1.4: Дроби

Цілі навчання

• Зменшіть частку до найнижчих показників.
• Множення і ділення дробів.
• Додавання і віднімання дробів.

Зменшення

Дріб - це дійсне число, записане у вигляді частки, або співвідношення, двох цілих чисел$a$ and$b$, де$b \neq 0$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Ціле число над рядком дробу називається чисельником, а ціле число нижче називається знаменником. Чисельник часто називають «частиною», а знаменник часто називають «цілим». Еквівалентні дроби - це два рівних співвідношення, виражені за допомогою різних чисельників і знаменників. Наприклад,

$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

П'ятдесят частин з$100$ - це те саме співвідношення, що$2$ і$1$ частина з і являє собою те саме дійсне число. Розглянемо наступні факторизації$50$ і$100$:

\ [
\ почати {вирівнювати*}
50 &= 2\ cdot 25\\
100 &= 4\ cdot 25
\ кінець {вирівнювати*}
\]

Цифри$50$ і$100$ поділяють коефіцієнт$25$. Спільний фактор називається загальним фактором. Ми можемо переписати співвідношення$\frac{50}{100}$ наступним чином:

$\frac{50}{100} = \frac{2 \cdot 25}{4 \cdot 25}$

Використовуючи мультиплікативну властивість ідентичності та той факт$\frac{25}{25} = 1$, що ми маємо

Малюнок$\PageIndex{2}$

Поділ$\frac{25}{25}$ і заміна цього фактора на а$1$ називається скасуванням. Разом ці основні етапи знаходження еквівалентних дробів визначають процес скорочення. Так як множники поділяють свій твір рівномірно, ми досягаємо однакового результату, діливши і чисельник, і знаменник на$25$ наступне:

Малюнок$\PageIndex{3}$

Знаходження еквівалентних дробів, де чисельник і знаменник не мають спільного множника, крім$1$ називається скороченням до найнижчих чисел. Навчаючись, як звести до найнижчих термінів, корисно спочатку переписати чисельник і знаменник як добуток простих чисел, а потім скасувати. Наприклад,

Малюнок$\PageIndex{4}$

Такого ж результату досягаємо, діливши чисельник і знаменник на найбільший спільний коефіцієнт (ГКФ). GCF - це найбільше число, яке ділить і чисельник, і знаменник рівномірно. Один із способів знайти GCF$50$ і$100$ полягає в тому, щоб перерахувати всі фактори кожного і визначити найбільшу кількість, яка з'являється в обох списках. Пам'ятайте, кожне число також є фактором самого себе.

\ [
\ почати {вирівнювати*}
&\ {1,2,5,10,25,50\} &&\ колір {Кольоровий} {Фактори\ з\ 50}\\
&\ {1,2,4,5,10,20,25,50,100\} &\ колір {Кольоровий} {Фактори\ з\ 100}
\ кінець {вирівнювати*}
\]

Загальні фактори перераховані жирним шрифтом, і ми бачимо, що найбільшим загальним фактором є$50$. Використовуємо наступні позначення для позначення GCF двох чисел: GCF$(50, 100) = 50$. Після визначення ГКФ зменшіть, діливши і чисельник, і знаменник наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{5}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Знизити до найнижчих термінів:$\frac{105}{300}$.

Рішення

Перепишіть чисельник і знаменник як добуток простих чисел, а потім скасуйте.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Як варіант, ми досягаємо того ж результату, якщо розділимо і чисельник, і знаменник на ЗКФ$(105, 300)$. Швидкий спосіб знайти GCF двох чисел вимагає від нас спочатку написати кожне як добуток простих чисел. GCF є добутком всіх загальних простих множників.

Малюнок$\PageIndex{7}$

При цьому загальні прості множники є$3$ і$5$ і найбільшим загальним фактором$105$ і$300$ є$15$.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Відповідь:

$\frac{7}{20}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Спробуйте це! Знизити до найнижчих термінів:$\frac{32}{96}$.

Відео Рішення:

(натисніть, щоб подивитися відео)

Неправильний дріб - це той, де чисельник більше знаменника. Мішане число - це число, яке представляє суму цілого числа і дробу. Наприклад,$5 \frac{1}{2}$ це мішане число, яке представляє суму$5+\frac{1}{2}$. Використовуйте довге ділення для перетворення неправильного дробу в мішане число; залишок - чисельник дробової частини.

Приклад$\PageIndex{3}$

Пишіть$\frac{23}{5}$ як мішане число.

Рішення

Зверніть увагу, що$5$ ділиться на$23$ чотири рази з залишком$3$.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Тоді ми можемо написати

\ [
\ почати {вирівнювати*}
\ гідророзриву {23} {5} &= 4 +\ гідророзриву {3} {5}\
&= 4\ гідророзриву {3} {5}
\ end {align*}
\]

Зверніть увагу, що знаменник дробової частини змішаного числа залишається таким же, як і знаменник вихідного дробу.

Відповідь

$4 \frac{3}{5}$

Щоб перетворити мішані числа на неправильні дроби, помножте ціле число на знаменник, а потім додайте чисельник; запишіть цей результат поверх початкового знаменника.

Приклад$\PageIndex{4}$

Пишіть$3 \frac{5}{7}$ як неправильний дріб.

Рішення

Отримайте чисельник, множивши$7$ раз,$3$ а потім складіть$5$.

\ [
\ почати {вирівнювати*}
3\ гідророзриву {5} {7} &=\ гідророзриву {7\ cdot 3 + 5} {7}\
&=\ гідророзриву {21+5} {7}\
&=\ frac {26} {7}
\ end {align*}
\\]

Відповідь

$\frac{26}{7}$

Важливо відзначити, що перетворення в мішане число не є частиною процесу скорочення. Ми вважаємо, що неправильні дроби$267$, наприклад, зводяться до найнижчих. В алгебрі часто краще працювати з неправильними дробами, хоча в деяких додатках більш доречні мішані числа.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спробуйте це! $10 \frac{1}{2}$Перетворити на неправильний дріб.

Рішення

(натисніть, щоб подивитися відео)

Множення та ділення дробів

У цьому розділі, припустимо$a, b, c$, що, і$d$ всі ненульові цілі числа. Твір двох дробів - це дріб, утворений добутком чисельників і добутком знаменників. Іншими словами, для множення дробів множимо чисельники і множимо знаменники:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Помножити:$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$

Рішення

Множимо чисельники і множимо знаменники.

\ [
\ почати {вирівнювати*}
\ гідророзриву {2} {3}\ cdot\ гідророзриву {5} {7} &=\ гідророзриву {2\ cdot 5} {3\ cdot 7}\\
&=\ frac {10} {21}
\ кінець {вирівнювати*}
\]

Відповідь:

$\frac{10}{21}$

Приклад$\PageIndex{7}$

Помножити:$\frac{5}{9}\left(-\frac{1}{4}\right)$

Рішення

Нагадаємо, що добуток позитивного числа і негативного числа є негативним.

\ [
\ почати {вирівнювати*}
\ гідророзриву {5} {9}\ ліворуч (-\ гідророзриву {1} {4}\ праворуч) &= -\ розриву {5\ cdot 1} {9\ cdot 4}\\
&= -\ frac {5} {36}
\ end {align*}
\]

Відповідь:

$-\frac{5}{36}$

Приклад$\PageIndex{8}$

Помножити:$\frac{2}{3} \cdot 5 \frac{3}{4}$

Рішення

Почніть$5 \frac{3}{4}$ з перетворення в неправильний дріб.

Малюнок$\PageIndex{10}$

У цьому прикладі ми помітили, що ми могли б зменшити, перш ніж помножити чисельники і знаменники. Зменшення таким чином називається перехресним скасуванням, і може заощадити час при множенні дробів.

Відповідь

$3 \frac{5}{6}$

Два дійсних числа, твір$1$ яких називається зворотними. Тому$\frac{a}{b}$ і$\frac{b}{a}$ є взаємними тому що$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ab} = 1$. Наприклад,

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$

Тому що їх продукт є$1$,$\frac{2}{3}$ і$\frac{3}{2}$ є взаємними. Деякі інші взаємні перелічені нижче:

$\frac{5}{8}\ \text{and}\ \frac{8}{5} \qquad 7\ \text{and}\ \frac{1}{7} \qquad -\frac{4}{5}\ \text{and}\ -\frac{5}{4}$

Це визначення важливо, оскільки ділення дробів вимагає, щоб ви помножили дивіденд на зворотний дільник.

$\frac{a}{b} \div \color{Cerulean}{\frac{c}{d}} \color{Black}{=} \frac{a}{b} \cdot \color{Cerulean}{\frac{d}{c}} \color{Black}{=} \frac{ad}{bc}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Розділити:$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}$

Рішення

$\frac{2}{3}$Помножте на зворотну$\frac{5}{7}$.

\ [
\ почати {вирівнювати*}
\ гідророзриву {2} {3}\ div\ гідророзриву {5} {7} &=\ гідророзриву {2} {3}\ cdot\ гідророзриву {7} {5}\\ &=\ frac {2\ cdot 7} {3\ cdot 5}\\
&=\ гідророзриву {14} {15}\ кінець {2\ cdot 7} {3\ cdot 5}\\
&=\ гідророзриву {14} {15}
\ кінець {align*}
\\

Відповідь:

$\frac{14}{15$

Також потрібно знати про інші форми позначення, які вказують на поділ:/і —. Наприклад,

$5/(1/2) = 5*(2/1)=(5/1)*(2/1)= 10/1=10$

Або

$\frac{\frac{7}{8}}{\color{Cerulean}{\frac{2}{3}}} \color{Black}{=} \frac{7}{8} \div \color{Cerulean}{\frac{2}{3}} \color{Black}{=} \frac{7}{8} \cdot \color{Cerulean}{\frac{3}{2}} \color{Black}{=} \frac{21}{16}$

Останній є прикладом складного дробу, який представляє собою дріб, чисельник якого, знаменник або обидва є дробами.

Примітка

Студенти часто запитують, чому ділення еквівалентно множенню на зворотний дільника. Математичне пояснення походить від того, що добуток взаємних є$1$. Якщо застосувати мультиплікативну властивість ідентичності і помножити чисельник і знаменник на зворотні знаменника, то отримаємо наступне:

Малюнок$\PageIndex{11}$

Перед множенням шукайте загальні фактори для скасування; це позбавляє від необхідності зменшення кінцевого результату.

Приклад$\PageIndex{10}$

Розділити:$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{7}{4}}$.

Рішення

Малюнок$\PageIndex{12}$

Відповідь

$\frac{10}{7}$

При діленні на ціле число корисно переписати його як дріб над$1$.

Приклад$\PageIndex{11}$

Розділити:$\frac{2}{3} \div 6$

Рішення

Перепишіть 6 як$\frac{6}{1}$ і помножте на його взаємні.

Малюнок$\PageIndex{13}$

Відповідь:

$\frac{1}{9}$

Також зверніть увагу, що ми скасовуємо тільки при роботі з множенням. Перепишіть будь-яку проблему поділу як продукт перед скасуванням.

Приклад$\PageIndex{12}$

Спробуйте це! Розділити:$5 \div 2 \frac{3}{5}$

Відео Рішення:

(натисніть, щоб подивитися відео)

Додавання та віднімання дробів

Негативні дроби позначаються негативним знаком перед рядком дробу, в чисельнику, або в знаменнику. Всі такі форми рівнозначні і взаємозамінні.

$\frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} = \frac{3}{-4}$

Додавання або віднімання дробів вимагає спільного знаменника. У цьому розділі припустимо, що спільний знаменник c є ненульовим цілим числом.

Хорошою практикою є використання позитивних спільних знаменників шляхом вираження негативних дробів з негативними чисельниками. Коротше кажучи, уникайте негативних знаменників.

Приклад$\PageIndex{13}$

Відніміть:$\frac{12}{15} - \frac{3}{15}$

Рішення

Два дроби мають спільний знаменник$15$. Тому відніміть чисельники і запишіть результат над спільним знаменником:

\ [
\ begin {align*}
\ frac {12} {15} -\ frac {3} {15} &=\ frac {12-3} {15} &&\ color {Cerulean} {Відніміть\ чисельники.} \\
&=\ колір {чорний} {\ розрив {9} {15}}\\
&=\ розрив {9\ колір {\ div 3}} {\ колір {чорний} {15}\ колір {Cerulean} {\ div 3}} &&\ колір {Cerulean} {Зменшити.} \\
&=\ гідророзриву {3} {5}
\ end {align*}
\]

Відповідь
$\frac{3}{5}$

Більшість проблем, з якими ви, ймовірно, зіткнетеся, матимуть на відміну від знаменників. У цьому випадку спочатку знайдіть еквівалентні дроби із загальним знаменником перед додаванням або відніманням чисельників. Одним із способів отримання еквівалентних дробів є поділ чисельника і знаменника на одне і те ж число. Зараз ми розглянемо методику знаходження еквівалентних дробів шляхом множення чисельника і знаменника на одне і те ж число. Повинно бути зрозуміло, що$5/5$ дорівнює$1$ і що$1$ помножене на будь-яке число це число:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \color{Cerulean}{1} \color{Black}{=} \frac{1}{2} \cdot \color{Cerulean}{\frac{5}{5}} \color{Black}{=} \frac{5}{10}$

У нас є еквівалентні дроби$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$. Скористайтеся цією ідеєю, щоб знайти еквівалентні дроби зі спільним знаменником для додавання або віднімання дробів. Кроки викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{14}$

Відніміть:$\frac{7}{15} - \frac{3}{10}$

Рішення

Крок 1: Визначте спільний знаменник. Для цього використовують найменше спільне кратне (НКМ) заданих знаменників. LCM$15$ і$10$ позначається LCM$(15, 10)$. Постарайтеся придумати найменшу цифру, на яку обидва знаменника поділяють рівномірно. Перерахуйте кратні кожному числу:

Загальні кратні перераховані жирним шрифтом, а найменш загальним кратним є$30$.

LCM$(10,15)=30$

Крок 2: Помножте чисельник і знаменник кожного дробу на значення, які призводять до отримання еквівалентних дробів з визначеним спільним знаменником.

\ [\ begin {align*}
\ frac {7} {15} -\ frac {3} {10} &=\ frac {7\ color {Cerulean} {\ cdot 2}} {15\ color {cdot 3}} -\ frac {3\ колір {\ cdot 3}} {10\ кольоровий {Cdot 3}\ cdot 3}}\\
&=\ гідророзриву {14} {30} -\ frac {9} {30}
\ end {align*}\]

Крок 3: Додайте або відніміть чисельники, запишіть результат над загальним знаменником, а потім зменшіть, якщо це можливо.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ гідророзриву {14} {30} -\ розрив {9} {30} &=\ гідророзриву {14-9} {30}\
&=\ гідророзриву {5} {30}\
&=\ фрак {5\ колір {\ div 5}} {30\ колір {\ div 5} {\ div 5} {\
div 5} гідророзрив {1} {6}
\ end {align*}\]

Відповідь:

$\frac{1}{6}$

Найменш поширеним кратним знаменників називається найменш спільний знаменник (РК). Пошук РК-дисплея часто є складним кроком. Це варто знайти, тому що якщо використовується будь-яке спільне множинне, крім найменшого, тоді буде задіяно більше кроків при зменшенні.

Приклад$\PageIndex{15}$

Додати:$\frac{5}{10} + \frac{1}{18}$

Рішення

Спочатку визначте, що LCM$(10, 18)$ є,$90$ а потім знайдіть еквівалентні дроби з$90$ як знаменник.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ frac {5} {10} +\ frac {1} {18} &=\ frac {5\ колір {Cerulean} {\ cdot 9}} {1\ колір {\ cdot 5}} {1\ колір {\ cdot 5}} {18\ колір {Croulean}\ cdot 5}}\\
&=\ гідророзриву {45} {90} +\ гідророзриву {5} {90}\
&=\ гідророзриву {45+5} {90}\\
& amp; =\ гідророзрив {50} {90}\\
&=\ розрив {50\ колір {лазурський} {\ div 10}} {90\ колір {\ div 10}}\\
&=\ frac {5} {9}
\ end {align*}\\\]

Відповідь

$\frac{5}{9}$

Приклад$\PageIndex{16}$

Спробуйте це! Додати:$\frac{2}{30} + \frac{5}{21}$

Відео Рішення:

(натисніть, щоб подивитися відео)

Приклад$\PageIndex{17}$

Спростити:$2 \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{1}{2}$

Рішення

Почніть$2 \frac{1}{3}$ з перетворення в неправильний дріб.

Відповідь:

$2 \frac{13}{30}$

Взагалі, краще працювати з неправильними фракціями. Однак, коли початкова задача включає мішані числа, якщо це доречно, представити свої відповіді у вигляді мішаних чисел. Крім того, мішані числа часто віддають перевагу при роботі з числами на числовому рядку і з реальними додатками.

Приклад$\PageIndex{18}$

Спробуйте це! Відніміть:$\frac{5}{7} - 2 \frac{1}{7}$

Відео Рішення:

(натисніть, щоб подивитися відео)

Приклад$\PageIndex{19}$

Скільки$\frac{1}{2}$ дюймових книг у м'якій обкладинці можна скласти, щоб поміститися на полиці, яка висотою$1 \frac{1}{2}$ футів?

Рішення

Для початку визначте висоту полиці в дюймах. Для цього використовуйте той факт, що в$1$ футі є$12$ дюйми і помножте наступним чином:

Далі визначте, скільки зошитів поміститься, розділивши висоту полиці на товщину кожної книги.

Відповідь

$36$книги можна укладати на полицю.

Ключові винос:

• Дроби не є унікальними; існує багато способів вираження одного і того ж співвідношення. Знайти еквівалентні дроби шляхом множення або ділення чисельника і знаменника на однакове дійсне число.
• Еквівалентні дроби в найнижчих вираженнях зазвичай є кращими. Це гарна практика, щоб завжди зменшити.
• В алгебрі зазвичай кращими є неправильні дроби. Однак у реальних додатках часто віддають перевагу еквівалентам змішаних чисел. Ми можемо представити відповіді як неправильні дроби, якщо оригінальне запитання не містить мішаних чисел, або це відповідь на реальну чи геометричну програму.
• Множення дробів не вимагає спільного знаменника; множте чисельники і множте знаменники для отримання добутку. Найкраще скасувати будь-які загальні множники в чисельнику та знаменнику перед множенням.
• Взаємні - це раціональні числа, добуток яких дорівнює$1$. З огляду на дріб$\frac{a}{b}$, його зворотний є$\frac{b}{a}$.
• Ділимо дроби, множивши дивіденд на зворотний дільника. Іншими словами, помножте чисельник на зворотний знаменника.
• Перепишіть будь-яку проблему поділу як продукт перед скасуванням.
• Додавання або віднімання дробів вимагає спільного знаменника. Коли знаменники будь-якої кількості дробів збігаються, просто додайте або відніміть чисельники і запишіть результат над загальним знаменником.
• Перед додаванням або відніманням дробів переконайтеся, що знаменники однакові, знаходячи еквівалентні дроби із загальним знаменником. Помножте чисельник і знаменник кожного дробу на відповідне значення, щоб знайти еквівалентні дроби.
• Як правило, перед початком процесу додавання, віднімання, множення або ділення найкраще перетворити всі мішані числа в неправильні дроби.

Вправа$\PageIndex{1}$

Зменшіть кожну дробу до найнижчих показників.

1. $\frac{5}{30}$

2. $\frac{6}{24}$

3. $\frac{30}{70}$

4. $\frac{18}{27}$

5. $\frac{44}{84}$

6. $\frac{54}{90}$

7. $\frac{135}{30}$

8. $\frac{105}{300}$

9. $\frac{18}{6}$

10. $\frac{256}{16}$

11. $\frac{126}{45}$

12. $\frac{52}{234}$

13. $\frac{54}{162}$

14. $\frac{2000}{3000}$

15. $\frac{270}{360}$

Відповідь

1:$1/6$

3:$3/7$

5:$11/21$

7:$9/2$

9:$3$

11:$14/5$

13:$1/3$

15:$3/4$

Вправа$\PageIndex{2}$

Перепишіть як неправильний дріб.

1. $4\frac{3}{4}$
2. $2\frac{1}{2}$
3. $5\frac{7}{15}$
4. $1\frac{1}{2}$
5. $3\frac{5}{8}$
6. $1\frac{3}{4}$
7. $−2\frac{1}{2}$
8. $−1\frac{3}{4}$

Відповідь

1:$5/2$

3:$3/2$

5:$7/4$

7:$−7/4$

Вправа$\PageIndex{3}$

Перепишіть як мішане число.

1. $\frac{15}{2}$
2. $\frac{9}{2}$
3. $\frac{40}{13}$
4. $\frac{103}{25}$
5. $\frac{73}{10}$
6. $\frac{−52}{7}$
7. $\frac{−59}{6}$

Відповідь

2:$4\frac{1}{2}$

4:$4\frac{3}{25}$

6:$−7\frac{3}{7}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Помножити і зменшити до найнижчих показників.

1. $\frac{2}{3}⋅\frac{5}{7}$
2. $\frac{1}{5}⋅\frac{4}{8}$
3. $\frac{1}{2}⋅\frac{1}{3}$
4. $\frac{3}{4}⋅\frac{20}{9}$
5. $\frac{5}{7}⋅\frac{49}{10}$
6. $\frac{2}{3}⋅\frac{9}{12}$
7. $\frac{6}{14}⋅\frac{21}{12}$
8. $\frac{44}{15}⋅\frac{15}{11}$
9. $3 \frac{3}{4} \cdot 2 \frac{1}{3}$
10. $2\frac{7}{10}⋅5\frac{5}{6}$
11. $\frac{3}{11}(−\frac{5}{2})$
12. $-\frac{4}{5}(\frac{9}{5})$
13. $(−\frac{9}{5} (−\frac{3}{10})$
14. $\frac{6}{7}(−\frac{14}{3})$
15. $(−\frac{9}{12})(−\frac{4}{8})$
16. $−\frac{3}{8}(−\frac{4}{15})$
17. $\frac{1}{7}⋅\frac{1}{2}⋅\frac{1}{3}$
18. $\frac{3}{5}⋅\frac{15}{21}⋅\frac{7}{27}$
19. $\frac{2}{5}⋅3\frac{1}{8}⋅\frac{4}{5}$
20. $2\frac{4}{9}⋅\frac{2}{5}⋅2\frac{5}{11}$

Відповідь

1:$10/21$

3:$1/6$

5:$7/2$

7:$3/4$

9:$834$

11:$−15/22$

13:$27/50$

15:$3/8$

17:$1/42$

19:$1$

Вправа$\PageIndex{5}$

Визначте зворотні наступних чисел.

1. $\frac{1}{2}$
2. $\frac{8}{5}$
3. $−\frac{2}{3}$
4. $−\frac{4}{3}$
5. $10$
6. $−4$
7. $2\frac{1}{3}$
8. $1\frac{5}{8}$

Відповідь

1:$2$

3:$−3/2$

5:$1/10$

7:$3/7$

9:$3/4$

Вправа$\PageIndex{6}$

Розділити і звести до найнижчих термінів.

1. $\frac{1}{2} \div \frac{2}{3}$
2. $\frac{5}{9} \div \frac{1}{3}$
3. $\frac{5}{8} \div (−\frac{4}{5})$
4. $(−\frac{2}{5})÷\frac{15}{3}$
5. $\dfrac{−\frac{6}{7}}{−\frac{6}{7}}$
6. $\dfrac{−\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$
7. $\dfrac{−\frac{10}{3}}{−\frac{5}{20}}$
8. $\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{9}{2}}$
9. $\dfrac{\frac{30}{50}}{\frac{5}{3}}$
10. $\dfrac{\frac{1}{2}}{2}$
11. $\dfrac{5}{\frac{2}{5}}$
12. $\dfrac{−6}{\frac{5}{4}}$
13. $2 \frac{1}{2} \div \frac{5}{3}$
14. $4 \frac{2}{3} \div 3 \frac{1}{2}$
15. $5 \div 2\frac{3}{5}$
16. $4\frac{3}{5} \div 23$

Відповідь

1:$3/4$

3:$−25/32$

5:$1$

7:$40/3$

9:$9/25$

11:$25/2$

13:$1 \frac{1}{2}$

15:$1 \frac{12}{13}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Додайте або відніміть і зменшуйте до найнижчих термінів.

1. $\frac{17}{20}-\frac{5}{20}$
2. $\frac{4}{9}-\frac{13}{9}$
3. $\frac{3}{5}+\frac{1}{5}$
4. $\frac{11}{15}+\frac{9}{15}$
5. $\frac{5}{7}-2\frac{1}{7}$
7. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
8. $\frac{1}{5}-\frac{1}{4}$
9. $\frac{3}{4}-\frac{5}{2}$
10. $\frac{3}{8}+\frac{7}{16}$
11. $\frac{7}{15}-\frac{3}{10}$
12. $\frac{3}{10}+\frac{2}{14}$
13. $\frac{2}{30}+\frac{5}{21}$
14. $\frac{3}{18}-\frac{1}{24}$
15. $5 \frac{1}{2}+2\frac{1}{3}$
16. $1 \frac{3}{4}+2 \frac{1}{10}$
17. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$
18. $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}-\frac{2}{9}$
19. $\frac{7}{3}-\frac{3}{2}+\frac{2}{15}$
20. $\frac{9}{4}-\frac{3}{2}+\frac{3}{8}$
22. $\frac{2}{3}-4\frac{1}{2}+3\frac{1}{6}$
23. $1-\frac{6}{16}+\frac{3}{18}$
24. $3-\frac{1}{21}-\frac{1}{15}$

Відповідь

1:$3/5$

3:$4/5$

5:$−1 \frac{3}{7}$

7:$5/6$

9:$−7/4$

11:$1/6$

13:$32/105$

15:$7 \frac{5}{6}$

17:$1$

19:$29/30$

21:$2 \frac{2}{3}$

23:$19/24$

Вправа$\PageIndex{8}$

Виконайте операції. Зменшіть відповіді до найнижчих термінів.

1. $\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{3} \div \frac{1}{8}$
2. $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{4}{5}) \div \frac{14}{15}$
3. $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}$
4. $-\frac{5}{9} \div \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{2}$
7. $\frac{4}{5} \div 4 \cdot \frac{1}{2}$
8. $\frac{5}{3} \div 15 \cdot \frac{2}{3}$
9. Що являє собою продукт$\frac{3}{16}$ і$\frac{4}{9}$?
10. Що являє собою продукт$−\frac{24}{5}$ і$\frac{25}{8}$?
11. Що таке частка$\frac{5}{9}$ і$\frac{25}{3}$?
12. Що таке частка$−\frac{16}{5}$ і$32$?
13. Відняти$\frac{1}{6}$ від суми$\frac{9}{2}$ і$\frac{2}{3}$.
14. Відняти$\frac{1}{4}$ від суми$\frac{3}{4}$ і$\frac{6}{5}$.
15. Яка загальна ширина, коли$3$ дошки, кожна шириною в$2 \frac{5}{8}$ дюйми, склеюються між собою?
16. Опади в дюймах для конкретних 3-денних вихідних були опубліковані як$\frac{3}{10}$ дюйми в п'ятницю,$1\frac{1}{2}$ дюйми в суботу та$\frac{3}{4}$ дюйми в неділю. Розрахуйте загальну кількість опадів за цей період.
17. Дошку, яка довжиною$5\frac{1}{4}$ ноги, повинна бути розрізана на$7$ шматки однакової довжини. Яка довжина кожного шматка?
18. Скільки$\frac{3}{4}$ дюймових ноутбуків товщиною можна скласти у коробку висотою$2$ футів?
19. У класі математики одна чверть$44$ учнів записалася на спеціальну суботню навчальну сесію. Скільки студентів записалося?
20. Визначити довжину огорожі потрібно, щоб підкласти прямокутну ручку з розмірами$35\frac{1}{2}$ ноги по$20\frac{2}{3}$ ногах.
21. Кожне коло навколо траси вимірює$\frac{1}{4}$ милю. Скільки кіл потрібно для завершення пробігу$2\frac{1}{2}$ милі?
22. Пенсіонер заробляв пенсію, яка складається з трьох чвертей його звичайної щомісячної зарплати. Якщо його регулярна місячна зарплата була$$5,200$, то якої щомісячної виплати пенсіонер може очікувати від пенсійного плану?

Відповідь

1:$4$

3:$2/15$

5:$9/28$

7:$1/10$

9:$1/12$

11:$1/15$

13:$5$

15:$7 \frac{7}{8}$ дюйми

17:$\frac{3}{4}$ фути

19:$11$ студенти

21:$10$ кола

Вправа$\PageIndex{1}$

Теми дискусійної дошки

1. Чи$0$ є у відповідь? Поясніть.
2. Поясніть різницю між НКМ і ГКФ. Наведемо приклад.
3. Поясніть різницю між LCM і LCD.
4. Навіщо потрібно знаходити РК-дисплей, щоб скласти або відняти дроби?
5. Поясніть, як визначити, яка дріб більше,$\frac{7}{16}$ або$\frac{1}{2}$.