8.5: Розв'язування нелінійних систем
Цілі навчання
- Визначте нелінійні системи.
- Розв'язуйте нелінійні системи за допомогою методу заміщення.
Нелінійні системи
Система рівнянь, де хоча б одне рівняння не є лінійним, називається нелінійною системою 32. У цьому розділі ми будемо використовувати метод підстановки для розв'язання нелінійних систем. Нагадаємо, що розв'язки системи з двома змінними є впорядкованими парами(x,y), які задовольняють обом рівнянням.
Приклад8.5.1:
Вирішити:{x+2y=0x2+y2=5.
Рішення
У цьому випадку ми починаємо з розв'язання для x у першому рівнянні.
{x+2y=0x2+y2=5⟹x=−2y
x=−2yПідставляємо в друге рівняння, а потім вирішуємо дляy.
(−2y)2+y2=54y2+y2=55y2=5y2=1y=±1
Тут є дві відповіді дляy; використовуйтеx=−2y для пошуку відповіднихx -значень.
Використанняy=−1 | Використанняy=1 |
---|---|
\ (y=-1\) ">x=−2y=−2(−1)=2 | \ (y=1\) ">x=−2y=−2(1)=−2 |
Це дає нам два впорядкованих парних рішення,(2,−1) і(−2,1).
Відповідь:
(2,−1),(−2,1)
У попередньому прикладі дана система складалася з лінії і кола. Графікуючи ці рівняння на одному і тому ж наборі осей, ми бачимо, що два впорядкованих парних рішення відповідають двом точкам перетину.

Якщо нам задано систему, що складається з кола і лінії, то є3 можливості для реальних рішень - два рішення, як на малюнку вище, одне рішення або відсутність рішення.

Приклад8.5.2
Вирішити:{x+y=3x2+y2=2.
Рішення
Вирішити дляy в першому рівнянні.
{x+yx2+y2
Даліy=3−x підставляємо в друге рівняння, а потім вирішуємо дляx.
x2+(3−x)2=2x2+9−6x+x2=22x2−6x+9=22x2−6x+7=0
Отримане рівняння не коефіцієнт. Крім того, використовуючиa=2b=−6, іc=7 ми можемо побачити, що дискримінант є негативним:
b2−4ac=(−6)2−4(2)(7)=36−56=−20
Ми робимо висновок, що немає реальних розв'язків цього рівняння і, отже, немає розв'язку системи.
Відповідь:
Ø
Вправа\PageIndex{1}
Вирішити:\left\{\begin{aligned} x-y &=5 \\ x^{2}+(y+1)^{2} &=8 \end{aligned}\right.
- Відповідь
-
(2,−3)
www.youtube.com/В/тур JW-8СНА
Якщо задано коло і параболу, то є5 можливості для вирішення.


При використанні методу підстановки ми можемо виконати крок підстановки за допомогою цілих алгебраїчних виразів. Мета полягає в тому, щоб створити єдине рівняння в одній змінній, яке можна вирішити за допомогою методів, вивчених до цього моменту в нашому вивченні алгебри.
Приклад\PageIndex{3}:
Вирішити:\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {y-x^{2}=-2}\end{array}\right..
Рішення
Ми можемо вирішити forx^{2} у другому рівнянні.
\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {y-x^{2}=-2 \quad \Rightarrow \quad y+2=x^{2}}\end{array}\right.
x^{2}=y+2Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо дляy.
\begin{aligned} \color{Cerulean}{y+2}\color{black}{+}y^{2} &=2 \\ y^{2}+y &=0 \\ y(y+1) &=0 \\ y &=0 \quad \text { or } \quad y=-1 \end{aligned}
Назад підставляємоx^{2}=y+2 в, щоб знайти відповідніx -значення.
Використанняy=-1 | Використанняy=0 |
---|---|
\ (y=-1\) ">\begin{aligned} x^{2} &=y+2 \\ x^{2} &=\color{Cerulean}{-1}\color{black}{+}2 \\ x^{2} &=1 \\ x &=\pm 1 \end{aligned} | \ (y=0\) ">\begin{aligned} x^{2} &=y+2 \\ x^{2} &=\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}2 \\ x^{2} &=2 \\ x &=\pm \sqrt{2} \end{aligned} |
Це призводить нас до чотирьох рішень,(±1,−1) і(\pm \sqrt{2}, 0).
Відповідь:
(\pm 1,-1),(\pm \sqrt{2}, 0)
Приклад\PageIndex{4}
Вирішити:\left\{\begin{aligned}(x-1)^{2}-2 y^{2} &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=9 \end{aligned}\right.
Рішення
Ми можемо вирішити fory^{2} у другому рівнянні,
\left\{\begin{array}{r}{(x-1)^{2}-2 y^{2}=4} \\ {x^{2}+y^{2}=9}\end{array}\right. \Longrightarrow y^{2}=9-x^{2}
y^{2}=9−x^{2}Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо дляx.
\begin{aligned}(x-1)^{2}-2\color{black}{\left(\color{Cerulean}{9-x^{2}}\right) }&=4 \\ x^{2}-2 x+1-18+2 x^{2} &=0 \\ 3 x^{2}-2 x-21 &=0 \\(3 x+7)(x-3) &=0 \\ 3 x+7 &=0 \text { or } x-3=0 \\ x &=-\frac{7}{3} \quad x=3 \end{aligned}
Назад підставляємоy^{2}=9−x^{2} в, щоб знайти відповідніy -значення.
Використанняx=-\frac{7}{3} | Використанняx=3 |
---|---|
\ (x=-\ гідророзриву {7} {3}\) ">\begin{array}{l}{y^{2}=9-\color{black}{\left(\color{Cerulean}{-\frac{7}{3}}\right)^{2}}} \\ {y^{2}=\frac{9}{1}-\frac{49}{9}} \\ {y^{2}=\frac{32}{9}} \\ {y=\pm \frac{\sqrt{32}}{3}=\pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}}\end{array} | \ (x = 3\) ">\begin{aligned} y^{2} &=9-(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}^{2} \\ y^{2} &=0 \\ y &=0 \end{aligned} |
Це призводить до трьох рішень,\left(-\frac{7}{3}, \pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}\right) і(3,0).
Відповідь:
(3,0),\left(-\frac{7}{3}, \pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}\right)
Приклад\PageIndex{5}
Вирішити:\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=2 \\ x y &=1 \end{aligned}\right..
Рішення
yРозв'яжіть для у другому рівнянні.
\left\{\begin{array}{r}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {x y=1}\end{array}\right.\Longrightarrow y=\frac{1}{x}
y=\frac{1}{x}Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо дляx.
x^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=2
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2
Це залишає нам раціональне рівняння. Зробіть позначку, щоx≠0 і помножте обидві сторони наx^{2}.
\begin{aligned} \color{Cerulean}{x^{2}}\color{black}{\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)} &=2 \cdot \color{Cerulean}{x^{2}} \\ x^{4}+1 &=2 x^{2} \\ x^{4}-2 x^{2}+1 &=0 \\\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right) &=0 \end{aligned}
На цьому етапі ми бачимо, що обидва фактори однакові. Застосувати властивість нульового продукту.
\begin{aligned} x^{2}-1 &=0 \\ x^{2} &=1 \\ x &=\pm 1 \end{aligned}
Назад підставляємоy=\frac{1}{x} в, щоб знайти відповідніy -значення.
Використанняx=-1 | Використанняx=1 |
---|---|
\ (x = -1\) ">\begin{aligned} y &=\frac{1}{x} \\ &=\frac{1}{\color{Cerulean}{-1}} \\ &=-1 \end{aligned} | \ (x = 1\) ">\begin{aligned} y &=\frac{1}{x} \\ &=\frac{1}{\color{Cerulean}{1}} \\ &=1 \end{aligned} |
Це призводить до двох рішень.
Відповідь:
(1,1),(-1,-1)
Вправа\PageIndex{2}
Вирішити:\left\{\begin{array}{r}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=40}\end{array}\right.
- Відповідь
-
\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)\left(\frac{1}{6},-\frac{1}{2}\right)
www.youtube.com/В/N8JJ_Ібегкм
Ключові виноси
- Використовувати метод заміщення для розв'язання нелінійних систем.
- Оптимізуйте процес розв'язання, використовуючи цілі алгебраїчні вирази на етапі підстановки для отримання єдиного рівняння з однією змінною.
- Розуміння геометричної інтерпретації системи може допомогти в пошуку реальних рішень.
Вправа\PageIndex{3}
Вирішити.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=10} \\ {x+y=4}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=5} \\ {x-y=-3}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=30} \\ {x-3 y=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=10} \\ {2 x-y=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=18} \\ {2 x-2 y=-12}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned}(x-4)^{2}+y^{2} &=25 \\ 4 x-3 y &=16 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}+2 y^{2}=21} \\ {3 x-y=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned} x^{2}+5 y^{2} &=36 \\ x-2 y &=0 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+9 y^{2}=36} \\ {2 x+3 y=6}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+y^{2}=4} \\ {2 x+y=-2}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=1} \\ {x+y=1}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+3 y^{2}=12} \\ {2 x-y=2}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned} x^{2}-2 y^{2} &=35 \\ x-3 y &=0 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{5 x^{2}-7 y^{2}=39} \\ {2 x+4 y=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{9 x^{2}-4 y^{2}=36} \\ {3 x+2 y=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {x-2 y=-12}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{2 x^{2}+3 y=9} \\ {8 x-4 y=12}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{2 x-4 y^{2}=3} \\ {3 x-12 y=6}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned} 4 x^{2}+3 y^{2} &=12 \\ x-\frac{3}{2} &=0 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned} 5 x^{2}+4 y^{2} &=40 \\ y-3 &=0 \end{aligned}\right.
- Сума квадратів двох натуральних чисел дорівнює10. Якщо перше ціле число додається в два рази більше другого, сума дорівнює7. Знайти цілі числа.
- Діагональ прямокутника вимірює\sqrt{5} одиниці виміру і має периметр, рівний6 одиницям. Знайдіть розміри прямокутника.
- Для яких значеньb буде наступна система мати реальні рішення? \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {y=x+b}\end{array}\right.
- Для яких значеньm буде наступна система має реальні рішення? \left\{\begin{array}{c}{x^{2}-y^{2}=1} \\ {y=m x}\end{array}\right.
- Відповідь
-
1. (1,3),(3,1)
3. (-3 \sqrt{3},-\sqrt{3}),(3 \sqrt{3}, \sqrt{3})
5. (-3,3)
7. (-1,-3),(1,3)
9. (0,2),(3,0)
11. (0,1),\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)
13. (-3 \sqrt{5},-\sqrt{5}),(3 \sqrt{5}, \sqrt{5})
15. \emptyset
17. \left(\frac{-3+3 \sqrt{5}}{2},-6+3 \sqrt{5}\right) ,\left(\frac{-3-3 \sqrt{5}}{2},-6-3 \sqrt{5}\right)
19. \left(\frac{3}{2},-1\right),\left(\frac{3}{2}, 1\right)
21. 1,3
23. b \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]
Вправа\PageIndex{4}
Вирішити.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=2}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=-2}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=3}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {4 y-x^{2}=-4}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=9} \\ {y^{2}-x=3}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=9} \\ {x+y^{2}=-4}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned} 4 x^{2}-3 y^{2} &=12 \\ x^{2}+y^{2} &=1 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=1 \\ 4 y^{2}-x^{2}-4 y &=0 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=4 \\ 2 x^{2}-y^{2}+4 x &=0 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned} 2(x-2)^{2}+y^{2} &=6 \\(x-3)^{2}+y^{2} &=4 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}-6 y=0} \\ {4 x^{2}+5 y^{2}+20 y=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+4 y^{2}=25} \\ {4 x^{2}+y^{2}=40}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}-2 y^{2}=-10} \\ {4 x^{2}+y^{2}=10}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=14} \\ {x^{2}-(y-1)^{2}=6}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-(y-2)^{2}=12} \\ {x^{2}+(y-2)^{2}=1}\end{array}\right.
- Різниця квадратів двох натуральних чисел дорівнює12. Сума більшого цілого числа і квадрата меншого дорівнює8. Знайти цілі числа.
- Різниця між довжиною та шириною прямокутника є4 одиницями та діагональними8 вимірами одиниць. Знайдіть розміри прямокутника. Округлити до найближчої десятої.
- Діагональ прямокутника вимірюєp одиниці виміру і має периметр, рівний2q одиницям. Знайдіть розміри прямокутника в перерахунку наp іq.
- Площа прямокутника -p квадратні одиниці, а його периметр -2q одиниці. Знайдіть розміри прямокутника в перерахунку наp іq.
- Відповідь
-
1. (0,2)
3. \emptyset
5. (-3,0),(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})
7. \emptyset
9. (0,1),\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{1}{5}\right),\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{1}{5}\right)
11. (3,-2),(3,2)
13. (-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)
15. (-\sqrt{7}, 0),(\sqrt{7}, 0),\left(-\frac{\sqrt{55}}{3}, \frac{4}{3}\right),\left(\frac{\sqrt{55}}{3}, \frac{4}{3}\right)
17. 2,4
19. \frac{q+\sqrt{2 p^{2}-q^{2}}}{2}одиниць за\frac{q-\sqrt{2 p^{2}-q^{2}}}{2} одиницями
Вправа\PageIndex{5}
Вирішити.
- \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=26 \\ x y &=5 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=10 \\ x y &=3 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned} 2 x^{2}-3 y^{2} &=5 \\ x y &=1 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-4 y^{2}=-11} \\ {x y=1}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {x y-2=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {2 x y-1=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned} 4 x-y^{2} &=0 \\ x y &=2 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{3 y-x^{2}=0} \\ {x y-9=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{aligned} 2 y-x^{2} &=0 \\ x y-1 &=0 \end{aligned}\right.
- \left\{\begin{aligned} x-y^{2} &=0 \\ x y &=3 \end{aligned}\right.
- Діагональ прямокутника вимірює2\sqrt{10} одиниці виміру. Якщо площа прямокутника дорівнює12 квадратним одиницям, знайдіть його розміри.
- Площа прямокутника -48 квадратні метри, а периметр вимірює32 метри. Знайдіть розміри прямокутника.
- Добуток двох натуральних чисел -72 і їх сума дорівнює18. Знайти цілі числа.
- Сума квадратів двох натуральних чисел дорівнює52 і їх добуток дорівнює24. Знайти цілі числа.
- Відповідь
-
1. (-5,-1),(5,1),(-1,-5),(1,5)
3. \left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
5. \emptyset
7. (1,2)
9. \left(\sqrt[3]{2}, \frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)
11. 2одиниць за6 одиницями
13. 6,12
Вправа\PageIndex{6}
Вирішити.
- \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4} \\ {\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=5} \\ {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1} \\ {\frac{3}{x}-\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=20}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=34}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x y-16=0} \\ {2 x^{2}-y=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{x+y^{2}=4} \\ {y=\sqrt{x}}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}{y^{2}-(x-1)^{2}=1} \\ {y=\sqrt{x}}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{y=2^{x}} \\ {y=2^{2 x}-56}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{y=3^{2 x}-72} \\ {y-3^{x}=0}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{y=e^{4 x}} \\ {y=e^{2 x}+6}\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{l}{y-e^{2 x}=0} \\ {y-e^{x}=0}\end{array}\right.
- Відповідь
-
1. \left(\frac{1}{3}, 1\right)
3. \left(\frac{7}{5}, 7\right)
5. \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{5}\right),\left(\frac{1}{5},-\frac{1}{3}\right)
7. (2, \sqrt{2})
9. (3,8)
11. \left(\frac{\ln 3}{2}, 9\right)
Вправа\PageIndex{7}
- Скільки реальних рішень можна отримати з системи, яка складається з кола і гіперболи? Поясніть.
- Складіть власну нелінійну систему, вирішіть її та надайте відповідь. Також надайте графік і обговоріть геометричну інтерпретацію розв'язків.
- Відповідь
-
1. Відповідь може відрізнятися
Виноски
32 Система рівнянь, де принаймні одне рівняння не є лінійним.