Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.5: Розв'язування нелінійних систем

  • Anonymous
  • LibreTexts

Цілі навчання

  • Визначте нелінійні системи.
  • Розв'язуйте нелінійні системи за допомогою методу заміщення.

Нелінійні системи

Система рівнянь, де хоча б одне рівняння не є лінійним, називається нелінійною системою 32. У цьому розділі ми будемо використовувати метод підстановки для розв'язання нелінійних систем. Нагадаємо, що розв'язки системи з двома змінними є впорядкованими парами(x,y), які задовольняють обом рівнянням.

Приклад8.5.1:

Вирішити:{x+2y=0x2+y2=5.

Рішення

У цьому випадку ми починаємо з розв'язання для x у першому рівнянні.

{x+2y=0x2+y2=5x=2y

x=2yПідставляємо в друге рівняння, а потім вирішуємо дляy.

(2y)2+y2=54y2+y2=55y2=5y2=1y=±1

Тут є дві відповіді дляy; використовуйтеx=2y для пошуку відповіднихx -значень.

Використанняy=1 Використанняy=1
\ (y=-1\) ">x=2y=2(1)=2 \ (y=1\) ">x=2y=2(1)=2
Таблиця8.5.1

Це дає нам два впорядкованих парних рішення,(2,1) і(2,1).

Відповідь:

(2,1),(2,1)

У попередньому прикладі дана система складалася з лінії і кола. Графікуючи ці рівняння на одному і тому ж наборі осей, ми бачимо, що два впорядкованих парних рішення відповідають двом точкам перетину.

Малюнок8.5.1

Якщо нам задано систему, що складається з кола і лінії, то є3 можливості для реальних рішень - два рішення, як на малюнку вище, одне рішення або відсутність рішення.

Малюнок8.5.2

Приклад8.5.2

Вирішити:{x+y=3x2+y2=2.

Рішення

Вирішити дляy в першому рівнянні.

{x+yx2+y2

Даліy=3x підставляємо в друге рівняння, а потім вирішуємо дляx.

x2+(3x)2=2x2+96x+x2=22x26x+9=22x26x+7=0

Отримане рівняння не коефіцієнт. Крім того, використовуючиa=2b=6, іc=7 ми можемо побачити, що дискримінант є негативним:

b24ac=(6)24(2)(7)=3656=20

Ми робимо висновок, що немає реальних розв'язків цього рівняння і, отже, немає розв'язку системи.

Відповідь:

Ø

Вправа\PageIndex{1}

Вирішити:\left\{\begin{aligned} x-y &=5 \\ x^{2}+(y+1)^{2} &=8 \end{aligned}\right.

Відповідь

(2,−3)

www.youtube.com/В/тур JW-8СНА

Якщо задано коло і параболу, то є5 можливості для вирішення.

Малюнок\PageIndex{3}
Малюнок\PageIndex{4}

При використанні методу підстановки ми можемо виконати крок підстановки за допомогою цілих алгебраїчних виразів. Мета полягає в тому, щоб створити єдине рівняння в одній змінній, яке можна вирішити за допомогою методів, вивчених до цього моменту в нашому вивченні алгебри.

Приклад\PageIndex{3}:

Вирішити:\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {y-x^{2}=-2}\end{array}\right..

Рішення

Ми можемо вирішити forx^{2} у другому рівнянні.

\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {y-x^{2}=-2 \quad \Rightarrow \quad y+2=x^{2}}\end{array}\right.

x^{2}=y+2Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо дляy.

\begin{aligned} \color{Cerulean}{y+2}\color{black}{+}y^{2} &=2 \\ y^{2}+y &=0 \\ y(y+1) &=0 \\ y &=0 \quad \text { or } \quad y=-1 \end{aligned}

Назад підставляємоx^{2}=y+2 в, щоб знайти відповідніx -значення.

Таблиця\PageIndex{2}
Використанняy=-1 Використанняy=0
\ (y=-1\) ">\begin{aligned} x^{2} &=y+2 \\ x^{2} &=\color{Cerulean}{-1}\color{black}{+}2 \\ x^{2} &=1 \\ x &=\pm 1 \end{aligned} \ (y=0\) ">\begin{aligned} x^{2} &=y+2 \\ x^{2} &=\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}2 \\ x^{2} &=2 \\ x &=\pm \sqrt{2} \end{aligned}

Це призводить нас до чотирьох рішень,(±1,−1) і(\pm \sqrt{2}, 0).

Відповідь:

(\pm 1,-1),(\pm \sqrt{2}, 0)

Приклад\PageIndex{4}

Вирішити:\left\{\begin{aligned}(x-1)^{2}-2 y^{2} &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=9 \end{aligned}\right.

Рішення

Ми можемо вирішити fory^{2} у другому рівнянні,

\left\{\begin{array}{r}{(x-1)^{2}-2 y^{2}=4} \\ {x^{2}+y^{2}=9}\end{array}\right. \Longrightarrow y^{2}=9-x^{2}

y^{2}=9−x^{2}Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо дляx.

\begin{aligned}(x-1)^{2}-2\color{black}{\left(\color{Cerulean}{9-x^{2}}\right) }&=4 \\ x^{2}-2 x+1-18+2 x^{2} &=0 \\ 3 x^{2}-2 x-21 &=0 \\(3 x+7)(x-3) &=0 \\ 3 x+7 &=0 \text { or } x-3=0 \\ x &=-\frac{7}{3} \quad x=3 \end{aligned}

Назад підставляємоy^{2}=9−x^{2} в, щоб знайти відповідніy -значення.

Таблиця\PageIndex{3}
Використанняx=-\frac{7}{3} Використанняx=3
\ (x=-\ гідророзриву {7} {3}\) ">\begin{array}{l}{y^{2}=9-\color{black}{\left(\color{Cerulean}{-\frac{7}{3}}\right)^{2}}} \\ {y^{2}=\frac{9}{1}-\frac{49}{9}} \\ {y^{2}=\frac{32}{9}} \\ {y=\pm \frac{\sqrt{32}}{3}=\pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}}\end{array} \ (x = 3\) ">\begin{aligned} y^{2} &=9-(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}^{2} \\ y^{2} &=0 \\ y &=0 \end{aligned}

Це призводить до трьох рішень,\left(-\frac{7}{3}, \pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}\right) і(3,0).

Відповідь:

(3,0),\left(-\frac{7}{3}, \pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}\right)

Приклад\PageIndex{5}

Вирішити:\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=2 \\ x y &=1 \end{aligned}\right..

Рішення

yРозв'яжіть для у другому рівнянні.

\left\{\begin{array}{r}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {x y=1}\end{array}\right.\Longrightarrow y=\frac{1}{x}

y=\frac{1}{x}Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо дляx.

x^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=2
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2

Це залишає нам раціональне рівняння. Зробіть позначку, щоx≠0 і помножте обидві сторони наx^{2}.

\begin{aligned} \color{Cerulean}{x^{2}}\color{black}{\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)} &=2 \cdot \color{Cerulean}{x^{2}} \\ x^{4}+1 &=2 x^{2} \\ x^{4}-2 x^{2}+1 &=0 \\\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right) &=0 \end{aligned}

На цьому етапі ми бачимо, що обидва фактори однакові. Застосувати властивість нульового продукту.

\begin{aligned} x^{2}-1 &=0 \\ x^{2} &=1 \\ x &=\pm 1 \end{aligned}

Назад підставляємоy=\frac{1}{x} в, щоб знайти відповідніy -значення.

Використанняx=-1 Використанняx=1
\ (x = -1\) ">\begin{aligned} y &=\frac{1}{x} \\ &=\frac{1}{\color{Cerulean}{-1}} \\ &=-1 \end{aligned} \ (x = 1\) ">\begin{aligned} y &=\frac{1}{x} \\ &=\frac{1}{\color{Cerulean}{1}} \\ &=1 \end{aligned}

Це призводить до двох рішень.

Відповідь:

(1,1),(-1,-1)

Вправа\PageIndex{2}

Вирішити:\left\{\begin{array}{r}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=40}\end{array}\right.

Відповідь

\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)\left(\frac{1}{6},-\frac{1}{2}\right)

www.youtube.com/В/N8JJ_Ібегкм

Ключові виноси

  • Використовувати метод заміщення для розв'язання нелінійних систем.
  • Оптимізуйте процес розв'язання, використовуючи цілі алгебраїчні вирази на етапі підстановки для отримання єдиного рівняння з однією змінною.
  • Розуміння геометричної інтерпретації системи може допомогти в пошуку реальних рішень.

Вправа\PageIndex{3}

Вирішити.

  1. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=10} \\ {x+y=4}\end{array}\right.
  2. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=5} \\ {x-y=-3}\end{array}\right.
  3. \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=30} \\ {x-3 y=0}\end{array}\right.
  4. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=10} \\ {2 x-y=0}\end{array}\right.
  5. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=18} \\ {2 x-2 y=-12}\end{array}\right.
  6. \left\{\begin{aligned}(x-4)^{2}+y^{2} &=25 \\ 4 x-3 y &=16 \end{aligned}\right.
  7. \left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}+2 y^{2}=21} \\ {3 x-y=0}\end{array}\right.
  8. \left\{\begin{aligned} x^{2}+5 y^{2} &=36 \\ x-2 y &=0 \end{aligned}\right.
  9. \left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+9 y^{2}=36} \\ {2 x+3 y=6}\end{array}\right.
  10. \left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+y^{2}=4} \\ {2 x+y=-2}\end{array}\right.
  11. \left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=1} \\ {x+y=1}\end{array}\right.
  12. \left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+3 y^{2}=12} \\ {2 x-y=2}\end{array}\right.
  13. \left\{\begin{aligned} x^{2}-2 y^{2} &=35 \\ x-3 y &=0 \end{aligned}\right.
  14. \left\{\begin{array}{c}{5 x^{2}-7 y^{2}=39} \\ {2 x+4 y=0}\end{array}\right.
  15. \left\{\begin{array}{c}{9 x^{2}-4 y^{2}=36} \\ {3 x+2 y=0}\end{array}\right.
  16. \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {x-2 y=-12}\end{array}\right.
  17. \left\{\begin{array}{l}{2 x^{2}+3 y=9} \\ {8 x-4 y=12}\end{array}\right.
  18. \left\{\begin{array}{l}{2 x-4 y^{2}=3} \\ {3 x-12 y=6}\end{array}\right.
  19. \left\{\begin{aligned} 4 x^{2}+3 y^{2} &=12 \\ x-\frac{3}{2} &=0 \end{aligned}\right.
  20. \left\{\begin{aligned} 5 x^{2}+4 y^{2} &=40 \\ y-3 &=0 \end{aligned}\right.
  21. Сума квадратів двох натуральних чисел дорівнює10. Якщо перше ціле число додається в два рази більше другого, сума дорівнює7. Знайти цілі числа.
  22. Діагональ прямокутника вимірює\sqrt{5} одиниці виміру і має периметр, рівний6 одиницям. Знайдіть розміри прямокутника.
  23. Для яких значеньb буде наступна система мати реальні рішення? \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {y=x+b}\end{array}\right.
  24. Для яких значеньm буде наступна система має реальні рішення? \left\{\begin{array}{c}{x^{2}-y^{2}=1} \\ {y=m x}\end{array}\right.
Відповідь

1. (1,3),(3,1)

3. (-3 \sqrt{3},-\sqrt{3}),(3 \sqrt{3}, \sqrt{3})

5. (-3,3)

7. (-1,-3),(1,3)

9. (0,2),(3,0)

11. (0,1),\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)

13. (-3 \sqrt{5},-\sqrt{5}),(3 \sqrt{5}, \sqrt{5})

15. \emptyset

17. \left(\frac{-3+3 \sqrt{5}}{2},-6+3 \sqrt{5}\right) ,\left(\frac{-3-3 \sqrt{5}}{2},-6-3 \sqrt{5}\right)

19. \left(\frac{3}{2},-1\right),\left(\frac{3}{2}, 1\right)

21. 1,3

23. b \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]

Вправа\PageIndex{4}

Вирішити.

  1. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=2}\end{array}\right.
  2. \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=-2}\end{array}\right.
  3. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=3}\end{array}\right.
  4. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {4 y-x^{2}=-4}\end{array}\right.
  5. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=9} \\ {y^{2}-x=3}\end{array}\right.
  6. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=9} \\ {x+y^{2}=-4}\end{array}\right.
  7. \left\{\begin{aligned} 4 x^{2}-3 y^{2} &=12 \\ x^{2}+y^{2} &=1 \end{aligned}\right.
  8. \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.
  9. \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=1 \\ 4 y^{2}-x^{2}-4 y &=0 \end{aligned}\right.
  10. \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=4 \\ 2 x^{2}-y^{2}+4 x &=0 \end{aligned}\right.
  11. \left\{\begin{aligned} 2(x-2)^{2}+y^{2} &=6 \\(x-3)^{2}+y^{2} &=4 \end{aligned}\right.
  12. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}-6 y=0} \\ {4 x^{2}+5 y^{2}+20 y=0}\end{array}\right.
  13. \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+4 y^{2}=25} \\ {4 x^{2}+y^{2}=40}\end{array}\right.
  14. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}-2 y^{2}=-10} \\ {4 x^{2}+y^{2}=10}\end{array}\right.
  15. \left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=14} \\ {x^{2}-(y-1)^{2}=6}\end{array}\right.
  16. \left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-(y-2)^{2}=12} \\ {x^{2}+(y-2)^{2}=1}\end{array}\right.
  17. Різниця квадратів двох натуральних чисел дорівнює12. Сума більшого цілого числа і квадрата меншого дорівнює8. Знайти цілі числа.
  18. Різниця між довжиною та шириною прямокутника є4 одиницями та діагональними8 вимірами одиниць. Знайдіть розміри прямокутника. Округлити до найближчої десятої.
  19. Діагональ прямокутника вимірюєp одиниці виміру і має периметр, рівний2q одиницям. Знайдіть розміри прямокутника в перерахунку наp іq.
  20. Площа прямокутника -p квадратні одиниці, а його периметр -2q одиниці. Знайдіть розміри прямокутника в перерахунку наp іq.
Відповідь

1. (0,2)

3. \emptyset

5. (-3,0),(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})

7. \emptyset

9. (0,1),\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{1}{5}\right),\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{1}{5}\right)

11. (3,-2),(3,2)

13. (-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)

15. (-\sqrt{7}, 0),(\sqrt{7}, 0),\left(-\frac{\sqrt{55}}{3}, \frac{4}{3}\right),\left(\frac{\sqrt{55}}{3}, \frac{4}{3}\right)

17. 2,4

19. \frac{q+\sqrt{2 p^{2}-q^{2}}}{2}одиниць за\frac{q-\sqrt{2 p^{2}-q^{2}}}{2} одиницями

Вправа\PageIndex{5}

Вирішити.

  1. \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=26 \\ x y &=5 \end{aligned}\right.
  2. \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=10 \\ x y &=3 \end{aligned}\right.
  3. \left\{\begin{aligned} 2 x^{2}-3 y^{2} &=5 \\ x y &=1 \end{aligned}\right.
  4. \left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-4 y^{2}=-11} \\ {x y=1}\end{array}\right.
  5. \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {x y-2=0}\end{array}\right.
  6. \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {2 x y-1=0}\end{array}\right.
  7. \left\{\begin{aligned} 4 x-y^{2} &=0 \\ x y &=2 \end{aligned}\right.
  8. \left\{\begin{array}{c}{3 y-x^{2}=0} \\ {x y-9=0}\end{array}\right.
  9. \left\{\begin{aligned} 2 y-x^{2} &=0 \\ x y-1 &=0 \end{aligned}\right.
  10. \left\{\begin{aligned} x-y^{2} &=0 \\ x y &=3 \end{aligned}\right.
  11. Діагональ прямокутника вимірює2\sqrt{10} одиниці виміру. Якщо площа прямокутника дорівнює12 квадратним одиницям, знайдіть його розміри.
  12. Площа прямокутника -48 квадратні метри, а периметр вимірює32 метри. Знайдіть розміри прямокутника.
  13. Добуток двох натуральних чисел -72 і їх сума дорівнює18. Знайти цілі числа.
  14. Сума квадратів двох натуральних чисел дорівнює52 і їх добуток дорівнює24. Знайти цілі числа.
Відповідь

1. (-5,-1),(5,1),(-1,-5),(1,5)

3. \left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)

5. \emptyset

7. (1,2)

9. \left(\sqrt[3]{2}, \frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)

11. 2одиниць за6 одиницями

13. 6,12

Вправа\PageIndex{6}

Вирішити.

  1. \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4} \\ {\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.
  2. \left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=5} \\ {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.
  3. \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1} \\ {\frac{3}{x}-\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.
  4. \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=20}\end{array}\right.
  5. \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=34}\end{array}\right.
  6. \left\{\begin{array}{l}{x y-16=0} \\ {2 x^{2}-y=0}\end{array}\right.
  7. \left\{\begin{array}{l}{x+y^{2}=4} \\ {y=\sqrt{x}}\end{array}\right.
  8. \left\{\begin{array}{c}{y^{2}-(x-1)^{2}=1} \\ {y=\sqrt{x}}\end{array}\right.
  9. \left\{\begin{array}{l}{y=2^{x}} \\ {y=2^{2 x}-56}\end{array}\right.
  10. \left\{\begin{array}{l}{y=3^{2 x}-72} \\ {y-3^{x}=0}\end{array}\right.
  11. \left\{\begin{array}{l}{y=e^{4 x}} \\ {y=e^{2 x}+6}\end{array}\right.
  12. \left\{\begin{array}{l}{y-e^{2 x}=0} \\ {y-e^{x}=0}\end{array}\right.
Відповідь

1. \left(\frac{1}{3}, 1\right)

3. \left(\frac{7}{5}, 7\right)

5. \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{5}\right),\left(\frac{1}{5},-\frac{1}{3}\right)

7. (2, \sqrt{2})

9. (3,8)

11. \left(\frac{\ln 3}{2}, 9\right)

Вправа\PageIndex{7}

  1. Скільки реальних рішень можна отримати з системи, яка складається з кола і гіперболи? Поясніть.
  2. Складіть власну нелінійну систему, вирішіть її та надайте відповідь. Також надайте графік і обговоріть геометричну інтерпретацію розв'язків.
Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

32 Система рівнянь, де принаймні одне рівняння не є лінійним.