляторі і діліться своїми результатами.
    Відповідь

    1. Відповіді можуть відрізнятися

    3. Відповіді можуть відрізнятися