8.E: Конічні секції (вправи)

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 8.5: Розв'язування нелінійних систем
- 9: Послідовності, ряди та біноміальна теорема

Anonymous
LibreTexts

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вправа $\PageIndex{1}$

Обчисліть відстань і середину між заданими двома точками.

$(0,2)$ і $(-4,-1)$
$(6,0)$ і $(-2,-6)$
$(-2,4)$ і $(-6,-8)$
$\left(\frac{1}{2},-1\right)$ і $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$
$(0,-3 \sqrt{2})$ і $(\sqrt{5},-4 \sqrt{2})$
$(-5 \sqrt{3}, \sqrt{6})$ і $(-3 \sqrt{3}, \sqrt{6})$

Відповідь

1. Відстань: $5$ одиниці виміру; середина: $\left(-2, \frac{1}{2}\right)$

3. Відстань: $4\sqrt{10}$ одиниці виміру; середина: $(-4,-2)$

5. Відстань: $\sqrt{7}$ одиниці виміру; середина: $\left(\frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{7 \sqrt{2}}{2}\right)$

Вправа $\PageIndex{2}$

Визначте площу кола, діаметр якої визначається заданими двома точками.

$(-3,3)$ і $(3,-3)$
$(-2,-9)$ і $(-10,-15)$
$\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{2}\right)$ і $\left(-\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$
$(2 \sqrt{5},-2 \sqrt{2})$ і $(0,-4 \sqrt{2})$

Відповідь

1. $18\pi$ квадратні одиниці

3. $\frac{5 \pi}{4}$ квадратні одиниці

Вправа $\PageIndex{3}$

Перепишіть в стандартному вигляді і дайте вершину.

$y=x^{2}-10 x+33$
$y=2 x^{2}-4 x-1$
$y=x^{2}-3 x-1$
$y=-x^{2}-x-2$
$x=y^{2}+10 y+10$
$x=3 y^{2}+12 y+7$
$x=-y^{2}+8 y-3$
$x=5 y^{2}-5 y+2$

Відповідь

1. $y=(x-5)^{2}+8 ;$ вершина: $(5,8)$

3. $y=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{13}{4} ;$ вершина: $\left(\frac{3}{2},-\frac{13}{4}\right)$

5. $x=(y+5)^{2}-15 ;$ вершина: $(-15,-5)$

7. $x=-(y-4)^{2}+13 ;$ вершина: $(13,4)$

Вправа $\PageIndex{4}$

Перепишіть в стандартній формі і графі. Обов'язково знайдіть вершину і все перехоплення.

$y=x^{2}-20 x+75$
$y=-x^{2}-10 x+75$
$y=-2 x^{2}-12 x-24$
$y=4 x^{2}+4 x+6$
$x=y^{2}-10 y+16$
$x=-y^{2}+4 y+12$
$x=-4 y^{2}+12 y$
$x=9 y^{2}+18 y+12$
$x=-4 y^{2}+4 y+2$
$x=-y^{2}-5 y+2$

Відповідь

1. $y=(x-10)^{2}-25$ ;

3. $y=-2(x+3)^{2}-6$ ;

5. $x=(y-5)^{2}-9$ ;

7. $x=-4\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}+9$ ;

9. $x=-4\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+3$ ;

Вправа $\PageIndex{5}$

Визначте центр і радіус за даними рівняння окружності в стандартному вигляді.

$(x-6)^{2}+y^{2}=9$
$(x+8)^{2}+(y-10)^{2}=1$
$x^{2}+y^{2}=5$
$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$

Відповідь

1. Центр: $(6,0) ;$ радіус: $r=3$

3. Центр: $(0,0) ;$ радіус: $r=\sqrt{5}$

Вправа $\PageIndex{6}$

Визначаємо стандартну форму для рівняння кола:

Центр $(-7,2)$ з радіусом $r=10$
Центр $\left(\frac{1}{3},-1\right)$ з радіусом $r=\frac{2}{3}$
Центр $(0,-5)$ з радіусом $r=2 \sqrt{7}$
Центр $(1,0)$ з радіусом $r=\frac{5 \sqrt{3}}{2}$
Коло, діаметр якого визначається $(-4,10)$ і $(-2,8)$
Коло, діаметр якого визначається $(3,-6)$ і $(0,-4)$

Відповідь

1. $(x+7)^{2}+(y-2)^{2}=100$

3. $x^{2}+(y+5)^{2}=28$

5. $(x+3)^{2}+(y-9)^{2}=2$

Вправа $\PageIndex{7}$

Знайдіть $x$ - і $y$ -перехоплює.

$(x-3)^{2}+(y+5)^{2}=16$
$(x+5)^{2}+(y-1)^{2}=4$
$x^{2}+(y-2)^{2}=20$
$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=8$
$x^{2}+y^{2}-12 y+27=0$
$x^{2}+y^{2}-4 x+2 y+1=0$

Відповідь

1. $x$ -перехоплює: немає; $y$ -перехоплює: $(0,-5 \pm \sqrt{7})$

3. $x$ -перехоплює: $(\pm 4,0)$ ; $y$ -перехоплює: $(0,2 \pm 2 \sqrt{5})$

5. $x$ -перехоплює: немає; $y$ -перехоплює: $(0,3),(0,9)$

Вправа $\PageIndex{8}$

Графік.

$(x+8)^{2}+(y-6)^{2}=4$
$(x-20)^{2}+\left(y+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$
$x^{2}+y^{2}=24$
$(x-1)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$
$x^{2}+(y-7)^{2}=27$
$(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2$

Відповідь

Вправа $\PageIndex{9}$

Перепишіть в стандартній формі і графі.

$x^{2}+y^{2}-6 x+4 y-3=0$
$x^{2}+y^{2}+8 x-10 y+16=0$
$2 x^{2}+2 y^{2}-2 x-6 y-3=0$
$4 x^{2}+4 y^{2}+8 y+1=0$
$x^{2}+y^{2}-5 x+y-\frac{1}{2}=0$
$x^{2}+y^{2}+12 x-8 y=0$

Відповідь

1. $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16$ ;

3. $\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$ ;

5. $\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=7$ ;

Вправа $\PageIndex{10}$

Враховуючи рівняння еліпса в стандартній формі, визначте його центр, орієнтацію, великий радіус і малий радіус.

$\frac{(x+12)^{2}}{16}+\frac{(y-10)^{2}}{4}=1$
$\frac{(x+3)^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{25}=1$
$x^{2}+\frac{(y-5)^{2}}{12}=1$
$\frac{(x-8)^{2}}{5}+\frac{(y+8)}{18}=1$

Відповідь

1. Центр: $(−12, 10)$ ; орієнтація: горизонтальна; великий радіус: $4$ одиниці виміру; малий радіус: $2$ одиниці

3. Центр: $(0, 5)$ ; орієнтація: вертикальна; великий радіус: $2\sqrt{3}$ одиниці виміру; малий радіус: $1$ одиниця

Вправа $\PageIndex{11}$

Визначити стандартну форму для рівняння еліпса дано наступну інформацію.

Центр $(0,-4)$ з $a=3$ і $b=4$
Центр $(3,8)$ з $a=1$ і $b=\sqrt{7}$
Центр $(0,0)$ з $a=5$ і $b=\sqrt{2}$
Центр $(-10,-30)$ з $a=10$ і $b=1$

Відповідь

1. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{16}=1$

3. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{2}=1$

Вправа $\PageIndex{12}$

Знайдіть $x$ - і $y$ -перехоплює.

$\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
$\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y+1)^{2}}{3}=1$
$5 x^{2}+2 y^{2}=20$
$5(x-3)^{2}+6 y^{2}=120$

Відповідь

1. $x$ -перехоплює: $(-4,0),(0,0) ; y$ -перехоплює: $(0,0)$

3. $x$ -перехоплює: $(\pm 2,0) ; y$ -перехоплює: $(0, \pm \sqrt{10})$

Вправа $\PageIndex{13}$

Графік.

$\frac{(x-10)^{2}}{25}+\frac{(y+5)^{2}}{4}=1$
$\frac{(x+6)^{2}}{9}+\frac{(y-8)^{2}}{36}=1$
$\frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}{4}+\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}=1$
$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$
$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{5}=1$
$\frac{(x+2)^{2}}{8}+\frac{(y-3)^{2}}{12}=1$

Відповідь

Вправа $\PageIndex{14}$

Перепишіть в стандартній формі і графі.

$4 x^{2}+9 y^{2}-8 x+90 y+193=0$
$9 x^{2}+4 y^{2}+108 x-80 y+580=0$
$x^{2}+9 y^{2}+6 x+108 y+324=0$
$25 x^{2}+y^{2}-350 x-8 y+1,216=0$
$8 x^{2}+12 y^{2}-16 x-36 y-13=0$
$10 x^{2}+2 y^{2}-50 x+14 y+7=0$

Відповідь

1. $\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y+5)^{2}}{4}=1$ ;

3. $\frac{(x+3)^{2}}{9}+(y+6)^{2}=1$ ;

5. $\frac{(x-1)^{2}}{6}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}{4}=1$ ;

Вправа $\PageIndex{15}$

З огляду на рівняння гіперболи в стандартній формі, визначають її центр, в який бік відкривається граф, і вершини.

$\frac{(x-10)^{2}}{4}-\frac{(y+5)^{2}}{16}=1$
$\frac{(x+7)^{2}}{2}-\frac{(y-8)^{2}}{8}=1$
$\frac{(y-20)^{2}}{3}-(x-15)^{2}=1$
$3 y^{2}-12(x-1)^{2}=36$

Відповідь

1. Центр: $(10,-5)$ ; відкриває вліво і вправо; вершини: $(8,-5),(12,-5)$

3. Центр: $(15,20)$ ; відкривається вгору і вниз; вершини: $(15,20-\sqrt{3}),(15,20+\sqrt{3})$

Вправа $\PageIndex{16}$

Визначте стандартну форму для рівняння гіперболи.

Центр $(-25,10), a=3, b=\sqrt{5},$ відкривається вгору і вниз.
Центр $(9,-12), a=5 \sqrt{3}, b=7,$ відкривається вліво і вправо.
Центр $(-4,0), a=1, b=6,$ відкривається вліво і вправо.
Центр $(-2,-3), a=10 \sqrt{2}, b=2 \sqrt{3},$ відкривається вгору і вниз.

Відповідь

1. $\frac{(y-10)^{2}}{5}-\frac{(x+25)^{2}}{9}=1$

3. $(x+4)^{2}-\frac{y^{2}}{36}=1$

Вправа $\PageIndex{17}$

Знайдіть $x$ - і $y$ -перехоплює.

$\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y+3)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x+4)^{2}}{8}-\frac{(y-2)^{2}}{12}=1$
$4(y-2)^{2}-x^{2}=16$
$6(y+1)^{2}-3(x-1)^{2}=18$

Відповідь

1. $x$ -перехоплює: $(1 \pm 2 \sqrt{2}, 0) ; y$ -перехоплює: немає

3. $x$ -перехоплює: $(0,0) ; y$ -перехоплює: $(0,0),(0,4)$

Вправа $\PageIndex{18}$

Графік.

$\frac{(x-10)^{2}}{25}-\frac{(y+5)^{2}}{100}=1$
$\frac{(x-4)^{2}}{4}-\frac{(y-8)^{2}}{16}=1$
$\frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{(x-6)^{2}}{81}=1$
$\frac{(y+1)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{25}=1$
$\frac{y^{2}}{27}-\frac{(x-3)^{2}}{9}=1$
$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$

Відповідь

Вправа $\PageIndex{19}$

Перепишіть в стандартній формі і графі.

$4 x^{2}-9 y^{2}-8 x-90 y-257=0$
$9 x^{2}-y^{2}-108 x+16 y+224=0$
$25 y^{2}-2 x^{2}-100 y+50=0$
$3 y^{2}-x^{2}-2 x-10=0$
$8 y^{2}-12 x^{2}+24 y-12 x-33=0$
$4 y^{2}-4 x^{2}-16 y-28 x-37=0$

Відповідь

1. $\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y+5)^{2}}{4}=1$ ;

3. $\frac{(y-2)^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{25}=1$ ;

5. $\frac{\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}}{6}-\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}{4}=1$

Вправа $\PageIndex{20}$

Визначте конічні перетину і перепишіть в стандартному вигляді.

$x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+16=0$
$x^{2}+2 y^{2}+4 x-24 y+74=0$
$x^{2}-y^{2}-6 x-4 y+3=0$
$x^{2}+y-10 x+22=0$
$x^{2}+12 y^{2}-12 x+24=0$
$x^{2}+y^{2}+10 y+22=0$
$4 y^{2}-20 x^{2}+16 y+20 x-9=0$
$16 x-16 y^{2}+24 y-25=0$
$9 x^{2}-9 y^{2}-6 x-18 y-17=0$
$4 x^{2}+4 y^{2}+4 x-8 y+1=0$

Відповідь

1. коло; $(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=1$

3. гіпербола; $\frac{(x-3)^{2}}{2}-\frac{(y+2)^{2}}{2}=1$

5. Еліпс; $\frac{(x-6)^{2}}{12}+y^{2}=1$

7. гіпербола; $\frac{(y+2)^{2}}{5}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$

9. гіпербола; $\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-(y+1)^{2}=1$

Вправа $\PageIndex{21}$

З огляду на графік, запишіть рівняння в загальному вигляді.

Відповідь

1. $x^{2}+y^{2}+18 x-6 y+9=0$

3. $9 x^{2}-y^{2}+72 x-12 y+72=0$

5. $9 x^{2}+64 y^{2}+54 x-495=0$

Вправа $\PageIndex{22}$

Вирішити.

$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=8} \\ {x-y=4}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {x+2 y=1}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=4} \\ {2 x-y=1}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=5} \\ {x+y=3}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-2 y^{2}=1} \\ {x-y=2}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{x^{2}-3 y^{2}=10} \\ {x-2 y=1}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=11} \\ {4 x+y^{2}=5}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+4 y^{2}=1} \\ {2 x^{2}+4 y=5}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{5 x^{2}-y^{2}=10} \\ {x^{2}+y=2}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{2 x^{2}+y^{2}=1} \\ {2 x-4 y^{2}=-3}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+4 y^{2}=10} \\ {x y=2}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{y+x^{2}=0} \\ {x y-8=0}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10} \\ {\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=6}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1} \\ {y-x=2}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{x-2 y^{2}=3} \\ {y=\sqrt{x-4}}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{(x-1)^{2}+y^{2}=1} \\ {y-\sqrt{x}=0}\end{array}\right.$

Відповідь

1. $(2,-2)$

3. $\left(-\frac{1}{13},-\frac{15}{13}\right),(1,1)$

5. $(-9,-11),(1,-1)$

7. $(-1,-3),(-1,3)$

9. $(-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0),(-\sqrt{7},-5),(\sqrt{7},-5)$

11. $(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cdot(-\sqrt{2},-\sqrt{2}) \cdot\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot\left(-2 \sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

13. $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)$

15. $(5,1)$

Зразок іспиту

Вправа $\PageIndex{23}$

З огляду на два пункти $(-4,-6)$ і $(2,-8)$ :
1. Обчисліть відстань між ними.
2. Знайдіть середню точку між ними.
Визначте площу кола, діаметр якої визначається точками $(4, −3)$ і $(−1, 2)$ .

Відповідь: 1. (1) $2\sqrt{10}$ одиниці; (2) $(-1,-7)$

Вправа $\PageIndex{24}$

Перепишіть в стандартній формі і графі. Знайдіть вершину і всі перехоплення, якщо такі є.

$y=-x^{2}+6 x-5$
$x=2 y^{2}+4 y-6$
$x=-3 y^{2}+3 y+1$
Знайдіть рівняння кола в стандартній формі з $2 \sqrt{5}$ одиницями центру $(−6, 3)$ і радіуса.

Відповідь

1. $y=-(x-3)^{2}+4$ ;

3. $x=-3\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$ ;

Вправа $\PageIndex{25}$

Намалюйте графік конічного перерізу з урахуванням його рівняння в стандартному вигляді.

$(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=45$
$\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
$\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{9}=1$
$\frac{x^{2}}{16}-(y-2)^{2}=1$

Відповідь

Вправа $\PageIndex{26}$

Перепишіть в стандартній формі і графі.

$9 x^{2}+4 y^{2}-144 x+16 y+556=0$
$x-y^{2}+6 y+7=0$
$x^{2}+y^{2}+20 x-20 y+100=0$
$4 y^{2}-x^{2}+40 y-30 x-225=0$

Відповідь

1. $\frac{(x-8)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1$ ;

3. $(x+10)^{2}+(y-10)^{2}=100$ ;

Вправа $\PageIndex{27}$

Знайдіть $x$ - і $y$ -перехоплює.

$x=-2(y-4)^{2}+9$
$\frac{(y-1)^{2}}{12}-(x+1)^{2}=1$

Відповідь: 1. $x$ -перехоплення: $(-23,0) ; y$ -перехоплює: $\left(0, \frac{8 \pm 3 \sqrt{2}}{2}\right)$

Вправа $\PageIndex{28}$

Вирішити.

$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2} \\ {y=-x^{2}+4}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{y-x^{2}=-3} \\ {x^{2}+y^{2}=9}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{2 x-y=1} \\ {(x+1)^{2}+2 y^{2}=1}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=6} \\ {x y=3}\end{array}\right.$

Відповідь

1. $(-1,3),(2,0)$

3. $\emptyset$

Вправа $\PageIndex{29}$

Знайдіть рівняння еліпса в стандартній формі з вершинами $(−3, −5)$ $(5, −5)$ та малими $2$ одиницями радіуса в довжину.
Знайдіть рівняння гіперболи в стандартній формі, що відкриває вліво і вправо з вершинами $(\pm \sqrt{5}, 0)$ і сполученою віссю, яка вимірює $10$ одиниці виміру.
З огляду на графік еліпса, визначте його рівняння в загальному вигляді.

4. Прямокутна палуба має площу $80$ квадратних футів і периметр, який вимірює $36$ ноги. Знайдіть розміри колоди.

5. Діагональ прямокутника вимірює $2\sqrt{13}$ сантиметри, а периметр вимірює $20$ сантиметри. Знайдіть розміри прямокутника.

Відповідь

1. $\frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{(y+5)^{2}}{4}=1$

3. $4 x^{2}+25 y^{2}-24 x-100 y+36=0$

5. $6$ сантиметри по $4$ сантиметрам