1.6: Експоненти та квадратні корені

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58107

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Інтерпретувати експоненціальні позначення з додатними цілими показниками.
$n$Обчисліть потужність дійсного числа.
Обчисліть точне і приблизне значення квадратного кореня дійсного числа.

Експоненціальні позначення та натуральні цілі експоненти

Якщо число повторюється як множник багато разів, то ми можемо записати твір в більш компактному вигляді, використовуючи експоненціальні позначення. Наприклад,

$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{4}$

Базою є множник, а натуральна ціла експонента вказує кількість разів, коли база повторюється як множник. У наведеному вище$5$ прикладі база є, а показник -$4$. Загалом, якщо$a$ це база, яка повторюється як фактор$n$ раз, то

$Знімок екрана (971) .png$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Коли показник дорівнює$2$, ми називаємо результат квадратом. Наприклад,

$3^{2}=3\cdot 3=9$

Число$3$ є основою, а ціле$2$ - експонентою. Позначення$3^{2}$ можна прочитати двома способами: «три в квадраті» або «$3$підняті на другу ступінь». Підставою може бути будь-яке дійсне число.

Важливо вивчити різницю між способами обчислення останніх двох прикладів. У прикладі база вказана так$(−7)^{2}$,$−7$ як вказують дужки. У прикладі база є$−5^{2}$$5$, немає$−5$, тому тільки$5$ квадрат, а результат залишається негативним. Щоб проілюструвати це, напишіть

$-5^{2}=-1\cdot 5^{2}=-1\cdot 5\cdot 5=-25$

Це тонке розмежування дуже важливо, оскільки визначає ознаку результату.

Текстові позначення для експонентів зазвичай позначаються за допомогою$(^)$ символу каретки наступним чином:

$\begin{aligned}8^{2}&=8\wedge 2=8*8=64 \\ -5.1^{2}&=-5.1\wedge 2=-5.1*5.1=-26.01 \end{aligned}$

Квадрат цілого числа називається досконалим квадратом. Уміння розпізнавати досконалі квадрати корисно в нашому вивченні алгебри. Квадрати цілих чисел from$1$ to$15$ повинні бути запам'ятовані. Частковий список ідеальних квадратів наступним чином:

$\{0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,...\}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити

$(−12)^{2}$.

Відповідь: $144$

Коли показник є,$3$ ми називаємо результат кубом. Наприклад,

$3^{3}=3\cdot 3\cdot 3=27$

Позначення$3^{3}$ можна прочитати двома способами: «три куба» або «$3$підняті на третю владу». Як і раніше, базою може бути будь-яке дійсне число.

Зверніть увагу, що результат кубізації негативного числа є негативним. Куб цілого числа називається досконалим кубом. Здатність розпізнавати досконалі кубики стане в нагоді в нашому вивченні алгебри. Куби цілих чисел from$1$ to$10$ повинні бути запам'ятовані. Частковий список ідеальних кубів наступним чином:

$\{0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...\}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити$(−2)^{3}$.

Відповідь: $-8$

Якщо показник більше$3$, то позначення і читається «а$n$ піднятий до влади».

$\begin{aligned} 10^{6}&=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=1,000,000 \\ (-1)^{4}&=(-1)(-1)(-1)(-1)=1 \\ \left(\frac{1}{3} \right)^{5}&=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{243} \end{aligned}$

Зверніть увагу, що результат негативної бази з рівним показником позитивний. Результат негативної бази з непарним показником негативний. Ці факти часто плутають, коли задіяні негативні числа. Уважно вивчіть наступні чотири приклади:

Таблиця$\PageIndex{1}$
Підстава - це$(-2)$	Підстава - це$2$
\ (-2)\) ">$\begin{array}{c}{(-2)^{4}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=+16} \\ {(-2)^{3}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8} \end{array}$	\ (2\) ">$\begin{array}{c}{-2^{4}=-2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=-16}\\{-2^{3}=-2\cdot 2\cdot 2=-8} \end{array}$

У дужках вказується, що в якості основи слід використовувати від'ємне число.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розрахувати:

$\left(-\frac{1}{3} \right)^{3}$
$\left(-\frac{1}{3} \right)^{4}$

Рішення:

База$−\frac{1}{3}$ для обох проблем.

а. використовувати базу як фактор тричі.

$\begin{aligned} \left(-\frac{1}{3} \right)^{3}&=\left(-\frac{1}{3} \right)\left(-\frac{1}{3} \right)\left(-\frac{1}{3} \right) \\ &=-\frac{1}{27} \end{aligned}$

б. використовувати базу як коефіцієнт чотири рази.

$\begin{aligned} \left(-\frac{1}{3} \right)^{4}&=\left(-\frac{1}{3} \right)\left(-\frac{1}{3} \right)\left(-\frac{1}{3} \right)\left(-\frac{1}{3} \right) \\ &=+\frac{1}{81} \end{aligned}$

Відповідь:

а.$-\frac{1}{27}$; б.$\frac{1}{81}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити:

$−10^{4}$і$(−10)^{4}$.

Відповідь: $−10,000$і$10,000$

Квадратний корінь дійсного числа

Подумайте про знаходження квадратного кореня числа як зворотного квадратного числа. Іншими словами, щоб визначити квадратний корінь питання: «$25$Яке число в квадраті дорівнює$25$?» Власне, на це питання є дві відповіді,$5$ і$−5$.

$5^{2}=25\quad\text{and}(-5)^{2}=25$

Коли запитують квадратний корінь числа, ми неявно маємо на увазі основний (невід'ємний) квадратний корінь. Тому ми маємо,

$\sqrt{a^{2}}=a$, якщо$a\geq 0$ або в цілому$\sqrt{a^{2}}=|a|$

Як приклад$\sqrt{25}=5$, який читається «квадратний корінь$25$ рівних»$5$. Символ$√$ називається радикальним знаком і$25$ називається радикандом. Альтернативні текстові позначення для квадратних коренів наступні:

$\sqrt{16}=text{sqrt}(16)=4$

Також варто відзначити, що

$\sqrt{1}=1\quad\text{and}\quad\sqrt{0}=0$

Це так тому, що$1^{2}=1$ і$0^{2}=0$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:

$\sqrt{10,000}$.

Рішення:

$10,000$є ідеальним квадратом тому що$100⋅100=10,000$.

$\begin{aligned} \sqrt{10,000}&=\sqrt{(100)^{2}} \\ &=100 \end{aligned}$

Відповідь:

$100$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

$\sqrt{\frac{1}{9}}$.

Рішення:

Тут ми помічаємо, що$\frac{1}{9}$ це квадрат тому що$\frac{1}{3}⋅\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$.

$\begin{aligned} \sqrt{\frac{1}{9}}&=\sqrt{\left(\frac{1}{3} \right)^{2}} \\ &=\frac{1}{3} \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac{1}{3}$

Задано$a$ і$b$ як додатне дійсне число, використовуйте наступну властивість для спрощення квадратних коренів, радиканди яких не є квадратами:

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

Ідея полягає в тому, щоб визначити найбільший квадратний коефіцієнт радиканда, а потім застосувати властивість, показану вище. Як приклад, для спрощення$\sqrt{8}$ зверніть увагу, що$8$ це не ідеальний квадрат. Однак$8=4⋅2$ і, таким чином, має ідеальний квадратний коефіцієнт, крім$1$. Застосовують властивість наступним чином:

$\begin{aligned} \sqrt{8}&=\sqrt{4\cdot 2} \\ &=\color{Cerulean}{\sqrt{4}}\color{black}{\cdot\sqrt{2}} \\ &=\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot\sqrt{2}}\\&=2\sqrt{2} \end{aligned}$

$2\sqrt{2}$Ось спрощене ірраціональне число. Вас часто просять знайти приблизну відповідь, округлену до певного знака після коми. У такому випадку скористайтеся калькулятором, щоб знайти десяткове наближення, використовуючи або вихідну задачу, або спрощений еквівалент.

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.83$

На калькуляторі спробуйте$2.83\wedge 2$. Чого ви очікуєте? Чому відповідь не така, яку ви очікуєте?

Важливо згадати про те, що радиканд повинен бути позитивним. Наприклад,$\sqrt{−9}$ не визначено, оскільки немає дійсного числа, яке при квадраті є від'ємним. Спробуйте взяти квадратний корінь від'ємного числа на вашому калькуляторі. Що це говорить?

Примітка

Взяття квадратного кореня від'ємного числа визначається пізніше в курсі.

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити і дати приблизну відповідь округлений до найближчих сотих:

$\sqrt{75}$.

Рішення:

Радиканд$75$ може бути врахований як$25 ⋅ 3$ де фактор$25$ є ідеальним квадратом.

$\begin{aligned} \sqrt{75}&=\sqrt{25\cdot 3}&\color{Cerulean}{The\:largest\:perfect\:square} \\ &=\color{Cerulean}{\sqrt{25}}\color{black}{\cdot\sqrt{3}}&\color{Cerulean}{factor\:of\:75\:is\:25.} \\ &=\color{Cerulean}{5}\color{black}{\cdot\sqrt{3}} \\ &=5\sqrt{3} &\color{Cerulean}{Exact\:answer} \\ &\approx 8.66 &\color{Cerulean}{Approximate\:answer} \end{aligned}$

Відповідь:

$\sqrt{75}\approx 8.66$

Як перевірку, обчисліть (\ sqrt {75}\) і$5\sqrt{3}$ на калькуляторі і переконайтеся, що обидва результати є приблизними$8.66$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:

$\sqrt{180}$.

Рішення:

$\begin{aligned} \sqrt{180}&=\sqrt{36\cdot 5} \\ &=\color{Cerulean}{\sqrt{36}}\color{black}{\cdot\sqrt{5}} \\ &=\color{Cerulean}{6}\color{black}{\cdot\sqrt{5}} \\ &=6\sqrt{5} \end{aligned}$

Так як на питання не задавали приблизної відповіді, наводимо точну відповідь.

Відповідь:

$6\sqrt{5}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:

$-5\sqrt{162}$.

Рішення:

$\begin{aligned} -5\sqrt{162}&=-5\cdot\sqrt{81\cdot 2} \\ &=-5\cdot\color{Cerulean}{\sqrt{81}}\color{black}{\cdot\sqrt{2}} \\ &=-5\cdot\color{Cerulean}{9}\color{black}{\cdot\sqrt{2}} \\ &=-45\cdot\sqrt{2} \\ &=-45\sqrt{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$-45\sqrt{2}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Спростити і дати приблизну відповідь округлений до найближчих сотих:

$\sqrt{128}$.

Відповідь: $8\sqrt{2}≈11.31$

Прямокутний трикутник - це трикутник, де вимірюється один з кутів$90°$. Сторона, протилежна прямому куту, є найдовшою стороною, званої гіпотенузою, а дві інші сторони називаються катетами. Численні реальні програми передбачають цю геометричну фігуру. Теорема Піфагора стверджує, що при будь-якому прямокутному трикутнику з катетами вимірювання$a$ і$b$ одиницями квадрат міри гіпотенузи c дорівнює сумі квадратів мір катетів:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Іншими словами, гіпотенуза будь-якого прямокутного трикутника дорівнює квадратному кореню суми квадратів його катетів.

$Знімок екрана (973) .png$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Приклад$\PageIndex{7}$

Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$3$$4$ одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.

Рішення:

З огляду на довжини катетів прямокутного трикутника, скористайтеся формулою,$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ щоб знайти довжину гіпотенузи.

$Знімок екрана (974) .png$

Малюнок$\PageIndex{2}$

$\begin{aligned} c&=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ c&=\sqrt{3^{2}+4^{2}} \\ &=\sqrt{9+16} \\ &=\sqrt{25} \\ &=5 \end{aligned}$

Відповідь:

$c=5$одиниць

При знаходженні гіпотенузи прямокутного трикутника за допомогою теореми Піфагора радиканд не завжди є досконалим квадратом.

Приклад$\PageIndex{8}$

Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$2$$6$ одиниці і одиниці, знайдіть довжину гіпотенузи.

Рішення:

$Знімок екрана (975) .png$

Малюнок$\PageIndex{3}$

$\begin{aligned} c&=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ &=\sqrt{2^{2}+6^{2}} \\ &=\sqrt{4+36} \\ &=\sqrt{40} \\ &=\sqrt{4\cdot 10} \\&=\sqrt{4}\cdot\sqrt{10} \\ &=2\cdot\sqrt{10} \end{aligned}$

Відповідь:

$c=2\sqrt{10}$одиниць

Ключові виноси

При використанні експоненціальних позначень$a^{n}$ база$a$ використовується як множник$n$ часу.
Коли показник дорівнює$2$, результат називається квадратом. Коли показник дорівнює$3$, результат називається кубом.
Запам'ятовуйте квадрати цілих чисел аж до$15$ і куби цілих чисел до$10$. Вони будуть використовуватися часто, коли ви прогресуєте у вивченні алгебри.
Коли задіяні негативні числа, подбайте про асоціацію показника з правильною базою. Дужки групують від'ємне число, підняте до певної міри.
Негативна база, піднята до рівної сили, є позитивною.
Негативна база, піднята до непарної потужності, є негативною.
Квадратний корінь числа - це число, яке при квадраті призводить до вихідного числа. Основний квадратний корінь - це позитивний квадратний корінь.
Спростіть квадратний корінь, шукаючи найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда. Після того, як ідеальний квадрат знайдений, застосуйте властивість$\sqrt{a⋅b}=\sqrt{a}⋅\sqrt{b}$, де$a$ і$b$ є ненегативними, і спростіть.
Перевірте спрощені квадратні корені, обчислюючи наближення відповіді, використовуючи як вихідну задачу, так і спрощену відповідь на калькуляторі, щоб переконатися, що результати однакові.
Знайти довжину гіпотенузи будь-якого прямокутного трикутника з урахуванням довжин катетів, використовуючи теорему Піфагора.

Вправа$\PageIndex{5}$ Square of a Number

Спростити.

$10^{2}$
$12^{2}$
$(−9)^{2}$
$−12^{2}$
$11^{2}$
$(−20)^{2}$
$0^{2}$
$1^{2}$
$−(−8)^{2}$
$−(13)^{2}$
$(\frac{1}{2})^{2}$
$(−\frac{2}{3})^{2}$
$0.5^{2}$
$1.25^{2}$
$(−2.6)^{2}$
$−(−5.1)^{2}$
$(2\frac{1}{3})^{2}$
$(5\frac{3}{4})^{2}$

Відповідь

1. $100$

3. $81$

5. $121$

7. $0$

9. $−64$

11. $\frac{1}{4}$

13. $.25$

15. $6.76$

17. $5\frac{4}{9}$

Вправа$\PageIndex{6}$ Square of a Number

Якщо$s$ довжина сторони квадрата, то площа задається$A=s^{2}$.

Визначте площу квадрата, враховуючи, що сторона вимірює$5$ дюйми.
Визначте площу квадрата, враховуючи, що сторона вимірює$2.3$ ноги.
Перерахуйте всі квадрати цілих чисел$0$ через$15$.
Перерахуйте всі квадрати цілих чисел від$−15$ до$0$.
Перерахуйте квадрати всіх раціональних чисел у множині$\{0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 2\}$.
Перерахуйте квадрати всіх раціональних чисел у множині$\{0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}\}$.

Відповідь

1. $25$квадратні дюйми

3. $\{0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225\}$

5. $\{0, \frac{1}{9}, \frac{4}{9}, 1, \frac{16}{9}, \frac{25}{9}, 4\}$

Вправа$\PageIndex{7}$ Integer Exponents

Спростити.

$5^{3}$
$2^{6}$
$(−1)^{4}$
$(−3)^{3}$
$−1^{4}$
$(−2)^{4}$
$−7^{3}$
$(−7)^{3}$
$−(−3)^{3}$
$−(−10)^{4}$
$(−1)^{20}$
$(−1)^{21}$
$(−6)^{3}$
$−3^{4}$
$1^{100}$
$0^{100}$
$−(\frac{1}{2})^{3}$
$(\frac{1}{2})^{6}$
$(\frac{5}{2})^{3}$
$(−\frac{3}{4})^{4}$
Перерахуйте всі куби цілих чисел$−5$ через$5$.
Перерахуйте всі куби цілих чисел від$−10$ до$0$.
Перерахуйте всі куби раціональних чисел в наборі$\{−\frac{2}{3}, −\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\}$.
Перерахуйте всі куби раціональних чисел в наборі$\{−\frac{3}{7}, −\frac{1}{7}, 0, \frac{1}{7}, \frac{3}{7}\}$.

Відповідь

1. $125$

3. $1$

5. $−1$

7. $−343$

9. $27$

11. $1$

13. $−216$

15. $1$

17. $−\frac{1}{8}$

19. $\frac{12}{58}$

21. $\{−125, −64, −27, −8, −1, 0, 1, 8, 27, 64, 125\}$

23. $\{−\frac{8}{27}, −\frac{1}{27}, 0, \frac{1}{27}, \frac{8}{27}\}$

Вправа$\PageIndex{8}$ Square Root of a Number

Визначте точну відповідь в спрощеній формі.

$\sqrt{121}$
$\sqrt{81}$
$\sqrt{100}$
$\sqrt{169}$
$−\sqrt{25}$
$−\sqrt{144}$
$\sqrt{12}$
$\sqrt{27}$
$\sqrt{45}$
$\sqrt{50}$
$\sqrt{98}$
$\sqrt{2000}$
$\sqrt{\frac{1}{4}}$
$\sqrt{\frac{9}{16}}$
$\sqrt{\frac{5}{9}}$
$\sqrt{\frac{8}{36}}$
$\sqrt{0.64}$
$\sqrt{0.81}$
$\sqrt{30^{2}}$
$\sqrt{15^{2}}$
$\sqrt{(−2)^{2}}$
$\sqrt{(−5)^{2}}$
$\sqrt{−9}$
$\sqrt{−16}$
$3\sqrt{16}$
$5\sqrt{18}$
$−2\sqrt{36}$
$−3\sqrt{32}$
$6\sqrt{200}$
$10\sqrt{27}$

Відповідь

1. $11$

3. $10$

5. $−5$

7. $2\sqrt{3}$

9. $3\sqrt{5}$

11. $7\sqrt{2}$

13. $\frac{1}{2}$

15. $5\sqrt{3}$

17. $0.8$

19. $30$

21. $2$

23. Чи не реальний

25. $12$

27. $−12$

29. $60\sqrt{2}$

Вправа$\PageIndex{9}$ Square Root of a Number

Приблизний наступний до найближчої сотої.

$\sqrt{2}$
$\sqrt{3}$
$\sqrt{10}$
$\sqrt{15}$
$2\sqrt{3}$
$5\sqrt{2}$
$−6\sqrt{5}$
$-4\sqrt{6}$
$\sqrt{79}$
$\sqrt{54}$
$−\sqrt{162}$
$−\sqrt{86}$
Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$6$$8$ одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$5$$12$ одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$9$$12$ одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$\frac{3}{2}$$2$ одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
Якщо два катета прямокутного трикутника обидва виміряють$1$ одиницю, то знайдіть довжину гіпотенузи.
Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$1$ одиницю і$5$ одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$2$$4$ одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють$3$$9$ одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.

Відповідь

1. $1.41$

3. $3.16$

5. $3.46$

7. $−13.42$

9. $8.89$

11. $−12.73$

13. $10$одиниць

15. $15$одиниць

17. $\sqrt{2}$одиниць

19. $2\sqrt{5}$одиниць

Вправа$\PageIndex{10}$ Discussion Board Topics

Чому результат показника$2$ називається квадратом? Чому результат показника$3$ називається кубом?
Дослідіть і обговоріть історію теореми Піфагора.
Досліджуйте та обговоріть історію квадратного кореня.
Обговоріть важливість основного квадратного кореня.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися