4.1: Алгебра функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58250

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Навички для розвитку

Визначте та оцінюйте поліноміальні функції.
Додавання і віднімання функцій.
Функції множення і ділення.
Додайте функції графічно.

Функції поліномів

Будь-поліном з однією змінною є функцією і може бути записаний у вигляді

$f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ +a_1x + a_0.$

Тут$a_{n}$ представляє будь-яке дійсне число і$n$ представляє будь-яке ціле число. Ступінь многочлена з однією змінною є найбільшим показником з усіх членів. Зазвичай ми влаштовуємо терміни многочленів у порядку убування виходячи з їх ступеня і класифікуємо їх наступним чином:

$\begin{array} { l r } { f ( x ) = 2 } & { \color{Cerulean} { Constant\: function\: (degree }\: 0 ) } \\ { g ( x ) = 3 x + 2 } & { \color{Cerulean} { Linear\: function\: (degree\: } 1 ) } \\ { h ( x ) = 4 x ^ { 2 } + 3 x + 2 } & { \color{Cerulean} { Quadratic\: function\: (degree\: } 2 ) } \\ { r ( x ) = 5 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } + 3 x + 2}&{ \color{Cerulean} { Cubic\: function\: (degree\: } 3 ) } \end{array}$

У цьому підручнику ми називаємо будь-який многочлен зі ступенем вище$3$$n$ полінома th-го ступеня. Наприклад, якщо ступінь є$4$, ми називаємо це поліном четвертого ступеня; якщо ступінь є$5$, ми називаємо це поліном п'ятого ступеня, і так далі.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Дано$f(x)=x^{2}−8x+17$, знайдіть$f(2)$ і$f(4)$.

Рішення

Замініть кожен$x$ екземпляр на значення, вказане всередині дужок.

Таблиця$\PageIndex{1}$
$\begin{aligned} f ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} & = ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} ^ { 2 } - 8 ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} + 17 \\ & = 4 - 16 + 17 \\ & = 4 + 1 \\ & = 5 \end{aligned}$	$\begin{aligned} f ( \color{Cerulean}{4}\color{black}{ ) }& = ( \color{Cerulean}{4}\color{black}{ )} ^ { 2 } - 8 ( \color{Cerulean}{4}\color{black}{ )} + 17 \\ & = 16 - 32 + 17 \\ & = - 16 + 17 \\ & = 1 \end{aligned}$

Ми можемо написати$f(2)=5$ і$f(4)=1$. Пам'ятайте, що$f(x)=y$ і тому ми можемо інтерпретувати ці результати на графіку наступним чином:

$imageedit_30_8361926387.png$

Таблиця$\PageIndex{1}$

Відповідь:

$ f(2)=5; f(4)=1$

Часто нас попросять оцінити поліноми для алгебраїчних виразів.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Дано$g(x)=x^{3}−x+5$, знайдіть$g(−2u)$ і$g(x−2)$.

Рішення

$x$Замініть на вирази, вказані всередині дужок.

Таблиця$\PageIndex{2}$
$\begin{aligned} g (\color{Cerulean}{ - 2 u} \color{black}{) }& = (\color{Cerulean}{ - 2 u}\color{black}{ )} ^ { 3 } - ( \color{Cerulean}{- 2 u}\color{black}{ )} + 5 \\ & = - 8 u ^ { 3 } + 2 u + 5 \end{aligned}$	$\begin{aligned} g ( \color{Cerulean}{x - 2}\color{black}{ )} & = ( \color{Cerulean}{x - 2}\color{black}{ )} ^ { 3 } - (\color{Cerulean}{ x - 2}\color{black}{)} +5 \\ & = ( x - 2 ) (x-2)(x-2) - ( x -2) + 5 \\ & = ( x - 2 ) ( x^{2} - 4x +4 ) -x +7 \\ & = x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 4 x - 2x^{2} + 8x -8 -x +7 \\ & = x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 11x - 1 \end{aligned}$

Відповідь:

$g(−2u)=−8u^{2}+2u+5$і$g(x−2)=x^{3}−6x^{2}+11x−1$

Висота об'єкта, запущеного вгору, ігноруючи ефекти опору повітря, може бути змодельована за допомогою такої квадратичної функції:

$h(t)=−\frac{1}{2}gt^2+v_{0}t+s_{0}$

За допомогою цієї формули висоту$h(t)$ можна розрахувати в будь-який момент часу$t$ після запуску об'єкта. Буква$g$ представляє прискорення за рахунок сили тяжіння на поверхні Землі, яка становить$32$ фути на секунду в квадраті (або, використовуючи метричні одиниці,$g = 9.8$ метри на секунду в квадраті). Змінна$v_{0}$, вимовлена «v-naught», або іноді «v-zero», представляє початкову швидкість об'єкта і$s_{0}$ представляє початкову висоту, з якої був запущений об'єкт.

Приклад$\PageIndex{3}$

Об'єкт запускається з землі зі швидкістю$64$ футів в секунду. Напишіть функцію, яка моделює висоту об'єкта і використовуйте її для обчислення висоти об'єктів в$1$ секунду і в$3.5$ секундах.

Рішення

Ми знаємо, що прискорення через гравітацію становить$g = 32$ фути на секунду в квадраті, і нам дається початкова швидкість$v_{0}=64$ футів в секунду. Так як об'єкт запускається з землі, початкова висота -$s_{0}=0$ ноги. Створіть математичну модель, підставивши ці коефіцієнти в наступну формулу:

$\begin{array} { l } { h ( t ) = - \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } + v _ { 0 } t + s _ { 0 } } \\ { h ( t ) = - \frac { 1 } { 2 } ( \color{Cerulean}{32}\color{black}{ )} t ^ { 2 } + ( \color{Cerulean}{64}\color{black}{ )} t + \color{Cerulean}{0} } \\ { h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 64 t } \end{array}$

Використовуйте цю модель для обчислення висоти об'єкта за$1$ секунду та$3.5$ секунди.

$\begin{array} { l } { h ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} = - 16 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 64 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} = - 16 + 64 = 48 } \\ { h ( \color{Cerulean}{3.5}\color{black}{ )} = - 16 ( \color{Cerulean}{3.5}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 64 ( \color{Cerulean}{3.5}\color{black}{ )} = - 196 + 224 = 28 } \end{array}$

Відповідь:

$h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 64 t$; У$1$ секунду об'єкт знаходиться на висоті$48$ ніг, а в$3.5$ секундах - на висоті$28$ ніг.

Вправа$\PageIndex{1}$

Об'єкт скидається з висоти 6 метрів. Напишіть функцію, яка моделює висоту об'єкта, і використовуйте її для обчислення висоти об'єкта за$1$ секунду після його скидання.

Відповідь

$h ( t ) = - 4.9 t ^ { 2 } + 6$; У$1$ секунду об'єкт знаходиться на висоті$1.1$ метрів.

www.youtube.com/В/РРР8КЗК

Додавання та віднімання функцій

Позначення, що використовуються для позначення додавання ¹ та віднімання ² функцій, такі:

Додавання функцій:$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Віднімання функцій:$(f−g)(x)=f(x)−g(x)$

Використовуючи позначення функції, будьте обережні, щоб згрупувати всю функцію і відповідно додати або відняти.

Приклад$\PageIndex{4}$

Дано$f(x)=x^{3}−5x−7$ і$g(x)=3x^{2}+7x−2$, знайдіть$(f+g)(x)$ і$(f−g)(x)$.

Рішення

Позначення$f+g$ вказує на те, що ми повинні додати задані вирази.

$\begin{aligned} ( f + g ) ( x ) & = f ( x ) + g ( x ) \\ & = \left( x ^ { 3 } - 5 x - 7 \right) + \left( 3 x ^ { 2 } + 7 x - 2 \right) \\ & = x ^ { 3 } - 5 x - 7 + 3 x ^ { 2 } + 7 x - 2 \\ & = x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 2 x - 9 \end{aligned}$

Позначення$f−g$ вказує на те, що ми повинні відняти дані вирази. При відніманні дужки стають дуже важливими. Нагадаємо, що усунути їх можна після застосування розподільного майна.

$\begin{aligned} ( f - g ) ( x ) & = f ( x ) - g ( x ) \\ & = \left( x ^ { 3 } - 5 x - 7 \right) - \left( 3 x ^ { 2 } + 7 x - 2 \right) \\ & = x ^ { 3 } - 5 x - 7 - 3 x ^ { 2 } - 7 x + 2 \\ & = x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } - 12 x - 5 \end{aligned}$

Відповідь:

$(f+g)(x)=x^{3}+3x^{2}+2x−9$і$(f−g)(x)=x^{3}−3x^{2}−12x−5$

Нас можуть попросити оцінити суму або різницю двох функцій. У нас є можливість спочатку знайти суму або різницю в цілому, а потім використовувати результуючу функцію для оцінки для заданої змінної, або спочатку оцінити кожну, а потім знайти суму або різницю.

Приклад$\PageIndex{5}$

Оцініть$(f−g)(3)$ дані$f(x)=5x^{2}−x+4$ і$g(x)=x^{2}+2x−3$.

Рішення

Спочатку знайдіть$(f−g)(x)$.

$\begin{aligned} ( f - g ) ( x ) & = f ( x ) - g ( x ) \\ & = \left( 5 x ^ { 2 } - x + 4 \right) - \left( x ^ { 2 } + 2 x - 3 \right) \\ & = 5 x ^ { 2 } - x + 4 - x ^ { 2 } - 2 x + 3 \\ & = 4 x ^ { 2 } - 3 x + 7 \end{aligned}$

Тому,

$( f - g ) ( x ) = 4 x ^ { 2 } - 3 x + 7$.

Далі$3$ підставляємо змінну$x$.

$\begin{aligned} ( f - g ) ( \color{OliveGreen}{3}\color{black}{ )} & = 4 ( \color{OliveGreen}{3}\color{black}{ )} ^ { 2 } - 3 (\color{OliveGreen}{ 3}\color{black}{ )} + 7 \\ & = 36 - 9 + 7 \\ & = 34 \end{aligned}$

Звідси$(f−g)(3)=34$.

Альтернативне рішення

Так як$(f−g)(3)=f(3)−g(3)$, ми можемо знайти,$f(3)$$g(3)$ а потім відняти результати.

Таблиця$\PageIndex{3}$
$\begin{aligned} f ( x ) & = 5 x ^ { 2 } - x + 4 \\ f ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} & = 5 ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} ^ { 2 } - ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} + 4 \\ & = 45 - 3 + 4 \\ & = 46 \end{aligned}$	$\begin{aligned} g ( x ) & = x ^ { 2 } + 2 x - 3 \\ g ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} & = (\color{Cerulean}{ 3}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} - 3 \\ & = 9 + 6 - 3 \\ & = 12 \end{aligned}$

Тому,

$\begin{aligned} ( f - g ) ( 3 ) & = f ( 3 ) - g ( 3 ) \\ & = 46 - 12 \\ & = 34 \end{aligned}$

Зверніть увагу, що ми отримуємо таку ж відповідь.

Відповідь:

$(f−g)(3)=34$

Примітка

Якщо потрібно оцінити декілька значень, найкраще спочатку знайти суму або різницю в цілому, а потім використати її для оцінки.

Вправа$\PageIndex{2}$

Оцініть$(f+g)(−1)$ дані$f(x)=x^{3}+x−8$ і$g(x)=2x^{2}−x+9$.

Відповідь

$2$

www.youtube.com/В/АйКЗЗ9U6XPW

Функції множення та ділення

Позначення, що використовуються для позначення множення ³ та ділення ⁴ функцій, такі:

Таблиця$\PageIndex{4}$
Множення функцій:	$( f \cdot g ) ( x ) = f ( x ) \cdot g ( x )$
Розподіл функцій:	$( f / g ) ( x ) = \frac { f ( x ) } { g ( x ) } , \text { where } g ( x ) \neq 0$

Приклад$\PageIndex{6}$:

Дано$f(x)=15x^{4}−9x^{3}+6x^{2}$ і$g(x)=3x^{2}$, знайдіть$(f⋅g)(x)$ і$(f/g)(x)$.

Рішення

Позначення$f⋅g$ вказує на те, що ми повинні множити. Застосовуємо розподільне властивість і спрощуємо.

$\begin{aligned} ( f \cdot g ) ( x ) & = f ( x ) \cdot g ( x ) \\ & = \left( 15 x ^ { 4 } - 9 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } \right) \left( 3 x ^ { 2 } \right) \\ & = 15 x ^ { 4 } \cdot \color{Cerulean}{3 x ^ { 2 }}\color{black}{ -} 9 x ^ { 3 } \cdot \color{Cerulean}{3 x ^ { 2} }\color{black}{ +} 6 x ^ { 2 } \cdot \color{Cerulean}{3 x ^ { 2} } \\ & = 45 x ^ { 6 } - 27 x ^ { 5 } + 18 x ^ { 4 } \end{aligned}$

Позначення$f /g$ вказує на те, що ми повинні ділити. Для цього коефіцієнта припустимо$x ≠ 0$.

$\begin{aligned} ( f / g ) ( x ) & = \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \\ & = \frac { 15 x ^ { 4 } - 9 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } } \\ & = \frac { 15 x ^ { 4 } } { 3 x ^ { 2 } } - \frac { 9 x ^ { 3 } } { 3 x ^ { 2 } } + \frac { 6 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } } \\ & = 5 x ^ { 2 } - 3 x + 2 \end{aligned}$

Відповідь:

$(f⋅g)(x)=45x^{6}−27x^{5}+18x^{4}$і$(f/g)(x)=5x^{2}−3x+2$ де$x≠0$.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Дано$f(x)=6x−5$ і$g(x)=3x^{2}−2x−1$, оцінити$(f⋅g)(0)$ і$(f⋅g)(−1)$

Рішення

Почніть з пошуку$(f⋅g)(x)$.

$\begin{aligned} ( f \cdot g ) ( x ) & = f ( x ) \cdot g ( x ) \\ & = ( 6 x - 5 ) \left( 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 \right) \\ & = 18 x ^ { 3 } - 12 x ^ { 2 } - 6 x - 15 x ^ { 2 } + 10 x + 5 \\ & = 18 x ^ { 3 } - 27 x ^ { 2 } + 4 x + 5 \end{aligned}$

$( f \cdot g ) ( x ) = 18 x ^ { 3 } - 27 x ^ { 2 } + 4 x + 5$Тому і у нас є,

Таблиця$\PageIndex{5}$
$\begin{aligned} ( f \cdot g ) ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ )} & = 18 ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ )} ^ { 3 } - 27 ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 4 ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ )} + 5 \\ & = 5 \end{aligned}$	$\begin{aligned} ( f \cdot g ) ( \color{Cerulean}{-1}\color{black}{ )} & = 18 ( \color{Cerulean}{-1}\color{black}{ )} ^ { 3 } - 27 ( \color{Cerulean}{-1}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 4 ( \color{Cerulean}{-1}\color{black}{ )} + 5 \\ & = -18-27-4+5\\ &=-44 \end{aligned}$

Відповідь:

$( f \cdot g ) ( 0 ) = 5 \text { and } ( f \cdot g ) ( - 1 ) = - 44$

Вправа$\PageIndex{3}$

Оцініть$(f⋅g)(−1)$ дані$f(x)=x^{3}+x−8$ і$g(x)=2x^{2}−x+9$.

Відповідь

$-120$

www.youtube.com/В/ВизФГКА9CXG

Додавання функцій графічно

Тут ми досліджуємо геометрію додавання функцій. Один із способів зробити це - використовувати той факт, що$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Додайте функції разом, використовуючи x -значення, для яких визначено як f, так і g.

Приклад$\PageIndex{8}$

Використовуйте графіки$f$ та$g$ для графування$f+g$. Крім того, дайте домен$f+g$.

Рішення

У цьому випадку обидві функції визначаються для$x$ -values між$2$ і$6$. Ми будемо використовувати$2$$4$, і$6$ як репрезентативні значення в області ескізу свого графіка.$f+g$

$\begin{array} { l } { ( f + g ) ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} = f ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} + g (\color{Cerulean}{ 2}\color{black}{ )} = 3 + 6 = 9 } \\ { ( f + g ) ( \color{Cerulean}{4}\color{black}{ )} = f ( \color{Cerulean}{4}\color{black}{ )} + g ( \color{Cerulean}{4}\color{black}{ )} = 2 + 4 = 6 } \\ { ( f + g ) ( \color{Cerulean}{6}\color{black}{ )} = f ( \color{Cerulean}{6}\color{black}{ )} + g ( \color{Cerulean}{6}\color{black}{ )} = 4 + 5 = 9 } \end{array}$

Намалюйте графік f+g, використовуючи три впорядковані парні розв'язки$(2,9), (4,6)$, і$(6,9)$.

Відповідь:

$f+g$на графіку вище має домен$[2,6]$.

Приклад$\PageIndex{9}$

Використовуйте графіки$f$ та$g$ для графування$f+g$. Крім того, дайте домен$f+g$.

Рішення

Іншим способом графічного додавання невід'ємних функцій є копіювання відрізка лінії, утвореного від$x$ осі -до однієї з функцій, на іншу, як показано нижче.

Відрізок лінії від$x$ -осі до функції$f$ представляє$f(a)$. Скопіюйте цей відрізок лінії на іншу функцію над тією ж точкою; кінцева точка представляє$f(a)+g(a)$. Виконання цього для ряду пунктів дозволяє отримати швидкий ескіз комбінованого графіка. У цьому прикладі домен$f+g$ обмежується$x$ значеннями -values, для яких$f$ визначено.

Відповідь:

Домен:$[1,∞)$

Загалом, домен$f+g$ - це перетин домену$f$ з доменом$g$. Насправді це стосується всіх арифметичних операцій з додатковим врахуванням для ділення. При діленні функцій ми подбаємо про видалення будь-яких значень, які роблять знаменник нулем. Про це буде розглянуто більш докладно в міру просування в алгебрі.

Ключові винос

Будь-поліном з однією змінною є функцією і може бути записаний у вигляді$f ( x ) = a _ { n } x ^ { n } + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \ldots + a _ { 1 } x + a _ { 0 }$. Ступінь многочлена є найбільшим показником з усіх членів.
Використовуйте позначення функцій для впорядкування процесу оцінювання. Підставляйте значення або вираз всередині дужок для кожного екземпляра змінної.
Позначення$(f+g)(x)$ вказує на те, що ми повинні додати$f(x)+g(x)$.
Позначення$(f−g)(x)$ вказує на те, що ми повинні відняти$f(x)−g(x)$.
Позначення$(f⋅g)(x)$ вказує на те, що ми повинні множити$f(x)g(x)$.
Позначення$(f/g)(x)$ вказує на те, що ми повинні ділити$\frac{f(x)}{g(x)}$, де$g(x)≠0$.
Доменом функції, яка є результатом цих арифметичних операцій, є перетин області кожної функції. Домен частки додатково обмежується значеннями, які не оцінюються нулем у знаменнику.

Вправа$\PageIndex{4}$

Оцініть.

Дано$f(x)=x^{2}−10x+3$, знайдіть$f(−3), f(0)$, і$f(5)$.
Дано$f(x)=2x^{2}−x+9$, знайдіть$f(−1), f(0)$, і$f(3)$.
Дано$g(x)=x^{3}−x^{2}+x+7$, знайдіть$g(−2), g(0)$, і$g(3)$.
Дано$g(x)=x^{3}−2x+5$, знайдіть$g(−5), g(0)$, і$g(3)$.
Дано$s(t)=5t^{4}−t^{2}+t−3$, знайдіть$s(−1), s(0)$, і$s(2)$.
Дано$p(n)=n^{4}−10n^{2}+9$, знайдіть$p(−3), p(−1)$, і$p(2)$.
Дано$f(x)=x^{6}−64$, знайдіть$f(−2), f(−1)$, і$f(0)$.
Дано$f(x)=x^{6}−x^{3}+3$, знайдіть$f(−2), f(−1)$, і$f(0)$.
Дано$f(x)=x^{2}−2x−1$, знайдіть$f(2t)$ і$f(2t−1)$.
Дано$f(x)=x^{2}−2x+4$, знайдіть$f(−3t)$ і$f(2−3t)$.
Дано$g(x)=2x^{2}+3x−1$, знайдіть$g(−5a)$ і$g(5−2x)$.
Дано$g(x)=3x^{2}−5x+4$, знайдіть$g(−4u)$ і$g(3x−1)$.
Дано$f(x)=x^{3}−1$, знайдіть$f(2a)$ і$f(x−2)$.
Дано$f(x)=x^{3}−x+1$, знайдіть$f(−3x)$ і$f(2x+1)$.
Дано$g(x)=x^{3}+x^{2}−1$, знайдіть$g(x^{2})$ і$g(x−4)$.
Дано$g(x)=2x^{3}−x+1$, знайдіть$g(−2x^{3})$ і$g(3x−1)$.

Відповідь

1. $f ( - 3 ) = 42 ; f ( 0 ) = 3 ; f ( 5 ) = - 22$

3. $g ( - 2 ) = - 7 ; g ( 0 ) = 7 ; g ( 3 ) = 28$

5. $s ( - 1 ) = 0 ; s ( 0 ) = - 3 ; s ( 2 ) = 75$

7. $f ( - 2 ) = 0 ; f ( - 1 ) = - 63 ; f ( 0 ) = - 64$

9. $f ( 2 t ) = 4 t ^ { 2 } - 4 t - 1 : f ( 2 t - 1 ) = 4 t ^ { 2 } - 8 t + 2$

11. $g ( - 5 a ) = 50 a ^ { 2 } - 15 a - 1 ; g ( 5 - 2 x ) = 8 x ^ { 2 } - 46 x + 64$

13. $f ( 2 a ) = 8 a ^ { 3 } - 1 ; f ( x - 2 ) = x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 12 x - 9$

15. $g \left( x ^ { 2 } \right) = x ^ { 6 } + x ^ { 4 } - 1 ; g ( x - 4 ) = x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 40 x - 49$

Вправа$\PageIndex{5}$

Дано функцію обчислення$f(x+h)$.

$f(x)=5x−3$
$f(x)=x^{2}−1$
$f(x)=x^{3}−8$
$f(x)=x^{4}$

Відповідь

1. $f ( x + h ) = 5 x + 5 h - 3$

3. $f ( x + h ) = x ^ { 3 } + 3 h x ^ { 2 } + 3 h ^ { 2 } x + h ^ { 3 } - 8$

Вправа$\PageIndex{6}$

За заданим графіком поліноміальної функції$f$ знайдіть значення функції.

1. Знайти$f(0), f(1)$, і$f(2)$.

2. Знайти$f(−1), f(0)$, і$f(1)$.

3. Знайти$f(−2), f(−1)$, і$f(0)$.

4. Знайти$f(−3), f(−2)$, і$f(0)$.

5. Снаряд запускається вгору від землі зі швидкістю$48$ футів в секунду. Напишіть функцію, яка моделює висоту снаряда і використовуйте її для обчислення висоти$1/2$ щосекунди після запуску. Намалюйте графік, який показує висоту снаряда по відношенню до часу.

6. Об'єкт кидається вгору з платформи$48$ -foot зі швидкістю$32$ футів в секунду. Напишіть функцію, яка моделює висоту об'єкта і використовуйте її для обчислення висоти$1/2$ щосекунди після кидання об'єкта. Намалюйте графік, який показує висоту об'єкта по відношенню до часу.

7. Об'єкт скидається з$128$ пішохідного моста. Напишіть функцію, яка моделює висоту об'єкта, і використовуйте її для обчислення висоти в$1$ секунду та$2$ секунди після того, як він був скинутий.

8. Об'єкт скидається з будівлі$500$ -foot. Напишіть функцію, яка моделює висоту об'єкта, і використовуйте її для обчислення відстані, на яку об'єкт потрапляє в$1$ ^1-у секунду,$2$ ^і другу, і другу,$3$ ^і другу.

9. Куля вистрілюється прямо в повітря зі швидкістю$320$ метрів в секунду. Ігноруючи наслідки тертя повітря, напишіть функцію, яка моделює висоту кулі, і використовуйте її для обчислення висоти кулі за$1$ хвилину після того, як вона була випущена в повітря.

10. Книга скидається з висоти$10$ метрів. Напишіть функцію, яка дає висоту книги, і використовуйте її, щоб визначити, наскільки вона впаде за$1 \frac{1}{4}$ лічені секунди.

Відповідь

1. $f ( 0 ) = - 3 ; f ( 1 ) = 0 ; f ( 2 ) = - 3$

3. $f ( - 2 ) = 2 ; f ( - 1 ) = - 7 ; f ( 0 ) = - 2$

5. $h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 48 t$

7. $h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 128$; У$1$ секунду висота об'єкта -$112$ ноги, а в$2$ секундах його висота -$64$ ноги.

9. $h ( t ) = - 4.9 t ^ { 2 } + 320 t ; 1,560$метрів

Вправа$\PageIndex{7}$

Дано функції$f$ і$g$, знайти$(f+g)$ і$(f-g)$.

$f(x)=5x−3, g(x)=4x−1$
$f(x)=3x+2, g(x)=7x−5$
$f(x)=2−3x, g(x)=1−x$
$f(x)=8x−5, g(x)=−7x+4$
$f(x)=x^{2}−3x+2, g(x)=x^{2}+4x−7$
$f(x)=2x^{2}+x−3, g(x)=x^{2}−x+4$
$f(x)=x^{2}+5x−3, g(x)=6x+11$
$f(x)=9x+5, g(x)=2x^{2}−5x+4$
$f(x)=9x^{2}−1, g(x)=x^{2}+5x$
$f(x)=10x^{2}, g(x)=5x^{2}−8$
$f(x)=8x^{3}+x−4, g(x)=4x^{3}+x^{2}−1$
$f(x)=x^{3}−x^{2}+x+1, g(x)=x^{3}−x^{2}−x−1$

Відповідь

1. $( f + g ) ( x ) = 9 x - 4 ; ( f - g ) ( x ) = x - 2$

3. $( f + g ) ( x ) = - 4 x + 3 ; ( f - g ) ( x ) = - 2 x + 1$

5. $( f + g ) ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x - 5 ; ( f - g ) ( x ) = - 7 x + 9$

7. $( f + g ) ( x ) = x ^ { 2 } + 11 x + 8 ; ( f - g ) ( x ) = x ^ { 2 } - x - 14$

9. $( f + g ) ( x ) = 10 x ^ { 2 } + 5 x - 1 ; ( f - g ) ( x ) = 8 x ^ { 2 } - 5 x - 1$

11. $\begin{array} { l } { ( f + g ) ( x ) = 12 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x - 5 } \\ { ( f - g ) ( x ) = 4 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x - 3 } \end{array}$

Вправа$\PageIndex{8}$

З огляду на$f ( x ) = x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 8$ і$g ( x ) = 2 x ^ { 2 } - 3 x + 5$, оцініть наступне.

$(f+g)(−2)$
$(f+g)(3)$
$(f−g)(−2)$
$(f−g)(3)$
$(g−f)(−2)$
$(g−f)(3)$
$(f+f)(1)$
$(g+g)(−1)$

Відповідь

1. $11$

3. $-27$

5. $27$

7. $-10$

Вправа$\PageIndex{9}$

З огляду на графіки$f$ і$g$, оцініть наступне.

$(f+g)(−4)$
$(f−g)(−4)$
$(f+g)(−2)$
$(f−g)(−2)$
$(f+g)(0)$
$(f−g)(0)$

Відповідь

1. $-4$

3. $1$

5. $-2$

Вправа$\PageIndex{10}$

Дано$f$ і$g$, знайдіть$f⋅g$.

$f(x)=5x, g(x)=x−3$
$f(x)=x−4, g(x)=6x$
$f(x)=2x−3, g(x)=3x+4$
$f(x)=5x−1, g(x)=2x+1$
$f(x)=3x+4, g(x)=3x−4$
$f(x)=x+5, g(x)=x−5$
$f(x)=x−2, g(x)=x^{2}−3x+2$
$f(x)=2x−3, g(x)=x^{2}+2x−1$
$f(x)=2x^{2}, g(x)=x^{2}−7x+5$
$f(x)=5x^{3}, g(x)=x^{2}−3x−1$
$f(x)=x^{2}−3x−2, g(x)=2x^{2}−x+3$
$f(x)=x^{2}+x−1, g(x)=x^{2}−x+1$

Відповідь

1. $( f \cdot g ) ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 15 x$

3. $( f \cdot g ) ( x ) = 6 x ^ { 2 } - x - 12$

5. $( f \cdot g ) ( x ) = 9 x ^ { 2 } - 16$

7. $( f \cdot g ) ( x ) = x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } + 8 x - 4$

9. $( f \cdot g ) ( x ) = 2 x ^ { 4 } - 14 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 }$

11. $( f \cdot g ) ( x ) = 2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 7 x - 6$

Вправа$\PageIndex{11}$

Дано$f$ і$g$, знайдіть$f/g$. (Припустимо, що всі вирази в знаменнику є ненульовими.)

$f ( x ) = 36 x ^ { 3 } - 16 x ^ { 2 } - 8 x , g ( x ) = 4 x$
$f ( x ) = 2 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 10 x , g ( x ) = 2 x$
$f ( x ) = 20 x ^ { 7 } - 15 x ^ { 5 } + 5 x ^ { 3 } , g ( x ) = 5 x ^ { 3 }$
$f ( x ) = 9 x ^ { 6 } + 12 x ^ { 4 } - 3 x ^ { 2 } , g ( x ) = 3 x ^ { 2 }$
$f ( x ) = x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } + 3 x - 2 , g ( x ) = x + 2$
$f ( x ) = x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 10 x + 12 , g ( x ) = x - 3$
$f ( x ) = 6 x ^ { 3 } - 13 x ^ { 2 } + 36 x - 45 , g ( x ) = 2 x - 3$
$f ( x ) = 6 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 15 x - 4 , g ( x ) = 3 x - 1$
$f ( x ) = 3 x ^ { 3 } - 13 x ^ { 2 } - x + 8 , g ( x ) = 3 x + 2$
$f ( x ) = 5 x ^ { 3 } - 16 x ^ { 2 } + 13 x - 6 , g ( x ) = 5 x - 1$

Відповідь

1. $( f / g ) ( x ) = 9 x ^ { 2 } - 4 x - 2$

3. $( f / g ) ( x ) = 4 x ^ { 4 } - 3 x ^ { 2 } + 1$

5. $( f / g ) ( x ) = x ^ { 2 } + 2 x - 1$

7. $( f / g ) ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 15$

9. $( f / g ) ( x ) = x ^ { 2 } - 5 x + 3 + \frac { 2 } { 3 x + 2 }$

Вправа$\PageIndex{12}$

Наведено$f ( x ) = 25 x ^ { 4 } + 10 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 }$ і$g(x) = 5x^{2}$ оцінюють наступне.

$(f⋅g)(−1)$
$(f⋅g)(1)$
$(f/g)(−2)$
$(f/g)(−3)$
$(g⋅f)(0)$
$(g/f)(1)$
$(g⋅g)(−1)$
$(f⋅f)(−1)$

Відповідь

1. $50$

3. $15$

5. $0$

7. $25$

Вправа$\PageIndex{13}$

Наведено графіки$f$ і$g$ оцінюють наступне.

1. $(f⋅g)(3)$

2. $(f⋅g)(5)$

3. $(f/g)(5)$

4. $(f/g)(3)$

5. $(f⋅g)(1)$

6. $(f/g)(1)$

Відповідь

1. $-2$

3. $0$

5. $4$

Вправа$\PageIndex{14}$

Дано$f ( x ) = 5 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } + 10 x , g ( x ) = x ^ { 2 } - x + 3$, і$h(x)=-5x$, знайдіть наступне. (Припустимо, що всі вирази в знаменнику є ненульовими.)

$(f−g)(x)$
$(g−f)(x)$
$(g⋅h)(x)$
$(f/h)(x)$
$(h+g)(x)$
$(h⋅f)(x)$
$(g/h)(2)$
$(g−h)(−3)$
Дохід в доларах від продажу MP3-плеєрів дається функцією$R(n)=125n−0.15n^{2}$, де$n$ представляє кількість проданих одиниць$(0≤n<833)$. Вартість виробництва MP3-плеєрів у доларах визначається формулою,$C(n)=1200+42n$ де$n$ представлена кількість вироблених одиниць. Напишіть функцію, яка моделює прибуток від виробництва та продажу$n$ MP3-плеєрів. Використовуйте функцію для визначення прибутку, отриманого від виробництва та продажу$225$ MP3-плеєрів. Нагадаємо, що прибуток дорівнює доходу за вирахуванням витрат.
Внутрішній радіус шайби -$\frac{1}{2}$ це зовнішній радіус.

Відповідь

1. $( f - g ) ( x ) = 5 x ^ { 3 } - 16 x ^ { 2 } + 11 x - 3$

3. $( g \cdot h ) ( x ) = - 5 x ^ { 3 } + 5 x ^ { 2 } - 15 x$

5. $( h + g ) ( x ) = x ^ { 2 } - 6 x + 3$

7. $( g / h ) ( 2 ) = - \frac { 1 } { 2 }$

9. $P ( n ) = - 0.15 n ^ { 2 } + 83 n - 1200 ; \$ 9,881.25$

Вправа$\PageIndex{15}$

Використовуйте графіки$f$ та$g$ для графування$f+g$. Крім того, дайте домен$f+g$.

10.

Відповідь

1. $[2,8]$

3. $[0,10]$

5. $[2,10]$

7. $[ - 2 , \infty )$

9. $( - \infty , \infty )$

Вправа$\PageIndex{16}$

Які арифметичні операції над функціями є комутативними? Поясніть.
Дослідіть способи графічного додавання функцій, якщо вони виявляються негативними.

Відповідь: 1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Додайте функції, зазначені позначенням:$(f + g) (x) = f (x) + g (x) $.

² Відніміть функції, як зазначено позначенням:$(f − g) (x) = f (x) − g (x)$.

³ Функції множення, як зазначено позначенням:$(f ⋅ g) (x) = f (x) ⋅ g (x)$.

⁴ Розділіть функції, як зазначено позначенням:$(f /g) (x) = \frac{f(x)}{ g(x)}$, де$g (x) ≠ 0$.

Множення функцій:	\(( f \cdot g ) ( x ) = f ( x ) \cdot g ( x )\)
Розподіл функцій:	\(( f / g ) ( x ) = \frac { f ( x ) } { g ( x ) } , \text { where } g ( x ) \neq 0\)