Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.E: Поліноміальні та раціональні функції (вправи)

  • Page ID
    58249
    • Anonymous
    • LibreTexts
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Оцінити

    1. Дано\(f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - x + 6\), знайдіть\(f ( - 3 ) , f ( 0 )\), і\(f ( 10 )\).
    2. Дано\(g ( x ) = - x ^ { 2 } + 4 x - 1\), знайдіть\(g ( - 1 ) , g ( 0 )\), і\(g(3)\).
    3. Дано\(h ( t ) = - t ^ { 3 } - 2 t ^ { 2 } + 3\), знайдіть\(h ( - 3 ) , h ( 0 )\), і\(h(2)\).
    4. Дано\(p ( x ) = x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + x\), знайдіть\(p ( - 1 ) , p ( 0 )\), і\(p(2)\).
    5. Наступний графік дає висоту\(h (t)\) в ногах снаряда з плином часу\(t\) в секундах
    Малюнок 4.E.1

    (а) Використовуйте графік, щоб визначити висоту снаряда в\(2.5\) секундах.

    (б) В який час снаряд досягає максимальної висоти?

    (c) Скільки часу потрібно снаряду, щоб повернутися на землю?

    6. Задано графік функції\(f\), знайдіть\(f ( - 9 ) , f ( - 3 )\), і\(f(12)\).

    Малюнок 4.E.2

    7. З землі куля вистрілюється прямо вгору в повітря зі швидкістю\(340\) метрів в секунду. Ігноруючи наслідки тертя повітря, напишіть функцію, яка моделює висоту кулі і використовуйте її для обчислення висоти кулі через чверть секунди. (Округлити до найближчого метра.)

    8. Об'єкт кидається в повітря з початковою швидкістю\(30\) футів в секунду з висоти на даху\(10\). Напишіть функцію, яка моделює висоту об'єкта і використовуйте її для обчислення висоти об'єкта через\(1\) секунду.

    Відповідь

    1. \(f ( - 3 ) = 27 ; f ( 0 ) = 6 ; f ( 10 ) = 196\)

    3. \(h ( - 3 ) = 12 ; h ( 0 ) = 3 ; h ( 2 ) = - 13\)

    5. (а)\(60\) ноги; (б)\(2\) секунди; (в)\(4\) секунди

    7. \(h ( t ) = - 4.9 t ^ { 2 } + 340 t\);\(0.25\) по-друге, висота кулі становить близько\(85\) метрів.

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Виконайте операції.

    1. Дано\(f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 3 x + 1\) і\(g ( x ) = 2 x ^ { 2 } - x - 1\), знайдіть\(( f + g ) ( x )\).
    2. Дано\(f ( x ) = x ^ { 2 } + 3 x - 8\) і\(g ( x ) = x ^ { 2 } - 5 x - 7\), знайдіть\(( f - g ) ( x )\).
    3. Дано\(f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - x + 2\) і\(g ( x ) = 2 x - 3\), знайдіть\(( f \cdot g ) ( x )\).
    4. Дано\(f ( x ) = 27 x ^ { 5 } - 15 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 }\) і\(g ( x ) = 3 x ^ { 2 }\), знайдіть\(( f / g ) ( x )\).
    5. Дано\(g ( x ) = x ^ { 2 } - x + 1\), знайдіть\(g ( - 3 u )\).
    6. Дано\(g ( x ) = x ^ { 3 } - 1\), знайдіть\(g ( x - 1 )\).
    Відповідь

    1. \(( f + g ) ( x ) = 7 x ^ { 2 } - 4 x\)

    3. \(( f \cdot g ) ( x ) = 6 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 7 x - 6\)

    5. \(g ( - 3 u ) = 9 u ^ { 2 } + 3 u + 1\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Враховуючи\(f ( x ) = 16 x ^ { 3 } - 12 x ^ { 2 } + 4 x , g ( x ) = x ^ { 2 } - x + 1\)\(h ( x ) = 4 x\), і, знайдіть наступне:

    1. \(( g \cdot h ) ( x )\)
    2. \(( f - g ) ( x )\)
    3. \(( g + f ) ( x )\)
    4. \(( f / h ) ( x )\)
    5. \(( f \cdot h ) ( - 1 )\)
    6. \(( g + h ) ( - 3 )\)
    7. \(( g - f ) ( 2 )\)
    8. \(( f / h ) \left( \frac { 3 } { 2 } \right)\)
    Відповідь

    1. \(( g \cdot h ) ( x ) = 4 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 4 x\)

    3. \(( g + f ) ( x ) = 16 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 3 x + 1\)

    5. \(( f \cdot h ) ( - 1 ) = 128\)

    7. \(( g - f ) ( 2 ) = - 85\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Фактор наш найбільший загальний фактор (GCF).

    1. \(2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 }\)
    2. \(18 a ^ { 3 } b - 3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 3 }\)
    3. \(x ^ { 4 } y ^ { 3 } - 3 x ^ { 3 } y + x ^ { 2 } y\)
    4. \(x ^ { 3 n } - x ^ { 2 n } - x ^ { n }\)
    Відповідь

    1. \(2 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - 6 x - 1 \right)\)

    3. \(x ^ { 2 } y \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 3 x + 1 \right)\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Фактор за групуванням.

    1. \(2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 2 x - 1\)
    2. \(3x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 6 x + 2\)
    3. \(x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 }\)
    4. \(a ^ { 2 } b - a + a b ^ { 3 } - b ^ { 2 }\)
    5. \(2 x ^ { 4 } - 4 x y ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 } y\)
    6. \(x ^ { 4 } y ^ { 2 } - x y ^ { 5 } + x ^ { 3 } y ^ { 4 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 }\)
    Відповідь

    1. \(\left( x ^ { 2 } + 1 \right) ( 2 x - 1 )\)

    3. \(\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( x - 5 y )\)

    5. \(2 x ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Фактор спеціальних біноміалів.

    1. \(64 x ^ { 2 } - 1\)
    2. \(9 - 100 y ^ { 2 }\)
    3. \(x ^ { 2 } - 36 y ^ { 2 }\)
    4. \(4 - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }\)
    5. \(a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 125\)
    6. \(64 x ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
    7. \(81 x ^ { 4 } - y ^ { 4 }\)
    8. \(x ^ { 8 } - 1\)
    9. \(x ^ { 6 } - 64 y ^ { 6 }\)
    10. \(1 - a ^ { 6 } b ^ { 6 }\)
    Відповідь

    1. \(( 8 x + 1 ) ( 8 x - 1 )\)

    3. \(( x + 6 y ) ( x - 6 y )\)

    5. \(( a b + 5 ) \left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 5 a b + 25 \right)\)

    7. \(\left( 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( 3 x + y ) ( 3 x - y )\)

    9. \(( x + 2 y ) \left( x ^ { 2 } - 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right) ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right)\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Фактор.

    1. \(x ^ { 2 } - 8 x - 48\)
    2. \(x ^ { 2 } - 15 x + 54\)
    3. \(x ^ { 2 } - 4 x - 6\)
    4. \(x ^ { 2 } - 12 x y + 36 y ^ { 2 }\)
    5. \(x ^ { 2 } + 20 x y + 75 y ^ { 2 }\)
    6. \(- x ^ { 2 } + 5 x + 150\)
    7. \(- 2 y ^ { 2 } + 20 y + 48\)
    8. \(28 x ^ { 2 } + 20 x + 3\)
    9. \(150 x ^ { 2 } - 100 x + 6\)
    10. \(24 a ^ { 2 } - 38 a b + 3 b ^ { 2 }\)
    11. \(27 u ^ { 2 } - 3 u v - 4 v ^ { 2 }\)
    12. \(16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 78 x y + 27\)
    13. \(16 m ^ { 2 } + 72 m n + 81 n ^ { 2 }\)
    14. \(4 x ^ { 2 } - 5 x + 20\)
    15. \(25 x ^ { 4 } - 35 x ^ { 2 } + 6\)
    16. \(2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 2 } + 3\)
    17. \(x ^ { 6 } + 3 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 10 y ^ { 6 }\)
    18. \(a ^ { 6 } - 8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 15 b ^ { 6 }\)
    19. \(x ^ { 2 n } - 2 x ^ { n } + 1\)
    20. \(6 x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 2\)
    Відповідь

    1. \(( x - 12 ) ( x + 4 )\)

    3. Прем'єр

    5. \(( x + 5 y ) ( x + 15 y )\)

    7. \(- 2 ( y - 12 ) ( y + 2 )\)

    9. \(2 ( 15 x - 1 ) ( 5 x - 3 )\)

    11. \(( 3 u + v ) ( 9 u - 4 v )\)

    13. \(( 4 m + 9 n ) ^ { 2 }\)

    15. \(\left( 5 x ^ { 2 } - 6 \right) \left( 5 x ^ { 2 } - 1 \right)\)

    17. \(\left( x ^ { 3 } + 5 y ^ { 3 } \right) \left( x ^ { 3 } - 2 y ^ { 3 } \right)\)

    19. \(\left( x ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 }\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Фактор повністю.

    1. \(45 x ^ { 3 } - 20 x\)
    2. \(12 x ^ { 4 } - 70 x ^ { 3 } + 50 x ^ { 2 }\)
    3. \(- 20 x ^ { 2 } + 32 x - 3\)
    4. \(- x ^ { 3 } y + 9 x y ^ { 3 }\)
    5. \(24 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 5 }\)
    6. \(64 a ^ { 6 } b ^ { 6 } - 1\)
    7. \(64 x ^ { 2 } + 1\)
    8. \(x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }\)
    Відповідь

    1. \(5 x ( 3 x + 2 ) ( 3 x - 2 )\)

    3. \(- ( 10 x - 1 ) ( 2 x - 3 )\)

    5. \(3 a b ^ { 2 } ( 2 a + b ) \left( 4 a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \right)\)

    7. Прем'єр

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Вирішити шляхом факторингу.

    1. \(9 x ^ { 2 } + 8 x = 0\)
    2. \(x ^ { 2 } - 1 = 0\)
    3. \(x ^ { 2 } - 12 x + 20 = 0\)
    4. \(x ^ { 2 } - 2 x - 48 = 0\)
    5. \(( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) = 3\)
    6. \(2 - ( x - 4 ) ^ { 2 } = - 7\)
    7. \(( x - 6 ) ( x + 3 ) = - 18\)
    8. \(( x + 5 ) ( 2 x - 1 ) = 3 ( 2 x - 1 )\)
    9. \(\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 1 } { 8 } = 0\)
    10. \(\frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 19 } { 12 } x + \frac { 1 } { 2 } = 0\)
    11. \(x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 24 x = 0\)
    12. \(x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 = 0\)
    Відповідь

    1. \(-\frac{8}{9} , 0\)

    3. \(2,10\)

    5. \(-1, \frac{5}{2}\)

    7. \(0,3\)

    9. \(- \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 6 }\)

    11. \(- 4,0,6\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Знайдіть коріння заданих функцій.

    1. \(f ( x ) = 12 x ^ { 2 } - 8 x\)
    2. \(g ( x ) = 2 x ^ { 3 } - 18 x\)
    3. \(h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 64\)
    4. \(p ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 21 x + 4\)
    Малюнок 4.E.3

    6.

    Малюнок 4.E.4

    7. Висота в футах об'єкта, опущеного з вершини сходи\(16\) -фут, задається\(h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 16\), де\(t\) представляє час у секундах після того, як об'єкт був скинутий. Скільки часу знадобиться, щоб вдарити об землю?

    8. Довжина прямокутника на\(2\) сантиметри менше, ніж в два рази більше його ширини. Якщо площа прямокутника дорівнює\(112\) квадратним сантиметрам, знайдіть його розміри.

    9. Трикутник, основа якого по мірі дорівнює його висоті, має площу\(72\) квадратних дюймів. Знайдіть довжину підстави.

    10. Коробку можна виготовити, вирізавши кути і склавши вгору краю аркуша картону. Надано шаблон для прямокутної картонної коробки висотою в\(2\) дюйми.

    Малюнок 4.E.5

    Які розміри картонного листа, який дозволить зробити прямокутну коробку об'ємом\(240\) кубічних дюймів?

    Відповідь

    1. \(0 , \frac { 2 } { 3 }\)

    3. \(\pm 2\)

    5. \(- 9,0,6\)

    7. \(1\)другий

    9. \(12\)дюймів

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Вирішити або фактор.

    1. \(x ^ { 2 } - 25\)
    2. \(x ^ { 2 } - 121 = 0\)
    3. \(16 x ^ { 2 } - 22 x - 3 = 0\)
    4. \(3 x ^ { 2 } - 14 x - 5\)
    5. \(x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 2 x - 2\)
    6. \(3 x ^ { 2 } = - 15 x\)
    Відповідь

    1. Фактор;\(( x + 5 ) ( x - 5 )\)

    3. Вирішити;\(- \frac { 1 } { 8 } , \frac { 3 } { 2 }\)

    5. Фактор;\(( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - 2 \right)\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Знайти поліноміальне рівняння з цілими коефіцієнтами, заданими розв'язками.

    1. \(5, -2\)
    2. \(\frac { 2 } { 3 } , - \frac { 1 } { 2 }\)
    3. \(\pm \frac { 4 } { 5 }\)
    4. \(\pm 10\)
    5. \(-4,0,3\)
    6. \(-8\)подвійний корінь
    Відповідь

    1. \(x ^ { 2 } - 3 x - 10 = 0\)

    3. \(25 x ^ { 2 } - 16 = 0\)

    5. \(x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 12 x = 0\)

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Викладіть обмеження і спростіть.

    1. \(\frac { 108 x ^ { 3 } } { 12 x ^ { 2 } }\)
    2. \(\frac { 56 x ^ { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 8 x ( x - 2 ) ^ { 3 } }\)
    3. \(\frac { 64 - x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } - 15 x - 8 }\)
    4. \(\frac { 3 x ^ { 2 } + 28 x + 9 } { 81 - x ^ { 2 } }\)
    5. \(\frac { x ^ { 2 } - 25 } { 5 x ^ { 2 } } \cdot \frac { 10 x ^ { 2 } - 15 x } { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 }\)
    6. \(\frac { 7 x ^ { 2 } - 41 x - 6 } { ( x - 7 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { 49 - x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + x - 42 }\)
    7. \(\frac { 28 x ^ { 2 } ( 2 x - 3 ) } { 4 x ^ { 2 } - 9 } \div \frac { 7 x } { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 }\)
    8. \(\frac { x ^ { 2 } - 10 x + 24 } { x ^ { 2 } - 8 x + 16 } \div \frac { 2 x ^ { 2 } - 13 x + 6 } { x ^ { 2 } + 2 x - 24 }\)
    Відповідь

    1. \(9 x ; x \neq 0\)

    3. \(- \frac { x + 8 } { 2 x + 1 } ; x \neq - \frac { 1 } { 2 } , 8\)

    5. \(\frac { x - 5 } { x } ; x \neq - 5,0 , \frac { 3 } { 2 }\)

    7. \(\frac { 4 x ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } } { 2 x + 3 } ; x \neq \pm \frac { 3 } { 2 } , 0\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Виконайте операції і спростіть. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику є ненульовими.

    1. \(\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4 a b ^ { 3 } } \cdot \frac { 2 a b } { a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } }\)
    2. \(\frac { a ^ { 2 } - 5 a b + 6 b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 4 a b + 4 b ^ { 2 } } \div \frac { 9 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 3 a ^ { 3 } b - 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } }\)
    3. \(\frac { x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } + 3 x y - y ^ { 2 } } \cdot \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 3 } - y ^ { 3 } } \div \frac { x + y } { 12 x ^ { 2 } y - 3 x y ^ { 2 } }\)
    4. \(\frac { x ^ { 4 } - y ^ { 4 } } { x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } } \div \frac { x ^ { 2 } - 4 x y - 5 y ^ { 2 } } { 10 x ^ { 3 } } \cdot \frac { 2 x ^ { 2 } - 11 x y + 5 y ^ { 2 } } { 2 x ^ { 3 } y + 2 x y ^ { 3 } }\)
    Відповідь

    1. \(\frac { 1 } { 2 b ( a - b ) }\)

    3. \(\frac { 3 x y } { x + y }\)

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Виконайте операції і викладіть обмеження.

    1. Дано\(f ( x ) = \frac { 4 x ^ { 2 } + 39 x - 10 } { x ^ { 2 } + 3 x - 10 }\) і\(g ( x ) = \frac { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 } { x ^ { 2 } + 13 x + 30 }\), знайдіть\(( f \cdot g ) ( x )\).
    2. Дано\(f ( x ) = \frac { 25 - x ^ { 2 } } { 3 + x }\) і\(g ( x ) = \frac { 9 - x ^ { 2 } } { 5 - x }\), знайдіть\(( f \cdot g ) ( x )\).
    3. Дано\(f ( x ) = \frac { 42 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 }\) і\(g ( x ) = \frac { 14 x } { 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 }\), знайдіть\(( f / g ) ( x )\).
    4. Дано\(f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 20 x + 100 } { x ^ { 2 } - 1 }\) і\(g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 100 } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 }\), знайдіть\(( f / g ) ( x )\).
    5. Щоденна вартість в доларах ведення малого бізнесу задається тим,\(C (x) = 150 + 45x\) де\(x\) представляє кількість годин роботи бізнесу. Визначте середню вартість за годину, якщо бізнес працює\(8\) годинами в день.
    6. Виробник електричних велосипедів визначив, що вартість виробництва свого продукту в доларах визначається функцією,\(C (n) = 2n^{2} + 100n + 2,500\) де\(n\) представлена кількість електричних велосипедів, вироблених за день. Визначте середню вартість одного велосипеда, якщо\(10\) і\(20\) виробляються в день.
    7. З огляду на\(f ( x ) = 3 x - 5\), спростити\(\frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }\).
    8. З огляду на\(g ( x ) = 2 x ^ { 2 } - x + 1\), спростити\(\frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h }\).
    Відповідь

    1. \(( f \cdot g ) ( x ) = \frac { ( 4 x - 1 ) ( 2 x - 3 ) } { ( x - 2 ) ( x + 3 ) } ; x \neq - 10 , - 5 , - 3,2\)

    3. \(( f / g ) ( x ) = \frac { 3 x ( 2 x - 1 ) } { x + 2 } ; x \neq - 2,0 , \frac { 1 } { 2 }\)

    5. \(\$ 63.75\)за годину

    7. \(3\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Викладіть обмеження і спростіть.

    1. \(\frac { 5 x - 6 } { x ^ { 2 } - 36 } - \frac { 4 x } { x ^ { 2 } - 36 }\)
    2. \(\frac { 2 } { x } + 5 x\)
    3. \(\frac { 5 } { x - 5 } + \frac { 1 } { 2 x }\)
    4. \(\frac { x } { x - 2 } + \frac { 3 } { x + 3 }\)
    5. \(\frac { 7 ( x - 1 ) } { 4 x ^ { 2 } - 17 x + 15 } - \frac { 2 } { x - 3 }\)
    6. \(\frac { 5 } { x } - \frac { 19 x + 25 } { 2 x ^ { 2 } + 5 x }\)
    7. \(\frac { x } { x - 5 } - \frac { 2 } { x - 3 } - \frac { 5 ( x - 3 ) } { x ^ { 2 } - 8 x + 15 }\)
    8. \(\frac { 3 x } { 2 x - 1 } - \frac { x - 4 } { x + 4 } + \frac { 12 ( 2 - x ) } { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 }\)
    9. \(\frac { 1 } { t - 1 } + \frac { 1 } { ( t - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } - 1 }\)
    10. \(\frac { 1 } { t - 1 } - \frac { 2 t - 5 } { t ^ { 2 } - 2 t + 1 } - \frac { 5 t ^ { 2 } - 3 t - 2 } { ( t - 1 ) ^ { 3 } }\)
    11. \(2 x ^ { - 1 } + x ^ { - 2 }\)
    12. \(( x - 4 ) ^ { - 1 } - 2 x ^ { - 2 }\)
    Відповідь

    1. \(\frac { 1 } { x + 6 } ; x \neq \pm 6\)

    3. \(\frac { 11 x - 5 } { 2 x ( x - 5 ) } ; x \neq 0,5\)

    5. \(- \frac { 1 } { 4 x - 5 } ; x \neq \frac { 5 } { 4 } , 3\)

    7. \(\frac { x - 5 } { x - 3 } ; x \neq 3,5\)

    9. \(\frac { t ^ { 2 } + 1 } { ( t + 1 ) ( t - 1 ) ^ { 2 } } ; t \neq \pm 1\)

    11. \(\frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } } ; x \neq 0\)

    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Спростити. Припустимо, що всі змінні вирази, що використовуються як знаменники, є ненульовими.

    1. \(\frac { \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { x } } { \frac { 1 } { 49 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
    2. \(\frac { \frac { 1 } { 100 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 10 } }\)
    3. \(\frac { \frac { 3 } { x } - \frac { 1 } { x - 5 } } { \frac { 5 } { x + 2 } - \frac { 2 } { x } }\)
    4. \(\frac { 1 - \frac { 12 } { x } + \frac { 35 } { x ^ { 2 } } } { 1 - \frac { 25 } { x ^ { 2 } } }\)
    5. \(\frac { x - 4 x ^ { - 1 } } { 2 - 5 x ^ { - 1 } + 2 x ^ { - 2 } }\)
    6. \(\frac { 8 x ^ { - 1 } + y ^ { - 1 } } { y ^ { - 2 } - 64 x ^ { - 2 } }\)
    Відповідь

    1. \(\frac { 7 x } { x - 7 }\)

    3. \(\frac { ( x + 2 ) ( 2 x - 15 ) } { ( x - 5 ) ( 3 x - 4 ) }\)

    5. \(\frac { x ( x + 2 ) } { 2 x - 1 }\)

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    Виконайте операції і викладіть обмеження.

    1. Дано\(f ( x ) = \frac { 3 } { x - 3 }\) і\(g ( x ) = \frac { x - 2 } { x + 2 }\), знайдіть\(( f + g ) ( x )\).
    2. Дано\(f ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x }\) і\(g ( x ) = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }\), знайдіть\(( f + g ) ( x )\).
    3. Дано\(f ( x ) = \frac { x - 3 } { x - 5 }\) і\(g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x } { x ^ { 2 } - 25 }\), знайдіть\(( f - g ) ( x )\).
    4. Дано\(f ( x ) = \frac { 11 x + 4 } { x ^ { 2 } - 2 x - 8 }\) і\(g ( x ) = \frac { 2 x } { x - 4 }\), знайдіть\(( f - g ) ( x )\).
    Відповідь

    1. \(( f + g ) ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 2 x + 12 } { ( x - 3 ) ( x + 2 ) } ; x \neq - 2,3\)

    3. \(( f - g ) ( x ) = \frac { 3 } { x + 5 } ; x \neq \pm 5\)

    Вправа\(\PageIndex{19}\)

    Вирішити.

    1. \(\frac { 3 } { x } = \frac { 1 } { 2 x + 15 }\)
    2. \(\frac { x } { x - 4 } = \frac { x + 8 } { x - 8 }\)
    3. \(\frac { x + 5 } { 2 ( x + 2 ) } + \frac { x - 2 } { x + 4 } = 1\)
    4. \(\frac { 2 x } { x - 5 } + \frac { 1 } { x + 1 } = 0\)
    5. \(\frac { x + 1 } { x - 4 } + \frac { 4 } { x + 6 } = - \frac { 10 } { x ^ { 2 } + 2 x - 24 }\)
    6. \(\frac { 2 } { x } - \frac { 12 } { 2 x + 3 } = \frac { 2 - 3 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 3 x }\)
    7. \(\frac { x + 7 } { x - 2 } - \frac { 9 } { x + 7 } = \frac { 81 } { x ^ { 2 } + 5 x - 14 }\)
    8. \(\frac { x } { x + 5 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 4 x - 7 } { x ^ { 2 } + x - 20 }\)
    9. \(\frac { 2 } { 3 x - 1 } + \frac { x } { 2 x + 1 } = \frac { 2 ( 3 - 4 x ) } { 6 x ^ { 2 } + x - 1 }\)
    10. \(\frac { x } { x - 1 } + \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }\)
    11. \(\frac { 2 x } { x + 5 } - \frac { 1 } { 2 x - 3 } = \frac { 4 - 7 x } { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 }\)
    12. \(\frac { x } { x + 4 } + \frac { 1 } { 2 x + 7 } = \frac { x + 8 } { 2 x ^ { 2 } + 15 x + 28 }\)
    13. \(\frac { 1 } { t - 1 } - \frac { 2 } { 2 t + 1 } = \frac { 1 } { t - 2 } - \frac { 2 } { 2 t - 1 }\)
    14. \(\frac { t - 1 } { t - 2 } - \frac { t - 2 } { t - 3 } = \frac { t - 3 } { t - 4 } - \frac { t - 4 } { t - 5 }\)
    15. Вирішити для\(a\):\(\frac { 1 } { a } = \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { c }\)
    16. Вирішити для\(y\):\(x = \frac { 3 y - 1 } { y - 5 }\)
    17. Додатне ціле число\(4\) менше іншого. Якщо зворотне від більшого цілого числа віднімається з подвійного зворотного меншого, то результат буде\(\frac{1}{6}\). Знайдіть два цілих числа.
    18. Якщо\(3\) раз зворотне більшого з двох послідовних непарних цілих чисел додається до\(7\) разів зворотного меншого, то результат буде\(\frac{4}{3}\). Знайти цілі числа.
    19. Якщо зворотне від меншого з двох послідовних цілих чисел віднімається з триразового зворотного більшого, то результат буде\(\frac{3}{10}\). Знайти цілі числа.
    20. Додатне ціле число вдвічі більше, ніж інше. Сума зворотних двох натуральних чисел дорівнює\(\frac{1}{4}\). Знайдіть два цілих числа.
    Відповідь

    1. \(−9\)

    3. \(−1, 4\)

    5. \(−11, 0\)

    7. \(Ø\)

    9. \(−4\)

    11. \(−\frac{3 }{2}\)

    13. \(\frac{3}{4}\)

    15. \(a = \frac { b c } { c - b }\)

    17. \({8, 12}\)

    19. \({5, 6}\)

    Вправа\(\PageIndex{20}\)

    Використовуйте алгебру для вирішення наступних програм.

    1. Мануель проїхав\(8\) милі на автобусі та ще\(84\) милі на поїзді. Якщо поїзд був на\(16\) милі на годину швидше автобуса, а загальна поїздка зайняла\(2\) години, якою була середня швидкість поїзда?
    2. Човен може в середньому\(10\) милі на годину в негазованій воді. Під час подорожі вниз по річці човен зміг проїхати\(7.5\) милі з течією. На зворотній поїздці човен зміг проїхати\(4.5\) милі лише за однакову кількість часу проти течії. Якою була швидкість течії?
    3. Сьюзен може пробігти підтюпцем, в середньому,\(1 \frac{1}{2}\) милі на годину швидше, ніж її чоловік Білл. Білл може пробігти\(10\) милями в ту ж кількість часу, який займає Сьюзен, щоб пробігти\(13\) милями. Як швидко, в середньому, може підтюпцем Сьюзен?
    4. Вранці Рауль проїхав\(8\) милі, щоб відвідати бабусю, а потім повернувся пізніше того ж вечора. Через трафік його середня швидкість у зворотній поїздці була такою\(\frac{1}{2}\), як його середня швидкість того ранку. Якщо загальний час руху\(\frac{3}{4}\) становив годину, якою була його середня швидкість у зворотній поїздці?
    5. Одна труба може повністю заповнити резервуар для води за\(6\) години, тоді як інша менша труба займає\(8\) години, щоб заповнити той самий резервуар. Скільки часу буде потрібно для заповнення бака до\(\frac{3}{4}\) ємності, якщо обидві труби включені?
    6. Білл займає\(3\) хвилин довше, ніж Джеррі, щоб заповнити замовлення. Працюючи разом, вони можуть заповнювати\(15\) замовлення за\(30\) лічені хвилини. Скільки часу потрібно Біллу, щоб самостійно заповнити замовлення?
    7. Менні займає в два рази більше часу, ніж Джон, щоб зібрати скейтборд. Якщо вони працюють разом, вони можуть зібрати скейтборд за\(6\) лічені хвилини. Скільки часу займе Менні, щоб зібрати скейтборд без допомоги Джона?
    8. Працюючи поодинці, Джо може завершити роботу двору\(30\) за лічені хвилини. Майку потрібно\(45\) хвилин, щоб завершити роботу на тому ж дворі. Скільки часу це займе їм спільної роботи?
    Відповідь

    1. \(48\)миль на годину

    3. \(6.5\)миль на годину

    5. Приблизно\(2.6\) годин

    7. \(18\)хвилин

    Вправа\(\PageIndex{21}\)

    Побудувати математичну модель з урахуванням наступного:

    1. \(y\)варіюється безпосередньо як\(x\), де\(y=30\) коли\(x=5\).
    2. \(y\)змінюється обернено як\(x\), де\(y=3\) коли\(x=-2\).
    3. \(y\)спільно пропорційна\(x\) і\(z\), де\(y=-50\) коли\(x=-2\) і\(z=5\).
    4. \(y\)прямо пропорційна квадрату\(x\) і обернено пропорційна\(z\), де\(y=-6\) коли\(x=2\) і\(z=-8\).
    5. Відстань об'єкта у вільному падінні залежить безпосередньо від квадрата часу, коли він падав. Спостерігається, що предмет падає\(36\) ногами за\(1 \frac{1}{2}\) лічені секунди. Знайдіть рівняння, яке моделює відстань, на яку впаде об'єкт, і використовуйте його, щоб визначити, наскільки далеко він впаде за\(2 \frac{1}{2}\) лічені секунди.
    6. Після застосування гальм гальмівний шлях автомобіля змінюється безпосередньо в залежності від\(s\) квадрата швидкості автомобіля.\(d\) Якщо автомобіль, який подорожує\(55\) милями на годину, займає\(181.5\) ноги, щоб зупинитися, скільки футів знадобиться, щоб зупинитися, якщо він рухається\(65\) милями на годину?
    7. Вага об'єкта змінюється обернено, як квадрат його відстані від центру Землі. Якщо об'єкт важить\(180\) фунти на поверхні Землі (приблизно в\(4,000\) милі від центру), то скільки він буде важити в\(2,000\) милі над поверхнею Землі?
    8. Вартість оренди лімузина на одну людину варіюється в залежності від кількості людей, які його орендують. Якщо\(5\) люди заходять на прокат, лімузин буде коштувати\($112\) з людини. Скільки буде коштувати оренда на людину, якщо\(8\) люди зайдуть на прокат?
    9. Щоб збалансувати гойдалки, відстань від точки опори, на якій повинен сидіти людина, обернено пропорційно його вазі. Якщо хлопчик\(52\) -фунт сидить\(3\) ноги подалі від точки опори, то як далеко від точки опори повинен сидіти хлопчик\(44\) -pound? Округлити до найближчої десятої частини фута.
    Відповідь

    1. \(y=6x\)

    3. \(y=5xz\)

    5. \(d=16t^{2}\);\(100\) стопи

    7. \(80\)фунтів

    9. Приблизно\(3.5\) ноги

    Зразок іспиту

    Вправа\(\PageIndex{22}\)

    Враховуючи\(f ( x ) = x ^ { 2 } - x + 4 , g ( x ) = 5 x - 1\)\(h ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x - 3\), і, знайдіть наступне:

    1. \(( g \cdot h ) ( x )\)
    2. \(( h - f ) ( x )\)
    3. \(( f + g ) ( - 1 )\)
    Відповідь

    1. \(( g \cdot h ) ( x ) = 10 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 16 x + 3\)

    3. \(( f + g ) ( - 1 ) = 0\)

    Вправа\(\PageIndex{23}\)

    Фактор.

    1. \(x ^ { 3 } + 16 x - 2 x ^ { 2 } - 32\)
    2. \(x ^ { 3 } - 8 y ^ { 3 }\)
    3. \(x ^ { 4 } - 81\)
    4. \(25 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 40 x y + 16\)
    5. \(16 x ^ { 3 } y + 12 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 18 x y ^ { 3 }\)
    Відповідь

    2. \(( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right)\)

    4. \(( 5 x y - 4 ) ^ { 2 }\)

    Вправа\(\PageIndex{24}\)

    Вирішити

    1. \(6 x ^ { 2 } + 24 x = 0\)
    2. \(( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 ) = 12\)
    3. \(( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 23 x + 6\)
    4. Знайти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, заданими розв'язками\(\left\{ \frac { 1 } { 2 } , - 3 \right\}\).
    5. Дано\(f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - x + 4\), спростити\(\frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }\), де\(h \neq 0\).
    Відповідь

    1. \(-4,0\)

    3. \(-\frac{1}{4}, 5\)

    5. \(10x+5h-1\)

    Вправа\(\PageIndex{25}\)

    Спростити і сформулювати обмеження.

    1. \(\frac { 4 x ^ { 2 } - 33 x + 8 } { x ^ { 2 } - 10 x + 16 } \div \frac { 16 x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } - 4 x + 4 }\)
    2. \(\frac { x - 1 } { x - 7 } + \frac { 1 } { 1 - x } - \frac { 2 ( x + 11 ) } { x ^ { 2 } - 8 x + 7 }\)
    Відповідь

    2. \(\frac { x + 2 } { x - 1 } ; x \neq 1,7\)

    Вправа\(\PageIndex{26}\)

    Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику є ненульовими і спрощують.

    1. \(\frac { \frac { 3 } { x } + \frac { 1 } { y } } { \frac { 1 } { y ^ { 2 } } - \frac { 9 } { x ^ { 2 } } }\)

    Вправа\(\PageIndex{27}\)

    Вирішити.

    1. \(\frac { 6 x - 5 } { 3 x + 2 } = \frac { 2 x } { x + 1 }\)
    2. \(\frac { 2 x } { x + 5 } - \frac { 1 } { 5 - x } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 25 }\)
    3. Знайти корінь функції, визначеної за допомогою\(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } - 4\).
    4. Вирішити для\(y\):\(x = \frac { 4 y } { 3 y - 1 }\)
    Відповідь

    1. \(-\frac{5}{3}\)

    3. \(-\frac{11}{4}\)

    Вправа\(\PageIndex{28}\)

    Використовуйте алгебру для вирішення.

    1. Висота об'єкта, скинутого з будівлі\(64\) -foot, задається функцією\(h (t) = −16t^{2} + 64\), де\(t\) позначає час у секундах після того, як він був скинутий.
      1. Визначте висоту предмета\(\frac{3}{4}\) на секунду.
      2. Скільки часу знадобиться об'єкту, щоб вдаритися об землю?
    2. Одне натуральне число - це\(3\) одиниці більше, ніж інше. Коли зворотний більший віднімається з подвійного зворотного меншого, результат є\(\frac{2}{9}\). Знайдіть два натуральних числа.
    3. Легкий літак може в середньому\(126\) милі на годину в нерухомому повітрі. У поїздці літак проїхав\(222\) кілометри з попутним вітром. У зворотній поїздці, проти зустрічного вітру тієї ж швидкості, літак зміг проїхати\(156\) милі лише за однакову кількість часу. Якою була швидкість вітру?
    4. На виробничій лінії Джону потрібно\(2\) хвилин менше часу, ніж Марк, щоб зібрати годинник. Працюючи разом, вони можуть зібрати\(5\) годинник за\(12\) лічені хвилини. Скільки часу потрібно Джону, щоб зібрати годинник, що працюють поодинці?
    5. Напишіть рівняння\(y\), яке пов'язує\(x\) і, враховуючи, що\(y\) змінюється обернено з квадратом\(x\), де\(y = −\frac{1}{3}\) коли\(x = 3\). Використовуйте його, щоб знайти,\(y\) коли\(x = \frac{1}{2}\).
    Відповідь

    1. (1)\(55\) ноги; (2)\(2\) секунди

    3. \(22\)миль на годину

    5. \(y = - \frac { 3 } { x ^ { 2 } } ; y = - 12\)