8.4: Гіперболи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58377

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Графік гіперболи в стандартній формі.
Визначте рівняння гіперболи за заданим її графіком.
Перепишіть рівняння гіперболи в стандартній формі.
Визначте конічний переріз із заданням його рівняння.

Гіпербола в стандартній формі

Гіпербола ²³ - це сукупність точок на площині, відстані яких від двох нерухомих точок, званих вогнищами, має абсолютну різницю, яка дорівнює позитивній константі. Іншими словами, якщо точки$F_{1}$ і$F_{2}$ є осередками і$d$ є деякою заданою позитивною константою, то$(x,y)$ це точка на гіперболі, якщо$d=\left|d_{1}-d_{2}\right|$ як на малюнку нижче:

Крім того, гіпербола утворюється перетином конуса з косою площиною, яка перетинає підставу. Він складається з двох окремих кривих, званих гілками ²⁴. Точки на окремих гілках графа, де відстань знаходиться на мінімумі, називаються вершинами ²⁵. Серединою між вершинами гіперболи є її центр. На відміну від параболи, гіпербола асимптотична до певних ліній, проведених через центр. У цьому розділі ми зупинимося на графіку гіпербол, які відкриваються вліво і вправо або вгору і вниз.

Асимптоти малюються пунктирними, оскільки вони не є частиною графіка; вони просто вказують на кінцеву поведінку графіка. Рівняння гіперболи, що відкривається вліво і вправо в стандартному вигляді ²⁶, виглядає наступним чином:

\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 \nonumber\]

Тут центр є$(h,k)$ і вершини$(h±a,k)$. Рівняння гіперболи, що відкривається вгору і вниз в стандартній формі ²⁷, виглядає наступним чином:

\[\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}=1 \nonumber\]

Тут центр є$(h,k)$ і вершини$(h,k±b)$.

Асимптоти мають важливе значення для визначення форми будь-якої гіперболи. За стандартною формою асимптоти є лінії, що проходять через центр$(h,k)$ з нахилом$m=\pm \frac{b}{a}$. Щоб легко намалювати асимптоти, ми використовуємо два спеціальні відрізки лінії через центр за допомогою$a$ і$b$. З огляду на будь-яку гіперболу, поперечна вісь ²⁸ - це відрізок лінії, утворений її вершинами. Сполучений вісь ²⁹ - це відрізок лінії через центр, перпендикулярний поперечній осі, як показано нижче:

Прямокутник, який визначається поперечною і сполученою осями, називається основним прямокутником ³⁰. Лінії через кути цього прямокутника мають ухили$m=\pm \frac{b}{a}$. Ці лінії є асимптотами, які визначають форму гіперболи. Тому, з огляду на стандартну форму, багато властивостей гіперболи очевидні.

Таблиця$\PageIndex{1}$
Рівняння	Центр	$a$	$b$	Відкриває
$\frac{(x-3)^{2}}{25}-\frac{(y-5)^{2}}{16}=1$	$(3,5)$	\ (a\) ">$a=5$	\ (b\) ">$b=4$	Ліворуч і праворуч
$\frac{(y-2)^{2}}{36}-\frac{(x+1)^{2}}{9}=1$	$(-1,2)$	\ (a\) ">$a=3$	\ (b\) ">$b=6$	Вгору і вниз
$\frac{(y+2)^{2}}{3}-(x-5)^{2}=1$	$(5,-2)$	\ (a\) ">$a=1$	\ (b\) ">$b=\sqrt{3}$	Вгору і вниз
$\frac{x^{2}}{49}-\frac{(y+4)^{2}}{8}=1$	$(0,-4)$	\ (a\) ">$a=7$	\ (b\) ">$b=2 \sqrt{2}$	Ліворуч і праворуч

Графік гіперболи повністю визначається її центром, вершинами та асимптотами.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Графік:$\frac{(x-5)^{2}}{9}-\frac{(y-4)^{2}}{4}=1$.

Рішення:

При цьому вираз за участю$x$ має позитивний провідний коефіцієнт; отже, гіпербола відкривається вліво і вправо. Ось$a=\sqrt{9}=3$ і$b=\sqrt{4}=2$. Від центру$(5,4)$ відзначте точки$3$ одиниць вліво і вправо, а також$2$ одиниці вгору і вниз. З'єднайте ці точки прямокутником наступним чином:

Лінії через кути цього прямокутника визначають асимптоти.

Використовуйте ці пунктирні лінії як орієнтир для графіка гіперболи, що відкриваються вліво і вправо, що проходять через вершини.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{2}$:

Графік:$\frac{(y-2)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{36}=1$.

Рішення

При цьому вираз за участю$y$ має позитивний провідний коефіцієнт; отже, гіпербола відкривається вгору і вниз. Ось$a=\sqrt{36}=6$ і$b=\sqrt{4}=2$. Від центру$(−1,2)$ відзначте точки$6$ одиниць вліво і вправо, а також$2$ одиниці вгору і вниз. З'єднайте ці точки прямокутником. Лінії через кути цього прямокутника визначають асимптоти.

Використовуйте ці пунктирні лінії як орієнтир для графіка гіперболи, що відкривається вгору і вниз, що проходить через вершини.

Відповідь:

Примітка

Коли дана гіпербола, що відкривається вгору і вниз, як і в попередньому прикладі, це поширена помилка обміну значеннями для центру,$h$ і$k$. Це відбувається тому, що кількість, що включає змінну,$y$ зазвичай з'являється спочатку у стандартній формі. Подбайте про те, щоб$y$ -значення центру походить від величини, що включає змінну,$y$ і що$x$ -значення центру отримується з кількості, що включає змінну$x$.

Як і в будь-якому графіку, ми зацікавлені в пошуку$x$ - і$y$ -перехоплення.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Знайдіть перехоплення:$\frac{(y-2)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{36}=1$.

Рішення

Щоб знайти$x$ -перехоплення встановити$y=0$ і вирішити для$x$.

\[\begin{align*} \frac{(\color{Cerulean}{0}\color{black}{-}2)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{36} &=1 \\[4pt] 1-\frac{(x+1)^{2}}{36} &=1 \\[4pt] -\frac{(x+1)^{2}}{36} &=0 \\[4pt] (x+1)^{2} &=0 \\[4pt] x+1 &=0 \\[4pt] x &=-1 \end{align*}\]

Тому є тільки один$x$ -перехоплення,$(−1,0)$. Щоб знайти набір$y$ -intercept$x=0$ і вирішити для$y$.

\[\begin{align*} \frac{(y-2)^{2}}{4}-\frac{(\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}1)^{2}}{36} &=1 \\[4pt] \frac{(y-2)^{2}}{4}-\frac{1}{36} &=1 \\[4pt] \frac{(y-2)^{2}}{4} &=\frac{37}{36} \\[4pt] \frac{(y-2)}{2} &=\frac{\sqrt{37}}{36} \\[4pt] y-2 &=\pm \frac{\sqrt{37}}{3} \\[4pt] y &=2 \pm \frac{\sqrt{37}}{3}=\frac{6 \pm \sqrt{37}}{3} \end{align*}\]

Тому є два$y$ -перехоплення,$\left(0, \frac{6-\sqrt{37}}{3}\right) \approx(0,-0.03)$$\left(0, \frac{6+\sqrt{37}}{3}\right) \approx(0,4.03)$ і.Візьміть хвилинку, щоб порівняти їх з ескізом графіка в попередньому прикладі.

Відповідь:

$x$-перехоплення:$(−1,0)$;$y$ -перехоплює:$\left(0, \frac{6-\sqrt{37}}{3}\right)$ і$\left(0, \frac{6+\sqrt{37}}{3}\right)$.

Розглянемо гіперболу, зосереджену на початку,

\[9 x^{2}-5 y^{2}=45\nonumber\]

Стандартна форма вимагає, щоб одна сторона була рівною$1$. В цьому випадку ми можемо отримати стандартну форму, розділивши обидві сторони на$45$.

\[\begin{align*} \frac{9 x^{2}-5 y^{2}}{45} &=\frac{45}{45} \\[4pt] \frac{9 x^{2}}{45}-\frac{5 y^{2}}{45} &=\frac{45}{45} \\[4pt] \frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{9} &=1 \end{align*}\]

Це можна записати наступним чином:

\[\frac{(x-0)^{2}}{5}-\frac{(y-0)^{2}}{9}=1\nonumber\]

У такому вигляді зрозуміло, що центр є$(0,0)$$a=\sqrt{5}$, і$b=3$. Далі йде графік.

Вправа$\PageIndex{1}$:

Графік:$\frac{y^{2}}{25}-\frac{(x-5)^{2}}{9}=1$:

Відповідь:

www.youtube.com/В/ІІТ1К

Гіпербола в загальній формі

Ми бачили, що граф гіперболи повністю визначається його центром, вершинами та асимптотами; що можна прочитати з його рівняння в стандартній формі. Однак рівняння не завжди дається в стандартній формі. Рівняння гіперболи в загальному вигляді ³¹ виглядає наступним чином:

$\begin{array}{l}{p x^{2}-q y^{2}+c x+d y+e=0\quad \color{Cerulean} { Hyperbola \:opens\: left\: and\: right.}} \\[4pt] {q y^{2}-p x^{2}+c x+d y+e=0\quad \color{Cerulean} { Hyperbola \:opens\: upward\: and\: downward.}}\end{array}$

де$p,q>0$. Етапи побудови графіка гіперболи з урахуванням її рівняння в загальному вигляді викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Графік:$4 x^{2}-9 y^{2}+32 x-54 y-53=0$.

Рішення

Почніть з перезапису рівняння в стандартному вигляді.

Крок 1: Згрупуйте терміни з однаковими змінними і перемістіть константу в праву сторону. Фактор так, що провідний коефіцієнт кожної угруповання є$1$.

$\begin{aligned} 4 x^{2}-9 y^{2}+32 x-54 y-53 &=0 \\[4pt] \left(4 x^{2}+32 x+\_\_\_\right )+\left(-9 y^{2}-54 y+\_\_\_\right)&=53 \\[4pt] 4\left(x^{2}+8x+\_\_\_ \right)-9\left(y^{2}+6y+\_\_\_ \right)&=53 \end{aligned}$

Крок 2: Заповніть квадрат для кожного угруповання. У цьому випадку для термінів, що передбачають$x$ використання,$\left(\frac{8}{2}\right)^{2}=4^{2}=16$ і для термінів, пов'язаних з$y$ використанням$\left(\frac{6}{2}\right)^{2}=(3)^{2}=9$. Коефіцієнт перед кожним угрупованням впливає на значення, яке використовується для збалансування рівняння праворуч,

$4\color{black}{\left(x^{2}+8 x\color{Cerulean}{+16}\right)-}9\color{black}{\left(y^{2}+6 y\color{OliveGreen}{+9}\right)=}53\color{Cerulean}{+64}\color{OliveGreen}{-81}$

Через властивість distributive додавання$16$ всередині першого групування еквівалентно додаванню$4⋅16=64$. Аналогічно, додавання$9$ всередині другого групування еквівалентно додаванню$−9⋅9=−81$. Тепер коефіцієнт, а потім ділимо, щоб отримати$1$ на правій стороні.

$\begin{aligned} 4(x+4)^{2}-9(y+3)^{2} &=36 \\[4pt] \frac{4(x+4)^{2}-9(y+3)^{2}}{\color{Cerulean}{36}} &\color{black}{=}\frac{36}{\color{Cerulean}{36}} \\[4pt] \frac{4(x+4)^{2}}{36}-\frac{9(y+3)^{2}}{36} &=\frac{36}{36} \\[4pt] \frac{(x+4)^{2}}{9}-\frac{(y+3)^{2}}{4} &=1 \end{aligned}$

Крок 3: Визначте центр, a та b, а потім використовуйте цю інформацію для ескізу графіка. При цьому центр - це$(−4,−3)$$a=\sqrt{9}=3$, і$b=\sqrt{4}=2$. Оскільки провідний коефіцієнт виразу за участю$x$ є позитивним, а коефіцієнт виразу, що включає$y$ негативний, ми графуємо гіперболу, що відкривається вліво і вправо.

Відповідь:

Вправа$\PageIndex{2}$:

Графік:$4 y^{2}-x^{2}-40 y-12 x+60=0$.

Відповідь:

www.youtube.com/В/С4Ф6ІЗЛГВГС

Визначення конічних перерізів

У цьому розділі завдання полягає у визначенні конічного перерізу з урахуванням його рівняння в загальному вигляді. Для розрізнення конічних перерізів використовують показники і коефіцієнти. Якщо рівняння квадратичне тільки в одній змінній і лінійне в іншій, то його графік буде параболою.

Таблиця$\PageIndex{2}$
Парабола:$a>0$
\ (a>0\) ">$y=a(x-h)^{2}+k$ $y=a x^{2}+b x+c$	$x=a(y-k)^{2}+h$ $x=a y^{2}+b y+c$
\ (a>0\) "> $альт$ *Малюнок$\PageIndex{15}$*	$альт$ *Малюнок$\PageIndex{16}$*

Таблиця$\PageIndex{3}$
Парабола:$a<0$
\ (a<0\) ">$y=a(x-h)^{2}+k$ $y=a x^{2}+b x+c$	$x=a(y-k)^{2}+h$ $x=a y^{2}+b y+c$
\ (a<0\) "> $альт$ *Малюнок$\PageIndex{17}$*	$альт$ *Малюнок$\PageIndex{18}$*

Якщо рівняння квадратичне в обох змінних, де коефіцієнти квадратних членів однакові, то його графік буде колом.

Таблиця$\PageIndex{4}$
Коло:
$\begin{aligned}(x-h)^{2}+(y-k)^{2} &=r^{2} \\[4pt] x^{2}+y^{2}+c x+d y+e &=0 \end{aligned}$	$альт$ *Малюнок$\PageIndex{19}$*

Якщо рівняння квадратичне в обох змінних, де коефіцієнти квадратних членів різні, але мають однаковий знак, то його графік буде еліпсом.

Таблиця$\PageIndex{5}$
Еліпс:$a, b>0$ і$p, q>0$
\ (a, b>0\) і$p, q>0$ «>$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ $p x^{2}+q y^{2}+c x+d y+e=0$	$альт$ *Малюнок$\PageIndex{20}$*

Якщо рівняння квадратичне в обох змінних, де коефіцієнти квадратних членів мають різні ознаки, то його графік буде гіперболою.

Таблиця$\PageIndex{6}$
Гіпербола:$a, b>0$ і$p, q>0$
$\begin{aligned} \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} &=1 \\[4pt] p x^{2}-q y^{2}+c x+d y+e &=0 \end{aligned}$	$\begin{aligned} \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} &=1 \\[4pt] q y^{2}-p x^{2}+c x+d y+e &=0 \end{aligned}$
$альт$ *Малюнок$\PageIndex{21}$*	$альт$ *Малюнок$\PageIndex{22}$*

Приклад$\PageIndex{5}$:

Визначте графік кожного рівняння як параболу, коло, еліпс або гіперболу.

$4 x^{2}+4 y^{2}-1=0$
$3 x^{2}-2 y^{2}-12=0$
$x-y^{2}-6 y+11=0$

Рішення

1. Рівняння квадратичне в обох$x$ і$y$ де провідні коефіцієнти для обох змінних однакові,$4$.

$\begin{aligned} 4 x^{2}+4 y^{2}-1 &=0 \\[4pt] 4 x^{2}+4 y^{2} &=1 \\[4pt] x^{2}+y^{2} &=\frac{1}{4} \end{aligned}$

Це рівняння окружності з центром у початку координат з радіусом$1/2$.

2. Рівняння квадратичне в обох$x$ і$y$ де провідні коефіцієнти для обох змінних мають різні ознаки.

$3 x^{2}-2 y^{2}-12=0$
$\frac{3 x^{2}-2 y^{2}}{12}=\frac{12}{12}$
$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}=1$

Це рівняння гіперболи, що відкривається вліво і вправо по центру у початку.

3. Рівняння є квадратичним$y$ тільки в.

$\begin{aligned} x-y^{2}+6 y-11 &=0 \\[4pt] x &=y^{2}-6 y+\quad+11 \\[4pt] x &=\color{black}{\left(y^{2}-6 y\color{Cerulean}{+9}\right)+}11\color{Cerulean}{-9} \\[4pt] x &=(y-3)^{2}+2 \end{aligned}$

Це рівняння параболи, що відкривається праворуч з вершиною$(2,3)$.

Відповідь:

1. Коло

2. Гіпербола

3. Парабола

Ключові винос

Графік гіперболи повністю визначається її центром, вершинами та асимптотами.
Центр, вершини та асимптоти очевидні, якщо рівняння гіперболи дано в стандартній формі:$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ або$\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}=1$.
Щоб намалювати гіперболу, позначте точки$a$ одиниці ліворуч і праворуч від центру і точки$b$ одиниць вгору і вниз від центру. Використовуйте ці точки, щоб намалювати основний прямокутник; лінії через кути цього прямокутника є асимптотами. Якщо коефіцієнт$x^{2}$ позитивний, проведіть гілки гіперболи, що відкриваються вліво і вправо, через визначені точки$a$. Якщо коефіцієнт$y^{2}$ позитивний, проведіть гілки гіперболи, що відкриваються вгору і вниз через визначені точки$b$.
Орієнтація поперечної осі залежить від коефіцієнта$x^{2}$ і$y^{2}$.
Якщо рівняння гіперболи дано в загальному вигляді$p x^{2}-q y^{2}+c x+d y+e=0$ або$q y^{2}-p x^{2}+c x+d y+e=0$ де$p,q>0$, згрупуйте члени з однаковими змінними та заповніть квадрат для обох груп, щоб отримати стандартну форму.
Ми визнаємо рівняння гіперболи, якщо воно квадратичне в обох$x$ і$y$ де коефіцієнти квадратних членів протилежні за знаком.

Вправа$\PageIndex{3}$

З огляду на рівняння гіперболи в стандартній формі, визначають її центр, в який бік відкривається граф, і вершини.

$\frac{(x-6)^{2}}{16}-\frac{(y+4)^{2}}{9}=1$
$\frac{(y-3)^{2}}{25}-\frac{(x+1)^{2}}{64}=1$
$\frac{(y+9)^{2}}{5}-x^{2}=1$
$\frac{(x-5)^{2}}{12}-y^{2}=1$
$4(y+10)^{2}-25(x+1)^{2}=100$
$9(x-1)^{2}-5(y+10)^{2}=45$

Відповідь

1. Центр:$(6,-4) ; a=4 ; b=3$; відкриває вліво і вправо; вершини:$(2, −4), (10, −4)$

3. Центр:$(0,-9) ; a=1, b=\sqrt{5}$; відкривається вгору і вниз; вершини:$(0,-9-\sqrt{5}),(0,-9+\sqrt{5})$

5. Центр:$(−1, −10); a = 2, b = 5$; відкривається вгору і вниз; вершини:$(−1, −15) , (−1, −5)$

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначити стандартну форму для рівняння гіперболи дано наступну інформацію.

Центр$(2,7), a=6, b=3,$ відкривається вліво і вправо.
Центр$(-9,1), a=7, b=2,$ відкривається вгору і вниз.
Центр$(10,-3), a=\sqrt{7}, b=5 \sqrt{2},$ відкривається вгору і вниз.
Центр$(-7,-2), a=3 \sqrt{3}, b=\sqrt{5},$ відкривається вліво і вправо.
Центр$(0,-8), a=\sqrt{2} b=1,$ відкривається вгору і вниз.
Центр$(0,0), a=2 \sqrt{6}, b=4,$ відкривається вліво і вправо.

Відповідь

1. $\frac{(x-2)^{2}}{36}-\frac{(y-7)^{2}}{9}=1$

3. $\frac{(y+3)^{2}}{50}-\frac{(x-10)^{2}}{7}=1$

5. $\frac{(y+8)^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{2}=1$

Вправа$\PageIndex{5}$

Графік.

$\frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y+1)^{2}}{16}=1$
$\frac{(x+3)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{25}=1$
$\frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y+3)^{2}}{1}=1$
$\frac{(y+2)^{2}}{9}-\frac{(x+2)^{2}}{36}=1$
$\frac{(y-1)^{2}}{4}-\frac{(x-2)^{2}}{16}=1$
$(y+2)^{2}-\frac{(x+3)^{2}}{9}=1$
$4(x+3)^{2}-9(y-3)^{2}=36$
$16 x^{2}-4(y-1)^{2}=64$
$4(y-1)^{2}-25 x^{2}=100$
$9 y^{2}-16 x^{2}=144$
$\frac{(x-2)^{2}}{12}-\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x+2)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{8}=1$
$\frac{(y+1)^{2}}{5}-\frac{(x-3)^{2}}{2}=1$
$\frac{(y-4)^{2}}{3}-\frac{(x+6)^{2}}{18}=1$
$4 x^{2}-3(y-3)^{2}=12$
$7(x+1)^{2}-2 y^{2}=14$
$6 y^{2}-3 x^{2}=18$
$10 x^{2}-3 y^{2}=30$

Відповідь

11.

13.

15.

17.

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть$x$ - і$y$ -перехоплює.

$\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y-4)^{2}}{4}=1$
$\frac{(x+4)^{2}}{16}-\frac{(y-3)^{2}}{9}=1$
$\frac{(y-1)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{36}=1$
$\frac{(y+2)^{2}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{16}=1$
$2 x^{2}-3(y-1)^{2}=12$
$6(x-5)^{2}-2 y^{2}=12$
$36 x^{2}-2 y^{2}=9$
$6 y^{2}-4 x^{2}=2$
Знайдіть рівняння гіперболи з вершинами$(±2, 3)$ і сполученою віссю, яка вимірює$12$ одиниці виміру.
Знайдіть рівняння гіперболи з вершинами$(4, 7)$$(4, 3)$ та сполученою віссю, яка вимірює$6$ одиниці виміру.

Відповідь

1. $x$-перехоплює:$(1 \pm 3 \sqrt{5}, 0)$$y$ -перехоплює: немає

3. $x$-перехоплює: жоден$y$ -перехоплює:$\left(0, \frac{3 \pm \sqrt{37}}{3}\right)$

5. $x$-перехоплює:$\left(\pm \frac{\sqrt{30}}{2}, 0\right)$$y$ -перехоплює: немає

7. $x$-перехоплює:$\left(\pm \frac{1}{2}, 0\right)$$y$ -перехоплює: немає

9. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{36}=1$

Вправа$\PageIndex{7}$

Перепишіть в стандартній формі і графі.

$4 x^{2}-9 y^{2}+16 x+54 y-101=0$
$9 x^{2}-25 y^{2}-18 x-100 y-316=0$
$4 y^{2}-16 x^{2}-64 x+8 y-124=0$
$9 y^{2}-4 x^{2}-24 x-72 y+72=0$
$y^{2}-36 x^{2}-72 x-12 y-36=0$
$9 y^{2}-x^{2}+8 x-36 y+11=0$
$36 x^{2}-4 y^{2}+24 y-180=0$
$x^{2}-25 y^{2}-2 x-24=0$
$25 x^{2}-64 y^{2}+200 x+640 y-2,800=0$
$49 y^{2}-4 x^{2}+40 x+490 y+929=0$
$3 x^{2}-2 y^{2}+24 x+8 y+34=0$
$4 x^{2}-8 y^{2}-24 x+80 y-196=0$
$3 y^{2}-x^{2}-2 x-6 y-16=0$
$12 y^{2}-5 x^{2}+40 x+48 y-92=0$
$4 x^{2}-16 y^{2}+12 x+16 y-11=0$
$4 x^{2}-y^{2}-4 x-2 y-16=0$
$4 y^{2}-36 x^{2}+108 x-117=0$
$4 x^{2}-9 y^{2}+8 x+6 y-33=0$

Відповідь

1. $\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-3)^{2}}{4}=1$;

3. $\frac{(y+1)^{2}}{16}-\frac{(x+2)^{2}}{4}=1$;

5. $\frac{(y-6)^{2}}{36}-(x+1)^{2}=1$;

7. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{36}=1$;

9. $\frac{(x+4)^{2}}{64}-\frac{(y-5)^{2}}{25}=1$;

11. $\frac{(x+4)^{2}}{2}-\frac{(y-2)^{2}}{3}=1$;

13. $\frac{(y-1)^{2}}{6}-\frac{(x+1)^{2}}{18}=1$;

15. $\frac{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}{4}-\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}{1}=1$

17. $\frac{y^{2}}{9}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=1$;

Вправа$\PageIndex{8}$

З огляду на загальну форму, визначають перехоплення.

$3 x^{2}-y^{2}-11 x-8 y-4=0$
$4 y^{2}-8 x^{2}+2 x+9 y-9=0$
$x^{2}-y^{2}+2 x+2 y-4=0$
$y^{2}-x^{2}+6 y-8 x-16=0$
$5 x^{2}-2 y^{2}-4 x-3 y=0$
$2 x^{2}-3 y^{2}-4 x-5 y+1=0$

Відповідь

1. $x$-перехоплює:$\left(-\frac{1}{3}, 0\right),(4,0) ; y$ -перехоплює:$(0,-4 \pm 2 \sqrt{3})$

3. $x$-перехоплює:$(-1 \pm \sqrt{5}, 0) ; y$ -перехоплює: немає

5. $x$-перехоплює:$(0,0),\left(\frac{4}{5}, 0\right) ; y$ -перехоплює:$(0,0),\left(0,-\frac{3}{2}\right)$

Вправа$\PageIndex{9}$

Знайдіть рівняння асимптотів заданої гіперболи.

$\frac{(y-5)^{2}}{9}-\frac{(x+8)^{2}}{16}=1$
$\frac{(x+9)^{2}}{36}-\frac{(y-4)^{2}}{4}=1$
$16 x^{2}-4 y^{2}-24 y-96 x+44=0$
$4 y^{2}-x^{2}-8 y-4 x-4=0$

Відповідь

1. $y=-\frac{3}{4} x-1, y=\frac{3}{4} x+11$

3. $y=-2 x+3, y=2 x-9$

Вправа$\PageIndex{10}$

З огляду на графік гіперболи, визначають її рівняння в загальному вигляді.

Відповідь

1. $x^{2}-9 y^{2}-4 x+18 y-41=0$

3. $25 y^{2}-4 x^{2}-100 y+8 x-4=0$

Вправа$\PageIndex{11}$

Визначте наступне як рівняння прямої, параболи, кола, еліпса або гіперболи.

$x^{2}+y^{2}+10 x-2 y+23=0$
$x^{2}+y+2 x-3=0$
$2 x^{2}+y^{2}-12 x+14=0$
$3 x-2 y=24$
$x^{2}-y^{2}+36=0$
$4 x^{2}+4 y^{2}-32=0$
$x^{2}-y^{2}-2 x+2 y-1=0$
$x-y^{2}+2 y+1=0$
$3 x+3 y+5=0$
$8 x^{2}+4 y^{2}-144 x-12 y+641=0$

Відповідь

1. Коло

3. Еліпс

5. Гіпербола

7. Гіпербола

9. Лінія

Вправа$\PageIndex{12}$

Визначте конічні перетину і перепишіть в стандартному вигляді.

$x^{2}-y-6 x+11=0$
$x^{2}+y^{2}-12 x-6 y+44=0$
$x^{2}-2 y^{2}-4 x-12 y-18=0$
$25 y^{2}-2 x^{2}+36 x-50 y-187=0$
$7 x^{2}+4 y^{2}-84 x+16 y+240=0$
$4 x^{2}+4 y^{2}-80 x+399=0$
$4 x^{2}+4 y^{2}+4 x-32 y+29=0$
$16 x^{2}-4 y^{2}-32 x+20 y-25=0$
$9 x-18 y^{2}+12 y+7=0$
$16 x^{2}+12 y^{2}-24 x-48 y+9=0$

Відповідь

1. парабола;$y=(x-3)^{2}+2$

3. гіпербола;$\frac{(x-2)^{2}}{4}-\frac{(y+3)^{2}}{2}=1$

5. Еліпс;$\frac{(x-6)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{7}=1$

7. коло;$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+(y-4)^{2}=9$

9. парабола;$x=2\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}-1$

Вправа$\PageIndex{13}$

Розробити формулу рівнянь асимптотів гіперболи. Поділіться ним разом із прикладом на дошці обговорень.
Складіть власне рівняння гіперболи, запишіть його в загальному вигляді, і зробіть графік.
Чи всі гіперболи мають перехоплення? Які можливі номери перехоплень для гіперболи? Поясніть.
Досліджуйте та обговоріть реальні приклади гіпербол.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²³ Множина точок на площині, відстані яких від двох нерухомих точок, званих вогнищами, має абсолютну різницю, яка дорівнює позитивній константі.

²⁴ Дві окремі криві гіперболи.

²⁵ Точки на окремих гілках гіперболи, де відстань мінімальна.

²⁶ Рівняння гіперболи записано у$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ вигляді.Центр є$(h, k)$,$a$ визначає поперечну вісь, і$b$ визначає сполучену вісь.

²⁷ Рівняння гіперболи записано у вигляді$\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}=1$. Центр є$(h, k)$,$b$ визначає поперечну вісь і$a$ визначає сполучену вісь.

²⁸ Відрізок лінії, утворений вершинами гіперболи.

²⁹ Відрізок лінії через центр гіперболи, який перпендикулярний поперечній осі.

³⁰ Прямокутник, утворений за допомогою кінцевих точок гіперболи, поперечних і сполучених осей.

³¹ Рівняння гіперболи записано у вигляді$px^{2} − qy^{2} + cx +dy + e = 0$ або$qy^{2} − px^{2} − cx +dy + e = 0$ де$p, q > 0$.

Рівняння	Центр	\(a\)	\(b\)	Відкриває
\(\frac{(x-3)^{2}}{25}-\frac{(y-5)^{2}}{16}=1\)	\((3,5)\)	\ (a\) ">\(a=5\)	\ (b\) ">\(b=4\)	Ліворуч і праворуч
\(\frac{(y-2)^{2}}{36}-\frac{(x+1)^{2}}{9}=1\)	\((-1,2)\)	\ (a\) ">\(a=3\)	\ (b\) ">\(b=6\)	Вгору і вниз
\(\frac{(y+2)^{2}}{3}-(x-5)^{2}=1\)	\((5,-2)\)	\ (a\) ">\(a=1\)	\ (b\) ">\(b=\sqrt{3}\)	Вгору і вниз
\(\frac{x^{2}}{49}-\frac{(y+4)^{2}}{8}=1\)	\((0,-4)\)	\ (a\) ">\(a=7\)	\ (b\) ">\(b=2 \sqrt{2}\)	Ліворуч і праворуч

Парабола:\(a>0\)
\ (a>0\) ">\(y=a(x-h)^{2}+k\) \(y=a x^{2}+b x+c\)	\(x=a(y-k)^{2}+h\) \(x=a y^{2}+b y+c\)
\ (a>0\) "> $альт$ *Малюнок\(\PageIndex{15}\)*	$альт$ *Малюнок\(\PageIndex{16}\)*

Парабола:\(a<0\)
\ (a<0\) ">\(y=a(x-h)^{2}+k\) \(y=a x^{2}+b x+c\)	\(x=a(y-k)^{2}+h\) \(x=a y^{2}+b y+c\)
\ (a<0\) "> $альт$ *Малюнок\(\PageIndex{17}\)*	$альт$ *Малюнок\(\PageIndex{18}\)*

Гіпербола:\(a, b>0\) і\(p, q>0\)
\(\begin{aligned} \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} &=1 \\[4pt] p x^{2}-q y^{2}+c x+d y+e &=0 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} &=1 \\[4pt] q y^{2}-p x^{2}+c x+d y+e &=0 \end{aligned}\)
$альт$ *Малюнок\(\PageIndex{21}\)*	$альт$ *Малюнок\(\PageIndex{22}\)*