4.8: Програми та варіації

Цілі навчання

• Вирішуйте програми, що включають рівномірний рух (задачі відстані).
• Вирішувати додатки з нормою роботи.
• Налаштуйте та вирішуйте програми, що включають пряму, зворотну та спільну варіацію.

Рішення проблем рівномірного руху

Рівномірний рух (або відстань) ³⁷ завдань передбачають формулу$D=rt$, де відстань$D$ задається як добуток середньої швидкості$r$ та часу,$t$ пройденого з цією швидкістю. Якщо розділити обидві сторони на середню норму$r$, то отримаємо формулу

$t = \frac { D } { r }$

З цієї причини, коли невідома величина є часом, алгебраїчна установка для задач відстані часто призводить до раціонального рівняння. Ми починаємо будь-яку задачу рівномірного руху, спочатку організувавши наші дані за допомогою діаграми. Використовуйте цю інформацію, щоб налаштувати алгебраїчне рівняння, яке моделює додаток.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Саллі проїхала$15$ милі на автобусі, а потім ще$72$ милі на поїзді. Поїзд був на$18$ милі на годину швидше, ніж автобус, а загальна поїздка зайняла$2$ години. Якою була середня швидкість поїзда?

Рішення

Спочатку визначте невідому кількість і впорядкуйте дані.

$x$Дозволяти представляти середню швидкість (в милі на годину) автобуса.

$x+18$Дозволяти представляти середню швидкість поїзда.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Щоб уникнути введення ще двох змінних для стовпчика часу, скористайтеся формулою$t=\frac{D}{r}$. Час для кожного етапу поїздки розраховується наступним чином:

$\begin{aligned} \color{Cerulean} { Time\: spent\: on\: the\: bus : }\color{black}{ t} = \frac { D } { r } & = \frac { 15 } { x } \\ \color{Cerulean} {Time\: spent\: on\: the\: train :}\color{black}{ t} = \frac { D } { r } & = \frac { 72 } { x + 18 } \end{aligned}$

Використовуйте ці вирази, щоб завершити діаграму.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Алгебраїчне налаштування визначається стовпчиком часу. Додайте час, витрачений на кожен відрізок поїздки, щоб отримати загальну кількість$2$ годин:

Малюнок$\PageIndex{3}$

Ми починаємо розв'язувати це рівняння спочатку множивши обидві сторони на РК-дисплей,$x(x+18)$.

$\begin{aligned} \frac { 15 } { x } + \frac { 72 } { x + 18 } & = 2 \\ \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 15 } { x } + \frac { 72 } { x + 18 } \right) & = \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} 2 \\ \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 15 } { x } + \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 72 } { x + 18 } & = \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} 2 \\ 15( x + 18 ) \cdot 72x & = 2x ( x + 18 ) \\ 15 x + 270 + 72 x & = 2 x ^ { 2 } + 36 x \\ 87 x + 270 & = 2 x ^ { 2 } + 36 x \\ 0 & = 2 x ^ { 2 } - 51 x - 270 \end{aligned}$

Вирішити отримане квадратне рівняння шляхом факторингу.

$\begin{array} { l } { 0 = 2 x ^ { 2 } - 51 x - 270 } \\ { 0 = ( 2 x + 9 ) ( x - 30 ) } \end{array}$

$\begin{aligned} 2 x + 9 & = 0 \quad\quad \text { or } &x - 30 &= 0 \\ x &= - \frac { 9 } { 2 } & x& = 30 \end{aligned}$

Оскільки ми шукаємо середню швидкість, ми нехтуємо негативною відповіддю і зробимо висновок про автобус в середньому$30$ миль/год. Підставляємо$x=30$ в вираз, визначене як швидкість поїзда.

$x + 18 = 30 + 18 = 48$

Відповідь:

Швидкість поїзда становила$48$ миль/год.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Човен може в середньому$12$ милі на годину в негазованій воді. Під час подорожі вниз по річці човен зміг проїхати$29$ милі з течією. На зворотній поїздці човен зміг проїхати$19$ милі лише за однакову кількість часу проти течії. Якою була швидкість течії?

Рішення

Спочатку визначте невідомі величини та організуйте дані.

$c$Дозволяти представляти швидкість течії річки.

Далі організуйте дані в діаграмі. Подорожуючи вниз за течією, течія збільшить швидкість човна, тому додає до середньої швидкості човна. Подорожуючи вгору за течією, течія уповільнює катер, тому вона відніме від середньої швидкості човна.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Використовуйте формулу$t=\frac{D}{r}$, щоб заповнити стовпчик часу.

$\begin{aligned} \color{Cerulean} {trip\: downriver: } &\color{black}{ }t = \frac { D } { r } = \frac { 29 } { 12 + c } \\ \color{Cerulean} {trip\:upriver:} & \color{black}{t} = \frac { D } { r } = \frac { 19 } { 12 - c } \end{aligned}$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Оскільки човен подорожував стільки ж часу вниз по річці, як і вгору, закінчити алгебраїчну установку, встановивши вирази, які представляють рази, рівні один одному.

$\frac { 29 } { 12 + c } = \frac { 19 } { 12 - c }$

Оскільки з кожного боку є один алгебраїчний дріб, ми можемо вирішити це рівняння за допомогою перехресного множення.

$\begin{aligned} \frac { 29 } { 12 + c } & = \frac { 19 } { 12 - c } \\ 29 ( 12 - c ) & = 19 ( 12 + c ) \\ 348 - 29 c & = 228 + 19 c \\ 120 & = 48 c \\ \frac { 120 } { 48 } & = c \\ \frac { 5 } { 2 } & = c \end{aligned}$

Відповідь:

Швидкість течії становила$2 \frac{1}{2}$ милі на годину.

Вправа$\PageIndex{1}$

Реактивний літак може в середньому$160$ милі на годину в спокійному повітрі. Під час подорожі літак проїхав$600$ милі з попутним вітром і повертав$600$ милі проти зустрічного вітру тієї ж швидкості. Якщо загальна поїздка туди і назад зайняла$8$ години, то яка була швидкість вітру?

Відповідь

$40$миль на годину

www.youtube.com/В/0НГЛБТТТСС

Рішення проблем з нормою роботи

Швидкість, з якою може виконуватися завдання, називається нормою роботи ³⁸. Наприклад, якщо художник може пофарбувати кімнату$6$ за годинами, то завдання полягає в тому, щоб пофарбувати кімнату, а ми можемо написати

$\frac { 1 \text { task } } { 6 \text { hours } } \quad \color{Cerulean}{work\:rate}$

Іншими словами, художник може виконати$\frac{1}{6}$ завдання за годину. Якщо він пропрацює менше$6$ годин, то виконає частку завдання. Якщо він працює більше$6$ годин, то він може виконати не одне завдання. Наприклад,

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{work-rate \:\:\times\:\:time} &\color{black}{=} \color{Cerulean}{amount\:of\:task\:completed}\\ \frac { 1 } { 6 }\quad \times \quad3 h r s &= \:\frac { 1 } { 2 } \quad \color{Cerulean} { one-half\: of\: the\: room\: painted } \\ \frac { 1 } { 6 } \quad\times\quad 6 h r s &= \:1 \quad\color{Cerulean} { one\: whole\: room\: painted } \\ \frac { 1 } { 6 }\quad \times\:\: 12 \text { hrs } & = \:2\quad \color{Cerulean} { two\: whole\: rooms\: painted } \end{aligned}$

Отримати суму виконаного завдання, помноживши норму робіт на кількість часу роботи маляра. Як правило, проблеми з нормою роботи включають людей або машини, які працюють разом для виконання завдань. Загалом, якщо$t$ являє собою час, коли дві людини працюють разом, то ми маємо наступну формулу норми роботи ³⁹:

$\frac { 1 } { t _ { 1 } } t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } t =\color{Cerulean}{amount\:of\:task\:completed\:together}$

Ось$\frac { 1 } { t _ { 1 } }$ і$\frac { 1 } { t _ { 2 } }$ індивідуальні тарифи на роботу.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Джо може намалювати типову кімнату$2$ за години менше часу, ніж Марк. Якщо Джо та Марк можуть малювати$5$ кімнати, що працюють разом за$12$ годинну зміну, скільки часу потрібно кожному, щоб пофарбувати одну кімнату?

Рішення

Нехай$x$ уявляють час, який потрібно Марку, щоб пофарбувати типову кімнату.

Дозвольте$x − 2$ представити час, який потрібно Джо, щоб намалювати типову кімнату.

Тому індивідуальна норма роботи Марка - це$\frac{1}{x}$ кімнати на годину, а Джо -$\frac{1}{x−2}$ кімнати на годину. Обидва чоловіки працювали$12$ годинами. Ми можемо організувати дані в діаграмі, так само, як ми це робили з проблемами відстані.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Працюючи разом, вони можуть пофарбувати 5 загальних кімнат за 12 годин. Це призводить нас до наступної алгебраїчної установки:

$\frac { 12 } { x - 2 } + \frac { 12 } { x } = 5$

Помножте обидві сторони на РК-дисплей,$x(x−2)$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 12 } { x - 2 } + \frac { 12 } { x } \right) & =\color{Cerulean}{ x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} 5 \\ \color{Cerulean}{x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 12 } { x - 2 } + \color{Cerulean}{x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 12 } { x } & =\color{Cerulean}{ x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} 5 \\ 12 x + 12 ( x - 2 ) & = 5 x ( x - 2 ) \\ 12 x + 12 x - 24 & = 5 x ^ { 2 } - 10 x \\ 0 & = 5 x ^ { 2 } - 34 x + 24 \end{aligned}$

Вирішити отримане квадратне рівняння шляхом факторингу.

$\begin{array} { l } { 0 = 5 x ^ { 2 } - 34 x + 24 } \\ { 0 = ( 5 x - 4 ) ( x - 6 ) } \end{array}$

$\begin{aligned} 5 x - 4 &= 0 \quad\quad \text { or } & x - 6& = 0 \\ 5 x &= 4 &x &= 6 \\ x& = \frac { 4 } { 5 } \end{aligned}$

Ми можемо ігнорувати,$\frac{4}{5}$ тому що зворотна заміна в$x − 2$ дасть негативний час, щоб пофарбувати кімнату. Візьміть,$x = 6$ щоб бути єдиним рішенням і використовувати його, щоб знайти час, який потрібно Джо, щоб пофарбувати типову кімнату.

$x - 2 = 6 - 2 = 4$

Відповідь:

Джо може намалювати типову кімнату$4$ за годинами, а Марк може намалювати типову кімнату$6$ за годинами. Як чек ми можемо помножити обидві норми роботи на$12$ години, щоб побачити, що разом вони можуть фарбувати$5$ кімнати.

$\left. \begin{array} { l } { \color{Cerulean} { Joe }\:\: \color{black}{\frac { 1 \text { room} } { 4 \text{hrs} }} \cdot 12 \text { hrs } = 3 \text { rooms } } \\ { \color{Cerulean} { Mark }\:\: \color{black}{\frac { 1 \text { room } } { 6 \text{hrs} }} \cdot 12 \text{hrs} = 2 \text { rooms } } \end{array} \right\} Total \:5\:rooms \:\color{Cerulean}{✓}$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Білл займає вдвічі більше часу, щоб укласти плиткову підлогу самостійно, як це робить Менні. Пропрацювавши разом з Біллом протягом декількох$4$ годин, Менні зміг завершити роботу в$2$ додаткові години. Як довго це зайняло б Менні, працюючи поодинці?

Рішення

Нехай$x$ уявляють час, який потрібен Менні, щоб укласти підлогу поодинці.

Нехай$2x$ уявляють час, який потрібен Білл, щоб укласти підлогу поодинці.

Норма роботи Менні становить$\frac{1}{x}$ підлогу на годину, а рівень роботи Білла -$\frac{1}{2x}$. Білл працював на роботі$4$ годинами, а Менні працював на роботі$6$ годинами.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Це призводить нас до наступної алгебраїчної установки:

$\frac { 1 } { x } \cdot 6 + \frac { 1 } { 2 x } \cdot 4 = 1$

Вирішити.

$\begin{aligned} \frac { 6 } { x } + \frac { 4 } { 2 x } & = 1 \\ \color{Cerulean}{x}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 6 } { x } + \frac { 2 } { x } \right) & = \color{Cerulean}{x}\color{black}{ \cdot} 1 \\ 6 + 2 & = x \\ 8 & = x \end{aligned}$

Відповідь:

Менні знадобилося б$8$ години, щоб завершити підлогу самостійно.

Розглянемо формулу робочого тарифу, де має бути виконано одне завдання.

$\frac { 1 } { t _ { 1 } } t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } t = 1$

Фактор з часу,$t$ а потім розділити обидві сторони на$t$. Це призведе до отримання еквівалентних спеціалізованих формул робочого тарифу:

$\begin{aligned} t \left( \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } \right) & = 1 \\ \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } & = \frac { 1 } { t } \end{aligned}$

Підсумовуючи, ми маємо такі еквівалентні формули робочого тарифу:

$\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Work \:rate\:formulas } } \\ { \frac { 1 } { t _ { 1 } } t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } t = 1 \quad \text { or } \quad \frac { t } { t _ { 1 } } + \frac { t } { t _ { 2 } } = 1 \quad\text { or }\quad \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } = \frac { 1 } { t } } \end{array}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Метт може облицьовувати стільницю за$2$ годинами, а його помічник може виконати ту ж роботу за$3$ годинами. Якщо Метт почне роботу, а його помічник приєднується до нього через$1$ годину, то скільки часу знадобиться, щоб облицювати стільницю плиткою?

Відповідь

$1 \frac{3}{5}$годин

www.youtube.com/В/5Г6СФВГБ7М

Розв'язування задач, що включають пряму, зворотну та спільну варіацію

Багато реальних проблем, що зустрічаються в науках, передбачають два типи функціональних зв'язків. Перший тип можна дослідити, використовуючи той факт, що відстань$s$ в ногах об'єкт падає від спокою, без урахування опору повітря, можна наблизити, використовуючи наступну формулу:

$s=16t^{2}$

Тут$t$ відображається час у секундах, коли об'єкт падав. Наприклад, через$2$ секунди на предмет впадуть$s = 16 ( 2 ) ^ { 2 } = 16 \cdot 4 = 64$ ноги.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Час$t$ в секундах	Відстань$s = 16 t ^ { 2 }$ в футах
\ (t\) у секундах">$0$	\ (s = 16 t ^ {2}\) в футах">$0$
\ (t\) у секундах">$1$	\ (s = 16 t ^ {2}\) в футах">$16$
\ (t\) у секундах">$2$	\ (s = 16 t ^ {2}\) в футах">$64$
\ (t\) у секундах">$3$	\ (s = 16 t ^ {2}\) в футах">$144$
\ (t\) у секундах">$4$	\ (s = 16 t ^ {2}\) в футах">$256$

У цьому прикладі ми бачимо, що відстань змінюється з часом як добуток константи$16$ та квадрата часу$t$. Цей зв'язок описується як пряма варіація ⁴⁰ і$16$ називається постійною варіації ⁴¹. Крім того, якщо ми розділимо обидві сторони$s=16t^{2}$ на$t^{2}$ ми маємо

$\frac { s } { t ^ { 2 } } = 16$

У такому вигляді розумно сказати, що$s$ пропорційно$t^{2}$, і$16$ називається константою пропорційності ⁴². Загалом, у нас є

Таблиця$\PageIndex{2}$

Ключові слова	Переклад
«$y$змінюється$x$ безпосередньо як$x$»	$y=kx$
«$y$прямо пропорційна ^43 до$x$»
«$y$пропорційно$x$»

Тут$k$ ненульова і називається константою варіації або константою пропорційності. Як правило, нам буде дана інформація, з якої ми можемо визначити цю константу.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Вага об'єкта на Землі залежить безпосередньо від його ваги на Місяці. Якщо людина важить$180$ кілограми на Землі, то він буде важити$30$ кілограми на Місяці. Встановіть алгебраїчне рівняння, яке виражає вагу на Землі з точки зору ваги на Місяці і використовуйте його для визначення ваги жінки на Місяці, якщо вона важить$120$ кілограми на Землі.

Рішення

Нехай$y$ представляють вагу на Землі.

Нехай$x$ представляють вагу на Місяці.

Нам дано, що «вага на Землі змінюється безпосередньо до ваги на Місяці».

$y=kx$

Щоб знайти константу варіації$k$, використовуйте задану інформацію. Людина$180$ -lb на Землі важить$30$ фунти на Місяці, або$y = 180$ коли$x = 30$.

$180 = k \cdot 30$

Вирішити для$k$.

$\begin{array} { c } { \frac { 180 } { 30 } = k } \\ { 6 = k } \end{array}$

Далі встановіть формулу, яка моделює задану інформацію.

$y=6x$

Це означає, що вага людини на Землі в$6$ рази перевищує його вагу на Місяці. Щоб відповісти на питання, використовуйте вагу жінки на Землі,$y = 120$ фунтів, і вирішуйте для$x$.

$\begin{array} { l } { 120 = 6 x } \\ { \frac { 120 } { 6 } = x } \\ { 20 = x } \end{array}$

Відповідь:

Жінка важить$20$ кілограми на Місяці.

Другу функціональну залежність можна дослідити за допомогою формули, яка пов'язує інтенсивність світла$I$ з віддаленістю від його джерела$d$.

$I = \frac { k } { d ^ { 2 } }$

Тут$k$ являє собою якусь константу. Ножка-свічка - це вимір інтенсивності світла. Один фут-свічка визначається як дорівнює величині освітленості, виробленої стандартною свічкою, виміряною на відстані одного фута. Наприклад, рекламується флуоресцентне зростаюче світло$125$ -Ватт для виробництва$525$ фут-свічок освітлення. Це означає, що на відстані$d=1$$I=525$ ноги, ніжки-свічки і у нас є:

$\begin{array} { l } { 525 = \frac { k } { ( 1 ) ^ { 2 } } } \\ { 525 = k } \end{array}$

Використовуючи,$k=525$ ми можемо побудувати формулу, яка дає інтенсивність світла, що виробляється лампочкою:

$I = \frac { 525 } { d ^ { 2 } }$

Тут$d$ відображається відстань, яке росте світло від рослин. На наступній діаграмі ми бачимо, що кількість освітленості швидко згасає, коли відстань від рослин збільшується.

Таблиця$\PageIndex{3}$

Відстань$t$ в футах	Інтенсивність світла$I = \frac { 525 } { d ^ { 2 } }$
\ (t\) в футах">$1$	\ (I =\ розрив {525} {d ^ {2}}\) ">$525$
\ (t\) в футах">$2$	\ (I =\ розрив {525} {d ^ {2}}\) ">$131.25$
\ (t\) в футах">$3$	\ (I =\ розрив {525} {d ^ {2}}\) ">$58.33$
\ (t\) в футах">$4$	\ (I =\ розрив {525} {d ^ {2}}\) ">$32.81$
\ (t\) в футах">$5$	\ (I =\ розрив {525} {d ^ {2}}\) ">$21$

Цей тип відносин описується як зворотна варіація ⁴⁴. Ми говоримо, що I обернено пропорційний ⁴⁵ квадрату відстані$d$, де$525$ is the constant of proportionality. In general, we have

Таблиця$\PageIndex{4}$

Ключові слова	Переклад
«$y$змінюється обернено, як$x$»	$y = \frac { k } { x }$
«$y$обернено пропорційна$x$»

Знову ж таки,$k$ ненульовий і називається константою варіації або константою пропорційності.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Вага об'єкта змінюється обернено, як квадрат його відстані від центру Землі. Якщо об'єкт важить$100$ фунти на поверхні Землі (приблизно в$4,000$ милі від центру), скільки він буде важити в$1,000$ милі над поверхнею Землі?

Рішення

$w$Дозволяти представляти вагу об'єкта.

$d$Дозволяти представляти відстань об'єкта від центру Землі.

Оскільки «$w$змінюється обернено, як квадрат»$d$, ми можемо написати

$w = \frac { k } { d ^ { 2 } }$

Використовуйте надану інформацію для пошуку$k$. Об'єкт важить$100$ фунти на поверхні Землі, приблизно в$4,000$ милі від центру. Іншими словами,$w = 100$ коли$d = 4,000$:

$100 = \frac { k } { ( 4,000 ) ^ { 2 } }$

Вирішити для$k$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{( 4,000 ) ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} 100 & =\color{Cerulean}{ ( 4,000 ) ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { k } { ( 4,000 ) ^ { 2 } } \\ 1,600,000,000 &= k \\ 1.6 \times 10 ^ { 9 } &= k \end{aligned}$

Тому ми можемо змоделювати проблему за такою формулою:

$w = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { d ^ { 2 } }$

Щоб скористатися формулою, щоб знайти вагу, нам потрібно відстань від центру Землі. Оскільки об'єкт знаходиться в$1,000$ милі над поверхнею, знайдіть відстань від центру Землі, додавши$4,000$ милі:

$d = 4,000 + 1,000 = 5,000 \:\:\text{miles}$

Щоб відповісти на питання, скористайтеся формулою с$d = 5,000$.

$\begin{aligned} y & = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { ( \color{OliveGreen}{5,000}\color{black}{ )} ^ { 2 } } \\ & = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { 25,000,000 } \\ & = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { 2.5 \times 10 ^ { 9 } } \\ & = 0.64 \times 10 ^ { 2 } \\ & = 64 \end{aligned}$

Відповідь:

Об'єкт буде важити$64$ фунти на відстані$1,000$ миль над поверхнею Землі.

Нарешті, ми визначаємо зв'язки між декількома змінними, описаними як спільна варіація ⁴⁶. Загалом, у нас є

Таблиця$\PageIndex{5}$

Ключові слова	Переклад
«$y$варіюється спільно як$x$ і$z$»	$y = k x z$
«$y$спільно пропорційна ^47$x$ і$z$»

Тут$k$ ненульова і називається константою варіації або константою пропорційності.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Площа еліпса змінюється разом як$a$ половина великої осі еліпса, так і половина другорядної осі еліпса$b$, як показано на малюнку. Якщо площа еліпса дорівнює$300π cm^{2}$, де$a=10$ см і$b=30$ см, яка константа пропорційності? Дайте формулу для площі еліпса.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Рішення

Якщо ми дозволимо$A$ представляти площу еліпса, то ми можемо використовувати оператор «площа змінюється спільно як$a$ і$b$», щоб написати

$A=kab$

Щоб знайти константу варіації$k$, використовуйте той факт, що площа - це$300π$ коли$a=10$ і$b=30$.

$\begin{array} { c } { 300 \pi = k ( \color{OliveGreen}{10}\color{black}{ )} (\color{OliveGreen}{ 30}\color{black}{ )} } \\ { 300 \pi = 300 k } \\ { \pi = k } \end{array}$

Тому формула для площі еліпса є

$A=πab$

Відповідь:

Константа пропорційності є$π$ і формула для площі еліпса є$A=abπ$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Враховуючи, що$y$ змінюється безпосередньо як квадрат, так$x$ і обернено з$z$, де$y=2$ коли$x=3$ і$z=27$, знайти,$y$ коли$x=2$ і$z=16$.

Відповідь

$\frac{3}{2}$

www.youtube.com/В/ЕЕ3АФ7Б6 кг

Ключові винос

• При вирішенні задач відстані, де елемент часу невідомий, використовуйте еквівалентну форму формули рівномірного руху$t=\frac{D}{r}$, щоб уникнути введення більшої кількості змінних.
• При вирішенні завдань з нормою роботи помножте індивідуальну норму роботи на час, щоб отримати частину виконаного завдання. Сума частин завдання призводить до загального обсягу виконаної роботи.
• Налаштування проблем варіації зазвичай вимагає декількох кроків. Спочатку визначте ключові слова, щоб встановити рівняння, а потім використовувати дану інформацію, щоб знайти константу варіації$k$. Визначивши константу варіації, напишіть формулу, яка моделює задачу. Як тільки формула знайдена, використовуйте її, щоб відповісти на питання.

Вправа$\PageIndex{4}$

Використовуйте алгебру для вирішення наступних програм.

1. Щоранку Джим проводить$1$ годинні вправи. Він пробігає$2$ милі, а потім він велосипеди$16$ миль. Якщо Джим може їздити на велосипеді вдвічі швидше, ніж він може бігати, на якій швидкості він в середньому на своєму велосипеді?
2. Саллі біжить$3$ раз так швидко, як вона ходить. Вона побігла на$\frac{3}{4}$ милю, а потім пройшла ще$3 \frac{1}{2}$ милі. Загальна тренування зайняла$1 \frac{1}{2}$ години. Якою була середня швидкість ходьби Саллі?
3. У відрядженні виконавчий проїхав$720$ милі на реактивному літаку, а потім ще$80$ милі на вертольоті. Якщо реактивний літак$3$ усереднював швидкість вертольота, а загальна поїздка зайняла$4$ години, якою була середня швидкість реактивного літака?
4. Тріатлоніст може працювати$3$ раз так швидко, як вона може плавати і велосипед$6$ раз так швидко, як вона може плавати. Гонка складається з запливу$\frac{1}{4}$ милі, пробігу$3$ милі та велосипедної гонки на$12$ милі. Якщо вона може завершити всі ці події за$1 \frac{5}{8}$ годину, то як швидко вона може плавати, бігати і їздити на велосипеді?
5. Під час дорожньої поїздки Марті зміг проїхати в середньому$4$ милі на годину швидше, ніж Джордж. Якби Марті зміг проїхати$39$ милі за однакову кількість часу, який Джордж проїхав$36$ милі, якою була середня швидкість Марті?
6. Автобус проходить$8$ милі на годину швидше, ніж тролейбус. Якщо автобус проїжджає$9$ милі за однакову кількість часу, тролейбус може проїхати$7$ милі, яка середня швидкість кожного?
7. Террі вирішив пробігти$5$ милі до міста. У зворотній поїздці вона пройшла$5$ кілометри додому на половині швидкості, яку змогла пробігти підтюпцем. Якщо загальна поїздка зайняла$3$ години, якою була її середня швидкість бігу підтюпцем?
8. Джеймс проїхав$24$ милі до міста і назад за$1$ годину. На зворотній поїздці він зміг в середньому$20$ милі на годину швидше, ніж він усереднений під час поїздки в місто. Якою була його середня швидкість під час поїздки в місто?
9. Легкий літак зміг проїхати милі з$189$$14$ милею на годину попутного вітру в той же час, коли він зміг проїхати$147$ милі проти нього. Якою була швидкість літака в спокійному повітрі?
10. Реактивний літак пролетів$875$$30$ милі з милею на годину попутного вітру. На зворотній поїздці, проти$30$ милі на годину зустрічного вітру, він зміг подолати лише$725$ милі за ту ж кількість часу. Як швидко йшов струмінь в спокійному повітрі?
11. Вертоліт в середньому проходив$90$ милі на годину в спокійному повітрі. Літаючи з вітром, він зміг проїхати$250$ милі за ту ж кількість часу, який знадобився, щоб проїхати$200$ милі проти нього. Яка швидкість вітру?
12. Мері і Джо здійснили дорожню поїздку на окремих мотоциклах. Середня швидкість Мері була$12$ милями на годину менше середньої швидкості Джо. Якщо Мері проїхала$115$ милі в той же час, коли Джо проїхав$145$ милі, якою була середня швидкість Марії?
13. Човен в середньому$12$ милі на годину в негазованій воді. Під час подорожі вниз за течією, з течією, човен зміг пройти$26$ милі. Потім човен обернувся і повернувся вгору за течією$33$ миль. Наскільки швидко був струм, якщо загальна поїздка зайняла$5$ години?
14. Якщо течія річки протікає в середньому$3$ милі на годину, екскурсійний човен може здійснити$18$ -мильний тур вниз за течією з течією і назад$18$ милі проти течії в$4 \frac{1}{2}$ годинами. Яка середня швидкість човна в негазованій воді?
15. Хосе проїхав$10$ милі до будинку своєї бабусі на вечерю і назад того ж вечора. Через трафік він в середньому набирав$20$ миль на годину менше на зворотній поїздці. Якщо додому знадобилася$\frac{1}{4}$ година довше, якою була його середня швидкість їзди до будинку бабусі?
16. Джеррі катався на байдарці, вгору за течією проти$1$ течії миль/год, протягом$12$ миль. Поїздка назад, нижче за течією з течією$1$ миль/год, зайняла на годину менше часу. Як швидко Джеррі весла байдарка в негазованій воді?
17. Джеймс і Мілдред залишили одне і те ж місце на окремих автомобіках і зустрілися в Лос-Анджелесі за$300$ милі. Джеймс зміг в середньому$10$ милі на годину швидше, ніж Мілдред в поїздці. Якщо Джеймс прибув на$1$ годину раніше, ніж Мілдред, якою була середня швидкість Мілдред?
18. Автобус проходить$20$ милі на годину швидше, ніж велосипед. Якщо Білл сідає на автобус в той же час і місце, що Мері відправляється на своєму велосипеді, Білл прибуде в центр міста$5$ милі на$\frac{1}{3}$ годину раніше, ніж Мері. Яка середня швидкість автобуса?

Відповідь

1. $20$миль на годину

3. $240$миль на годину

5. $52$миль на годину

7. $5$миль на годину

9. $112$миль на годину

11. $10$миль на годину

13. $1$миля на годину

15. $40$миль на годину

17. $50$миль на годину

Вправа$\PageIndex{5}$

Використовуйте алгебру для вирішення наступних програм.

1. Майк може пофарбувати офіс сам за кілька$4 \frac{1}{2}$ годин. Йорданія може пофарбувати офіс за$6$ годинами. Скільки часу знадобиться їм, щоб розфарбувати офіс, що працюють разом?
2. Баррі може прокласти цегляну під'їзну дорогу самостійно за$3 \frac{1}{2}$ кілька днів. Роберт виконує ту ж роботу в$5$ дні. Скільки часу знадобиться їм, щоб укласти цегляну під'їзну доріжку, що працює разом?
3. Більша труба заповнює резервуар для води в два рази швидше, ніж труба меншого розміру. Коли використовуються обидві труби, вони заповнюють бак за$10$ годинами. Якщо більшу трубу залишити, скільки часу знадобиться менша труба, щоб заповнити бак?
4. Новіший принтер може друкувати вдвічі швидше, ніж старий принтер. Якщо обидва принтери, що працюють разом, можуть надрукувати партію флаєрів за$45$ лічені хвилини, то скільки часу знадобиться старому принтеру, щоб надрукувати партію, що працює поодинці?
5. Мері може зібрати велосипед для показу за$2$ годинами. На складання велосипеда у Джейн потрібні$3$ години. Скільки часу буде потрібно Мері і Джейн, працюючи разом, щоб зібрати$5$ велосипеди?
6. Працюючи поодинці, Джеймсу потрібно вдвічі більше часу, щоб зібрати комп'ютер, ніж це займає Білл. За одну$8$ годинну зміну, працюючи разом, Джеймс і Білл можуть збирати$6$ комп'ютери. Скільки часу знадобилося б Джеймсу, щоб зібрати комп'ютер, якби він працював один?
7. Працюючи поодинці, Гаррі займає одну годину довше, ніж Майку, щоб встановити фонтан. Разом вони можуть встановлювати$10$ фонтани за$12$ годинами. Скільки часу знадобиться Майку, щоб встановити$10$ фонтани самостійно?
8. Працюючи поодинці, Генрі займає$2$ години довше, ніж Білл, щоб пофарбувати кімнату. Працюючи разом, вони малювали$2 \frac{1}{2}$ кімнати за$6$ годинами. Скільки часу знадобилося б Генрі, щоб намалювати таку ж суму, якби він працював один?
9. Менні, працюючи поодинці, може встановити нестандартний шафа за$3$ години менше часу, ніж його помічник. Працюючи разом, вони можуть встановити шафа за$2$ годинами. Скільки часу займе Менні, щоб встановити шафа, що працює самостійно?
10. Працюючи поодинці, Гаррет може зібрати садовий сарай за$5$ години менше часу, ніж його брат. Працюючи разом, їм потрібні$6$ години, щоб побудувати садовий сарай. Скільки часу знадобиться Гаррет, щоб побудувати сарай, що працює поодинці?
11. Працюючи поодинці, помічник-менеджер займає$2$ більше годин, ніж менеджеру, щоб записати інвентаризацію всього цеху. Після спільної роботи протягом декількох$2$ годин у помічника-менеджера знадобилася$1$ додаткова година для завершення інвентаризації. Скільки часу знадобилося б менеджеру, щоб завершити інвентаризацію, працюючи поодинці?
12. Старший принтер може роздрукувати партію рекламних брошур за$16$ лічені хвилини. Новіший принтер може надрукувати ту саму партію за$10$ лічені хвилини. Після спільної роботи протягом деякого часу, новий принтер був вимкнений, і старішому принтеру знадобилося$3$ більше хвилин, щоб завершити роботу. Як довго працював новіший принтер?

Відповідь

1. $2 \frac{4}{7}$годин

3. $30$годин

5. $6$годин

7. $20$годин

9. $3$годин

11. $4$годин

Вправа$\PageIndex{6}$

Переведіть кожне з наступних пропозицій в математичну формулу.

1. Відстань$D$, яку може проїхати автомобіль, прямо пропорційна часу$t$, який він проїжджає з постійною швидкістю.
2. Розширення підвісної пружини$d$ прямо пропорційно$w$ прикріпленому до неї вазі.
3. $d$Гальмівний шлях автомобіля прямо пропорційний квадрату швидкості автомобіля$v$.
4. $V$Обсяг сфери змінюється безпосередньо як куб її радіуса$r$.
5. Обсяг$V$ даної маси газу обернено пропорційний$p$ тиску, що чиниться на нього.
6. Кожна частинка речовини у Всесвіті притягує кожну іншу частинку силою$F$, прямо пропорційною$m_{2}$ добутку мас$m_{1}$ і частинок, і вона обернено пропорційна квадрату відстані d між ними.
7. Прості відсотки$I$ спільно пропорційні річній процентній ставці$r$ і часу$t$ в роках вкладається фіксована сума грошей.
8. Час,$t$ необхідний об'єкту для падіння, прямо пропорційний квадратному кореню відстані, яку$d$ він падає.

Відповідь

1. $D=kt$

3. $d=kv^{2}$

5. $V = \frac{k}{p}$

7. $I=krt$

Вправа$\PageIndex{7}$

Побудувати математичну модель з урахуванням наступного:

1. $y$змінюється безпосередньо як$x$, так і$y=30$ коли$x=6$.
2. $y$змінюється безпосередньо як$x$, так і$y=52$ коли$x=4$.
3. $y$прямо пропорційна$x$, і$y=12$ коли$x=3$.
4. $y$прямо пропорційна$x$, і$y=120$ коли$x=20$.
5. $y$прямо пропорційна$x$, і$y=3$ коли$x=9$.
6. $y$прямо пропорційна$x$, і$y=21$ коли$x=3$.
7. $y$змінюється обернено як$x$, так і$y=2$ коли$x=\frac{1}{8}$.
8. $y$змінюється обернено як$x$, так і$y=\frac{3}{2}$ коли$x=\frac{1}{9}$.
9. $y$спільно пропорційна$x$ і$z$, де$y=2$ коли$x=1$ і$z=3$.
10. $y$спільно пропорційна$x$ і$z$, де$y=15$ коли$x=3$ і$z=7$.
11. $y$варіюється спільно як$x$ і$z$, де$x=\frac{1}{2}$ і$y=\frac{2}{3}$ коли$z=12$.
12. $y$варіюється спільно як$x$ і$z$, де$x=\frac{3}{2}$ і$y=5$ коли$z=\frac{2}{9}$.
13. $y$змінюється безпосередньо як квадрат$x$, де$y=45$ коли$x=3$.
14. $y$змінюється безпосередньо як квадрат$x$, де$y=3$ коли$x=\frac{1}{2}$.
15. $y$обернено пропорційна квадрату$x$, де$y=27$ коли$x=\frac{1}{3}$.
16. $y$обернено пропорційна квадрату$x$, де$y=9$ коли$x=\frac{2}{3}$.
17. $y$варіюється спільно як$x$ і квадрат$z$, де$y=6$ коли$x=\frac{1}{4}$ і$z=\frac{2}{3}$.
18. $y$варіюється спільно як$x$$z$ і обернено як квадрат$w$, де$y=5$ коли$z=1, z=3$, і$w=\frac{1}{2}$.
19. $y$змінюється безпосередньо як квадратний корінь$x$ і обернено як квадрат$z$, де$y=15$ коли$x=25$ і$z=2$.
20. $y$змінюється безпосередньо як квадрат$x$ і обернено, як$z$ і квадрат$w$, де$y=14$ коли$x=4, w=2$ і$z=2$.

Відповідь

1. $y=5x$

3. $y=4x$

5. $y=\frac{27}{x}$

7. $y=\frac{1}{4x}$

9. $y=\frac{2}{3}xz$

11. $y=\frac{1}{9}xz$

13. $y=5x^{2}$

15. $y = \frac { 3 } { x ^ { 2 } }$

17. $y = 54 x z ^ { 2 }$

19. $y = \frac { 12 \sqrt { x } } { z ^ { 2 } }$

Вправа$\PageIndex{8}$

Вирішити додатки, що включають варіацію.

1. Виручка в доларах прямо пропорційна кількості проданих брендових світшотів. Дохід, отриманий від продажу$25$ толстовок, становить$$318.75$. Визначте виручку, якщо продаються$30$ толстовки.
2. Податок з продажу при покупці нового автомобіля варіюється безпосередньо як і ціна автомобіля. Якщо купується$$18,000$ новий автомобіль, то податок з продажу становить$$1,350$. Скільки стягується податок з продажу, якщо новий автомобіль коштує за ціною$$22,000$?
3. Ціна частки простих акцій в компанії прямо пропорційна прибутку на акцію (EPS) попередніх$12$ місяців. Якщо ціна частки звичайних акцій в компанії становить $22,55, а EPS публікується, щоб бути$$1.10$, визначте вартість акцій, якщо EPS збільшується на$$0.20$.
4. Відстань, пройдена в дорожній поїздці, залежить безпосередньо від часу, проведеного в дорозі. Якщо$126$ -мильна поїздка може бути здійснена за$3$ годинами, то яку відстань можна проїхати в$4$ годинами?
5. Окружність кола прямо пропорційна його радіусу. Окружність кола з радіусом$7$ сантиметрів вимірюється як$14π$ сантиметри. Що таке константа пропорційності?
6. Площа кола змінюється безпосередньо як квадрат його радіуса. Площа кола з радіусом$7$ сантиметрів визначається$49π$ квадратними сантиметрами. Що таке константа пропорційності?
7. Площа поверхні сфери змінюється безпосередньо як квадрат її радіуса. Коли радіус сфери вимірює$2$ метри, площа поверхні вимірює$16π$ квадратні метри. Знайдіть площу поверхні сфери з радіусом$3$ метрів.
8. Обсяг сфери змінюється безпосередньо як куб її радіуса. Коли радіус сфери вимірює$3$ метри, обсяг становить$36π$ кубічні метри. Знайдіть об'єм сфери з радіусом$1$ метра.
9. При фіксованій висоті обсяг конуса прямо пропорційний квадрату радіуса біля основи. Коли радіус біля основи вимірює$10$ сантиметри, обсяг становить$200$ кубічні сантиметри. Визначте обсяг конуса, якщо радіус підстави зменшений вдвічі.
10. Відстань, на яку$d$ об'єкт у вільному падінні падає, залежить безпосередньо від квадрата часу$t$, коли він падав. Якщо предмет у вільному падінні опускає$36$ ноги за$1.5$ лічені секунди, то як далеко він впаде за$3$ лічені секунди?

Відповідь

1. $$382.50$

3. $$26.65$

5. $2π$

7. $36π$квадратних метрів

9. $50$кубічні сантиметри

Вправа$\PageIndex{9}$

Закон Гука передбачає, що розширення підвісної пружини прямо пропорційно прикріпленому до неї вазі. Константа зміни називається постійною пружини.

Ілюстрація$\PageIndex{9}$: Роберт Гук (1635-1703)

1. Висяча пружина розтягується на$5$ дюйми, коли до неї прикріплюється вага$20$ -фунт. Визначте його постійну пружини.
2. Висяча пружина розтягується$3$ сантиметрами, коли до неї прикріплений$2$ кілограмовий вага. Визначте постійну пружини.
3. Якщо підвісна пружина розтягується на$3$ дюйми, коли прикріплена вага$2$ -фунт, наскільки вона розтягнеться з додаванням ваги$5$ -pound?
4. Якщо підвісна пружина розтягується$6$ сантиметрами, коли до неї прикріплений$4$ кілограмовий вага, на скільки вона розтягнеться з прикріпленою вагою$2$ -кілограма?

Відповідь

1. $\frac{1}{4}$

3. $7.5$дюймів

Вправа$\PageIndex{10}$

Гальмівний шлях автомобіля прямо пропорційний квадрату його швидкості.

1. Потрібно$36$ ноги, щоб зупинити конкретний автомобіль, що рухається зі швидкістю$30$ миль на годину. Скільки дистанції розриву потрібно, якщо швидкість становить$35$ милі на годину?
2. Після аварії було визначено, що водієві потрібні$80$ ноги, щоб зупинити свій автомобіль. В експерименті в подібних умовах потрібно$45$ ноги, щоб зупинити автомобіль, що рухається зі швидкістю$30$ миль на годину. Оцініть, наскільки швидко рухався водій до аварії.

Ілюстрація$\PageIndex{10}$: Роберт Бойл (1627-1691)

Відповідь

1. $49$ноги

Вправа$\PageIndex{11}$

Закон Бойла говорить, що якщо температура залишається постійною, обсяг$V$ даної маси газу обернено пропорційний$p$ тиску, що чиниться на неї.

1. Повітряна куля заповнюється до обсягу$216$ кубічних дюймів на дайвінг-човні під тиском$1$ атмосфери. Якщо балон береться під водою приблизно$33$ футів, де тиск вимірює$2$ атмосфери, то який обсяг балона?
2. Балон заповнюється до$216$ кубічних дюймів під тиском$3$ атмосфер на глибині$66$ футів. Який би обсяг був на поверхні, де тиск$1$ атмосфери?
3. Щоб збалансувати гойдалки, відстань від точки опори, на якій повинен сидіти людина, обернено пропорційно його вазі. Якщо хлопчик$72$ -фунт сидить$3$ ноги від точки опори, як далеко від точки опори повинен сидіти$54$ -фунт хлопчик, щоб збалансувати гойдалки?
4. Струм$I$ в електричному провіднику обернено пропорційний його опору$R$. Якщо струм$\frac{1}{4}$ ампер при опорі$100$ Ом, який струм при опорі$150$ Ом?
5. Величина освітленості$I$ обернено пропорційна квадрату відстані$d$ від джерела світла. Якщо$70$ ножні свічки освітлення$2$ вимірюються в футах від лампи, який рівень освітленості можна очікувати$\frac{1}{2}$ від лампи?
6. Величина освітленості$I$ обернено пропорційна квадрату відстані$d$ від джерела світла. Якщо$40$ ніжки-свічки освітлення вимірюються в$3$ футах від лампи, на якій відстані можна очікувати$10$ фут-свічки освітлення?
7. Кількість чоловіків, представлених$y$, необхідних для прокладки бруківки під'їзної дороги прямо пропорційно площі$A$ під'їзної частини і обернено пропорційно кількості часу,$t$ відведеного для виконання роботи. Як правило,$3$ чоловіки можуть укладати$1,200$ квадратні фути кругляка за$4$ годинами. Скільки чоловіків потрібно буде укладати$2,400$ квадратні фути кругляка в$6$ годинами?
8. Обсяг правого кругового циліндра змінюється спільно як квадрат його радіуса і його висоти. Правий круглий циліндр з$3$ -сантиметровим радіусом і висотою$4$ сантиметрів має обсяг$36π$ кубічних сантиметрів. Знайдіть формулу об'єму правого кругового циліндра через його радіус і висоту.
9. Період$T$ маятника прямо пропорційний квадратному кореню його довжини$L$. Якщо довжина маятника$1$ метр, то період становить приблизно$2$ секунди. Приблизний період маятника, який становить$0.5$ метр в довжину.
10. Час,$t$ необхідний об'єкту для падіння, прямо пропорційний квадратному кореню відстані, яку$d$ він падає. Об'єкт, що впав з$4$ ніг, займе$\frac{1}{2}$ друге місце, щоб вдарити об землю. Скільки часу знадобиться скинутий з$16$ ніг предмет, щоб вдаритися об землю?

Відповідь

1. $108$кубічних дюймів

3. $4$ноги

5. $1,120$ножні свічки

7. $4$чоловіки

9. $1.4$секунд

Вправа$\PageIndex{12}$

Універсальний закон гравітації Ньютона стверджує, що кожна частинка матерії у Всесвіті притягує кожну іншу частинку силою,$F$ яка прямо пропорційна$m_{2}$ добутку мас$m_{1}$ і частинок і обернено пропорційна квадрату відстані. $d$між ними. Константа пропорційності називається гравітаційної константою.

Ілюстрація$\PageIndex{11}$: Сер Ісаак Ньютон (1643-1727)

1. Якщо два об'єкти з масою$50$ кілограмів і$100$ кілограмів знаходяться в$\frac{1}{2}$ метрах один від одного, то вони виробляють приблизно$1.34 × 10^{−6}$ ньютони (N) сили. Обчисліть гравітаційну константу.
2. Використовуйте гравітаційну константу з попередньої вправи, щоб написати формулу, яка наближає силу$F$ в ньютонах між двома масами$m_{1}$ і$m_{2}$, виражену в кілограмах, враховуючи відстань$d$ між ними в метрах.
3. Обчисліть силу в ньютонах між Землею і Місяцем, враховуючи, що маса Місяця дорівнює приблизно$7.3 × 10^{22}$ кілограмам, маса Землі дорівнює приблизно$6.0 × 10^{24}$ кілограмам, а відстань між ними - в середніх$1.5 × 10^{11}$ метрах.
4. Обчисліть силу в ньютонах між Землею і Сонцем, враховуючи, що маса Сонця дорівнює приблизно$2.0 × 10^{30}$ кілограмам, маса Землі дорівнює приблизно$6.0 × 10^{24}$ кілограмам, а відстань між ними - в середніх$3.85 × 10^{8}$ метрах.
5. Якщо$y$ змінюється безпосередньо як квадрат$x$, то як$y$ зміниться, якщо$x$ подвоюється?
6. Якщо$y$ змінюється обернено, як квадрат$t$, то як$y$ зміниться, якщо$t$ подвоюється?
7. Якщо$y$ змінюється безпосередньо як квадрат$x$ і обернено як квадрат$t$, то як$y$ зміниться, якщо обидва$x$ і$t$ подвоюються?

Відповідь

1. $6.7 \times 10 ^ { - 11 } \mathrm { Nm } ^ { 2 } / \mathrm { kg } ^ { 2 }$

3. $1.98 \times 10 ^ { 20 } \mathrm { N }$

5. $y$зміни за фактором$4$

7. $y$залишається незмінним

Виноски

³⁷ Описано формулою$D = rt$, де відстань$D$ задається як добуток середньої швидкості$r$ і часу,$t$ пройденого з цією швидкістю.

³⁸ Швидкість, з якою може бути виконано завдання.

³⁹$\frac { 1 } { t _ { 1 } } \cdot t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } \cdot t = 1$, де$\frac { 1 } { t _ { 1 } }$ і$\frac { 1 } { t _ { 2 } }$ є індивідуальними нормами роботи, і t - час, необхідний для виконання завдання, працюючи разом.

⁴⁰ Описує дві величини$x$$y$, які є постійними кратними один одному:$y = kx$.

⁴¹ Ненульовий$k$ кратний, коли величини змінюються прямо або обернено.

⁴² Використовується при посиланні на константу зміни.

⁴³ Використовується при зверненні до прямої варіації.

⁴⁴ Описує дві величини$x$ і$y$, де одна змінна прямо пропорційна зворотному іншому:$y = \frac{k}{x}$.

⁴⁵ Використовується при посиланні на зворотну варіацію.

⁴⁶ Описує кількість$y$, яка безпосередньо змінюється як продукт двох інших величин$x$ і$z: y = kxz$.

⁴⁷ Використовується при посиланні на спільну варіацію.