8.2: Кола

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58367

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Графік кола в стандартній формі.
Визначити рівняння кола за заданим її графіком.
Перепишіть рівняння кола в стандартному вигляді.

Коло в стандартній формі

Коло ⁸ - це сукупність точок в площині, які лежать на фіксованій відстані, званому радіусом ⁹, від будь-якої точки, званої центром. Діаметр ¹⁰ - довжина відрізка лінії, що проходить через центр, кінцеві точки якого знаходяться на колі. Крім того, коло може бути утворений перетином конуса і площини, перпендикулярної осі конуса:

У прямокутній координатній площині, де центр кола з\(r\) радіусом\((h,k)\), ми маємо

Обчисліть відстань між\((h,k)\) і\((x,y)\) використовуючи формулу відстані,

\(\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}=r\)

Квадратування обох сторін призводить нас до рівняння кола в стандартному вигляді ¹¹,

\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)

У такому вигляді видно центр і радіус. Наприклад, враховуючи рівняння,\((x-2)^{2}+(y+5)^{2}=16\) яке ми маємо,

\(\begin{array}{l}{(x-h)^{2}\:+\:(x\:-k)^{2}=r^{2}} \\ \quad\quad\color{Cerulean}{\downarrow}\quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{\downarrow}\quad\quad\color{Cerulean}{\downarrow} \\ {(x-\color{Cerulean}{2}\color{black}{)}^{2}+[y-(\color{Cerulean}{-5}\color{black}{)}]^{2}=\color{Cerulean}{4}^{\color{black}{2}}}\end{array}\)

В даному випадку центром є\((2,−5)\) і\(r=4\). Далі наведено додаткові приклади:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
Рівняння	Центр	Радіус
\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25\)	\((3,4)\)	\(r=5\)
\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=7\)	\((1,-2)\)	\(r=\sqrt{7}\)
\((x+4)^{2}+(y-3)^{2}=1\)	\((-4,3)\)	\(r=1\)
\(x^{2}+(y+6)^{2}=8\)	\((0,-6)\)	\(r=2 \sqrt{2}\)

Графік кола повністю визначається його центром і радіусом.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Графік:\((x-2)^{2}+(y+5)^{2}=16\).

Рішення

Написано в цій формі ми бачимо, що центр є\((2,−5)\) і що радіус\(r=4\) одиниць. Від центру відзначте точки\(4\) одиниць вгору і вниз, а також\(4\) одиниць вліво і вправо.

Потім проведіть по колу через ці чотири точки.

Відповідь:

Як і в будь-якому графіку, ми зацікавлені в пошуку\(x\) - і\(y\) -перехоплення.

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Знайдіть перехоплення:\((x-2)^{2}+(y+5)^{2}=16\).

Рішення

Щоб знайти набір\(y\) -incepts\(x=0\):

\(\begin{aligned}(x-2)^{2}+(y+5)^{2} &=16 \\(\color{Cerulean}{0}\color{black}{-}2)^{2}+(y+5)^{2} &=16 \\ 4+(y+5)^{2} &=16 \end{aligned}\)

Для цього рівняння ми можемо вирішити шляхом вилучення квадратних коренів.

\(\begin{aligned}(y+5)^{2} &=12 \\ y+5 &=\pm \sqrt{12} \\ y+5 &=\pm 2 \sqrt{3} \\ y &=-5 \pm 2 \sqrt{3} \end{aligned}\)

Тому\(y\) -перехоплення є\((0,-5-2 \sqrt{3})\) і\((0,-5+2 \sqrt{3})\). Щоб знайти набір\(x\) -incepts\(y=0\):

\(\begin{aligned}(x-2)^{2}+(y+5)^{2} &=16 \\(x-2)^{2}+(\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}5)^{2} &=16 \\(x-2)^{2}+25 &=16 \\(x-2)^{2} &=-9 \\ x-2 &=\pm \sqrt{-9} \\ x &=2 \pm 3 i \end{aligned}\)

А оскільки рішення складні, ми робимо висновок, що реальних\(x\) -перехоплень немає. Зауважте, що це має сенс, враховуючи графік.

Відповідь:

\(x\)-перехоплює: немає;\(y\) -перехоплює:\((0,-5-2 \sqrt{3})\) і\((0,-5+2 \sqrt{3})\)

З огляду на центр і радіус кола, ми можемо знайти його рівняння.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Графік кола з радіусними\(r=3\) одиницями, зосередженими на\((−1,0)\). Дайте її рівняння в стандартній формі і визначте перехоплення.

Рішення:

Враховуючи, що центр є\((−1,0)\) і радіус є,\(r=3\) ми накидаємо графік наступним чином:

Підставити\(h, k\), і\(r\) знайти рівняння в стандартному вигляді. Так як\((h,k)=(−1,0)\) і у\(r=3\) нас,

\(\begin{aligned} (x-h)^{2}+(y-k)^{2}&=r^{2}\\ [x-(\color{Cerulean}{-1}\color{black}{)}]^{2}+(y-\color{Cerulean}{0}\color{black}{)}^{2}&=\color{Cerulean}{3}\color{black}{^{2}} \\ (x+1)^{2}+y^{2}&=9 \end{aligned}\)

Рівняння кола є\((x+1)^{2}+y^{2}=9\), використовуйте це для визначення\(y\) -перехоплення.

\(\begin{aligned}(x+1)^{2}+y^{2} &=9 \quad \color{Cerulean} { Set\:x=0\: to\: and\: solve\: for\: y. } \\(\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}1)^{2}+y^{2} &=9 \\ 1+y^{2} &=9 \\ y^{2} &=8 \\ y &=\pm \sqrt{8} \\ y &=\pm 2 \sqrt{2} \end{aligned}\)

Тому y-перехоплення є\((0,-2 \sqrt{2})\) і\((0,2 \sqrt{2})\). Знайти\(x\) -перехоплює алгебраїчно, встановити\(y=0\) і вирішити для\(x\); це залишається для читача як вправа.

Відповідь:

Рівняння:\((x+1)^{2}+y^{2}=9\);\(y\) -перехоплює:\((0,-2 \sqrt{2})\) і\((0,2 \sqrt{2})\);\(x\) -перехоплює:\((−4,0)\) і\((2,0)\)

Особливе значення має одиниця окружності ¹²,

\(x^{2}+y^{2}=1\)

Або,

\((x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1^{2}\)

У такому вигляді повинно бути зрозуміло, що центр є\((0,0)\) і що радіус -\(1\) одиниця. Крім того, якщо ми вирішимо для,\(y\) ми отримаємо дві функції:

\(\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=1 \\ y^{2} &=1-x^{2} \\ y &=\pm \sqrt{1-x^{2}} \end{aligned}\)

Функція,\(y=\sqrt{1-x^{2}}\) визначена, є верхньою половиною кола, а функція, визначена,\(y=-\sqrt{1-x^{2}}\) є нижньою половиною одиничного кола:

Вправа\(\PageIndex{1}\):

Графік і позначення перехоплень:\(x^{2}+(y+2)^{2}=25\).

Відповідь:

www.youtube.com/В/КЕКТ9К6

Коло в загальній формі

Ми бачили, що графік кола повністю визначається центром і радіусом, які можна прочитати з його рівняння в стандартній формі. Однак рівняння не завжди дається в стандартній формі. Рівняння кола в загальному вигляді ¹³ виглядає наступним чином:

\(x^{2}+y^{2}+c x+d y+e=0\)

Тут\(c, d\) і\(e\) знаходяться дійсні числа. Наступні кроки для побудови графіка кола, заданого його рівняння в загальній формі.

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Графік:\(x^{2}+y^{2}+6 x-8 y+13=0\).

Рішення

Почніть з перезапису рівняння в стандартному вигляді.

Крок 1: Згрупуйте терміни з однаковими змінними і перемістіть константу в праву сторону. У цьому випадку відніміть з обох\(13\) сторін і згрупуйте терміни за участю\(x\) та терміни, що стосуються\(y\), наступним чином.

\(\begin{aligned} x^{2}+y^{2}+6 x-8 y+13 &=0 \\ \left(x^{2}+6 x+\_\_\_\right)+\left(y^{2}-8 y+\_\_\_\right)&=-13 \end{aligned}\)

Крок 2: Заповніть квадрат для кожного угруповання. Ідея полягає в тому, щоб додати значення, яке завершує квадрат\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\), до обох сторін для обох груп, а потім коефіцієнт. Для термінів, що передбачають\(x\) використання,\(\left(\frac{6}{2}\right)^{2}=3^{2}=9\) і для термінів, пов'язаних з\(y\) використанням\(\left(\frac{-8}{2}\right)^{2}=(-4)^{2}=16\).

\(\begin{array}{c}{\color{black}{\left(x^{2}+6 x\color{Cerulean}{+9}\right)+}\color{black}{\left(y^{2}-8 y\color{OliveGreen}{+16}\right)=}-13\color{Cerulean}{+9}\color{OliveGreen}{+16}} \\ {(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=12}\end{array}\)

Крок 3: Визначте центр і радіус з рівняння в стандартній формі. В даному випадку центром є\((−3,4)\) і радіус\(r=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}\).

Крок 4: Від центру відзначте радіус вертикально і горизонтально, а потім намалюйте коло через ці точки.

Відповідь:

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Визначаємо центр і радіус:\(4 x^{2}+4 y^{2}-8 x+12 y-3=0\).

Рішення

Ми можемо отримати загальну форму, попередньо розділивши обидві сторони на\(4\).

\(\frac{4 x^{2}+4 y^{2}-8 x+12 y-3}{4}=\frac{0}{4}\)
\(x^{2}+y^{2}-2 x+3 y-\frac{3}{4}=0\)

Тепер, коли ми маємо загальну форму для кола, де обидва терміни ступеня два мають провідний коефіцієнт\(1\), ми можемо використовувати кроки для перезапису його в стандартному вигляді. Почніть з додавання\(\frac{3}{4}\) до обох сторін і групи змінних, які є однаковими.

\(\left(x^{2}-2 x+\_\_\_\right)+\left(y^{2}+3 y+\_\_\_\right)=\frac{3}{4}\)

Далі завершити квадрат для обох угруповань. \(\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1\)Використовується для першого угруповання і\(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}\) для другого групування.

\(\begin{aligned}\color{black}{\left(x^{2}-2 x\color{Cerulean}{+1}\right)+}\color{black}{\left(y^{2}+3 y\color{OliveGreen}{+\frac{9}{4}}\right)}&=\frac{3}{4}\color{Cerulean}{+1}\color{OliveGreen}{+\frac{9}{4}} \\ (x-1)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2} &=\frac{16}{4} \\ (x-1)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}&=4\end{aligned}\)

Відповідь:

Центр:\(\left(1,-\frac{3}{2}\right)\); радіус дії:\(r=2\)

Підсумовуючи, для перетворення зі стандартної форми в загальну форму ми множимо, а для перетворення із загальної форми в стандартну форму ми заповнюємо квадрат.

Вправа\(\PageIndex{2}\):

Графік:\(x^{2}+y^{2}-10 x+2 y+21=0\).

Відповідь:

www.youtube.com/В/MS8NQS6S

Ключові винос

Графік кола повністю визначається його центром і радіусом.
Стандартною формою рівняння кола є\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\). Центр є\((h,k)\) і радіус вимірює\(r\) одиниці.
Для графіка кола позначте\(r\) точки вгору, вниз, вліво і праворуч від центру. Намалюйте коло через ці чотири точки.
Якщо рівняння кола задано в загальному вигляді\(x^{2}+y^{2}+c x+d y+e=0\), згрупуйте терміни з однаковими змінними і заповніть квадрат для обох групувань. Це призведе до стандартної форми, з якої ми зможемо зчитувати центр і радіус кола.
Ми визнаємо рівняння кола, якщо воно квадратичне в обох\(x\) і\(y\) де коефіцієнт квадратних членів однаковий.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Визначте центр і радіус за даними рівняння окружності в стандартному вигляді.

\((x-5)^{2}+(y+4)^{2}=64\)
\((x+9)^{2}+(y-7)^{2}=121\)
\(x^{2}+(y+6)^{2}=4\)
\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)
\((x+1)^{2}+(y+1)^{2}=7\)
\((x+2)^{2}+(y-7)^{2}=8\)

Відповідь

1. Центр:\((5, −4)\); радіус дії:\(r = 8\)

3. Центр:\((0, −6)\); радіус дії:\(r = 2\)

5. Центр:\((−1, −1)\); радіус дії:\(r = \sqrt{7}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Визначте стандартну форму для рівняння окружності, заданої її центром і радіусом.

Центр\((5, 7)\) з радіусом\(r = 7\).
Центр\((−2, 8)\) з радіусом\(r = 5\).
Центр\((6, −11)\) з радіусом\(r = \sqrt{2}\).
Центр\((−4, −5)\) з радіусом\(r = \sqrt{6}\).
Центр\((0, −1)\) з радіусом\(r = 2\sqrt{5}\).
Центр\((0, 0)\) з радіусом\(r = 3\sqrt{10}\).

Відповідь

1. \((x-5)^{2}+(y-7)^{2}=49\)

3. \((x-6)^{2}+(y+11)^{2}=2\)

5. \(x^{2}+(y+1)^{2}=20\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Графік.

\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\)
\((x+3)^{2}+(y-3)^{2}=25\)
\((x-2)^{2}+(y+6)^{2}=4\)
\((x+6)^{2}+(y+4)^{2}=36\)
\(x^{2}+(y-4)^{2}=1\)
\((x-3)^{2}+y^{2}=4\)
\(x^{2}+y^{2}=12\)
\(x^{2}+y^{2}=8\)
\((x-7)^{2}+(y-6)^{2}=2\)
\((x+2)^{2}+(y-5)^{2}=5\)
\((x+3)^{2}+(y-1)^{2}=18\)
\((x-3)^{2}+(y-2)^{2}=15\)

Відповідь

11.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплює.

\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\)
\((x+5)^{2}+(y-3)^{2}=25\)
\(x^{2}+(y-4)^{2}=1\)
\((x-3)^{2}+y^{2}=18\)
\(x^{2}+y^{2}=50\)
\(x^{2}+(y+9)^{2}=20\)
\((x-4)^{2}+(y+5)^{2}=10\)
\((x+10)^{2}+(y-20)^{2}=400\)

Відповідь

1. \(x\)-перехоплює:\((1 \pm \sqrt{5}, 0)\);\(y\) -перехоплює:\((0,2 \pm 2 \sqrt{2})\)

3. \(x\)-перехоплює: немає;\(y\) -перехоплює:\((0, 3), (0, 5)\)

5. \(x\)-перехоплює:\((\pm 5 \sqrt{2}, 0)\);\(y\) -перехоплює:\((0, \pm 5 \sqrt{2})\)

7. \(x\)-перехоплює: немає;\(y\) -перехоплює: ніхто

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайдіть рівняння кола.

Коло з центром,\((1, −2)\) що проходить через\((3, −4)\).
Коло з центром,\((−4, −1)\) що проходить через\((0, −3)\).
Коло, діаметр якого визначається\((5, 1)\) і\((−1, 7)\).
Коло, діаметр якого визначається\((−5, 7)\) і\((−1, −5)\).
Коло з центром\((5, −2)\) і площею\(9π\) квадратних одиниць.
Коло з центром\((−8, −3)\) і окружністю\(12π\) квадратних одиниць.
Знайдіть площу кола за допомогою рівняння\((x+12)^{2} \pm(x-5)^{2}=7\).
Знайдіть окружність кола за допомогою рівняння\((x+1)^{2}+(y+5)^{2}=8\).

Відповідь

1. \((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=8\)

3. \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=18\)

5. \((x-5)^{2}+(y+2)^{2}=9\)

7. \(7π\)квадратні одиниці

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Перепишіть в стандартній формі і графі.

\(x^{2}+y^{2}+4 x-2 y-4=0\)
\(x^{2}+y^{2}-10 x+2 y+10=0\)
\(x^{2}+y^{2}+2 x+12 y+36=0\)
\(x^{2}+y^{2}-14 x-8 y+40=0\)
\(x^{2}+y^{2}+6 y+5=0\)
\(x^{2}+y^{2}-12 x+20=0\)
\(x^{2}+y^{2}+8 x+12 y+16=0\)
\(x^{2}+y^{2}-20 x-18 y+172=0\)
\(4 x^{2}+4 y^{2}-4 x+8 y+1=0\)
\(9 x^{2}+9 y^{2}+18 x+6 y+1=0\)
\(x^{2}+y^{2}+4 x+8 y+14=0\)
\(x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-15=0\)
\(x^{2}+y^{2}-x-2 y+1=0\)
\(x^{2}+y^{2}-x+y-\frac{1}{2}=0\)
\(4 x^{2}+4 y^{2}+8 x-12 y+5=0\)
\(9 x^{2}+9 y^{2}+12 x-36 y+4=0\)
\(2 x^{2}+2 y^{2}+6 x+10 y+9=0\)
\(9 x^{2}+9 y^{2}-6 x+12 y+4=0\)

Відповідь

1. \((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9\);

3. \((x+1)^{2}+(y+6)^{2}=1\);

5. \(x^{2}+(y+3)^{2}=4\);

7. \((x+4)^{2}+(y+6)^{2}=36\);

9. \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}=1\);

11. \((x+2)^{2}+(y-4)^{2}=6\);

13. \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{1}{4}\);

15. \((x+1)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=2\);

17. \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}=4\);

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Задано коло в загальному вигляді, визначають перехоплення.

\(x^{2}+y^{2}-5 x+3 y+6=0\)
\(x^{2}+y^{2}+x-2 y-7=0\)
\(x^{2}+y^{2}-6 y+2=2\)
\(x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+5=0\)
\(2 x^{2}+2 y^{2}-3 x-9=0\)
\(3 x^{2}+3 y^{2}+8 y-16=0\)
Визначте площу кола, рівняння якої є\(x^{2}+y^{2}-2 x-6 y-35=0\).
Визначте площу кола, рівняння якої є\(4 x^{2}+4 y^{2}-12 x-8 y-59=0\).
Визначте окружність кола, рівняння якого є\(x^{2}+y^{2}-5 x+1=0\).
Визначте окружність кола, рівняння якого є\(x^{2}+y^{2}+5 x-2 y+3=0\).
Знайти загальний вигляд рівняння окружності з центром при\((−3, 5)\) проходженні\((1, −2)\).
Знайти загальний вигляд рівняння окружності з центром при\((−2, −3)\) проходженні\((−1, 3)\).

Відповідь

1. \(x\)-перехоплює:\((2, 0), (3, 0)\);\(y\) -перехоплює: немає

3. \(x\)-перехоплює:\((0, 0)\);\(y\) -перехоплює:\((0, 0), (0, 6)\)

5. \(x\)-перехоплює:\((−\frac{3}{2}, 0), (3, 0)\);\(y\) -перехоплює:\(\left(0, \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)\)

7. \(45π\)квадратні одиниці

9. \(π\sqrt{21}\)одиниць

11. \(x^{2}+y^{2}+6 x-10 y-31=0\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

З огляду на графік кола, визначають його рівняння в загальному вигляді.

Відповідь

1. \(x^{2}+y^{2}-6 x+10 y+18=0\)

3. \(x^{2}+y^{2}+2 y=0\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Центр кола є частиною графіка? Поясніть.
Складіть своє коло, напишіть його в загальному вигляді, і зробіть графік.
Поясніть, як ми можемо визначити різницю між рівнянням параболи в загальному вигляді і рівнянням кола в загальному вигляді. Наведемо приклад.
Чи всі кола мають перехоплення? Які можливі номери перехоплень? Проілюструйте своє пояснення графіками.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁸ Коло - це сукупність точок на площині, які лежать на фіксованій відстані від заданої точки, яка називається центром.

⁹ Фіксована відстань від центру кола до будь-якої точки на колі.

¹⁰ Довжина відрізка лінії, що проходить через центр кола, кінцеві точки якого знаходяться на колі.

¹¹ Рівняння кола записано у вигляді\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) де\((h, k)\) центр і\(r\) є радіусом.

¹² Коло, центроване на початку з радіусом\(1\); його рівняння є\(x^{2} + y^{2} = 1\).

¹³ Рівняння кола записано у вигляді\(x^{2} + y^{2} + cx + dy + e = 0\).