Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.7: Рішення раціональних рівнянь

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58267

    • Anonymous
    • LibreTexts
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    • Вирішити раціональні рівняння
    • Вирішити буквальні рівняння, або формули, що включають раціональні вирази.
    • Вирішуйте додатки за участю взаємних невідомих.

    Рішення раціональних рівнянь

    Раціональне рівняння 33 - це рівняння, що містить хоча б один раціональний вираз. Раціональні вирази зазвичай містять змінну в знаменнику. З цієї причини ми подбаємо про те, щоб знаменник не був,\(0\) зазначивши обмеження та перевіряючи наші рішення. Розв'язування раціональних рівнянь передбачає очищення дробів шляхом множення обох сторін рівняння на найменш спільний знаменник (РК).

    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Вирішити:\(\frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } = \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }\).

    Рішення

    Спочатку робимо позначку про обмеження на\(x, x≠0\). Потім ми множимо обидві сторони на РК-дисплей, який в даному випадку дорівнює\(2x^{2}\).

    \(\begin{aligned} \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } \right) & =\color{Cerulean}{ 2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } } \right)\quad\quad\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:the\:LCD.} \\ \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { x } + \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 2 } { x ^ { 2 } } & = \color{Cerulean}{2 x ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 2 x + 4 & = x + 9\quad\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Simplify\:and\:then\:solve.} \\ x & = 5 \end{aligned}\)

    Перевірте свою відповідь. Підставте\(x=5\) в вихідне рівняння і подивіться, чи отримаєте ви справжнє твердження.

    \(\begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } = \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }\quad \color{Cerulean} { Original\:equation } } \\ { \frac { 1 } { \color{OliveGreen}{5} }\color{black}{ +} \frac { 2 } { \color{OliveGreen}{5} ^ { \color{black}{2} } } = \frac { \color{OliveGreen}{5}\color{black}{ +} 9 } { 2 ( \color{OliveGreen}{5}\color{black}{ )} ^ { 2 } }\quad \color{Cerulean} { Check \: x = 5.} } \\ { \frac { 1 } { 5 } + \frac { 2 } { 25 } = \frac { 14 } { 2 \cdot 25 } } \\ \frac{5}{25} + \frac{2}{25} = \frac{7}{25} \\ {\frac{7}{25}=\frac{7}{25}} \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)

    Відповідь:

    Рішення є\(5\).

    Після множення обох сторін попереднього прикладу на РК-дисплей, нам залишилося лінійне рівняння для вирішення. Це не завжди так; іноді нам залишиться квадратне рівняння.

    Приклад\(\PageIndex{2}\):

    Вирішити:\(\frac { 3 ( x + 2 ) } { x - 4 } - \frac { x + 4 } { x - 2 } = \frac { x - 2 } { x - 4 }\).

    Рішення

    В даному прикладі є два обмеження,\(x≠4\) і\(x≠2\). Почніть з множення обох сторін на РК-дисплей,\((x−2)(x−4)\).

    \(\begin{aligned} \color{Cerulean}{(x-2)(x-4)}\color{black}{\cdot} \left( \frac{3(x+2)}{x-4}-\frac{x+4}{x-2} \right) &= \color{Cerulean}{(x-2)(x-4)}\color{black}{\cdot} \left( \frac{x-2}{x-4} \right)\\ \color{Cerulean}{(x-2)\cancel{(x-4)}}\color{black}{\cdot} \frac{3(x+2)}{\cancel{x-4}} - \color{Cerulean}{\cancel{(x-2)}(x-4)}\color{black}{\cdot} \frac{x+4}{\cancel{x-2}} &= \color{Cerulean}{(x-2)\cancel{(x-4)}}\color{black}{\cdot} \frac{x-2}{\cancel{x-4}} \\ 3 ( x + 2 ) ( x - 2 ) - ( x + 4 ) ( x - 4 ) & = ( x - 2 ) ( x - 2 ) \\ 3 \left( x ^ { 2 } - 4 \right) - \left( x ^ { 2 } - 16 \right) & = x ^ { 2 } - 2 x - 2 x + 4 \\ 3 x ^ { 2 } - 12 - x ^ { 2 } + 16 & = x ^ { 2 } - 4 x + 4\\ 2x^{2} + 4 & = x^{2}-4x+4 \end{aligned}\)

    Після розподілу та спрощення обох сторін рівняння залишається квадратне рівняння. Для розв'язання перепишіть квадратне рівняння в стандартній формі, коефіцієнті, а потім встановіть кожен коефіцієнт рівним 0.

    \(\begin{array} { l } { 2 x ^ { 2 } + 4 = x ^ { 2 } - 4 x + 4 } \\ { x ^ { 2 } + 4 x = 0 } \\ { x ( x + 4 ) = 0 } \end{array}\)

    \(\begin{aligned} x = 0 \text { or } x + 4 & = 0 \\ x & = - 4 \end{aligned}\)

    Перевірте, чи вирішують ці значення вихідне рівняння.

    \(\frac { 3 ( x + 2 ) } { x - 4 } - \frac { x + 4 } { x - 2 } = \frac { x - 2 } { x - 4 }\)

    Перевірити\(x=0\) Перевірити\(x=4\)
    \ (x = 0\) ">\(\begin{aligned} \frac { 3 ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ +} 2 ) } {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ -} 4 } - \frac {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ +} 4 } {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ -} 2 } & = \frac { \color{Cerulean}{0}\color{black}{ -} 2 } { \color{Cerulean}{0}\color{black}{ -} 4 } \\ \frac { 6 } { - 4 } - \frac { 4 } { - 2 } & = \frac { - 2 } { - 4 } \\ - \frac { 3 } { 2 } + 2 & = \frac { 1 } { 2 } \\ - \frac { 3 } { 2 } + \frac { 4 } { 2 } & = \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & = \frac { 1 } { 2 } \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\) \ (x = 4\) ">\(\begin{aligned} \frac { 3 ( \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ +} 2 ) } { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 4 } - \frac {\color{Cerulean}{ - 4}\color{black}{ +} 4 } {\color{Cerulean}{ - 4}\color{black}{ -} 2 } & = \frac { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 2 } { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 4 } \\ \frac { 3 ( - 2 ) } { - 8 } - \frac { 0 } { - 6 } & = \frac { - 6 } { - 8 } \\ \frac { - 6 } { - 8 } - 0 & = \frac { 3 } { 4 } \\ \frac { 3 } { 4 } & = \frac { 3 } { 4 } \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    Відповідь:

    Рішення є\(0\) і\(−4\).

    До цього моменту всі можливі рішення вирішували вихідне рівняння. Однак це може бути не завжди так. Множення обох сторін рівняння на змінні коефіцієнти може призвести до сторонніх розв'язків 34, які є розв'язками, які не вирішують вихідного рівняння. Повний перелік кроків для вирішення раціонального рівняння викладено в наступному прикладі.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Вирішити:\(\frac { 2 x } { 3 x + 1 } = \frac { 1 } { x - 5 } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { 3 x ^ { 2 } - 14 x - 5 }\).

    Рішення

    Крок 1: Розподіліть всі знаменники та визначте РК-дисплей.

    \(\begin{array} { l } { \frac { 2 x } { 3 x + 1 } = \frac { 1 } { x - 5 } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { 3 x ^ { 2 } - 14 x - 5 } } \\ { \frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } = \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) } } \end{array}\)

    РК-дисплей є\((3x+1)(x−5)\).

    Крок 2: Визначте обмеження. В даному випадку\(x≠−\frac{1}{3}\) і\(x≠5\).

    Крок 3: Помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей. Розподіліть обережно, а потім спростіть.

    \(\begin{aligned} \color{Cerulean}{( 3 x + 1 ) ( x - 5 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } &=\color{Cerulean}{ ( 3 x + 1 ) ( x - 5 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) }\right)\\ \color{Cerulean}{\cancel{(3x+1)}(x-5)}\color{black}{ \cdot}\frac{2x}{\cancel{(3x+1)}} &= \color{Cerulean}{(3x+1)\cancel{(x-5)}}\color{black}{\cdot} \frac{1}{\cancel{(x-5)}} -\color{Cerulean}{\cancel{ (3x+1)}\cancel{(x-5)}}\color{black}{ \cdot} \frac{4(x-1)}{\cancel{(3x+1)}\cancel{(x-5)}} \\ 2x(x-5) &=(3x+1)-4(x-1) \end{aligned}\)

    Крок 4: Розв'яжіть отримане рівняння. Тут в результаті виходить квадратне рівняння. Перепишіть його в стандартну форму, коефіцієнт, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним\(0\).

    \(\begin{aligned} 2 x ( x - 5 ) & = ( 3 x + 1 ) - 4 ( x - 1 ) \\ 2 x ^ { 2 } - 10 x & = 3 x + 1 - 4 x + 4 \\ 2 x ^ { 2 } - 10 x & = - x + 5 \\ 2 x ^ { 2 } - 9 x - 5 & = 0 \\ ( 2 x + 1 ) ( x - 5 ) & = 0 \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \quad\quad \text { or } &x - 5 &= 0 \\ 2 x & = - 1 & x &= 5 \\ x &= - \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}\)

    Крок 5: Перевірте наявність сторонніх рішень. Завжди підставляйте в вихідне рівняння або факторний еквівалент. У цьому випадку виберіть факторний еквівалент для перевірки:

    \(\frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } = \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) }\)

    Перевірити\(x=-\frac{1}{2}\) Перевірити\(x=5\)
    \ (x=-\ гідророзриву {1} {2}\) ">\(\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ - \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } \\ \frac { - 1 } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) } & = \frac { 1 } { \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } - \frac { 4 \left( - \frac { 3 } { 2 } \right) } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } \\ 2 & = -\frac{2}{11} - \frac{-6}{\left(\frac{11}{4} \right)} \\ 2 & = - \frac { 2 } { 11 } + \frac { 24 } { 11 } \\ 2 & = \frac { 22 } { 11 } \\ 2 & = 2 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\) \ (x = 5\) ">\(\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{5 } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{5 } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{ 5 } \right) - 5 \right) } \\ \frac{10}{16} & = \frac{1}{0} - \frac{16}{0} \end{aligned}\)
    \ (x=-\ гідророзриву {1} {2}\) "> \ (x = 5\) ">\(\color{Cerulean}{Undefined}\)
    Таблиця\(\PageIndex{2}\)

    Тут\(5\) є стороннє рішення і не входить в набір розчину. Важливо відзначити, що\(5\) це обмеження.

    Відповідь:

    Рішення є\(−12\).

    Якщо цей процес виробляє рішення, яке трапляється, є обмеженням, то ігноруйте його як рішення.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Вирішити:\(\frac { 4 ( x - 3 ) } { 36 - x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 6 - x } + \frac { 2 x } { 6 + x }\).

    Відповідь

    \(−\frac{3}{2}\)

    www.youtube.com/В/МХЛН5С53Дж1М

    Іноді всі потенційні рішення є сторонніми, в цьому випадку ми говоримо, що немає рішення вихідного рівняння. У наступних двох прикладах ми демонструємо два способи, за допомогою яких раціональне рівняння не може мати розв'язків.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Вирішити:\(1 + \frac { 5 x + 22 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { x + 4 } { x - 1 }\)

    Рішення

    Щоб ідентифікувати РК-дисплей, спочатку введіть знаменники.

    \(\begin{array} { c } { 1 + \frac { 5 x + 22 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { x + 4 } { x - 1 } } \\ { 1 + \frac { 5 x + 22 } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) } = \frac { x + 4 } { ( x - 1 ) } } \end{array}\)

    Помножте обидві сторони на РК-дисплей\((x+4)(x−1)\), розподіляючи обережно.

    \(\begin{aligned} \color{Cerulean}{ ( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \left( 1 + \frac { 5 x + 22 } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) } \right) &= \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \frac { x + 4 } { ( x - 1 ) } \\ \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} 1 +\color{Cerulean}{ ( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \frac { ( 5 x + 22 ) } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) }& = \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 ) }\color{black}{\cdot} \frac { ( x + 4 ) } { ( x - 1 ) } \\ (x+4)(x-1) + (5x+22) &=(x+4)(x+4) \\ x ^ { 2 } - x + 4 x - 4 + 5 x + 22& = x ^ { 2 } + 4 x + 4x + 16 \\ x ^ { 2 } + 8 x + 18 &= x ^ { 2 } + 8 x + 16 \\ 18 &= 16 \:\: \color{red} { False } \end{aligned}\)

    Рівняння є протиріччям і, таким чином, не має рішення.

    Відповідь:

    Немає рішення,\(Ø\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\):

    Вирішити:\(\frac { 3 x } { 2 x - 3 } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) } { 4 x ^ { 2 } - 9 } = \frac { x } { 2 x + 3 }\).

    Рішення

    По-перше, множник знаменники.

    \(\frac { 3 x } { ( 2 x - 3 ) } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) } { ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) } = \frac { x } { ( 2 x + 3 ) }\)

    Зверніть увагу, що обмеження щодо домену є\(x≠±\frac{3}{2}\). Для очищення дробів помножте на РК-дисплей,\((2x+3)(2x−3)\).

    \(\begin{aligned} \frac { 3 x \cdot \color{Cerulean}{( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } { \color{black}{( 2 x - 3 )} } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) \cdot \color{Cerulean}{( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } {\color{black}{ (} 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) } &= \frac { x \cdot \color{Cerulean}{ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } { \color{black}{(} 2 x + 3 ) } \\ 3 x ( 2 x + 3 ) - 3 ( 4 x + 3 ) &= x ( 2 x - 3 ) \\ 6 x ^ { 2 } + 9 x - 12 x - 9 &= 2 x ^ { 2 } - 3 x \\ 6 x ^ { 2 } - 3 x - 9 &= 2 x ^ { 2 } - 3 x \\ 4 x ^ { 2 } - 9 &= 0 \\ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) &= 0 \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} 2 x + 3 & = 0 \quad\quad \text { or }& 2 x - 3& = 0 \\ 2 x & = - 3 &2 x& = 3 \\ x &= - \frac { 3 } { 2 } & x& = \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}\)

    Обидва ці значення є обмеженнями вихідного рівняння; отже, обидва є сторонніми.

    Відповідь:

    Немає рішення,\(Ø\)

    Важливо зазначити, що ця методика очищення алгебраїчних дробів працює лише для рівнянь. Не намагайтеся очистити алгебраїчні дроби при спрощенні виразів. Як нагадування, приклад кожного наведено нижче.

    Вираз Рівняння
    \(\frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 }\) \(\frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } =0\)
    Таблиця\(\PageIndex{3}\)

    Вирази повинні бути спрощені і рівняння повинні бути вирішені. Якщо помножити вираз на РК-дисплей\(x (2x + 1)\), то отримаємо інший вираз, який не є еквівалентним.

    Невірно

    Правильно

    \(\begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } } \\ { \neq \color{red}{x ( 2 x + 1 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } \right) } \\ { = 2 x + 1 + x ^ { 2 } } \color{red}{✗} \end{array}\)

    \(\begin{aligned} \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } & = 0 \\ \color{Cerulean}{x(2x+1)} \color{black}{\cdot} ( \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } ) & = \color{Cerulean}{x ( 2 x + 1 )} \color{black}{\cdot}0 \\ 2 x + 1 + x ^ { 2 } & = 0 \\ x ^ { 2 } + 2 x + 1 & = 0 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)
    Таблиця\(\PageIndex{4}\)

    Раціональні рівняння іноді виражаються за допомогою негативних показників.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Вирішити:\(6+x^{−1}=x^{−2}\).

    Рішення:

    Почніть з видалення негативних показників.

    \(\begin{aligned} 6 + x ^ { - 1 } & = x ^ { - 2 } \\ 6 + \frac { 1 } { x } & = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \end{aligned}\)

    Тут ми можемо побачити обмеження,\(x≠0\). Далі помножте обидві сторони на РК-дисплей,\(x^{2}\).

    \(\begin{aligned} \color{Cerulean}{x ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \left( 6 + \frac { 1 } { x } \right) & =\color{Cerulean}{ x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) \\ \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} 6 + \color{Cerulean}{x ^ { 2} } \color{black}{\cdot} \frac { 1 } { x } & =\color{Cerulean}{ x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \\ 6 x ^ { 2 } + x & = 1 \\ 6 x ^ { 2 } + x - 1 & = 0 \\ ( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) & = 0 \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} 3 x - 1 &= 0 \quad\quad \text { or } & 2 x + 1 &= 0 \\ 3 x &= 1 & 2 x & = - 1 \\ x &= \frac { 1 } { 3 } &x &= - \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(−\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\)

    Пропорція 35 - це твердження рівності двох співвідношень.

    \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

    Ця пропорція часто\(a\) читається «\(c\)є\(b\) як є»\(d\). Задані будь-які ненульові дійсні числа\(a, b, c\),\(d\) які задовольняють пропорції, помножте обидві сторони на добуток знаменників, щоб отримати наступне:

    \(\begin{aligned} \frac { a } { b } & = \frac { c } { d } \\ \color{Cerulean}{b d}\color{black}{ \cdot} \frac { a } { b } & = \color{Cerulean}{b d}\color{black}{ \cdot} \frac { c } { d } \\ a d & = b c \end{aligned}\)

    Це показує, що перехресні продукти рівні, і їх зазвичай називають перехресним множенням 36.

    Якщо\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) тоді\(\frac{a}{d}=\frac{b}{c}\)

    Перехресне множення, щоб вирішити пропорції, де терміни невідомі.

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Вирішити:\(\frac { 5 n - 1 } { 5 } = \frac { 3 n } { 2 }\).

    Рішення

    При перехресному множенні обов'язково групуйте\(5n−1\).

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    \(( 5 n - 1 ) \cdot 2 = 5 \cdot 3 n\)

    Застосуйте розподільну властивість на наступному кроці.

    \(\begin{aligned} ( 5 n - 1 ) \cdot 2 & = 5 \cdot 3 n \\ 10 n - 2 & = 15 n \quad \color{Cerulean} { Distribute. } \\ - 2 & = 5 n \quad\:\:\color{Cerulean}{Solve.} \\ \frac { - 2 } { 5 } & = n \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(n=−\frac{2}{5}\)

    Перехресне множення може бути використано як альтернативний метод розв'язання раціональних рівнянь. Ідея полягає в тому, щоб спростити кожну сторону рівняння до одного алгебраїчного дробу, а потім перехресного множення.

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Вирішити:\(\frac { 1 } { 2 } - \frac { 4 } { x } = - \frac { x } { 8 }\).

    Рішення

    Отримати єдиний алгебраїчний дріб з лівого боку шляхом віднімання еквівалентних дробів із загальним знаменником.

    \(\begin{aligned} \frac { 1 } { 2 } \cdot \color{Cerulean}{\frac { x } { x }}\color{black}{ -} \frac { 4 } { x } \cdot \color{Cerulean}{\frac { 2 } { 2 }} & \color{black}{=} - \frac { x } { 8 } \\ \frac { x } { 2 x } - \frac { 8 } { 2 x } & = - \frac { x } { 8 } \\ \frac { x - 8 } { 2 x } & = - \frac { x } { 8 } \end{aligned}\)

    Зверніть увагу на те\(x≠0\), що, перемножте, а потім вирішуйте для\(x\).

    \(\begin{aligned} \frac { x - 8 } { 2 x } & = \frac { - x } { 8 } \\ 8 ( x - 8 ) & = - x \cdot 2 x \\ 8 x - 64 & = - 2 x ^ { 2 } \\ 2 x ^ { 2 } + 8 x - 64 & = 0 \\ 2 \left( x ^ { 2 } + 4 x - 32 \right) & = 0 \\ 2 ( x - 4 ) ( x + 8 ) & = 0 \end{aligned}\)

    Далі встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю.

    \(\begin{aligned} x - 4 & = 0 \quad\quad\text { or } &x + 8 &= 0 \\ x & = 4 \quad &x &= - 8 \end{aligned}\)

    Чек залишається на зчитувач.

    Відповідь:

    \(−8, 4\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Вирішити:\(\frac { 2 ( 2 x - 5 ) } { x - 1 } = - \frac { x - 4 } { 2 x - 5 }\).

    Відповідь

    Відповідь:\(2, 3\)

    www.youtube.com/В/ХК

    Розв'язування літеральних рівнянь і додатків за участю взаємних

    Буквальні рівняння, або формули, часто є раціональними рівняннями. Отже методи, описані в цьому розділі, можуть бути використані для вирішення конкретних змінних. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику ненульові.

    Приклад\(\PageIndex{9}\):

    Зворотне\(R\) комбінованого опору двох резисторів\(R_{1}\) і\(R_{2}\) паралельно дається за формулою\(\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\). Вирішити для\(R\) з точки зору\(R_{1}\) і\(R_{2}\).

    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Рішення

    Мета полягає в тому, щоб виділити\(R\) на одній стороні рівняння. Почніть з множення обох сторін рівняння на РК-дисплей,\(RR_{1}R_{2}\).

    \(\begin{aligned} \color{Cerulean}{R R _ { 1 } R _ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R } &= \color{Cerulean}{R R _ { 1 } R _ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R _ { 1 } } +\color{Cerulean}{ R R _ { 1 } R _ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R _ { 2 } } \\ R _ { 1 } R _ { 2 } & = R R _ { 2 } + R R _ { 1 } \\ R _ { 1 } R _ { 2 } &= R \left( R _ { 2 } + R _ { 1 } \right) \\ \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } } { R _ { 2 } + R _ { 1 } } & = R \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(R = \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } } { R _ { 1 } + R _ { 2 } }\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Вирішити для\(y : x = \frac { 2 y + 5 } { y - 3 }\)

    Відповідь

    \(y = \frac { 3 x + 5 } { x - 2 }\)

    www.youtube.com/В/УССХХГЗБВА

    Нагадаємо, що зворотне ненульового числа\(n\) є\(\frac{1}{n}\). Наприклад,\(5\) взаємне є\(\frac{1}{5}\) і\(5⋅\frac{1}{5}=1\). У цьому розділі додатки часто будуть включати ключове слово «взаємний». Коли це так, ми побачимо, що алгебраїчна установка призводить до раціонального рівняння.

    Приклад\(\PageIndex{10}\):

    Додатне ціле число\(3\) менше іншого. Якщо зворотне від меншого цілого числа віднімається з подвійного зворотного більшого, то результат є\(\frac{1}{20}\). Знайдіть два цілих числа.

    Рішення

    \(n\)Дозволяти представляти більше натуральне число.

    \(n − 3\)Дозволяти представляти менше натуральне число.

    Налаштуйте алгебраїчне рівняння.

    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Розв'яжіть це раціональне вираз, множивши обидві сторони на РК-дисплей. РК-дисплей є\(20n(n−3)\).

    \(\begin{aligned} \frac { 2 } { n } - \frac { 1 } { n - 3 } &= \frac { 1 } { 20 } \\ \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 2 } { n } - \frac { 1 } { n - 3 } \right) &= \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 20 } \right) \\ \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 2 } { n } - \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { n - 3 } &= \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 20 } \right) \\ 40(n-3) - 20n &= n(n-3) \\40n - 120 -20n &=n^{2}-3n\\20n-120&=n^{2}-3n \\0 &= n^{2}-23n+120\\0&=(n-8)(n-15) \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} n - 8 & = 0 \quad\quad\text { or } & n - 15 &= 0 \\ n & = 8 \quad& n &= 15 \end{aligned}\)

    Тут ми маємо дві життєздатні можливості для більшого цілого числа\(n\). З цієї причини у нас буде два рішення цієї проблеми.

    Якщо\(n=8\), то\(n−3=8−3=5\).

    Якщо\(n=15\), то\(n−3=15−3=12\).

    В якості перевірки виконайте операції, зазначені в проблемі.

    \(2 \left( \frac { 1 } { n } \right) - \frac { 1 } { n - 3 } = \frac { 1 } { 20 }\)

    Перевірте\(8\) і\(5\) Перевірте\(15\) і\(12\)
    \ (8\) і\(5\) «>\(\begin{aligned} 2 \left( \frac { 1 } { \color{Cerulean}{8} } \right)\color{black}{ -} \frac { 1 } { \color{Cerulean}{5} } & \color{black}{=} \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } \\ & = \frac { 5 } { 20 } - \frac { 4 } { 20 } \\ & = \frac { 1 } { 20 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\) \ (15\) і\(12\) «>\(\begin{aligned} 2 \left( \frac { 1 } { \color{Cerulean}{15} } \right) \color{black}{-} \frac { 1 } { \color{Cerulean}{12} } & \color{black}{=} \frac { 2 } { 15 } - \frac { 1 } { 12 } \\ & = \frac { 8 } { 60 } - \frac { 5 } { 60 } \\ & = \frac { 3 } { 60 } = \frac { 1 } { 20 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

    Відповідь:

    Дві множини натуральних чисел вирішують цю задачу:\(\{ 5,8 \}\) і\(\{ 12,15 \}\).

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Коли зворотне більшого з двох послідовних парних цілих чисел віднімається з\(4\) разів зворотного меншого, результат є\(\frac{5}{6}\). Знайти цілі числа.

    Відповідь

    \(4, 6\)

    www.youtube.com/В/З1Т5Він8ІКІ

    Ключові винос

    • Почніть рішення раціональних рівнянь з множення обох сторін на РК-дисплей. Отримане еквівалентне рівняння можна вирішити, використовуючи методи, вивчені до цього моменту.
    • Множення обох сторін раціонального рівняння на змінний вираз вводить можливість сторонніх розв'язків. Тому ми повинні перевіряти рішення проти безлічі обмежень. Якщо рішення є обмеженням, то воно не є частиною домену і є стороннім.
    • При множенні обох сторін рівняння на вираз розподіліть обережно і помножте кожен член на цей вираз.
    • Якщо всі отримані рішення сторонні, то вихідне рівняння не має розв'язків.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Вирішити

    1. \(\frac { 3 } { x } + 2 = \frac { 1 } { 3 x }\)
    2. \(5 - \frac { 1 } { 2 x } = - \frac { 1 } { x }\)
    3. \(\frac { 7 } { x ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 2 x } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }\)
    4. \(\frac { 4 } { 3 x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 x } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } }\)
    5. \(\frac { 1 } { 6 } + \frac { 2 } { 3 x } = \frac { 7 } { 2 x ^ { 2 } }\)
    6. \(\frac { 1 } { 12 } - \frac { 1 } { 3 x } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }\)
    7. \(2 + \frac { 3 } { x } + \frac { 7 } { x ( x - 3 ) } = 0\)
    8. \(\frac { 20 } { x } - \frac { x + 44 } { x ( x + 2 ) } = 3\)
    9. \(\frac { 2 x } { 2 x - 3 } + \frac { 4 } { x } = \frac { x - 18 } { x ( 2 x - 3 ) }\)
    10. \(\frac { 2 x } { x - 5 } + \frac { 2 ( 4 x + 7 ) } { x ( x - 5 ) } = - \frac { 1 } { x }\)
    11. \(\frac { 4 } { 4 x - 1 } - \frac { 1 } { x - 1 } = \frac { 2 } { 4 x - 1 }\)
    12. \(\frac { 5 } { 2 x - 3 } - \frac { 1 } { x + 3 } = \frac { 2 } { 2 x - 3 }\)
    13. \(\frac { 4 x } { x - 3 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 2 x - 3 } = - \frac { 1 } { x + 1 }\)
    14. \(\frac { 2 x } { x - 2 } - \frac { 15 } { x + 4 } = \frac { 24 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 }\)
    15. \(\frac { x } { x - 8 } - \frac { 8 } { x - 1 } = \frac { 56 } { x ^ { 2 } - 9 x + 8 }\)
    16. \(\frac { 2 x } { x - 1 } + \frac { 9 } { 3 x - 1 } + \frac { 11 } { 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } = 0\)
    17. \(\frac { 3 x } { x - 2 } - \frac { 14 } { 2 x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 2 } { 2 x + 3 }\)
    18. \(\frac { x } { x - 4 } - \frac { 4 } { x - 5 } = - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 9 x + 20 }\)
    19. \(\frac { 2 x } { 5 + x } - \frac { 1 } { 5 - x } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 25 }\)
    20. \(\frac { 2 x } { 2 x + 3 } - \frac { 1 } { 2 x - 3 } = \frac { 6 } { 9 - 4 x ^ { 2 } }\)
    21. \(1 + \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 8 } { x - 1 } - \frac { 16 } { x ^ { 2 } - 1 }\)
    22. \(1 - \frac { 1 } { 3 x + 5 } = \frac { 2 x } { 3 x - 5 } - \frac { 2 ( 6 x + 5 ) } { 9 x ^ { 2 } - 25 }\)
    23. \(\frac { x } { x - 2 } - \frac { 3 } { x + 8 } = \frac { x + 2 } { x + 8 } + \frac { 5 ( x + 3 ) } { x ^ { 2 } + 6 x - 16 }\)
    24. \(\frac { 2 x } { x - 10 } + \frac { 1 } { x - 3 } = \frac { x + 3 } { x - 10 } + \frac { x ^ { 2 } - 5 x + 5 } { x ^ { 2 } - 13 x + 30 }\)
    25. \(\frac { 5 } { x ^ { 2 } + 9 x + 18 } + \frac { x + 3 } { x ^ { 2 } + 7 x + 6 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } + 4 x + 3 }\)
    26. \(\frac { 1 } { x ^ { 2 } + 4 x - 60 } + \frac { x - 6 } { x ^ { 2 } + 16 x + 60 } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 36 }\)
    27. \(\frac { 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 21 } + \frac { 2 ( x + 3 ) } { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } = \frac { x + 7 } { x ^ { 2 } + 2 x - 3 }\)
    28. \(\frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 11 x + 28 } + \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } - 8 x + 7 }\)
    29. \(\frac { 5 } { x ^ { 2 } + 5 x + 4 } + \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } - 1 }\)
    30. \(\frac { 1 } { x ^ { 2 } - 2 x - 63 } + \frac { x - 9 } { x ^ { 2 } + 10 x + 21 } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 6 x - 27 }\)
    31. \(\frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { 2 ( x - 2 ) } { x ^ { 2 } - 4 x - 12 } = \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 8 x + 12 }\)
    32. \(\frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } + \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } = \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 2 x - 8 }\)
    Відповідь

    1. \(−\frac{4}{3}\)

    3. \(−4\)

    5. \(−7, 3\)

    7. \(−\frac{1}{2} , 2\)

    9. \(−2, −\frac{3}{2}\)

    11. \(−\frac{1}{2}\)

    13. \(−\frac{1}{4}\)

    15. \(Ø\)

    17. \(−2, \frac{5}{6}\)

    19. \(\frac{1}{2}\)

    21. \(6\)

    23. \(Ø\)

    25. \(−8, 2\)

    27. \(5\)

    29. \(−6, 4\)

    31. \(10\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Вирішіть наступні рівняння за участю від'ємних показників.

    1. \(2 x ^ { - 1 } = 2 x ^ { - 2 } - x ^ { - 1 }\)
    2. \(3 + x ( x + 1 ) ^ { - 1 } = 2 ( x + 1 ) ^ { - 1 }\)
    3. \(x ^ { - 2 } - 64 = 0\)
    4. \(1 - 4 x ^ { - 2 } = 0\)
    5. \(x - ( x + 2 ) ^ { - 1 } = - 2\)
    6. \(2 x - 9 ( 2 x - 1 ) ^ { - 1 } = 1\)
    7. \(2 x ^ { - 2 } + ( x - 12 ) ^ { - 1 } = 0\)
    8. \(- 2 x ^ { - 2 } + 3 ( x + 4 ) ^ { - 1 } = 0\)
    Відповідь

    1. \(\frac{2}{3}\)

    3. \(\pm \frac { 1 } { 8 }\)

    5. \(- 3 , - 1\)

    7. \(- 6,4\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Вирішити шляхом перехресного множення.

    1. \(\frac { 5 } { n } = - \frac { 3 } { n - 2 }\)
    2. \(\frac { 2 n - 1 } { 2 n } = - \frac { 1 } { 2 }\)
    3. \(- 3 = \frac { 5 n + 2 } { 3 n }\)
    4. \(\frac { n + 1 } { 2 n - 1 } = \frac { 1 } { 3 }\)
    5. \(\frac { x + 2 } { x - 5 } = \frac { x + 4 } { x - 2 }\)
    6. \(\frac { x + 1 } { x + 5 } = \frac { x - 5 } { x }\)
    7. \(\frac { 2 x + 1 } { 6 x - 1 } = \frac { x + 5 } { 3 x - 2 }\)
    8. \(\frac { 6 ( 2 x + 3 ) } { 4 x - 1 } = \frac { 3 x } { x + 2 }\)
    9. \(\frac { 3 ( x + 1 ) } { 1 - x } = \frac { x + 3 } { x + 1 }\)
    10. \(\frac { 8 ( x - 2 ) } { x + 1 } = \frac { 5 - x } { x - 2 }\)
    11. \(\frac { x + 3 } { x + 7 } = \frac { x + 3 } { 3 ( 5 - x ) }\)
    12. \(\frac { x + 1 } { x + 4 } = \frac { - 8 ( x + 4 ) } { x + 7 }\)
    Відповідь

    1. \(\frac{5}{4}\)

    3. \(-\frac{1}{7}\)

    5. \(-16\)

    7. \(\frac{1}{10}\)

    9. \(-2,0\)

    11. \(-3,2\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Спрощуйте або вирішуйте, залежно від того, що підходить.

    1. \(\frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x - 3 } = - \frac { 2 } { 3 }\)
    2. \(\frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 3 } { 4 } = \frac { 1 } { x }\)
    3. \(\frac { x - 2 } { 3 x - 1 } - \frac { 2 - x } { x }\)
    4. \(\frac { 5 } { 2 } + \frac { x } { 2 x - 1 } - \frac { 1 } { 2 x }\)
    5. \(\frac { x - 1 } { 3 x } + \frac { 2 } { x + 1 } - \frac { 5 } { 6 }\)
    6. \(\frac { x - 1 } { 3 x } + \frac { 2 } { x + 1 } = \frac { 5 } { 6 }\)
    7. \(\frac { 2 x + 1 } { 2 x - 3 } + 2 = \frac { 1 } { 2 x }\)
    8. \(5 - \frac { 3 x + 1 } { 2 x } + \frac { 1 } { x + 1 }\)
    Відповідь

    1. Вирішити;\(- 3 , \frac { 3 } { 2 }\)

    3. Спростити;\(\frac { ( 4 x - 1 ) ( x - 2 ) } { x ( 3 x - 1 ) }\)

    5. Спростити;\(- \frac { ( x - 2 ) ( 3 x - 1 ) } { 6 x ( x + 1 ) }\)

    7. Вирішити;\(\frac{1}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Знайдіть коріння заданої функції.

    1. \(f ( x ) = \frac { 2 x - 1 } { x - 1 }\)
    2. \(f ( x ) = \frac { 3 x + 1 } { x + 2 }\)
    3. \(g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 81 } { x ^ { 2 } - 5 x }\)
    4. \(g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x - 20 } { x ^ { 2 } - 9 }\)
    5. \(f ( x ) = \frac { 4 x ^ { 2 } - 9 } { 2 x - 3 }\)
    6. \(f ( x ) = \frac { 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 } { x ^ { 2 } - 1 }\)
    7. Дано\(f ( x ) = \frac { 1 } { x } + 5\), знайдіть\(x\) коли\(f(x)=2\).
    8. Дано\(f ( x ) = \frac { 1 } { x - 4 }\), знайдіть\(x\) коли\(f ( x ) = \frac { 1 } { 2 }\).
    9. Дано\(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } + 2\), знайдіть\(x\) коли\(f(x)=1\).
    10. Дано\(f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } + 5\), знайдіть\(x\) коли\(f(x)=3\).
    Відповідь

    1. \(\frac{1}{2}\)

    3. \(\pm 9\)

    5. \(-\frac{3}{2}\)

    7. \(x=-\frac{1}{3}\)

    9. \(x=-4\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплює.

    1. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 1 } + 4\)
    2. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } - 6\)
    3. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x - 3 } + 2\)
    4. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 1 } - 1\)
    5. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x } - 3\)
    6. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 5 }\)
    Відповідь

    1. X-перехоплення:\((−\frac{5}{4} , 0)\); y-перехоплення:\((0, 5)\)

    3. X-перехоплення:\((\frac{5}{2} , 0)\); y-перехоплення:\((0, \frac{5}{3})\)

    5. X-перехоплення:\((\frac{1}{3} , 0)\); y-перехоплення: немає

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Знайдіть точки, де збігаються задані функції. (Підказка: Знайдіть точки, де\(f ( x ) = g ( x )\).)

    1. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x } , g ( x ) = x\)
    2. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { x } , g ( x ) = - x\)
    3. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } + 3 , g ( x ) = x + 1\)
    4. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } - 1 , g ( x ) = x + 2\)
    Відповідь

    1. \((−1, −1)\)і\((1, 1)\)

    3. \((1, 2)\)і\((3, 4)\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Нагадаємо, що якщо\(| X | = p\), то\(X = - p\) або\(X=p\). Використовуйте це для вирішення наступних рівнянь абсолютних значень.

    1. \(\left| \frac { 1 } { x + 1 } \right| = 2\)
    2. \(\left| \frac { 2 x } { x + 2 } \right| = 1\)
    3. \(\left| \frac { 3 x - 2 } { x - 3 } \right| = 4\)
    4. \(\left| \frac { 5 x - 3 } { 2 x + 1 } \right| = 3\)
    5. \(\left| \frac { x ^ { 2 } } { 5 x + 6 } \right| = 1\)
    6. \(\left| \frac { x ^ { 2 } - 48 } { x } \right| = 2\)
    Відповідь

    1. \(−\frac{3}{2} , −\frac{1}{2}\)

    3. \(2, 10\)

    5. \(−3, −2, −1, 6\)

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Вирішити для заданої змінної.

    1. Вирішити для\(P : w = \frac { P - 2 l } { 2 }\)
    2. Вирішити для\(A : t = \frac { A - P } { P r }\)
    3. Вирішити для\(t : \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } = \frac { 1 } { t }\)
    4. Вирішити для\(n : P = 1 + \frac { r } { n }\)
    5. Вирішити для\(y : m = \frac { y - y _ { 0 } } { x - x _ { 0 } }\)
    6. Вирішити для\(m _ { 1 } : F = G \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r ^ { 2 } }\)
    7. Вирішити для\(y : x = \frac { 2 y - 1 } { y - 1 }\)
    8. Вирішити для\(y : x = \frac { 3 y + 2 } { y + 3 }\)
    9. Вирішити для\(y : x = \frac { 2 y } { 2 y + 5 }\)
    10. Вирішити для\(y : x = \frac { 5 y + 1 } { 3 y }\)
    11. Вирішити для\(x : \frac { a } { x } + \frac { c } { b } = \frac { a } { c }\)
    12. Вирішити для\(y : \frac { a } { y } - \frac { 1 } { a } = b\)
    Відповідь

    1. \(P = 2 l + 2 w\)

    3. \(t = \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } }\)

    5. \(y = m \left( x - x _ { 0 } \right) + y _ { 0 }\)

    7. \(y = \frac { x - 1 } { x - 2 }\)

    9. \(y = - \frac { 5 x } { 2 x - 2 }\)

    11. \(x = \frac { a b c } { a b - c ^ { 2 } }\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Використовуйте алгебру для вирішення наступних програм.

    1. Значення в доларах планшетного комп'ютера задається функцією\(V ( t ) = 460 ( t + 1 ) ^ { - 1 }\), де\(t\) представляє вік планшета. Визначте вік планшета, якщо він зараз варто\($100\).
    2. Значення в доларах автомобіля задається функцією\(V ( t ) = 24,000 ( 0.5 t + 1 ) ^ { - 1 }\), де\(t\) позначає вік автомобіля. Визначте вік автомобіля, якщо він зараз варто\($6,000\).
    Відповідь

    1. \(3.6\)років

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Вирішуйте для невідомих.

    1. Коли\(2\) додається в\(5\) рази зворотне число, результат є\(12\). Знайдіть номер.
    2. Коли\(1\) віднімається з\(4\) разів зворотне число, результат є\(11\). Знайдіть номер.
    3. Сума зворотних двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює\(\frac{12}{35}\). Знайти цілі числа.
    4. Сума зворотних двох послідовних парних чисел дорівнює\(\frac{9}{40}\). Знайти цілі числа.
    5. Ціле число\(4\) більше, ніж інше. Якщо\(2\) раз зворотний від більшого віднімається з\(3\) разів зворотний меншого, то результат є\(\frac{1}{8}\). Знайти цілі числа.
    6. Ціле число\(2\) більше ніж в два рази інше. Якщо\(2\) раз зворотний від більшого віднімається з\(3\) разів зворотний меншого, то результат є\(\frac{5}{14}\). Знайти цілі числа.
    7. Якщо\(3\) раз зворотне більшого з двох послідовних цілих чисел віднімається з\(2\) разів зворотного меншого, то результат є\(\frac{1}{2}\). Знайдіть два цілих числа.
    8. Якщо\(3\) раз зворотне меншого з двох послідовних цілих чисел віднімається з\(7\) разів зворотного більшого, то результат є\(\frac{1}{2}\). Знайдіть два цілих числа.
    9. Додатне ціле число\(5\) менше іншого. Якщо зворотне від меншого цілого числа віднімається з\(3\) разів зворотне більшого, то результат є\(\frac{1}{12}\). Знайдіть два цілих числа.
    10. Додатне ціле число\(6\) менше іншого. Якщо зворотне від меншого цілого числа віднімається з\(10\) разів зворотне більшого, то результат є\(\frac{3}{7}\). Знайдіть два цілих числа.
    Відповідь

    1. \(\frac{1}{2}\)

    3. \(5,7\)

    5. \(\{ - 8 , - 4 \} \text { and } \{ 12,16 \}\)

    7. \(\{ 1,2 \} \text { or } \{ - 4 , - 3 \}\)

    9. \(\{ 4,9 \} \text { or } \{ 15,20 \}\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    1. Поясніть, як ми можемо визначити різницю між раціональним виразом і раціональним рівнянням. Як ми ставимося до них по-різному? Наведемо приклад кожного.
    2. Дослідження і обговорення причин, чому множення обох сторін раціонального рівняння на РК-дисплей іноді дає сторонні рішення.
    Відповідь

    1. Відповідь може відрізнятися

    Виноски

    33 Рівняння, що містить принаймні один раціональний вираз.

    34 Рішення, яке не вирішує вихідне рівняння.

    35 Заява про рівність двох співвідношень.

    36 Якщо\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) тоді\(ad = bc\).