8.5: Розв'язування нелінійних систем

Цілі навчання

• Визначте нелінійні системи.
• Розв'язуйте нелінійні системи за допомогою методу заміщення.

Нелінійні системи

Система рівнянь, де хоча б одне рівняння не є лінійним, називається нелінійною системою ³². У цьому розділі ми будемо використовувати метод підстановки для розв'язання нелінійних систем. Нагадаємо, що розв'язки системи з двома змінними є впорядкованими парами$(x,y)$, які задовольняють обом рівнянням.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Вирішити:$\left\{\begin{array}{l}{x+2 y=0} \\ {x^{2}+y^{2}=5}\end{array}\right.$.

Рішення

У цьому випадку ми починаємо з розв'язання для x у першому рівнянні.

$\left\{\begin{array}{c}{x+2 y=0} \\ {x^{2}+y^{2}=5}\end{array}\Longrightarrow x=-2y \right.$

$x=−2y$Підставляємо в друге рівняння, а потім вирішуємо для$y$.

$\begin{aligned}(\color{Cerulean}{-2y }\color{black}{)}^{2}+y^{2} &=5 \\ 4 y^{2}+y^{2} &=5 \\ 5 y^{2} &=5 \\ y^{2} &=1 \\ y &=\pm 1 \end{aligned}$

Тут є дві відповіді для$y$; використовуйте$x=−2y$ для пошуку відповідних$x$ -значень.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Використання$y=-1$	Використання$y=1$
\ (y=-1\) ">$\begin{aligned} x &=-2 y \\ &=-2(-1) \\ &=2 \end{aligned}$	\ (y=1\) ">$\begin{aligned} x &=-2 y \\ &=-2(1) \\ &=-2 \end{aligned}$

Це дає нам два впорядкованих парних рішення,$(2,−1)$ і$(−2,1)$.

Відповідь:

$(2,−1), (−2,1)$

У попередньому прикладі дана система складалася з лінії і кола. Графікуючи ці рівняння на одному і тому ж наборі осей, ми бачимо, що два впорядкованих парних рішення відповідають двом точкам перетину.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Якщо нам задано систему, що складається з кола і лінії, то є$3$ можливості для реальних рішень - два рішення, як на малюнку вище, одне рішення або відсутність рішення.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити:$\left\{\begin{array}{c}{x+y=3} \\ {x^{2}+y^{2}=2}\end{array}\right.$.

Рішення

Вирішити для$y$ в першому рівнянні.

$\left\{\begin{array}{c}{x+y} \\ {x^{2}+y^{2}}\end{array}\right.$

Далі$y=3−x$ підставляємо в друге рівняння, а потім вирішуємо для$x$.

$\begin{array}{r}{x^{2}+(\color{Cerulean}{3-x}\color{black}{)}^{2}=2} \\ {x^{2}+9-6 x+x^{2}=2} \\ {2 x^{2}-6 x+9=2} \\ {2 x^{2}-6 x+7=0}\end{array}$

Отримане рівняння не коефіцієнт. Крім того, використовуючи$a=2$$b=−6$, і$c=7$ ми можемо побачити, що дискримінант є негативним:

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(-6)^{2}-4(2)(7) \\ &=36-56 \\ &=-20 \end{aligned}$

Ми робимо висновок, що немає реальних розв'язків цього рівняння і, отже, немає розв'язку системи.

Відповідь:

$Ø$

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити:$\left\{\begin{aligned} x-y &=5 \\ x^{2}+(y+1)^{2} &=8 \end{aligned}\right.$

Відповідь

$(2,−3)$

www.youtube.com/В/тур JW-8СНА

Якщо задано коло і параболу, то є$5$ можливості для вирішення.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Малюнок$\PageIndex{4}$

При використанні методу підстановки ми можемо виконати крок підстановки за допомогою цілих алгебраїчних виразів. Мета полягає в тому, щоб створити єдине рівняння в одній змінній, яке можна вирішити за допомогою методів, вивчених до цього моменту в нашому вивченні алгебри.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Вирішити:$\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {y-x^{2}=-2}\end{array}\right.$.

Рішення

Ми можемо вирішити for$x^{2}$ у другому рівнянні.

$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {y-x^{2}=-2 \quad \Rightarrow \quad y+2=x^{2}}\end{array}\right.$

$x^{2}=y+2$Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо для$y$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{y+2}\color{black}{+}y^{2} &=2 \\ y^{2}+y &=0 \\ y(y+1) &=0 \\ y &=0 \quad \text { or } \quad y=-1 \end{aligned}$

Назад підставляємо$x^{2}=y+2$ в, щоб знайти відповідні$x$ -значення.

Таблиця$\PageIndex{2}$

Використання$y=-1$	Використання$y=0$
\ (y=-1\) ">$\begin{aligned} x^{2} &=y+2 \\ x^{2} &=\color{Cerulean}{-1}\color{black}{+}2 \\ x^{2} &=1 \\ x &=\pm 1 \end{aligned}$	\ (y=0\) ">$\begin{aligned} x^{2} &=y+2 \\ x^{2} &=\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}2 \\ x^{2} &=2 \\ x &=\pm \sqrt{2} \end{aligned}$

Це призводить нас до чотирьох рішень,$(±1,−1)$ і$(\pm \sqrt{2}, 0)$.

Відповідь:

$(\pm 1,-1),(\pm \sqrt{2}, 0)$

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити:$\left\{\begin{aligned}(x-1)^{2}-2 y^{2} &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=9 \end{aligned}\right.$

Рішення

Ми можемо вирішити for$y^{2}$ у другому рівнянні,

$\left\{\begin{array}{r}{(x-1)^{2}-2 y^{2}=4} \\ {x^{2}+y^{2}=9}\end{array}\right. \Longrightarrow y^{2}=9-x^{2}$

$y^{2}=9−x^{2}$Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо для$x$.

$\begin{aligned}(x-1)^{2}-2\color{black}{\left(\color{Cerulean}{9-x^{2}}\right) }&=4 \\ x^{2}-2 x+1-18+2 x^{2} &=0 \\ 3 x^{2}-2 x-21 &=0 \\(3 x+7)(x-3) &=0 \\ 3 x+7 &=0 \text { or } x-3=0 \\ x &=-\frac{7}{3} \quad x=3 \end{aligned}$

Назад підставляємо$y^{2}=9−x^{2}$ в, щоб знайти відповідні$y$ -значення.

Таблиця$\PageIndex{3}$

Використання$x=-\frac{7}{3}$	Використання$x=3$
\ (x=-\ гідророзриву {7} {3}\) ">$\begin{array}{l}{y^{2}=9-\color{black}{\left(\color{Cerulean}{-\frac{7}{3}}\right)^{2}}} \\ {y^{2}=\frac{9}{1}-\frac{49}{9}} \\ {y^{2}=\frac{32}{9}} \\ {y=\pm \frac{\sqrt{32}}{3}=\pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}}\end{array}$	\ (x = 3\) ">$\begin{aligned} y^{2} &=9-(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}^{2} \\ y^{2} &=0 \\ y &=0 \end{aligned}$

Це призводить до трьох рішень,$\left(-\frac{7}{3}, \pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}\right)$ і$(3,0)$.

Відповідь:

$(3,0),\left(-\frac{7}{3}, \pm \frac{4 \sqrt{2}}{3}\right)$

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити:$\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=2 \\ x y &=1 \end{aligned}\right.$.

Рішення

$y$Розв'яжіть для у другому рівнянні.

$\left\{\begin{array}{r}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {x y=1}\end{array}\right.\Longrightarrow y=\frac{1}{x}$

$y=\frac{1}{x}$Підставляємо в перше рівняння, а потім вирішуємо для$x$.

$x^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=2$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2$

Це залишає нам раціональне рівняння. Зробіть позначку, що$x≠0$ і помножте обидві сторони на$x^{2}$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{x^{2}}\color{black}{\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)} &=2 \cdot \color{Cerulean}{x^{2}} \\ x^{4}+1 &=2 x^{2} \\ x^{4}-2 x^{2}+1 &=0 \\\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right) &=0 \end{aligned}$

На цьому етапі ми бачимо, що обидва фактори однакові. Застосувати властивість нульового продукту.

$\begin{aligned} x^{2}-1 &=0 \\ x^{2} &=1 \\ x &=\pm 1 \end{aligned}$

Назад підставляємо$y=\frac{1}{x}$ в, щоб знайти відповідні$y$ -значення.

Використання$x=-1$	Використання$x=1$
\ (x = -1\) ">$\begin{aligned} y &=\frac{1}{x} \\ &=\frac{1}{\color{Cerulean}{-1}} \\ &=-1 \end{aligned}$	\ (x = 1\) ">$\begin{aligned} y &=\frac{1}{x} \\ &=\frac{1}{\color{Cerulean}{1}} \\ &=1 \end{aligned}$

Це призводить до двох рішень.

Відповідь:

$(1,1),(-1,-1)$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити:$\left\{\begin{array}{r}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=40}\end{array}\right.$

Відповідь

$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)\left(\frac{1}{6},-\frac{1}{2}\right)$

www.youtube.com/В/N8JJ_Ібегкм

Ключові виноси

• Використовувати метод заміщення для розв'язання нелінійних систем.
• Оптимізуйте процес розв'язання, використовуючи цілі алгебраїчні вирази на етапі підстановки для отримання єдиного рівняння з однією змінною.
• Розуміння геометричної інтерпретації системи може допомогти в пошуку реальних рішень.

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити.

1. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=10} \\ {x+y=4}\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=5} \\ {x-y=-3}\end{array}\right.$
3. $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=30} \\ {x-3 y=0}\end{array}\right.$
4. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=10} \\ {2 x-y=0}\end{array}\right.$
5. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=18} \\ {2 x-2 y=-12}\end{array}\right.$
6. $\left\{\begin{aligned}(x-4)^{2}+y^{2} &=25 \\ 4 x-3 y &=16 \end{aligned}\right.$
7. $\left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}+2 y^{2}=21} \\ {3 x-y=0}\end{array}\right.$
8. $\left\{\begin{aligned} x^{2}+5 y^{2} &=36 \\ x-2 y &=0 \end{aligned}\right.$
9. $\left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+9 y^{2}=36} \\ {2 x+3 y=6}\end{array}\right.$
10. $\left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+y^{2}=4} \\ {2 x+y=-2}\end{array}\right.$
11. $\left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=1} \\ {x+y=1}\end{array}\right.$
12. $\left\{\begin{array}{c}{4 x^{2}+3 y^{2}=12} \\ {2 x-y=2}\end{array}\right.$
13. $\left\{\begin{aligned} x^{2}-2 y^{2} &=35 \\ x-3 y &=0 \end{aligned}\right.$
14. $\left\{\begin{array}{c}{5 x^{2}-7 y^{2}=39} \\ {2 x+4 y=0}\end{array}\right.$
15. $\left\{\begin{array}{c}{9 x^{2}-4 y^{2}=36} \\ {3 x+2 y=0}\end{array}\right.$
16. $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {x-2 y=-12}\end{array}\right.$
17. $\left\{\begin{array}{l}{2 x^{2}+3 y=9} \\ {8 x-4 y=12}\end{array}\right.$
18. $\left\{\begin{array}{l}{2 x-4 y^{2}=3} \\ {3 x-12 y=6}\end{array}\right.$
19. $\left\{\begin{aligned} 4 x^{2}+3 y^{2} &=12 \\ x-\frac{3}{2} &=0 \end{aligned}\right.$
20. $\left\{\begin{aligned} 5 x^{2}+4 y^{2} &=40 \\ y-3 &=0 \end{aligned}\right.$
21. Сума квадратів двох натуральних чисел дорівнює$10$. Якщо перше ціле число додається в два рази більше другого, сума дорівнює$7$. Знайти цілі числа.
22. Діагональ прямокутника вимірює$\sqrt{5}$ одиниці виміру і має периметр, рівний$6$ одиницям. Знайдіть розміри прямокутника.
23. Для яких значень$b$ буде наступна система мати реальні рішення? $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {y=x+b}\end{array}\right.$
24. Для яких значень$m$ буде наступна система має реальні рішення? $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}-y^{2}=1} \\ {y=m x}\end{array}\right.$

Відповідь

1. $(1,3),(3,1)$

3. $(-3 \sqrt{3},-\sqrt{3}),(3 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

5. $(-3,3)$

7. $(-1,-3),(1,3)$

9. $(0,2),(3,0)$

11. $(0,1),\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$

13. $(-3 \sqrt{5},-\sqrt{5}),(3 \sqrt{5}, \sqrt{5})$

15. $\emptyset$

17. $\left(\frac{-3+3 \sqrt{5}}{2},-6+3 \sqrt{5}\right) ,\left(\frac{-3-3 \sqrt{5}}{2},-6-3 \sqrt{5}\right)$

19. $\left(\frac{3}{2},-1\right),\left(\frac{3}{2}, 1\right)$

21. $1,3$

23. $b \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішити.

1. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=2}\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=-2}\end{array}\right.$
3. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {y-x^{2}=3}\end{array}\right.$
4. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {4 y-x^{2}=-4}\end{array}\right.$
5. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=9} \\ {y^{2}-x=3}\end{array}\right.$
6. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=9} \\ {x+y^{2}=-4}\end{array}\right.$
7. $\left\{\begin{aligned} 4 x^{2}-3 y^{2} &=12 \\ x^{2}+y^{2} &=1 \end{aligned}\right.$
8. $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.$
9. $\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=1 \\ 4 y^{2}-x^{2}-4 y &=0 \end{aligned}\right.$
10. $\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=4 \\ 2 x^{2}-y^{2}+4 x &=0 \end{aligned}\right.$
11. $\left\{\begin{aligned} 2(x-2)^{2}+y^{2} &=6 \\(x-3)^{2}+y^{2} &=4 \end{aligned}\right.$
12. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}-6 y=0} \\ {4 x^{2}+5 y^{2}+20 y=0}\end{array}\right.$
13. $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+4 y^{2}=25} \\ {4 x^{2}+y^{2}=40}\end{array}\right.$
14. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}-2 y^{2}=-10} \\ {4 x^{2}+y^{2}=10}\end{array}\right.$
15. $\left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=14} \\ {x^{2}-(y-1)^{2}=6}\end{array}\right.$
16. $\left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-(y-2)^{2}=12} \\ {x^{2}+(y-2)^{2}=1}\end{array}\right.$
17. Різниця квадратів двох натуральних чисел дорівнює$12$. Сума більшого цілого числа і квадрата меншого дорівнює$8$. Знайти цілі числа.
18. Різниця між довжиною та шириною прямокутника є$4$ одиницями та діагональними$8$ вимірами одиниць. Знайдіть розміри прямокутника. Округлити до найближчої десятої.
19. Діагональ прямокутника вимірює$p$ одиниці виміру і має периметр, рівний$2q$ одиницям. Знайдіть розміри прямокутника в перерахунку на$p$ і$q$.
20. Площа прямокутника -$p$ квадратні одиниці, а його периметр -$2q$ одиниці. Знайдіть розміри прямокутника в перерахунку на$p$ і$q$.

Відповідь

1. $(0,2)$

3. $\emptyset$

5. $(-3,0),(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})$

7. $\emptyset$

9. $(0,1),\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{1}{5}\right),\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{1}{5}\right)$

11. $(3,-2),(3,2)$

13. $(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)$

15. $(-\sqrt{7}, 0),(\sqrt{7}, 0),\left(-\frac{\sqrt{55}}{3}, \frac{4}{3}\right),\left(\frac{\sqrt{55}}{3}, \frac{4}{3}\right)$

17. $2,4$

19. $\frac{q+\sqrt{2 p^{2}-q^{2}}}{2}$одиниць за$\frac{q-\sqrt{2 p^{2}-q^{2}}}{2}$ одиницями

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити.

1. $\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=26 \\ x y &=5 \end{aligned}\right.$
2. $\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=10 \\ x y &=3 \end{aligned}\right.$
3. $\left\{\begin{aligned} 2 x^{2}-3 y^{2} &=5 \\ x y &=1 \end{aligned}\right.$
4. $\left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-4 y^{2}=-11} \\ {x y=1}\end{array}\right.$
5. $\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=2} \\ {x y-2=0}\end{array}\right.$
6. $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {2 x y-1=0}\end{array}\right.$
7. $\left\{\begin{aligned} 4 x-y^{2} &=0 \\ x y &=2 \end{aligned}\right.$
8. $\left\{\begin{array}{c}{3 y-x^{2}=0} \\ {x y-9=0}\end{array}\right.$
9. $\left\{\begin{aligned} 2 y-x^{2} &=0 \\ x y-1 &=0 \end{aligned}\right.$
10. $\left\{\begin{aligned} x-y^{2} &=0 \\ x y &=3 \end{aligned}\right.$
11. Діагональ прямокутника вимірює$2\sqrt{10}$ одиниці виміру. Якщо площа прямокутника дорівнює$12$ квадратним одиницям, знайдіть його розміри.
12. Площа прямокутника -$48$ квадратні метри, а периметр вимірює$32$ метри. Знайдіть розміри прямокутника.
13. Добуток двох натуральних чисел -$72$ і їх сума дорівнює$18$. Знайти цілі числа.
14. Сума квадратів двох натуральних чисел дорівнює$52$ і їх добуток дорівнює$24$. Знайти цілі числа.

Відповідь

1. $(-5,-1),(5,1),(-1,-5),(1,5)$

3. $\left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

5. $\emptyset$

7. $(1,2)$

9. $\left(\sqrt[3]{2}, \frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)$

11. $2$одиниць за$6$ одиницями

13. $6,12$

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішити.

1. $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4} \\ {\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=5} \\ {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.$
3. $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1} \\ {\frac{3}{x}-\frac{1}{y}=2}\end{array}\right.$
4. $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=20}\end{array}\right.$
5. $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2} \\ {\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=34}\end{array}\right.$
6. $\left\{\begin{array}{l}{x y-16=0} \\ {2 x^{2}-y=0}\end{array}\right.$
7. $\left\{\begin{array}{l}{x+y^{2}=4} \\ {y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$
8. $\left\{\begin{array}{c}{y^{2}-(x-1)^{2}=1} \\ {y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$
9. $\left\{\begin{array}{l}{y=2^{x}} \\ {y=2^{2 x}-56}\end{array}\right.$
10. $\left\{\begin{array}{l}{y=3^{2 x}-72} \\ {y-3^{x}=0}\end{array}\right.$
11. $\left\{\begin{array}{l}{y=e^{4 x}} \\ {y=e^{2 x}+6}\end{array}\right.$
12. $\left\{\begin{array}{l}{y-e^{2 x}=0} \\ {y-e^{x}=0}\end{array}\right.$

Відповідь

1. $\left(\frac{1}{3}, 1\right)$

3. $\left(\frac{7}{5}, 7\right)$

5. $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{5}\right),\left(\frac{1}{5},-\frac{1}{3}\right)$

7. $(2, \sqrt{2})$

9. $(3,8)$

11. $\left(\frac{\ln 3}{2}, 9\right)$

Вправа$\PageIndex{7}$

1. Скільки реальних рішень можна отримати з системи, яка складається з кола і гіперболи? Поясніть.
2. Складіть власну нелінійну систему, вирішіть її та надайте відповідь. Також надайте графік і обговоріть геометричну інтерпретацію розв'язків.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

³² Система рівнянь, де принаймні одне рівняння не є лінійним.