4.7: Рішення раціональних рівнянь

Цілі навчання

• Вирішити раціональні рівняння
• Вирішити буквальні рівняння, або формули, що включають раціональні вирази.
• Вирішуйте додатки за участю взаємних невідомих.

Рішення раціональних рівнянь

Раціональне рівняння ³³ - це рівняння, що містить хоча б один раціональний вираз. Раціональні вирази зазвичай містять змінну в знаменнику. З цієї причини ми подбаємо про те, щоб знаменник не був,$0$ зазначивши обмеження та перевіряючи наші рішення. Розв'язування раціональних рівнянь передбачає очищення дробів шляхом множення обох сторін рівняння на найменш спільний знаменник (РК).

Приклад$\PageIndex{1}$:

Вирішити:$\frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } = \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }$.

Рішення

Спочатку робимо позначку про обмеження на\(x, x≠0\). Потім ми множимо обидві сторони на РК-дисплей, який в даному випадку дорівнює$2x^{2}$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } \right) & =\color{Cerulean}{ 2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } } \right)\quad\quad\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:the\:LCD.} \\ \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { x } + \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 2 } { x ^ { 2 } } & = \color{Cerulean}{2 x ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 2 x + 4 & = x + 9\quad\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Simplify\:and\:then\:solve.} \\ x & = 5 \end{aligned}$

Перевірте свою відповідь. Підставте$x=5$ в вихідне рівняння і подивіться, чи отримаєте ви справжнє твердження.

$\begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } = \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }\quad \color{Cerulean} { Original\:equation } } \\ { \frac { 1 } { \color{OliveGreen}{5} }\color{black}{ +} \frac { 2 } { \color{OliveGreen}{5} ^ { \color{black}{2} } } = \frac { \color{OliveGreen}{5}\color{black}{ +} 9 } { 2 ( \color{OliveGreen}{5}\color{black}{ )} ^ { 2 } }\quad \color{Cerulean} { Check \: x = 5.} } \\ { \frac { 1 } { 5 } + \frac { 2 } { 25 } = \frac { 14 } { 2 \cdot 25 } } \\ \frac{5}{25} + \frac{2}{25} = \frac{7}{25} \\ {\frac{7}{25}=\frac{7}{25}} \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}$

Відповідь:

Рішення є$5$.

Після множення обох сторін попереднього прикладу на РК-дисплей, нам залишилося лінійне рівняння для вирішення. Це не завжди так; іноді нам залишиться квадратне рівняння.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Вирішити:$\frac { 3 ( x + 2 ) } { x - 4 } - \frac { x + 4 } { x - 2 } = \frac { x - 2 } { x - 4 }$.

Рішення

В даному прикладі є два обмеження,$x≠4$ і$x≠2$. Почніть з множення обох сторін на РК-дисплей,$(x−2)(x−4)$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{(x-2)(x-4)}\color{black}{\cdot} \left( \frac{3(x+2)}{x-4}-\frac{x+4}{x-2} \right) &= \color{Cerulean}{(x-2)(x-4)}\color{black}{\cdot} \left( \frac{x-2}{x-4} \right)\\ \color{Cerulean}{(x-2)\cancel{(x-4)}}\color{black}{\cdot} \frac{3(x+2)}{\cancel{x-4}} - \color{Cerulean}{\cancel{(x-2)}(x-4)}\color{black}{\cdot} \frac{x+4}{\cancel{x-2}} &= \color{Cerulean}{(x-2)\cancel{(x-4)}}\color{black}{\cdot} \frac{x-2}{\cancel{x-4}} \\ 3 ( x + 2 ) ( x - 2 ) - ( x + 4 ) ( x - 4 ) & = ( x - 2 ) ( x - 2 ) \\ 3 \left( x ^ { 2 } - 4 \right) - \left( x ^ { 2 } - 16 \right) & = x ^ { 2 } - 2 x - 2 x + 4 \\ 3 x ^ { 2 } - 12 - x ^ { 2 } + 16 & = x ^ { 2 } - 4 x + 4\\ 2x^{2} + 4 & = x^{2}-4x+4 \end{aligned}$

Після розподілу та спрощення обох сторін рівняння залишається квадратне рівняння. Для розв'язання перепишіть квадратне рівняння в стандартній формі, коефіцієнті, а потім встановіть кожен коефіцієнт рівним 0.

$\begin{array} { l } { 2 x ^ { 2 } + 4 = x ^ { 2 } - 4 x + 4 } \\ { x ^ { 2 } + 4 x = 0 } \\ { x ( x + 4 ) = 0 } \end{array}$

$\begin{aligned} x = 0 \text { or } x + 4 & = 0 \\ x & = - 4 \end{aligned}$

Перевірте, чи вирішують ці значення вихідне рівняння.

$\frac { 3 ( x + 2 ) } { x - 4 } - \frac { x + 4 } { x - 2 } = \frac { x - 2 } { x - 4 }$

Таблиця$\PageIndex{1}$

Перевірити$x=0$

Перевірити$x=4$

\ (x = 0\) ">$\begin{aligned} \frac { 3 ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ +} 2 ) } {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ -} 4 } - \frac {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ +} 4 } {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ -} 2 } & = \frac { \color{Cerulean}{0}\color{black}{ -} 2 } { \color{Cerulean}{0}\color{black}{ -} 4 } \\ \frac { 6 } { - 4 } - \frac { 4 } { - 2 } & = \frac { - 2 } { - 4 } \\ - \frac { 3 } { 2 } + 2 & = \frac { 1 } { 2 } \\ - \frac { 3 } { 2 } + \frac { 4 } { 2 } & = \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & = \frac { 1 } { 2 } \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

\ (x = 4\) ">$\begin{aligned} \frac { 3 ( \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ +} 2 ) } { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 4 } - \frac {\color{Cerulean}{ - 4}\color{black}{ +} 4 } {\color{Cerulean}{ - 4}\color{black}{ -} 2 } & = \frac { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 2 } { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 4 } \\ \frac { 3 ( - 2 ) } { - 8 } - \frac { 0 } { - 6 } & = \frac { - 6 } { - 8 } \\ \frac { - 6 } { - 8 } - 0 & = \frac { 3 } { 4 } \\ \frac { 3 } { 4 } & = \frac { 3 } { 4 } \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Відповідь:

Рішення є$0$ і$−4$.

До цього моменту всі можливі рішення вирішували вихідне рівняння. Однак це може бути не завжди так. Множення обох сторін рівняння на змінні коефіцієнти може призвести до сторонніх розв'язків ³⁴, які є розв'язками, які не вирішують вихідного рівняння. Повний перелік кроків для вирішення раціонального рівняння викладено в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити:$\frac { 2 x } { 3 x + 1 } = \frac { 1 } { x - 5 } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { 3 x ^ { 2 } - 14 x - 5 }$.

Рішення

Крок 1: Розподіліть всі знаменники та визначте РК-дисплей.

$\begin{array} { l } { \frac { 2 x } { 3 x + 1 } = \frac { 1 } { x - 5 } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { 3 x ^ { 2 } - 14 x - 5 } } \\ { \frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } = \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) } } \end{array}$

РК-дисплей є$(3x+1)(x−5)$.

Крок 2: Визначте обмеження. В даному випадку$x≠−\frac{1}{3}$ і$x≠5$.

Крок 3: Помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей. Розподіліть обережно, а потім спростіть.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{( 3 x + 1 ) ( x - 5 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } &=\color{Cerulean}{ ( 3 x + 1 ) ( x - 5 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) }\right)\\ \color{Cerulean}{\cancel{(3x+1)}(x-5)}\color{black}{ \cdot}\frac{2x}{\cancel{(3x+1)}} &= \color{Cerulean}{(3x+1)\cancel{(x-5)}}\color{black}{\cdot} \frac{1}{\cancel{(x-5)}} -\color{Cerulean}{\cancel{ (3x+1)}\cancel{(x-5)}}\color{black}{ \cdot} \frac{4(x-1)}{\cancel{(3x+1)}\cancel{(x-5)}} \\ 2x(x-5) &=(3x+1)-4(x-1) \end{aligned}$

Крок 4: Розв'яжіть отримане рівняння. Тут в результаті виходить квадратне рівняння. Перепишіть його в стандартну форму, коефіцієнт, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним$0$.

$\begin{aligned} 2 x ( x - 5 ) & = ( 3 x + 1 ) - 4 ( x - 1 ) \\ 2 x ^ { 2 } - 10 x & = 3 x + 1 - 4 x + 4 \\ 2 x ^ { 2 } - 10 x & = - x + 5 \\ 2 x ^ { 2 } - 9 x - 5 & = 0 \\ ( 2 x + 1 ) ( x - 5 ) & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \quad\quad \text { or } &x - 5 &= 0 \\ 2 x & = - 1 & x &= 5 \\ x &= - \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}$

Крок 5: Перевірте наявність сторонніх рішень. Завжди підставляйте в вихідне рівняння або факторний еквівалент. У цьому випадку виберіть факторний еквівалент для перевірки:

$\frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } = \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) }$

Таблиця$\PageIndex{2}$

Перевірити$x=-\frac{1}{2}$	Перевірити$x=5$
\ (x=-\ гідророзриву {1} {2}\) ">$\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ - \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } \\ \frac { - 1 } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) } & = \frac { 1 } { \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } - \frac { 4 \left( - \frac { 3 } { 2 } \right) } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } \\ 2 & = -\frac{2}{11} - \frac{-6}{\left(\frac{11}{4} \right)} \\ 2 & = - \frac { 2 } { 11 } + \frac { 24 } { 11 } \\ 2 & = \frac { 22 } { 11 } \\ 2 & = 2 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$	\ (x = 5\) ">$\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{5 } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{5 } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{ 5 } \right) - 5 \right) } \\ \frac{10}{16} & = \frac{1}{0} - \frac{16}{0} \end{aligned}$
\ (x=-\ гідророзриву {1} {2}\) ">	\ (x = 5\) ">$\color{Cerulean}{Undefined}$

Тут$5$ є стороннє рішення і не входить в набір розчину. Важливо відзначити, що$5$ це обмеження.

Відповідь:

Рішення є$−12$.

Якщо цей процес виробляє рішення, яке трапляється, є обмеженням, то ігноруйте його як рішення.

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити:$\frac { 4 ( x - 3 ) } { 36 - x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 6 - x } + \frac { 2 x } { 6 + x }$.

Відповідь

$−\frac{3}{2}$

www.youtube.com/В/МХЛН5С53Дж1М

Іноді всі потенційні рішення є сторонніми, в цьому випадку ми говоримо, що немає рішення вихідного рівняння. У наступних двох прикладах ми демонструємо два способи, за допомогою яких раціональне рівняння не може мати розв'язків.

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити:$1 + \frac { 5 x + 22 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { x + 4 } { x - 1 }$

Рішення

Щоб ідентифікувати РК-дисплей, спочатку введіть знаменники.

$\begin{array} { c } { 1 + \frac { 5 x + 22 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { x + 4 } { x - 1 } } \\ { 1 + \frac { 5 x + 22 } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) } = \frac { x + 4 } { ( x - 1 ) } } \end{array}$

Помножте обидві сторони на РК-дисплей$(x+4)(x−1)$, розподіляючи обережно.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{ ( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \left( 1 + \frac { 5 x + 22 } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) } \right) &= \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \frac { x + 4 } { ( x - 1 ) } \\ \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} 1 +\color{Cerulean}{ ( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \frac { ( 5 x + 22 ) } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) }& = \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 ) }\color{black}{\cdot} \frac { ( x + 4 ) } { ( x - 1 ) } \\ (x+4)(x-1) + (5x+22) &=(x+4)(x+4) \\ x ^ { 2 } - x + 4 x - 4 + 5 x + 22& = x ^ { 2 } + 4 x + 4x + 16 \\ x ^ { 2 } + 8 x + 18 &= x ^ { 2 } + 8 x + 16 \\ 18 &= 16 \:\: \color{red} { False } \end{aligned}$

Рівняння є протиріччям і, таким чином, не має рішення.

Відповідь:

Немає рішення,$Ø$

Приклад$\PageIndex{5}$:

Вирішити:$\frac { 3 x } { 2 x - 3 } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) } { 4 x ^ { 2 } - 9 } = \frac { x } { 2 x + 3 }$.

Рішення

По-перше, множник знаменники.

$\frac { 3 x } { ( 2 x - 3 ) } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) } { ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) } = \frac { x } { ( 2 x + 3 ) }$

Зверніть увагу, що обмеження щодо домену є$x≠±\frac{3}{2}$. Для очищення дробів помножте на РК-дисплей,$(2x+3)(2x−3)$.

$\begin{aligned} \frac { 3 x \cdot \color{Cerulean}{( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } { \color{black}{( 2 x - 3 )} } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) \cdot \color{Cerulean}{( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } {\color{black}{ (} 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) } &= \frac { x \cdot \color{Cerulean}{ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } { \color{black}{(} 2 x + 3 ) } \\ 3 x ( 2 x + 3 ) - 3 ( 4 x + 3 ) &= x ( 2 x - 3 ) \\ 6 x ^ { 2 } + 9 x - 12 x - 9 &= 2 x ^ { 2 } - 3 x \\ 6 x ^ { 2 } - 3 x - 9 &= 2 x ^ { 2 } - 3 x \\ 4 x ^ { 2 } - 9 &= 0 \\ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) &= 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 x + 3 & = 0 \quad\quad \text { or }& 2 x - 3& = 0 \\ 2 x & = - 3 &2 x& = 3 \\ x &= - \frac { 3 } { 2 } & x& = \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}$

Обидва ці значення є обмеженнями вихідного рівняння; отже, обидва є сторонніми.

Відповідь:

Немає рішення,$Ø$

Важливо зазначити, що ця методика очищення алгебраїчних дробів працює лише для рівнянь. Не намагайтеся очистити алгебраїчні дроби при спрощенні виразів. Як нагадування, приклад кожного наведено нижче.

Таблиця$\PageIndex{3}$

Вираз	Рівняння
$\frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 }$	$\frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } =0$

Вирази повинні бути спрощені і рівняння повинні бути вирішені. Якщо помножити вираз на РК-дисплей$x (2x + 1)$, то отримаємо інший вираз, який не є еквівалентним.

Таблиця$\PageIndex{4}$

Невірно	Правильно
$\begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } } \\ { \neq \color{red}{x ( 2 x + 1 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } \right) } \\ { = 2 x + 1 + x ^ { 2 } } \color{red}{✗} \end{array}$	$\begin{aligned} \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } & = 0 \\ \color{Cerulean}{x(2x+1)} \color{black}{\cdot} ( \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } ) & = \color{Cerulean}{x ( 2 x + 1 )} \color{black}{\cdot}0 \\ 2 x + 1 + x ^ { 2 } & = 0 \\ x ^ { 2 } + 2 x + 1 & = 0 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$

Раціональні рівняння іноді виражаються за допомогою негативних показників.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішити:$6+x^{−1}=x^{−2}$.

Рішення^:

Почніть з видалення негативних показників.

$\begin{aligned} 6 + x ^ { - 1 } & = x ^ { - 2 } \\ 6 + \frac { 1 } { x } & = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \end{aligned}$

Тут ми можемо побачити обмеження,$x≠0$. Далі помножте обидві сторони на РК-дисплей,$x^{2}$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{x ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \left( 6 + \frac { 1 } { x } \right) & =\color{Cerulean}{ x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) \\ \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} 6 + \color{Cerulean}{x ^ { 2} } \color{black}{\cdot} \frac { 1 } { x } & =\color{Cerulean}{ x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \\ 6 x ^ { 2 } + x & = 1 \\ 6 x ^ { 2 } + x - 1 & = 0 \\ ( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3 x - 1 &= 0 \quad\quad \text { or } & 2 x + 1 &= 0 \\ 3 x &= 1 & 2 x & = - 1 \\ x &= \frac { 1 } { 3 } &x &= - \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

$−\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

Пропорція ³⁵ - це твердження рівності двох співвідношень.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Ця пропорція часто$a$ читається «$c$є$b$ як є»$d$. Задані будь-які ненульові дійсні числа$a, b, c$,$d$ які задовольняють пропорції, помножте обидві сторони на добуток знаменників, щоб отримати наступне:

$\begin{aligned} \frac { a } { b } & = \frac { c } { d } \\ \color{Cerulean}{b d}\color{black}{ \cdot} \frac { a } { b } & = \color{Cerulean}{b d}\color{black}{ \cdot} \frac { c } { d } \\ a d & = b c \end{aligned}$

Це показує, що перехресні продукти рівні, і їх зазвичай називають перехресним множенням ³⁶.

Якщо$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ тоді$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$

Перехресне множення, щоб вирішити пропорції, де терміни невідомі.

Приклад$\PageIndex{7}$

Вирішити:$\frac { 5 n - 1 } { 5 } = \frac { 3 n } { 2 }$.

Рішення

При перехресному множенні обов'язково групуйте$5n−1$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

$( 5 n - 1 ) \cdot 2 = 5 \cdot 3 n$

Застосуйте розподільну властивість на наступному кроці.

$\begin{aligned} ( 5 n - 1 ) \cdot 2 & = 5 \cdot 3 n \\ 10 n - 2 & = 15 n \quad \color{Cerulean} { Distribute. } \\ - 2 & = 5 n \quad\:\:\color{Cerulean}{Solve.} \\ \frac { - 2 } { 5 } & = n \end{aligned}$

Відповідь:

$n=−\frac{2}{5}$

Перехресне множення може бути використано як альтернативний метод розв'язання раціональних рівнянь. Ідея полягає в тому, щоб спростити кожну сторону рівняння до одного алгебраїчного дробу, а потім перехресного множення.

Приклад$\PageIndex{8}$

Вирішити:$\frac { 1 } { 2 } - \frac { 4 } { x } = - \frac { x } { 8 }$.

Рішення

Отримати єдиний алгебраїчний дріб з лівого боку шляхом віднімання еквівалентних дробів із загальним знаменником.

$\begin{aligned} \frac { 1 } { 2 } \cdot \color{Cerulean}{\frac { x } { x }}\color{black}{ -} \frac { 4 } { x } \cdot \color{Cerulean}{\frac { 2 } { 2 }} & \color{black}{=} - \frac { x } { 8 } \\ \frac { x } { 2 x } - \frac { 8 } { 2 x } & = - \frac { x } { 8 } \\ \frac { x - 8 } { 2 x } & = - \frac { x } { 8 } \end{aligned}$

Зверніть увагу на те$x≠0$, що, перемножте, а потім вирішуйте для$x$.

$\begin{aligned} \frac { x - 8 } { 2 x } & = \frac { - x } { 8 } \\ 8 ( x - 8 ) & = - x \cdot 2 x \\ 8 x - 64 & = - 2 x ^ { 2 } \\ 2 x ^ { 2 } + 8 x - 64 & = 0 \\ 2 \left( x ^ { 2 } + 4 x - 32 \right) & = 0 \\ 2 ( x - 4 ) ( x + 8 ) & = 0 \end{aligned}$

Далі встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю.

$\begin{aligned} x - 4 & = 0 \quad\quad\text { or } &x + 8 &= 0 \\ x & = 4 \quad &x &= - 8 \end{aligned}$

Чек залишається на зчитувач.

Відповідь:

$−8, 4$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити:$\frac { 2 ( 2 x - 5 ) } { x - 1 } = - \frac { x - 4 } { 2 x - 5 }$.

Відповідь

Відповідь:$2, 3$

www.youtube.com/В/ХК

Розв'язування літеральних рівнянь і додатків за участю взаємних

Буквальні рівняння, або формули, часто є раціональними рівняннями. Отже методи, описані в цьому розділі, можуть бути використані для вирішення конкретних змінних. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику ненульові.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Зворотне$R$ комбінованого опору двох резисторів$R_{1}$ і$R_{2}$ паралельно дається за формулою$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$. Вирішити для$R$ з точки зору$R_{1}$ і$R_{2}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення

Мета полягає в тому, щоб виділити$R$ на одній стороні рівняння. Почніть з множення обох сторін рівняння на РК-дисплей,$RR_{1}R_{2}$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{R R _ { 1 } R _ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R } &= \color{Cerulean}{R R _ { 1 } R _ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R _ { 1 } } +\color{Cerulean}{ R R _ { 1 } R _ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R _ { 2 } } \\ R _ { 1 } R _ { 2 } & = R R _ { 2 } + R R _ { 1 } \\ R _ { 1 } R _ { 2 } &= R \left( R _ { 2 } + R _ { 1 } \right) \\ \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } } { R _ { 2 } + R _ { 1 } } & = R \end{aligned}$

Відповідь:

$R = \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } } { R _ { 1 } + R _ { 2 } }$

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити для$y : x = \frac { 2 y + 5 } { y - 3 }$

Відповідь

$y = \frac { 3 x + 5 } { x - 2 }$

www.youtube.com/В/УССХХГЗБВА

Нагадаємо, що зворотне ненульового числа$n$ є$\frac{1}{n}$. Наприклад,$5$ взаємне є$\frac{1}{5}$ і$5⋅\frac{1}{5}=1$. У цьому розділі додатки часто будуть включати ключове слово «взаємний». Коли це так, ми побачимо, що алгебраїчна установка призводить до раціонального рівняння.

Приклад$\PageIndex{10}$:

Додатне ціле число$3$ менше іншого. Якщо зворотне від меншого цілого числа віднімається з подвійного зворотного більшого, то результат є$\frac{1}{20}$. Знайдіть два цілих числа.

Рішення

$n$Дозволяти представляти більше натуральне число.

$n − 3$Дозволяти представляти менше натуральне число.

Налаштуйте алгебраїчне рівняння.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Розв'яжіть це раціональне вираз, множивши обидві сторони на РК-дисплей. РК-дисплей є$20n(n−3)$.

$\begin{aligned} \frac { 2 } { n } - \frac { 1 } { n - 3 } &= \frac { 1 } { 20 } \\ \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 2 } { n } - \frac { 1 } { n - 3 } \right) &= \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 20 } \right) \\ \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 2 } { n } - \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { n - 3 } &= \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 20 } \right) \\ 40(n-3) - 20n &= n(n-3) \\40n - 120 -20n &=n^{2}-3n\\20n-120&=n^{2}-3n \\0 &= n^{2}-23n+120\\0&=(n-8)(n-15) \end{aligned}$

$\begin{aligned} n - 8 & = 0 \quad\quad\text { or } & n - 15 &= 0 \\ n & = 8 \quad& n &= 15 \end{aligned}$

Тут ми маємо дві життєздатні можливості для більшого цілого числа$n$. З цієї причини у нас буде два рішення цієї проблеми.

Якщо$n=8$, то$n−3=8−3=5$.

Якщо$n=15$, то$n−3=15−3=12$.

В якості перевірки виконайте операції, зазначені в проблемі.

$2 \left( \frac { 1 } { n } \right) - \frac { 1 } { n - 3 } = \frac { 1 } { 20 }$

Перевірте$8$ і$5$	Перевірте$15$ і$12$
\ (8\) і$5$ «>$\begin{aligned} 2 \left( \frac { 1 } { \color{Cerulean}{8} } \right)\color{black}{ -} \frac { 1 } { \color{Cerulean}{5} } & \color{black}{=} \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } \\ & = \frac { 5 } { 20 } - \frac { 4 } { 20 } \\ & = \frac { 1 } { 20 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$	\ (15\) і$12$ «>$\begin{aligned} 2 \left( \frac { 1 } { \color{Cerulean}{15} } \right) \color{black}{-} \frac { 1 } { \color{Cerulean}{12} } & \color{black}{=} \frac { 2 } { 15 } - \frac { 1 } { 12 } \\ & = \frac { 8 } { 60 } - \frac { 5 } { 60 } \\ & = \frac { 3 } { 60 } = \frac { 1 } { 20 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$

Відповідь:

Дві множини натуральних чисел вирішують цю задачу:$\{ 5,8 \}$ і$\{ 12,15 \}$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Коли зворотне більшого з двох послідовних парних цілих чисел віднімається з$4$ разів зворотного меншого, результат є$\frac{5}{6}$. Знайти цілі числа.

Відповідь

$4, 6$

www.youtube.com/В/З1Т5Він8ІКІ

Ключові винос

• Почніть рішення раціональних рівнянь з множення обох сторін на РК-дисплей. Отримане еквівалентне рівняння можна вирішити, використовуючи методи, вивчені до цього моменту.
• Множення обох сторін раціонального рівняння на змінний вираз вводить можливість сторонніх розв'язків. Тому ми повинні перевіряти рішення проти безлічі обмежень. Якщо рішення є обмеженням, то воно не є частиною домену і є стороннім.
• При множенні обох сторін рівняння на вираз розподіліть обережно і помножте кожен член на цей вираз.
• Якщо всі отримані рішення сторонні, то вихідне рівняння не має розв'язків.

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити

1. $\frac { 3 } { x } + 2 = \frac { 1 } { 3 x }$
2. $5 - \frac { 1 } { 2 x } = - \frac { 1 } { x }$
3. $\frac { 7 } { x ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 2 x } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
4. $\frac { 4 } { 3 x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 x } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } }$
5. $\frac { 1 } { 6 } + \frac { 2 } { 3 x } = \frac { 7 } { 2 x ^ { 2 } }$
6. $\frac { 1 } { 12 } - \frac { 1 } { 3 x } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
7. $2 + \frac { 3 } { x } + \frac { 7 } { x ( x - 3 ) } = 0$
8. $\frac { 20 } { x } - \frac { x + 44 } { x ( x + 2 ) } = 3$
9. $\frac { 2 x } { 2 x - 3 } + \frac { 4 } { x } = \frac { x - 18 } { x ( 2 x - 3 ) }$
10. $\frac { 2 x } { x - 5 } + \frac { 2 ( 4 x + 7 ) } { x ( x - 5 ) } = - \frac { 1 } { x }$
11. $\frac { 4 } { 4 x - 1 } - \frac { 1 } { x - 1 } = \frac { 2 } { 4 x - 1 }$
12. $\frac { 5 } { 2 x - 3 } - \frac { 1 } { x + 3 } = \frac { 2 } { 2 x - 3 }$
13. $\frac { 4 x } { x - 3 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 2 x - 3 } = - \frac { 1 } { x + 1 }$
14. $\frac { 2 x } { x - 2 } - \frac { 15 } { x + 4 } = \frac { 24 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 }$
15. $\frac { x } { x - 8 } - \frac { 8 } { x - 1 } = \frac { 56 } { x ^ { 2 } - 9 x + 8 }$
16. $\frac { 2 x } { x - 1 } + \frac { 9 } { 3 x - 1 } + \frac { 11 } { 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } = 0$
17. $\frac { 3 x } { x - 2 } - \frac { 14 } { 2 x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 2 } { 2 x + 3 }$
18. $\frac { x } { x - 4 } - \frac { 4 } { x - 5 } = - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 9 x + 20 }$
19. $\frac { 2 x } { 5 + x } - \frac { 1 } { 5 - x } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 25 }$
20. $\frac { 2 x } { 2 x + 3 } - \frac { 1 } { 2 x - 3 } = \frac { 6 } { 9 - 4 x ^ { 2 } }$
21. $1 + \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 8 } { x - 1 } - \frac { 16 } { x ^ { 2 } - 1 }$
22. $1 - \frac { 1 } { 3 x + 5 } = \frac { 2 x } { 3 x - 5 } - \frac { 2 ( 6 x + 5 ) } { 9 x ^ { 2 } - 25 }$
23. $\frac { x } { x - 2 } - \frac { 3 } { x + 8 } = \frac { x + 2 } { x + 8 } + \frac { 5 ( x + 3 ) } { x ^ { 2 } + 6 x - 16 }$
24. $\frac { 2 x } { x - 10 } + \frac { 1 } { x - 3 } = \frac { x + 3 } { x - 10 } + \frac { x ^ { 2 } - 5 x + 5 } { x ^ { 2 } - 13 x + 30 }$
25. $\frac { 5 } { x ^ { 2 } + 9 x + 18 } + \frac { x + 3 } { x ^ { 2 } + 7 x + 6 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } + 4 x + 3 }$
26. $\frac { 1 } { x ^ { 2 } + 4 x - 60 } + \frac { x - 6 } { x ^ { 2 } + 16 x + 60 } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 36 }$
27. $\frac { 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 21 } + \frac { 2 ( x + 3 ) } { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } = \frac { x + 7 } { x ^ { 2 } + 2 x - 3 }$
28. $\frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 11 x + 28 } + \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } - 8 x + 7 }$
29. $\frac { 5 } { x ^ { 2 } + 5 x + 4 } + \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } - 1 }$
30. $\frac { 1 } { x ^ { 2 } - 2 x - 63 } + \frac { x - 9 } { x ^ { 2 } + 10 x + 21 } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 6 x - 27 }$
31. $\frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { 2 ( x - 2 ) } { x ^ { 2 } - 4 x - 12 } = \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 8 x + 12 }$
32. $\frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } + \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } = \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 2 x - 8 }$

Відповідь

1. $−\frac{4}{3}$

3. $−4$

5. $−7, 3$

7. $−\frac{1}{2} , 2$

9. $−2, −\frac{3}{2}$

11. $−\frac{1}{2}$

13. $−\frac{1}{4}$

15. $Ø$

17. $−2, \frac{5}{6}$

19. $\frac{1}{2}$

21. $6$

23. $Ø$

25. $−8, 2$

27. $5$

29. $−6, 4$

31. $10$

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішіть наступні рівняння за участю від'ємних показників.

1. $2 x ^ { - 1 } = 2 x ^ { - 2 } - x ^ { - 1 }$
2. $3 + x ( x + 1 ) ^ { - 1 } = 2 ( x + 1 ) ^ { - 1 }$
3. $x ^ { - 2 } - 64 = 0$
4. $1 - 4 x ^ { - 2 } = 0$
5. $x - ( x + 2 ) ^ { - 1 } = - 2$
6. $2 x - 9 ( 2 x - 1 ) ^ { - 1 } = 1$
7. $2 x ^ { - 2 } + ( x - 12 ) ^ { - 1 } = 0$
8. $- 2 x ^ { - 2 } + 3 ( x + 4 ) ^ { - 1 } = 0$

Відповідь

1. $\frac{2}{3}$

3. $\pm \frac { 1 } { 8 }$

5. $- 3 , - 1$

7. $- 6,4$

Вправа$\PageIndex{7}$

Вирішити шляхом перехресного множення.

1. $\frac { 5 } { n } = - \frac { 3 } { n - 2 }$
2. $\frac { 2 n - 1 } { 2 n } = - \frac { 1 } { 2 }$
3. $- 3 = \frac { 5 n + 2 } { 3 n }$
4. $\frac { n + 1 } { 2 n - 1 } = \frac { 1 } { 3 }$
5. $\frac { x + 2 } { x - 5 } = \frac { x + 4 } { x - 2 }$
6. $\frac { x + 1 } { x + 5 } = \frac { x - 5 } { x }$
7. $\frac { 2 x + 1 } { 6 x - 1 } = \frac { x + 5 } { 3 x - 2 }$
8. $\frac { 6 ( 2 x + 3 ) } { 4 x - 1 } = \frac { 3 x } { x + 2 }$
9. $\frac { 3 ( x + 1 ) } { 1 - x } = \frac { x + 3 } { x + 1 }$
10. $\frac { 8 ( x - 2 ) } { x + 1 } = \frac { 5 - x } { x - 2 }$
11. $\frac { x + 3 } { x + 7 } = \frac { x + 3 } { 3 ( 5 - x ) }$
12. $\frac { x + 1 } { x + 4 } = \frac { - 8 ( x + 4 ) } { x + 7 }$

Відповідь

1. $\frac{5}{4}$

3. $-\frac{1}{7}$

5. $-16$

7. $\frac{1}{10}$

9. $-2,0$

11. $-3,2$

Вправа$\PageIndex{8}$

Спрощуйте або вирішуйте, залежно від того, що підходить.

1. $\frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x - 3 } = - \frac { 2 } { 3 }$
2. $\frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 3 } { 4 } = \frac { 1 } { x }$
3. $\frac { x - 2 } { 3 x - 1 } - \frac { 2 - x } { x }$
4. $\frac { 5 } { 2 } + \frac { x } { 2 x - 1 } - \frac { 1 } { 2 x }$
5. $\frac { x - 1 } { 3 x } + \frac { 2 } { x + 1 } - \frac { 5 } { 6 }$
6. $\frac { x - 1 } { 3 x } + \frac { 2 } { x + 1 } = \frac { 5 } { 6 }$
7. $\frac { 2 x + 1 } { 2 x - 3 } + 2 = \frac { 1 } { 2 x }$
8. $5 - \frac { 3 x + 1 } { 2 x } + \frac { 1 } { x + 1 }$

Відповідь

1. Вирішити;$- 3 , \frac { 3 } { 2 }$

3. Спростити;$\frac { ( 4 x - 1 ) ( x - 2 ) } { x ( 3 x - 1 ) }$

5. Спростити;$- \frac { ( x - 2 ) ( 3 x - 1 ) } { 6 x ( x + 1 ) }$

7. Вирішити;$\frac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Знайдіть коріння заданої функції.

1. $f ( x ) = \frac { 2 x - 1 } { x - 1 }$
2. $f ( x ) = \frac { 3 x + 1 } { x + 2 }$
3. $g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 81 } { x ^ { 2 } - 5 x }$
4. $g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x - 20 } { x ^ { 2 } - 9 }$
5. $f ( x ) = \frac { 4 x ^ { 2 } - 9 } { 2 x - 3 }$
6. $f ( x ) = \frac { 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$
7. Дано$f ( x ) = \frac { 1 } { x } + 5$, знайдіть$x$ коли$f(x)=2$.
8. Дано$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 4 }$, знайдіть$x$ коли$f ( x ) = \frac { 1 } { 2 }$.
9. Дано$f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } + 2$, знайдіть$x$ коли$f(x)=1$.
10. Дано$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } + 5$, знайдіть$x$ коли$f(x)=3$.

Відповідь

1. $\frac{1}{2}$

3. $\pm 9$

5. $-\frac{3}{2}$

7. $x=-\frac{1}{3}$

9. $x=-4$

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайдіть$x$ - і$y$ -перехоплює.

1. $f ( x ) = \frac { 1 } { x + 1 } + 4$
2. $f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } - 6$
3. $f ( x ) = \frac { 1 } { x - 3 } + 2$
4. $f ( x ) = \frac { 1 } { x + 1 } - 1$
5. $f ( x ) = \frac { 1 } { x } - 3$
6. $f ( x ) = \frac { 1 } { x + 5 }$

Відповідь

1. X-перехоплення:$(−\frac{5}{4} , 0)$; y-перехоплення:$(0, 5)$

3. X-перехоплення:$(\frac{5}{2} , 0)$; y-перехоплення:$(0, \frac{5}{3})$

5. X-перехоплення:$(\frac{1}{3} , 0)$; y-перехоплення: немає

Вправа$\PageIndex{11}$

Знайдіть точки, де збігаються задані функції. (Підказка: Знайдіть точки, де$f ( x ) = g ( x )$.)

1. $f ( x ) = \frac { 1 } { x } , g ( x ) = x$
2. $f ( x ) = - \frac { 1 } { x } , g ( x ) = - x$
3. $f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } + 3 , g ( x ) = x + 1$
4. $f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } - 1 , g ( x ) = x + 2$

Відповідь

1. $(−1, −1)$і$(1, 1)$

3. $(1, 2)$і$(3, 4)$

Вправа$\PageIndex{12}$

Нагадаємо, що якщо$| X | = p$, то$X = - p$ або$X=p$. Використовуйте це для вирішення наступних рівнянь абсолютних значень.

1. $\left| \frac { 1 } { x + 1 } \right| = 2$
2. $\left| \frac { 2 x } { x + 2 } \right| = 1$
3. $\left| \frac { 3 x - 2 } { x - 3 } \right| = 4$
4. $\left| \frac { 5 x - 3 } { 2 x + 1 } \right| = 3$
5. $\left| \frac { x ^ { 2 } } { 5 x + 6 } \right| = 1$
6. $\left| \frac { x ^ { 2 } - 48 } { x } \right| = 2$

Відповідь

1. $−\frac{3}{2} , −\frac{1}{2}$

3. $2, 10$

5. $−3, −2, −1, 6$

Вправа$\PageIndex{13}$

Вирішити для заданої змінної.

1. Вирішити для$P : w = \frac { P - 2 l } { 2 }$
2. Вирішити для$A : t = \frac { A - P } { P r }$
3. Вирішити для$t : \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } = \frac { 1 } { t }$
4. Вирішити для$n : P = 1 + \frac { r } { n }$
5. Вирішити для$y : m = \frac { y - y _ { 0 } } { x - x _ { 0 } }$
6. Вирішити для$m _ { 1 } : F = G \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r ^ { 2 } }$
7. Вирішити для$y : x = \frac { 2 y - 1 } { y - 1 }$
8. Вирішити для$y : x = \frac { 3 y + 2 } { y + 3 }$
9. Вирішити для$y : x = \frac { 2 y } { 2 y + 5 }$
10. Вирішити для$y : x = \frac { 5 y + 1 } { 3 y }$
11. Вирішити для$x : \frac { a } { x } + \frac { c } { b } = \frac { a } { c }$
12. Вирішити для$y : \frac { a } { y } - \frac { 1 } { a } = b$

Відповідь

1. $P = 2 l + 2 w$

3. $t = \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } }$

5. $y = m \left( x - x _ { 0 } \right) + y _ { 0 }$

7. $y = \frac { x - 1 } { x - 2 }$

9. $y = - \frac { 5 x } { 2 x - 2 }$

11. $x = \frac { a b c } { a b - c ^ { 2 } }$

Вправа$\PageIndex{14}$

Використовуйте алгебру для вирішення наступних програм.

1. Значення в доларах планшетного комп'ютера задається функцією$V ( t ) = 460 ( t + 1 ) ^ { - 1 }$, де$t$ представляє вік планшета. Визначте вік планшета, якщо він зараз варто$$100$.
2. Значення в доларах автомобіля задається функцією$V ( t ) = 24,000 ( 0.5 t + 1 ) ^ { - 1 }$, де$t$ позначає вік автомобіля. Визначте вік автомобіля, якщо він зараз варто$$6,000$.

Відповідь

1. $3.6$років

Вправа$\PageIndex{15}$

Вирішуйте для невідомих.

1. Коли$2$ додається в$5$ рази зворотне число, результат є$12$. Знайдіть номер.
2. Коли$1$ віднімається з$4$ разів зворотне число, результат є$11$. Знайдіть номер.
3. Сума зворотних двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$\frac{12}{35}$. Знайти цілі числа.
4. Сума зворотних двох послідовних парних чисел дорівнює$\frac{9}{40}$. Знайти цілі числа.
5. Ціле число$4$ більше, ніж інше. Якщо$2$ раз зворотний від більшого віднімається з$3$ разів зворотний меншого, то результат є$\frac{1}{8}$. Знайти цілі числа.
6. Ціле число$2$ більше ніж в два рази інше. Якщо$2$ раз зворотний від більшого віднімається з$3$ разів зворотний меншого, то результат є$\frac{5}{14}$. Знайти цілі числа.
7. Якщо$3$ раз зворотне більшого з двох послідовних цілих чисел віднімається з$2$ разів зворотного меншого, то результат є$\frac{1}{2}$. Знайдіть два цілих числа.
8. Якщо$3$ раз зворотне меншого з двох послідовних цілих чисел віднімається з$7$ разів зворотного більшого, то результат є$\frac{1}{2}$. Знайдіть два цілих числа.
9. Додатне ціле число$5$ менше іншого. Якщо зворотне від меншого цілого числа віднімається з$3$ разів зворотне більшого, то результат є$\frac{1}{12}$. Знайдіть два цілих числа.
10. Додатне ціле число$6$ менше іншого. Якщо зворотне від меншого цілого числа віднімається з$10$ разів зворотне більшого, то результат є$\frac{3}{7}$. Знайдіть два цілих числа.

Відповідь

1. $\frac{1}{2}$

3. $5,7$

5. $\{ - 8 , - 4 \} \text { and } \{ 12,16 \}$

7. $\{ 1,2 \} \text { or } \{ - 4 , - 3 \}$

9. $\{ 4,9 \} \text { or } \{ 15,20 \}$

Вправа$\PageIndex{16}$

1. Поясніть, як ми можемо визначити різницю між раціональним виразом і раціональним рівнянням. Як ми ставимося до них по-різному? Наведемо приклад кожного.
2. Дослідження і обговорення причин, чому множення обох сторін раціонального рівняння на РК-дисплей іноді дає сторонні рішення.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

³³ Рівняння, що містить принаймні один раціональний вираз.

³⁴ Рішення, яке не вирішує вихідне рівняння.

³⁵ Заява про рівність двох співвідношень.

³⁶ Якщо$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ тоді$ad = bc$.