1.3: Множення та ділення цілих чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58099

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Множимо і ділимо цілі числа зі знаком.
Перекладіть англійські речення, що включають множення і поділ на математичні твердження.
Визначте просту факторизацію складових чисел.
Інтерпретувати результати коефіцієнтів за участю нуля.

Множення і ділення

Почнемо з огляду, що означає множити і ділити підписані числа. Результат множення дійсних чисел називається добутком, а результат ділення - часткою. Нагадаємо, що множення еквівалентно додаванню:

$3 \cdot 4 = 4+4+4 = 12$

Зрозуміло, що добуток двох позитивних чисел є позитивним. Аналогічно можна записати добуток позитивного числа і від'ємного числа так, як показано:

Ми бачимо, що добуток позитивного числа і негативного числа негативне. Далі вивчіть результати множення двох негативних чисел. Розглянемо вироби на наступній ілюстрації і спробуємо виявити візерунок:

\ [\ begin {align*}
&\ ліворуч. \ begin {вирівняний}
3 (-3) &=-9\\
2 (-3) &=-6\\
1 (-3) &=-3
\ кінець {вирівняний}
\ вправо\}
&\ quad\ color {Cerulean} {\ продукти\ збільшення\ на\ 3.}\\\\
&\ 0 (-3) = 0 &&\ qquad\\ колір {Cerulean} {Нуль\ раз\ будь-який\ дійсний\ число\ дорівнює\ нулю.}\\\
&\ ліворуч. \ begin {вирівняний}
(-1) (-3) &=3\\
(-2) (-3) &=6\\
(-3) (-3) &=9
\ кінець {вирівняний}
\ вправо\}
&\ qquad\ color {Cerulean} {\ шаблон\ триває\ за\ збільшенням\ продуктів\ на\ 3.}
\ end {вирівнювати*}\]

Це показує, що добуток двох від'ємних чисел є позитивним. Підводячи підсумок,

\ [\ begin {align*}
\ колір {Cerulean} {позитивний}\ колір {чорний} {\ times}\ колір {Церулеан} {позитивний}\ &\ колір {чорний} {=}\ колір {позитивний}\
\ колір {позитивний}\\ колір {позитивний}\\ колір {позитивний}\\ колір {негативний}\ &\ color {Чорний} {=}\\ колір {Cerulean} {негативний }\
\ колір {Cerulean} {негативний}\\ колір {чорний} {\ times}\ колір {Cerulean} {негативний}\ &\ колір {чорний} {=}\ колір {cerulean} {негативний}
\ кінець {align*}\]

Правила ділення однакові, тому що ділення завжди можна переписати як множення:

Правила множення і ділення не слід плутати з тим, що сума двох від'ємних чисел від'ємна.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:

а.$(-3)+(-5)$

б.$(-3)(-5)$

Рішення

Тут складаємо і множимо однакові два негативних числа.

а Результат додавання двох від'ємних чисел від'ємний.

\ [\ почати {вирівнювати*}
(-3) + (-5) &= -3-5\\
&= -8\
\ end {вирівнювати*}\]

b Результат множення двох від'ємних чисел є додатним.

$(-3)(-5)=15$

Відповідь

а,$-8$ б.$15$

Задано будь-які дійсні числа$a$$b$$c$, і, ми маємо такі властивості множення:

Властивість нульового фактора:	$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$
Мультиплікативна властивість ідентичності:	$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
Асоціативна властивість:	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Комутативне майно:	$a \cdot b = b \cdot a$

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:

а.$5 \cdot 0$

б.$10 \cdot 1$

Рішення

а Множення на нуль призводить до нуля.

$5 \cdot 0 = 0$

b Множення будь-якого дійсного числа на одиницю призводить до того ж дійсного числа.

$10 \cdot 1 = 10$

Відповіді:

а.$0$ б.$10$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

а.$(3 \cdot 7) \cdot 2$

б.$3 \cdot (7 \cdot 2) $

Рішення

а.

\ [\ почати {вирівнювати*}
(\ колір {Cerulean} {3\ cdot 7}\ колір {чорний} {)}\ крапка 2 &= 21\ точка 2\\
&= 42
\ кінець {align*}\]

б.

\ [\ почати {вирівнювати*}
3\ крапка (\ колір {Cerulean} {7\ крапка 2}\ колір {чорний} {)} &= 3\ точка 14\\
&= 42
\ кінець {align*}\]

Значення кожного виразу дорівнює 42. Зміна групування чисел не змінює результату.

$(\color{Cerulean}{3 \cdot 7} \color{Black}{)} \cdot 2 = 3 \cdot (\color{Cerulean}{7 \cdot 2} \color{Black}{)} = 42$

Відповідь

а.$42$ б.$42$

У цей момент ми підкреслюємо, що множення є комутативним: порядок, в якому ми множимо, не має значення і дає той самий результат.

\ [\ почати {вирівнювати*}
2\ cdot 9 &= 9\ cdot 2\\
18 &= 18
\ кінець {вирівнювати*}\]

З іншого боку, поділ не є комутативним.

\ [\ почати {вирівнювати*}
10\ div 5 &\ neq 5\ div 10\\
2 &\ neq\ frac {1} {2}
\ кінець {align*}\]

Використовуйте ці властивості для виконання послідовних операцій, пов'язаних з множенням і діленням. При цьому важливо виконувати ці операції по порядку зліва направо.

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:$3(-2)(-5)(-1)$

Рішення

Помножте два числа одночасно наступним чином:

Відповідь

$−120$

Оскільки множення є комутативним, порядок, в якому ми множимо, не впливає на остаточну відповідь. Коли послідовні операції передбачають множення та ділення, порядок має значення; отже, ми повинні працювати з операціями зліва направо, щоб отримати правильний результат.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:$10 \div (-2)(-5)$

Рішення

Спочатку виконайте поділ, інакше результат буде невірним.

Зверніть увагу, що порядок, в якому ми множимо і ділимо, впливає на результат. Тому важливо виконувати операції множення і ділення в міру їх появи зліва направо.

Відповідь

$25$

Зверніть увагу, що порядок, в якому ми множимо і ділимо, впливає на кінцевий результат. Тому важливо виконувати операції множення і ділення в міру їх появи зліва направо.

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:$-6(3) \div (-2)(-3)$

Рішення

Працюйте над операціями по черзі зліва направо.

\ [\ почати {вирівнювати*}
&-6 (2)\ div (-2) (-3)\\
= &-18\ div (-2) (-3)\\
= & 9 (-3)\
= &-27
\ кінець {align*}
\]

Приклад$\PageIndex{7}$

Спробуйте це! Спростити:$-5 \div 5 \cdot 2(-3)$

Відео Рішення:

(натисніть, щоб подивитися відео)

У текстових програмах символом, який використовується для множення, є зірочка (*), а символом, який використовується для ділення, є косою рисою рисою (/).

$5 * 3$і$14/2=7$

Множина парних цілих чисел - це множина всіх цілих чисел, які рівномірно ділиться на$2$. Ми також можемо отримати безліч парних цілих чисел, множивши кожне ціле число на$2$.

$\{ \dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots\} \quad \color{Cerulean}{Even\ integers}$

Множина непарних цілих чисел - це множина всіх цілих чисел, які не діляться рівномірно на$2$.

$\{ \dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\} \quad \color{Cerulean}{Odd\ integers}$

Просте число - це ціле число більше 1, яке ділиться тільки на$1$ і саме по собі. Найменше просте число - 2, а решта обов'язково непарні.

$\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots\} \quad \color{Cerulean}{Prime\ numbers}$

Будь-яке ціле число$1$, більше того, що не є простим, називається складеним числом і може бути записано як добуток простих чисел. Коли складене число, наприклад$30$, пишеться як твір$30=2 \cdot 15$, ми говоримо, що$2 \cdot 15$ це факторизація$30$ і що$2$ і$15$ є факторами. Зверніть увагу, що фактори поділяють число рівномірно. Ми можемо продовжувати писати складові фактори як продукти, поки не залишиться лише твір простих чисел.

Основна факторизація$30$ є$2 \cdot 3 \cdot 5$.

Приклад$\PageIndex{8}$

Визначте просту факторизацію$70$.

Рішення

Почніть з написання$70$ як продукт з$2$ як фактор. Потім висловіть будь-який складаний коефіцієнт як добуток простих чисел.

\ [\ почати {вирівнювати*}
70 &= 2\ cdot 35\\
&= 2\ cdot 5\ cdot 7
\ кінець {вирівнювати*}\]

Оскільки просте факторизація є унікальною, не має значення, як ми вибираємо спочатку коефіцієнт числа, оскільки кінцевий результат однаковий.

\ [\ почати {вирівнювати*}
70 &= 7\ крапка 10\\
&= 7\ крапка 2\ крапка 5\\
&= 2\ крапка 5\ точка 7
\ кінець {вирівнювати*}\]

Відповідь

Першочерговим факторизацією$70$ є$2 \cdot 5 \cdot 7$.

Деякі тести (звані тестами на подільність), корисні для пошуку простих множників складених чисел, наступні:

Якщо ціле число парне, то$2$ це множник.
Якщо сума цифр рівномірно ділиться на$3$, то$3$ є коефіцієнтом.
Якщо остання цифра - це$5$ або$0$, то$5$ це множник.

Часто ми знаходимо необхідність перекладу англійських речень, які включають терміни множення і ділення на математичні твердження. Нижче перераховані деякі ключові слова, які переводять на дану операцію.

Ключові слова	Операція
Добуток, помножений на, of, раз	* або ⋅
Коефіцієнт, розділений на, співвідношення, на	/або ÷

Приклад$\PageIndex{9}$

Обчисліть частку$20$ і$−10$.

Рішення

Ключове слово «частка» має на увазі, що ми повинні розділити.

$20 \div (-10) = -2$

Відповідь:

Коефіцієнт$20$ і$-10$ є$-2$.

Приклад$\PageIndex{10}$

Який добуток перших трьох натуральних чисел?

Рішення

Перші три натуральні парні числа - {2, 4, 6}, а ключове слово «продукт» означає, що ми повинні помножити.

\ [\ почати {вирівнювати*}
2\ cdot 4\ cdot 6 &= 8\ cdot 6\\
&= 48
\ кінець {вирівнювати*}\]

Відповідь

Добуток перших трьох натуральних чисел дорівнює$48$.

Приклад$\PageIndex{11}$

Джо здатний проїхати$342$ кілометри на$18$ галоні бензину. Скільки миль на галон газу це?

Рішення

Ключове слово «per» вказує на те, що ми повинні розділити кількість пройдених миль на кількість використаних галонів:

$\frac{342\ \text{miles}}{18\ \text{gallons}} = 19\ \text{miles per gallon (mpg)}$

Відповідь

Джо отримує$19$ милі на галон від свого транспортного засобу.

У повсякденному житті ми часто хочемо використовувати одне значення, яке типізує набір значень. Один із способів зробити це - використовувати те, що називається середнім арифметичним або середнім. Щоб розрахувати середнє значення, розділіть суму значень у множині на кількість значень у цій множині.

Приклад$\PageIndex{12}$

Студент заробляє$75$$86$, причому$94$ на своїх перших трьох іспитах. Що таке середній тест студента?

Рішення

Складіть бали і розділіть суму на$3$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ гідророзриву {75+86+94} {3} &=\ гідророзриву {255} {3}\\
&= 85
\ end {вирівнювати*}\]

Відповідь

Середній тест студента становить$85$.

Нуль і ділення

Згадаймо зв'язок між множенням і діленням:

При цьому дивіденд$12$ рівномірно ділиться на дільник$6$ для отримання частки,$2$. Це правда загалом, що якщо ми помножимо дільник на частку, ми отримаємо дивіденд. Тепер розглянемо випадок, коли дивіденд дорівнює нулю, а дільник ненульовий:

$0 \div 6 = 0$Так як$6 \cdot 0 = 0$

Це демонструє, що нуль, поділений на будь-яке ненульове дійсне число, має дорівнювати нулю. Тепер розглянемо ненульове число, поділене на нуль:

$12 \div 0 = \color{Cerulean}{?}$або$0 \cdot \color{Cerulean}{?}\ \color{Black}{=\ }0$

Тут, здається, працює будь-яке реальне число. Наприклад,$0 \cdot 5=0$ і$0⋅3=0$. Тому частка є невизначеною або невизначеною.

$0 \div 0 = \frac{0}{0}\ \color{Cerulean}{Is\ indeterminate.}$

У цьому курсі ми заявляємо,$0 \div 0$ що не визначено.

Ключові винос

Позитивне число, помножене на від'ємне число, є від'ємним. Від'ємне число, помножене на від'ємне число, є додатним.
Множення є комутативним, а ділення - ні.
При спрощенні працюйте операції множення і ділення по порядку зліва направо.
Парні цілі числа - це числа, які рівномірно$2$ діляться на або кратні$2$, а всі інші цілі числа непарні.
Просте число - це ціле число більше$1$, ніж це ділиться тільки на$1$ і саме по собі.
Складені числа - це цілі числа$1$, більші за які не є простими. Складені числа можуть бути записані однозначно як добуток простих чисел.
Проста факторизація складеного числа виявляється, продовжуючи ділити його на множники, поки не залишиться лише добуток простих чисел.
Щоб обчислити середнє значення набору чисел, розділіть суму значень у множині на кількість значень у множині.
Нуль, поділений на будь-яке ненульове число, дорівнює нулю. Будь-яке число, поділене на нуль, не визначено.

Вправа$\PageIndex{1}$

Множимо і ділимо.

$5(−7)$
$−3(−8)$
$2(−4)(−9)$
$−3 \cdot 2 \cdot 5$
$−12(3)(0)$
$0(−12)(−5)$
$(−1)(−1)(−1)(−1)$
$(−1)(−1)(−1)$
$−100÷25$
$25 \div 5(−5)$
$−15(−2)÷10(−3)$
$−5⋅10÷2(−5)$
$(−3)(25)÷(−5)$
$6*(−3)/(−9)$
$20/(−5)*2$
$−50/2*5$
Визначте продукт$11$ і$−3$.
Визначте продукт$−7$ і$−22$.
Знайдіть товар 5 і$−12$.
Знайдіть частку негативних двадцяти п'яти і п'яти.
Визначте частку$−36$ і$3$.
Визначте частку$26$ і$−13$.
Розрахувати добуток$3$ і$−8$ розділити на$−2$.
Розрахувати добуток$−1$ і$−3$ розділити на$3$.
Визначте добуток перших трьох натуральних чисел.
Визначте добуток перших трьох натуральних непарних чисел.

Відповідь

1:$−35$

3:$72$

5:$0$

7:$1$

9:$−4$

11:$−9$

13:$15$

15:$−8$

17:$−33$

19:$−60$

21:$−12$

23:$12$

25:$48$

Вправа$\PageIndex{2}$

Визначте просту факторизацію наступних цілих чисел.

$105$
$78$
$138$
$154$
$165$
$330$

Відповідь

1:$3⋅5⋅7$

3:$2⋅3⋅23$

5:$3⋅5⋅11$

Вправа$\PageIndex{3}$

Обчисліть середнє значення чисел в кожному з наступних наборів.

$\{50, 60, 70\}$
$\{9, 12, 30\}$
$\{3, 9, 12, 30, 36\}$
$\{72, 84, 69, 71\}$
Перші чотири натуральні парні числа.
Перші чотири натуральних непарних числа.

Відповідь

1:$60$

2:$18$

5:$5$

Вправа$\PageIndex{4}$

Пройдена відстань$D$ дорівнює середньому показнику$r$ часу, що пройшов з такою$t$ швидкістю:$D=rt$. Визначте пройдену відстань, враховуючи швидкість і час.

$60$миль на годину за$3$ годинами
$55$миль на годину за$3$ годинами
$15$миль на годину за$5$ годинами
$75$футів в секунду протягом$5$ секунд
$60$кілометрів на годину протягом$10$ годин
$60$метрів в секунду протягом$30$ секунд
Студентський клуб запустив збирач коштів в квадроциклі продажу хот-догів. Студенти продавали страви з$122$ хот-догів для$$3.00$ кожного. Їх вартість включала$$50.00$ в себе хот-доги і булочки,$$25.00$ для індивідуально упакованих пакетів чіпсів, і$$35.00$ на газовані напої. Якою була їхня прибуток?
Чоловік$230$ -фунт втрачає$4$ фунти щотижня протягом$8$ тижнів. Скільки він важить в кінці$8$ тижнів?
Мері виявила, що вона змогла проїхати$264$ кілометри на$12$ галони газу. Скільки миль на галон отримує її автомобіль?
Заправивши свою машину бензином, Білл зазначив, що його показання одометра$45,346$ становили милі. Після використання свого автомобіля протягом тижня він заповнив свій бак$14$ галонами газу і зазначив, що його одометр читає$45,724$ милі. На тому тижні, скільки миль на галон отримав автомобіль Білла?

Відповідь

1:$180$ милі

3:$75$ милі

5:$600$ кілометри

7:$$256.00$

9:$22$ миль на галон

11:$0$

Вправа$\PageIndex{5}$

Виконайте операції.

$0÷9$
$15÷0$
$4(−7)÷0$
$7(0)÷(−15)$
$−5(0)÷9(0)$
$5⋅2(−3)(−5)$
$−8−5+(−13)$
$−4(−8)÷16(−2)$
$50÷(−5)÷(−10)$
$49÷7÷(−1)$
$3⋅4÷12$
$0−(−8)−12$
$−8⋅4(−3)÷2$
$0/(−3*8*5)$
$(−4*3)/(2*(−3))$
$−16/(−2*2)*3$
$−44/11*2$
$−5*3/(−15)$
$4*3*2/6$
$−6*7/( −2)$
Протягом$5$ послідовних зимових днів денні мінімуми були$−7°$$−3°$,$0°$,,$−5°$, і$−10°$. Розрахуйте середню низьку температуру.
У дуже холодний день температура реєструвалася кожні 4 години з наступними результатами:$−16°$$−10°$,$2°$,$6°$,$−5°$, і$−13°$. Визначте середню температуру.
Студент заробляє$9$,$8$,$10$,$7$, і$6$ бали на перших$5$ тестах з хімії. Яка її вікторина середня?
Веб-сайт відстежував хіти на своїй домашній сторінці над святом Подяки. Кількість звернень за кожен день з четверга по неділю становила$12,250$$4,400$;;$7,750$; і$10,200$, відповідно. Яка середня кількість звернень за день протягом святкового періоду?

Відповідь

1:$0$

3: Невизначено

5:$0$

7:$−26$

9:$1$

11:$1$

13:$48$

15:$2$

17:$−8$

19:$4$

21:$−5°$

23:$8$ бали

Вправа$\PageIndex{1}$

Теми дискусійної дошки.

Продемонструвати асоціативну властивість множення будь-якими трьома дійсними числами.
Покажіть, що поділ не є комутативним.
Обговоріть важливість робочих операцій множення та ділення зліва направо. Складіть приклад, де порядок має значення, і поділіться рішенням.
Обговорити поділ за участю$0$. На прикладах поясніть, чому результат іноді$0$ і чому він іноді невизначений.
Досліджуйте та обговоріть фундаментальну теорему арифметики.
Досліджуйте та обговоріть інші тести на подільність. Наведіть приклад для кожного тесту.
Середнє арифметичне є одним із способів типізації набору значень. Дослідження інших методів, що використовуються для типізації набору значень

Властивість нульового фактора:	\(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)
Мультиплікативна властивість ідентичності:	\(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\)
Асоціативна властивість:	\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
Комутативне майно:	\(a \cdot b = b \cdot a\)