8.3: Еліпси

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58366

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Графік еліпса в стандартній формі.
Визначте рівняння еліпса за заданим його графіком.
Перепишіть рівняння еліпса в стандартному вигляді.

Еліпс у стандартній формі

Еліпс ¹⁴ - це сукупність точок на площині, відстані яких від двох нерухомих точок, званих вогнищами, мають суму, рівну позитивній константі. Іншими словами, якщо точки$F1$ і$F2$ є осередками (множина фокусу) і$d$ є деякою заданою позитивною константою, то$(x,y)$ це точка на еліпсі, якщо$d=d_{1}+d_{2}$ як показано нижче:

Крім того, еліпс може бути утворений перетином конуса з косою площиною, яка не паралельна стороні конуса і не перетинає підставу конуса. Точки на цій овальній формі, де відстань між ними знаходиться на максимумі, називаються вершинами ¹⁵ і визначають велику вісь ¹⁶. Центром еліпса є середина між вершинами. Мала вісь ¹⁷ - це відрізок лінії через центр еліпса, визначеного двома точками на еліпсі, де відстань між ними мінімально. Кінцеві точки другорядної осі називаються співвершинами ¹⁸.

Якщо велика вісь еліпса паралельна$x$ -осі в прямокутній координатній площині, ми говоримо, що еліпс горизонтальний. Якщо велика вісь паралельна$y$ -осі, ми говоримо, що еліпс вертикальний. У цьому розділі ми займаємося лише ескізом цих двох типів еліпсів. Однак еліпс має багато реальних застосувань, і подальші дослідження цього багатого предмета заохочуються. У прямокутній координатній площині, де знаходиться центр горизонтального еліпса$(h,k)$, ми маємо

Як на малюнку$a>b$ де$a$, половина довжини великої осі, називається великим радіусом ¹⁹. Причому$b$, одна половина довжини другорядної осі, називається малим радіусом ²⁰. Рівняння еліпса в стандартній формі ²¹ виглядає наступним чином:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Вершини є$(h±a,k)$$(h,k±b)$ і орієнтація залежить від$a$ і$b$. Якщо$a>b$, то еліпс горизонтальний, як показано вище, а якщо$a<b$, то еліпс вертикальний і$b$ стає великим радіусом. Як ви думаєте, що відбувається, коли$a=b$?

Таблиця$\PageIndex{1}$
Рівняння	Центр	$a$	$b$	Орієнтація
$\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-8)^{2}}{9}=1$	$(1,8)$	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$a=2$	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$b=3$	Вертикальний
$\frac{(x-3)^{2}}{2}+\frac{(y+5)^{2}}{16}=1$	$(3,-5)$	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$a=\sqrt{2}$	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$b=4$	Вертикальний
$\frac{(x+1)^{2}}{1}+\frac{(y-7)^{2}}{8}=1$	$(-1,7)$	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$a=1$	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$b=2 \sqrt{2}$	Вертикальний
$\frac{x^{2}}{25}+\frac{(y+6)^{2}}{10}=1$	$(0,-6)$	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$a=5$	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$b=\sqrt{10}$	Горизонтальний

Графік еліпса повністю визначається його центром, орієнтацією, великим радіусом і малим радіусом, все це може бути визначено з його рівняння, записаного в стандартній формі.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Графік:$\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{25}=1$.

Рішення

Написано в такому вигляді ми бачимо, що центр еліпса є$(−3,2)$$a=\sqrt{4}=2$, і$b=\sqrt{25}=5$. Від центру позначки вказує 2 одиниці вліво і вправо і по 5 одиниць вгору і вниз.

Потім намалюйте еліпс через ці чотири точки.

Відповідь

Як і в будь-якому графіку, ми зацікавлені в пошуку$x$ - і$y$ -перехоплення.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть перехоплення:$\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{25}=1$.

Рішення

Щоб знайти набір$x$ -incepts$y=0$:

$\begin{aligned} \frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(0-2)^{2}}{25} &=1 \\ \frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{4}{25} &=1 \\ \frac{(x+3)^{2}}{4} &=1-\frac{4}{25} \\ \frac{(x+3)^{2}}{4} &=\frac{21}{25} \end{aligned}$

На цьому етапі ми витягуємо корінь, застосовуючи властивість квадратного кореня.

$\begin{aligned} \frac{x+3}{2} &=\pm \sqrt{\frac{21}{25}} \\ x+3 &=\pm \frac{2 \sqrt{21}}{5} \\ x &=-3 \pm \frac{2 \sqrt{21}}{5}=\frac{-15 \pm 2 \sqrt{21}}{5} \end{aligned}$

Установка$x=0$ і рішення для$y$ призводить до складних рішень, отже, немає$y$ -перехоплень. Це залишають як вправу.

Відповідь:

$x$-перехоплює:$\left(\frac{-15 \pm 2 \sqrt{21}}{5}, 0\right)$;$y$ -перехоплює: немає.

На відміну від кола, стандартна форма для еліпса вимагає з одного$1$ боку його рівняння.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Графік і позначення перехоплень:$(x-2)^{2}+9(y-1)^{2}=9$.

Рішення

Щоб отримати стандартну форму, з правого$1$ боку розділіть обидві сторони на$9$.

$\begin{aligned} \frac{(x-2)^{2}+9(y-1)^{2}}{\color{Cerulean}{9}} &\color{black}{=}\frac{9}{\color{Cerulean}{9}} \\ \frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{9(y-1)^{2}}{9} &=\frac{9}{9} \\ \frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{1} &=1 \end{aligned}$

Тому центр еліпса - це$(2,1)$$a=\sqrt{9}=3$, і$b=\sqrt{1}=1$. Графік виглядає наступним чином:

Щоб знайти перехоплення, ми можемо скористатися стандартною формою$\frac{(x-2)^{2}}{9}+(y-1)^{2}=1$:

Таблиця$\PageIndex{2}$
$x$-перехоплює набір$y=0$	$y$-перехоплює набір$x=0$
$\begin{array}{r}{\frac{(x-2)^{2}}{9}+(\color{Cerulean}{0}\color{black}{-}1)^{2}=1} \\ {\frac{(x-2)^{2}}{9}+1=1} \\ {(x-2)^{2}=0} \\ {x-2=0} \\ {x=2}\end{array}$	$\begin{aligned} \frac{(\color{Cerulean}{0}\color{black}{-}2)^{2}}{9}+(y-1)^{2} &=1 \\ \frac{4}{9}+(y-1)^{2} &=1 \\(y-1)^{2} &=\frac{5}{9} \\ y-1 &=\pm \sqrt{\frac{5}{9}} \\ y &=1 \pm \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{3} \end{aligned}$

Тому$x$ -перехоплення є$(2,0)$ і$y$ -перехоплення є$\left(0, \frac{3+\sqrt{5}}{3}\right)$ і$\left(0, \frac{3-\sqrt{5}}{3}\right)$.

Відповідь:

Розглянемо еліпс по центру в початковій точці,

$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$

З огляду на це рівняння, ми можемо записати,

$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{2^{2}}=1$

У такому вигляді зрозуміло, що центр є$(0,0)$$a=1$, і$b=2$. Крім того, якщо ми вирішимо для,$y$ ми отримаємо дві функції:

$\begin{aligned} x^{2}+\frac{y^{2}}{4} &=1 \\ \frac{y^{2}}{4} &=1-x^{2} \\ y^{2} &=4\left(1-x^{2}\right) \\ y &=\pm \sqrt{4\left(1-x^{2}\right)} \\ y &=\pm 2 \sqrt{1-x^{2}} \end{aligned}$

Функція,$y=2 \sqrt{1-x^{2}}$ визначена, є верхньою половиною еліпса, а функція, визначена,$y=-2 \sqrt{1-x^{2}}$ є нижньою половиною.

Вправа$\PageIndex{1}$

Графік:$9(x-3)^{2}+4(y+2)^{2}=36$.

Відповідь: $imageedit_54_3427818305.png$
Малюнок$\PageIndex{9}$

Еліпс у загальній формі

Ми бачили, що графік еліпса повністю визначається його центром, орієнтацією, великим радіусом та малим радіусом; що можна прочитати з його рівняння в стандартній формі. Однак рівняння не завжди дається в стандартній формі. Рівняння еліпса в загальному вигляді ²² випливає,

$p x^{2}+q y^{2}+c x+d y+e=0$

де$p,q>0$. Етапи побудови графіка еліпса з урахуванням його рівняння в загальному вигляді викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Графік$2 x^{2}+9 y^{2}+16 x-90 y+239=0$.

Рішення

Почніть з перезапису рівняння в стандартному вигляді.

Крок 1: Згрупуйте терміни з однаковими змінними і перемістіть константу в праву сторону. Фактор так, що провідний коефіцієнт кожної угруповання є$1$.

$\begin{aligned} 2 x^{2}+9 y^{2}+16 x-90 y+239 &=0 \\ \left(2 x^{2}+16 x+\_\_\_\right.)+\left(9 y^{2}-90 y+\_\_\_\right)&=-239 \\ 2\left(x^{2}+8x+\_\_\_ \right)+9\left(y^{2}-10y+\_\_\_ \right)&=-239 \end{aligned}$

Крок 2: Заповніть квадрат для кожного угруповання. У цьому випадку для термінів, що передбачають$x$ використання,$\left(\frac{8}{2}\right)^{2}=4^{2}=16$ і для термінів, пов'язаних з$y$ використанням$\left(\frac{-10}{2}\right)^{2}=(-5)^{2}=25$. Коефіцієнт перед групуванням впливає на значення, яке використовується для збалансування рівняння з правого боку:

$2\color{black}{\left(x^{2}+8 x\color{Cerulean}{+16}\right)+}9\color{black}{\left(y^{2}-10 y\color{OliveGreen}{+25}\right)=}-239\color{Cerulean}{+32}\color{OliveGreen}{+225}$

Через властивість distributive додавання$16$ всередині першого групування еквівалентно додаванню$2⋅16=32$. Аналогічно, додавання$25$ всередині другого групування еквівалентно додаванню$9⋅25=225$. Тепер коефіцієнт, а потім ділимо, щоб отримати$1$ на правій стороні.

$\begin{aligned}2(x+4)^{2}+9(y-5)^{2}&=18 \\ \frac{2(x+4)^{2}+9(y-5)^{2}}{\color{Cerulean}{18}}&\color{black}{=}\frac{18}{\color{Cerulean}{18}} \\ \frac{2(x+4)^{2}}{18}+\frac{9(y-5)^{2}}{18}&=\frac{18}{18} \\ \frac{(x+4)^{2}}{9}+\frac{(y-5)^{2}}{2}&=1\end{aligned}$

Крок 3: Визначте центр$a$, і$b$. При цьому центр - це$(−4,5)$$a=\sqrt{9}=3$, і$b=\sqrt{2}$.

Крок 4: Використовуйте a, щоб позначити вершини ліворуч і праворуч від центру, використовуйте b, щоб позначити вершини вгору і вниз від центру, а потім намалюйте графік. При цьому вершини уздовж другорядних осей не$(-4,5 \pm \sqrt{2})$ видно і повинні бути марковані.

Відповідь:

Приклад$\PageIndex{5}$:

Визначте центр еліпса, а також довжини великих і другорядних осей:$5 x^{2}+y^{2}-3 x+40=0$.

Рішення

У цьому прикладі нам потрібно лише заповнити квадрат для термінів, що беруть участь$x$.

$\begin{aligned} 5 x^{2}+y^{2}-30 x+40 &=0 \\ \left(5 x^{2}-30 x+ \_\_\_\right)+y^{2}&=-40 \\5\left(x^{2}-6x+\_\_\_ \right)+y^{2}&=-40 \end{aligned}$

Використовуйте$\left(\frac{-6}{2}\right)^{2}=(-3)^{2}=9$ для першого угруповання, щоб бути збалансованим$5⋅9=45$ на правій стороні.

$\begin{aligned} 5\color{black}{\left(x^{2}-6 x\color{Cerulean}{+9}\right)+}y^{2} &=-40\color{Cerulean}{+45} \\ 5(x-3)^{2}+y^{2} &=5 \\ \frac{5(x-3)^{2}+y^{2}}{\color{Cerulean}{5}} &\color{black}{=}\frac{5}{\color{Cerulean}{5}} \\ \frac{(x-3)^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{5} &=1 \end{aligned}$

Тут центр знаходиться$(3,0)$$a=\sqrt{1}=1$, і$b=\sqrt{5}$. $b$Оскільки більше$a$, ніж, довжина великої$2b$ осі є, а довжина другорядної осі є$2a$.

Відповідь

Центр:$(3,0)$; велика вісь: 2$\sqrt{5}$ одиниці; незначна вісь:$2$ одиниці.

Вправа$\PageIndex{2}$

Графік$x^{2}+4 y^{2}+10 x-16 y+25=0$.

Відповідь: $imageedit_50_4103884015.png$
Малюнок$\PageIndex{12}$

www.youtube.com/В/МНП7С5Х2820

Ключові виноси

Графік еліпса повністю визначається його центром, орієнтацією, великим радіусом і малим радіусом.
Центр, орієнтація, великий радіус і малий радіус очевидні, якщо рівняння еліпса дано в стандартній формі:$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$.
Щоб намалювати еліпс, позначте точки$a$ ліворуч і праворуч від центру та$b$ вказують одиниці вгору та вниз від центру. Намалюйте еліпс через ці точки.
Орієнтація еліпса визначається$a$ і$b$. Якщо$a>b$ тоді еліпс ширше, ніж він високий і вважається горизонтальним еліпсом. Якщо a<ba<b, то еліпс вищий за ширину і вважається вертикальним еліпсом.
Якщо рівняння еліпса задано в загальному вигляді$p x^{2}+q y^{2}+c x+d y+e=0$ де$p,q>0$, згрупуйте члени з однаковими змінними і заповніть квадрат для обох групувань.
Ми визнаємо рівняння еліпса, якщо воно квадратичне в обох$x$ і$y$ і коефіцієнти кожного квадратного члена мають однаковий знак.

Вправа$\PageIndex{3}$

Враховуючи рівняння еліпса в стандартній формі, визначте його центр, орієнтацію, великий радіус і малий радіус.

$\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{49}=1$
$\frac{(x+3)^{2}}{64}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$
$\frac{x^{2}}{3}+(y+9)^{2}=1$
$\frac{(x-1)^{2}}{8}+y^{2}=1$
$4(x+5)^{2}+9(y+5)^{2}=36$
$16(x-1)^{2}+3(y+10)^{2}=48$

Відповідь

1. Центр:$(1, −2)$; орієнтація: вертикальна; великий радіус:$7$ одиниці виміру; малий радіус:$2$ одиниці;$a = 2; b = 7$

3. Центр:$(0, −9)$; орієнтація: горизонтальна; великий радіус:$\sqrt{3}$ одиниці виміру; малий радіус:$1$ одиниця;$a=\sqrt{3} ; b=1$

5. Центр:$(−5, −5)$; орієнтація: горизонтальна; великий радіус:$3$ одиниці виміру; малий радіус:$2$ одиниці виміру;$a = 3; b = 2$

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначити стандартну форму для рівняння еліпса за даними наступної інформації.

Центр$(3,4)$ з$a=5$ і$b=2$.
Центр$(-1,9)$ з$a=7$ і$b=3$.
Центр$(5,-1)$ з$a=\sqrt{6}$ і$b=2 \sqrt{3}$.
Центр$(-7,-2)$ з$a=5 \sqrt{2}$ і$b=\sqrt{7}$.
Центр$(0,-3)$ з$a=1$ і$b=\sqrt{5}$.
Центр$(0,0)$ з$a=\sqrt{2}$ і$b=4$.

Відповідь

1. $\frac{(x-3)^{2}}{25}+\frac{(y-4)^{2}}{4}=1$

3. $\frac{(x-5)^{2}}{6}+\frac{(y+1)^{2}}{12}=1$

5. $x^{2}+\frac{(y+3)^{2}}{5}=1$

Вправа$\PageIndex{5}$

Графік.

$\frac{(x-4)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x+1)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1$
$\frac{(x-5)^{2}}{16}+\frac{(y+6)^{2}}{1}=1$
$\frac{(x+4)^{2}}{4}+\frac{(y+3)^{2}}{36}=1$
$\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{64}=1$
$\frac{(x+1)^{2}}{49}+(y+3)^{2}=1$
$4(x+3)^{2}+9(y-3)^{2}=36$
$16 x^{2}+(y-1)^{2}=16$
$4(x-2)^{2}+25 y^{2}=100$
$81 x^{2}+y^{2}=81$
$\frac{(x-2)^{2}}{8}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x+1)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{12}=1$
$\frac{(x-6)^{2}}{2}+\frac{(y+2)^{2}}{5}=1$
$\frac{(x+3)^{2}}{18}+\frac{(y-5)^{2}}{3}=1$
$3 x^{2}+2(y-3)^{2}=6$
$5(x+1)^{2}+3 y^{2}=15$
$4 x^{2}+6 y^{2}=24$
$5 x^{2}+10 y^{2}=50$

Відповідь

11.

13.

15.

17.

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть$x$ - і$y$ -перехоплює.

$\frac{(x-3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x+3)^{2}}{16}+\frac{(y-7)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y+6)^{2}}{36}=1$
$\frac{(x+1)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{9}=1$
$5 x^{2}+2(y-4)^{2}=20$
$4(x-3)^{2}+9 y^{2}=72$
$5 x^{2}+2 y^{2}=10$
$3 x^{2}+4 y^{2}=24$

Відповідь

1. $x$-перехоплює:$\left(\frac{9 \pm 2 \sqrt{5}}{3}, 0\right)$;$y$ -перехоплює: немає

3. $x$-перехоплює:$(2,0)$;$y$ -перехоплює:$(0,-6$

5. $x$-перехоплює: немає;$y$ -перехоплює:$(0,4 \pm \sqrt{10})$

7. $x$-перехоплює:$(\pm \sqrt{2}, 0)$;$y$ -перехоплює:$(0, \pm \sqrt{5})$

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайдіть рівняння еліпса.

Еліпс з вершинами$(±5, 0)$ і$(0, ±6)$.
Еліпс, велика вісь якого має вершини,$(2, 9)$$(2, −1)$ а незначна вісь має вершини$(−2, 4)$ і$(6, 4)$.
Еліпс, велика вісь якого має вершини,$(−8, −2)$$(0, −2)$ а незначна вісь має довжину$4$ одиниць.
Еліпс, велика вісь якого має вершини,$(−2, 2)$$(−2, 8)$ а незначна вісь має довжину$2$ одиниць.

Відповідь

1. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{36}=1$

3. $\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1$

Вправа$\PageIndex{8}$

Перепишіть в стандартній формі і графі.

$4 x^{2}+9 y^{2}+8 x-36 y+4=0$
$9 x^{2}+25 y^{2}-18 x+100 y-116=0$
$4 x^{2}+49 y^{2}+24 x+98 y-111=0$
$9 x^{2}+4 y^{2}-72 x+24 y+144=0$
$x^{2}+64 y^{2}-12 x+128 y+36=0$
$16 x^{2}+y^{2}-96 x-4 y+132=0$
$36 x^{2}+4 y^{2}-40 y-44=0$
$x^{2}+9 y^{2}-2 x-8=0$
$x^{2}+9 y^{2}-4 x-36 y-41=0$
$16 x^{2}+y^{2}+160 x-10 y+361=0$
$4 x^{2}+5 y^{2}+32 x-20 y+64=0$
$2 x^{2}+3 y^{2}-8 x-30 y+65=0$
$8 x^{2}+5 y^{2}-16 x+10 y-27=0$
$7 x^{2}+2 y^{2}+28 x-16 y+46=0$
$36 x^{2}+16 y^{2}-36 x-32 y-119=0$
$16 x^{2}+100 y^{2}+64 x-300 y-111=0$
$x^{2}+4 y^{2}-20 y+21=0$
$9 x^{2}+y^{2}+12 x-2 y-4=0$

Відповідь

1. $\frac{(x+1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1$;

3. $\frac{(x+3)^{2}}{49}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1$;

5. $\frac{(x-6)^{2}}{64}+(y+1)^{2}=1$;

7. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{36}=1$;

9. $\frac{(x-2)^{2}}{81}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$;

11. $\frac{(x+4)^{2}}{5}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1$;

13. $\frac{(x-1)^{2}}{5}+\frac{(y+1)^{2}}{8}=1$;

15. $\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{9}=1$;

17. $\frac{x^{2}}{4}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=1$;

Вправа$\PageIndex{9}$

У загальній формі визначають перехоплення.

$5 x^{2}+4 y^{2}-20 x+24 y+36=0$
$4 x^{2}+3 y^{2}-8 x+6 y-5=0$
$6 x^{2}+y^{2}-12 x+4 y+4=0$
$8 x^{2}+y^{2}-6 y-7=0$
$5 x^{2}+2 y^{2}-20 x-8 y+18=0$
$2 x^{2}+3 y^{2}-4 x-5 y+1=0$

Відповідь

1. $x$-перехоплює: немає;$y$ -перехоплює:$(0,-3)$

3. $x$-перехоплює:$\left(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}, 0\right)$;$y$ -перехоплює:$(0,-2)$

5. $x$-перехоплює:$\left(\frac{10 \pm \sqrt{10}}{5}, 0\right)$;$y$ -перехоплює: немає

Вправа$\PageIndex{10}$

Визначте площу еліпса. (Площа еліпса задається формулою$A = πab$, де$a$ і$b$ є довжинами великого радіуса і малого радіуса.)

$\frac{(x-10)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{5}=1$
$\frac{(x+1)^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{36}=1$
$7 x^{2}+3 y^{2}-14 x+36 y+94=0$
$4 x^{2}+8 y^{2}+20 x-8 y+11=0$

Відповідь

1. $5\pi \sqrt{5}$квадратні одиниці

3. $\pi \sqrt{21}$квадратні одиниці

Вправа$\PageIndex{11}$

З огляду на графік еліпса, визначте його рівняння в загальному вигляді.

Відповідь

1. $9 x^{2}+4 y^{2}+72 x-32 y+172=0$

3. $x^{2}+3 y^{2}-18 y-9=0$

Вправа$\PageIndex{12}$

Поясніть, чому коло можна вважати дуже особливим еліпсом.
Складіть власне рівняння еліпса, запишіть його в загальному вигляді і зробіть графік.
Чи всі еліпси мають перехоплення? Які можливі числа перехоплень для еліпса? Поясніть.
Досліджуйте та обговоріть реальні приклади еліпсів.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁴ Множина точок на площині, відстані яких від двох нерухомих точок мають суму, рівну позитивній константі.

¹⁵ Точки на еліпсі, які позначають кінцеві точки великої осі.

¹⁶ Відрізок лінії через центр еліпса визначається двома точками на еліпсі, де відстань між ними максимальна.

¹⁷ Відрізок лінії через центр еліпса визначається двома точками на еліпсі, де відстань між ними мінімальна.

¹⁸ Точки на еліпсі, які позначають кінцеві точки другорядної осі.

¹⁹ Одна половина довжини великої осі.

²⁰ Одна половина довжини другорядної осі.

²¹ Рівняння еліпса записано у$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ вигляді.Центр є$(h, k)$ і більше$a$ і$b$ є великим радіусом і меншим є малий радіус.

²² Рівняння еліпса записано у вигляді$p x^{2}+q y^{2}+c x+d y+e=0$ де$p, q > 0$.

Рівняння	Центр	\(a\)	\(b\)	Орієнтація
\(\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-8)^{2}}{9}=1\)	\((1,8)\)	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(a=2\)	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(b=3\)	Вертикальний
\(\frac{(x-3)^{2}}{2}+\frac{(y+5)^{2}}{16}=1\)	\((3,-5)\)	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(a=\sqrt{2}\)	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(b=4\)	Вертикальний
\(\frac{(x+1)^{2}}{1}+\frac{(y-7)^{2}}{8}=1\)	\((-1,7)\)	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(a=1\)	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(b=2 \sqrt{2}\)	Вертикальний
\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{(y+6)^{2}}{10}=1\)	\((0,-6)\)	\ (a\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(a=5\)	\ (b\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(b=\sqrt{10}\)	Горизонтальний

\(x\)-перехоплює набір\(y=0\)	\(y\)-перехоплює набір\(x=0\)
\(\begin{array}{r}{\frac{(x-2)^{2}}{9}+(\color{Cerulean}{0}\color{black}{-}1)^{2}=1} \\ {\frac{(x-2)^{2}}{9}+1=1} \\ {(x-2)^{2}=0} \\ {x-2=0} \\ {x=2}\end{array}\)	\(\begin{aligned} \frac{(\color{Cerulean}{0}\color{black}{-}2)^{2}}{9}+(y-1)^{2} &=1 \\ \frac{4}{9}+(y-1)^{2} &=1 \\(y-1)^{2} &=\frac{5}{9} \\ y-1 &=\pm \sqrt{\frac{5}{9}} \\ y &=1 \pm \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{3} \end{aligned}\)