4.6: Раціональні функції - додавання та віднімання

Цілі навчання

• Додавання і віднімання раціональних функцій.
• Спростіть складні раціональні вирази.

Додавання та віднімання раціональних функцій

Додавання і віднімання раціональних виразів схоже на додавання і віднімання дробів. Нагадаємо, що якщо знаменники однакові, ми можемо скласти або відняти чисельники і записати результат над спільним знаменником. При роботі з раціональними виразами спільним знаменником буде многочлен. Загалом, задані многочлени\(P, Q\), і\(R\)\(Q≠0\), де, маємо наступне:

\(\dfrac { P } { Q } \pm \dfrac { R } { Q } = \dfrac { P \pm R } { Q }\)

Набір обмежень до області суми або різниці раціональних виразів складається з обмежень до доменів кожного виразу.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Відніміть:\(\dfrac { 4 x } { x ^ { 2 } - 64 } - \dfrac { 3 x + 8 } { x ^ { 2 } - 64 }\).

Рішення

Знаменники однакові. Звідси ми можемо відняти чисельники і записати результат над спільним знаменником. Подбайте про розподіл негативу\(1\).

\(\begin{aligned} \dfrac { 4 x } { x ^ { 2 } - 64 } - \dfrac { 3 x + 8 } { x ^ { 2 } - 64 } & = \dfrac { 4 x - ( 3 x + 8 ) } { x ^ { 2 } - 64 } \quad\:\color{Cerulean}{Subtract\:the\:numerators.}\\ & = \dfrac { 4 x - 3 x - 8 } { x ^ { 2 } - 64 } \quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ & = \dfrac {\cancel{x-8} } { ( x + 8 )\cancel{ ( x - 8 )} }\quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ & = \dfrac { 1 } { x + 8 } \quad\quad\quad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Restrictions\: x\neq\pm 8} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac { 1 } { x + 8 }\), де\(x \neq \pm 8\)

Щоб додати раціональні вирази з несхожими знаменниками, спочатку знайдіть еквівалентні вирази зі спільними знаменниками. Робіть це так само, як у вас з дробами. Якщо знаменники дробів відносно прості, то найменш спільний знаменник (РК) - це їх добуток. Наприклад,

\(\dfrac { 1 } { x } + \dfrac { 1 } { y } \quad \color{Cerulean}{\Rightarrow} \quad \color{black}{ \mathrm { LCD } = x \cdot y = x y}\)

Помножте кожен дріб на відповідну форму,\(1\) щоб отримати еквівалентні дроби із загальним знаменником.

\(\begin{aligned} \dfrac { 1 } { x } + \dfrac { 1 } { y } & = \dfrac { 1 \cdot \color{Cerulean}{y} } { x \cdot \color{Cerulean}{y} } + \dfrac { 1 \cdot \color{Cerulean}{x} } { y \cdot \color{Cerulean}{x} } \\ & = \dfrac { y } { x y } + \dfrac { x } { x y } \quad \color{Cerulean} { Equivalent\: fractions\: with\: a \:common\: denominator } \\ & = \dfrac { y + x } { x y } \end{aligned}\)

Загалом, задані многочлени\(P, Q, R\), а\(S\), де\(Q≠0\) і\(S≠0\), маємо наступне:

\(\dfrac { P } { Q } \pm \dfrac { R } { S } = \dfrac { P S \pm Q R } { Q S }\)

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Дано\(f ( x ) = \dfrac { 5 x } { 3 x + 1 }\) і\(g ( x ) = \dfrac { 2 } { x + 1 }\), знайдіть\(f+g\) і констатуйте обмеження.

Рішення

Тут РК-дисплей є твором знаменників\((3x+1)(x+1)\). Помножте на відповідні коефіцієнти для отримання раціональних виразів із загальним знаменником перед додаванням.

\(\begin{array} { l } =(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\ { = \dfrac { 5 x } { 3 x + 1 } + \dfrac { 2 } { x + 1 } } \\ { = \dfrac { 5 x } { ( 3 x + 1 ) } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { ( x + 1 ) } { ( x + 1 ) }} \color{black}{+} \dfrac { 2 } { ( x + 1 ) } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { ( 3 x + 1 ) } { ( 3 x + 1 ) } }} \\ { = \dfrac { 5 x ( x + 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } + \dfrac { 2 ( 3 x + 1 ) } { ( x + 1 ) ( 3 x + 1 ) } } \\ { = \dfrac { 5 x ( x + 1 ) + 2 ( 3 x + 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } } \\ { = \dfrac { 5 x ^ { 2 } + 5 x + 6x + 2 } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } } \\ = \dfrac{5x^{2} + 11x + 2}{(3x+1)(x+1)} \\ { = \dfrac { ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } } \end{array}\)

Домен\(f\) складається з усіх дійсних чисел крім\(-\dfrac{1}{3}\), а домен\(g\) складається з усіх дійсних чисел, крім\(-1\). Тому домен\(f+g\) складається з усіх дійсних чисел, крім\(-1\) і\(-\dfrac{1}{3}\).

Відповідь:

\(( f + g ) ( x ) = \dfrac { ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) }\), де\(x \neq - 1 , - \dfrac { 1 } { 3 }\)

Не завжди так, що РК-дисплей є твором заданих знаменників. Як правило, знаменники не є відносно простими; таким чином, визначення РК-дисплея вимагає певної думки. Почніть з факторингу всіх знаменників. РК-дисплей - це твір всіх факторів з найбільшою потужністю.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Задано\(f ( x ) = \dfrac { 3 x } { 3 x - 1 }\) і\(g ( x ) = \dfrac { 4 - 14 x } { 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 }\), знайти\(f-g\) і вказати обмеження для домену.

Рішення

Щоб визначити РК, коефіцієнт знаменника\(g\).

\(\begin{aligned} ( f - g ) ( x ) & = f ( x ) - g ( x ) \\ & = \dfrac { 3 x } { 3 x - 1 } - \dfrac { 4 - 14 x } { 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } \\ & = \dfrac { 3 x } { ( 3 x - 1 ) } - \dfrac { 4 - 14 x } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } \end{aligned}\)

В даному випадку РК-дисплей\(=(3x−1)(x−1)\). \(f\)Помножте на\(1\) у вигляді еквівалентних алгебраїчних дробів із загальним знаменником і потім відніміть.\(\dfrac { ( x - 1 ) } { ( x - 1 ) }\)

\(\begin{array} { l } { = \dfrac { 3 x } { ( 3 x - 1 ) } \cdot \dfrac { \color{Cerulean}{( x - 1 )} } { \color{Cerulean}{( x - 1 )} } \color{black}{-} \dfrac { 4 - 14 x } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } } \\ { = \dfrac { 3 x ( x - 1 ) - 4 + 14 x } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } } \\ { = \dfrac { 3 x ^ { 2 } + 11 x - 4 } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } } \\ { = \dfrac { \cancel{( 3 x - 1 )} ( x + 4 ) } { \cancel{( 3x - 1 )} (x-1) } } \\ { = \dfrac { ( x + 4 ) } { ( x - 1 ) } } \end{array}\)

Домен of\(f\) складається з усіх дійсних чисел крім\(\dfrac{1}{3}\), а домен\(g\) складається з усіх дійсних чисел, крім\(1\) і\(\dfrac{1}{3}\). Тому домен\(f − g\) складається з усіх дійсних чисел, крім\(1\) і\(\dfrac{1}{3}\).

Відповідь:

\(( f - g ) ( x ) = \dfrac { x + 4 } { x - 1 }\), де\(x \neq \dfrac { 1 } { 3 } , 1\)

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Спростіть і констатуйте обмеження:\(\dfrac { - 2 x } { x + 6 } - \dfrac { 3 x } { 6 - x } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { x ^ { 2 } - 36 }\).

Рішення

Почніть з застосування протилежного біноміального властивості\(6 - x = - ( x - 6 )\).

\(\begin{array} { l } { \dfrac { - 2 x } { x + 6 } - \dfrac { 3 x } { 6 - x } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { x ^ { 2 } - 36 } } \\ { = \dfrac { - 2 x } { ( x + 6 ) } - \dfrac { 3 x } {\color{Cerulean}{ - 1 \cdot ( x - 6 )} } \color{black}{-} \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } } \\ { = \dfrac { - 2 x } { ( x + 6 ) } + \dfrac { 3 x } { ( x - 6 ) } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } } \end{array}\)

Далі знайдіть еквівалентні дроби з РК-дисплеєм,\(= (x+6)(x-6)\) а потім спростіть.

\(\begin{aligned} & = \dfrac { - 2 x } { ( x + 6 ) } \cdot \dfrac { ( \color{Cerulean}{x - 6}\color{black}{ )} } { (\color{Cerulean}{ x - 6}\color{black}{ )} } + \dfrac { 3 x } { ( x - 6 ) } \cdot \dfrac { (\color{Cerulean}{ x + 6}\color{black}{ )} } { ( \color{Cerulean}{x + 6} \color{black}{)} } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { - 2 x ( x - 6 ) + 3 x ( x + 6 ) - 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { - 2 x ^ { 2 } + 12 x + 3 x ^ { 2 } + 18 x - 18 x + 36 } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { x ^ { 2 } + 12 x + 36 } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { \cancel{(x + 6 )} ( x + 6 ) } { \cancel{( x + 6 )} ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { x + 6 } { x - 6 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac { x + 6 } { x - 6 }\), де\(x \neq \pm 6\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Спростіть і викладіть обмеження:\(\dfrac { x + 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \dfrac { 4 } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) ^ { 2 } }\)

Відповідь

\(\dfrac { 1 } { x - 1 }\), де\(x \neq \pm 1\)

www.youtube.com/В/ДойзХІ 83S

Раціональні вирази іноді виражаються за допомогою негативних показників. У цьому випадку застосуйте правила для негативних показників перед спрощенням виразу.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Спростіть і констатуйте обмеження:\(5 a ^ { - 2 } + ( 2 a + 5 ) ^ { - 1 }\).

Рішення

Нагадаємо, що\(x ^ { - n } = \dfrac { 1 } { x ^ { n } }\). Почніть з перезапису раціональних виразів з негативними показниками у вигляді дробів.

\(5 a ^ { - 2 } + ( 2 a + 5 ) ^ { - 1 } = \dfrac { 5 } { a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { ( 2 a + 5 ) ^ { 1 } }\)

Потім знайдіть РК-дисплей і додайте.

\(\begin{aligned} \dfrac { 5 } { a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { ( 2 a + 5 ) ^ { 1 } } & = \dfrac { 5 } { a ^ { 2 } } \cdot \dfrac { \color{Cerulean}{( 2 a + 5 )} } {\color{Cerulean}{ ( 2 a + 5 )} } \color{black}{+} \dfrac { 1 } { ( 2 a + 5 ) } \cdot \dfrac {\color{Cerulean}{ a ^ { 2} } } { \color{Cerulean}{a ^ { 2} } } \\ & = \dfrac { 5 ( 2 a + 5 ) } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } + \dfrac { a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) }\quad \color{Cerulean}{Equivalent\: expressions \:with\: a\: common\:denominator. } \\ & = \dfrac { 10 a + 25 + a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } \quad\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Add.}\\ & = \dfrac { a ^ { 2 } + 10 a + 25 } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } \quad\quad\:\:\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \dfrac { ( a + 5 ) ( a + 5 ) } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac { ( a + 5 ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) ^ { 2 } }\), де\(a \neq - \dfrac { 5 } { 2 } , 0\)

Спрощення складних раціональних виразів

Складний раціональний вираз ³² визначається як раціональний вираз, що містить одне або кілька раціональних виразів в чисельнику або знаменнику або обох. Наприклад,

\(\dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } }\)

являє собою складне раціональне вираження. Спрощено складний раціональний вираз шляхом знаходження еквівалентного дробу, де чисельник і знаменник є поліномами. Існує два методи спрощення складних раціональних виразів, і ми окреслимо кроки для обох методів. Для наочності припустимо, що змінні вирази, що використовуються як знаменники, є ненульовими.

Спосіб 1: Спрощення за допомогою поділу

Ми починаємо нашу дискусію про спрощення складних раціональних виразів за допомогою ділення. Перш ніж ми зможемо помножити на зворотний знаменника, ми повинні спростити чисельник і знаменник окремо. Мета полягає в тому, щоб спочатку отримати одиничні алгебраїчні дроби в чисельнику і знаменнику. Етапи спрощення складної алгебраїчної дробу проілюстровані в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Спростити:\(\dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } }\).

Рішення

Крок 1: Спростіть чисельник і знаменник, щоб отримати один алгебраїчний дріб, розділений на інший єдиний алгебраїчний дріб. У цьому прикладі знайдіть еквівалентні члени зі спільним знаменником як в чисельнику, так і в знаменнику перед додаванням і відніманням.

\(\begin{aligned} \dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } } & = \dfrac { \dfrac { 4 } { 1 } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2} } } \color{black}{-} \dfrac { 12 } { x } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x } { x} }\color{black}{ +} \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 2 } { 1 } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2} } }\color{black}{ -} \dfrac { 5 } { x } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x } { x } }\color{black}{ +} \dfrac{3}{x^{2}} } \\ & = \dfrac { \dfrac { 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } - \dfrac { 12 x } { x ^ { 2 } } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } - \dfrac { 5 x } { x ^ { 2 } } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Equivalent\: fractions\: with\:common\:denominators.}\\&= \dfrac{\dfrac{4x^{2}-12x+9}{x^{2}}}{\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x^{2}}}\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Add\:the\:fractions\:in\:the\:numerator\:and\:denominator.} \end{aligned}\)

На цьому етапі ми маємо один алгебраїчний дріб, розділений на інший єдиний алгебраїчний дріб.

Крок 2: Помножте чисельник на зворотний знаменника.

\(\dfrac { \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { x ^ { 2 } } } { \color{Cerulean}{\dfrac { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { x ^ { 2 }} } } \color{black}{=} \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { x ^ { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 }}\)

Крок 3: Порахуйте всі чисельники та знаменники повністю.

\(= \dfrac { ( 2 x - 3 ) ( 2 x - 3 ) } { x ^ { 2 } } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } } { ( 2 x - 3 ) ( x - 1 ) }\)

Крок 4: Скасуйте всі загальні фактори.

\(= \dfrac { \cancel{( 2 x - 3 )} ( 2 x - 3 ) } { \cancel{x ^ { 2} } } \cdot \dfrac { \cancel{x ^ { 2} } } { \cancel{( 2 x - 3 )}(x-1) } \\ =\dfrac{2x-3}{x-1}\)

Відповідь:

\(\dfrac { 2 x - 3 } { x - 1 }\)

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Спростити:\(\dfrac { \dfrac { 2 x } { x - 1 } + \dfrac { 7 } { x + 3 } } { \dfrac { 2 x } { x - 1 } - \dfrac { 5 } { x - 3 } }\)

Рішення

Отримати єдиний алгебраїчний дріб в чисельнику і в знаменнику.

\(\begin{aligned} \dfrac{\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{7}{x+3}}{\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{5}{x-3}} &= \dfrac{\dfrac{2x}{x-1}\cdot \dfrac{(\color{Cerulean}{x+3}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x+3}\color{black}{)}}+ \dfrac{7}{x+3}\cdot\dfrac{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}}{\dfrac{2x}{x-1}\cdot\dfrac{(\color{Cerulean}{x-3}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x-3}\color{black}{)}}-\dfrac{5}{x-3}\cdot\dfrac{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}} \\ & =\dfrac { \dfrac { 2 x ( x + 3 ) + 7 ( x - 1 ) } { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } } { \dfrac { 2 x ( x - 3 ) - 5 ( x - 1 ) } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } } \\ & = \dfrac { \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 6 x + 7 x - 7 } { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } } { \dfrac { 2 x ^ { 2 } - 6 x -5 x +5 } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } } \\& = \dfrac{\dfrac{2x^{2}+13x-7}{(x-1)(x+3)}}{\dfrac{2x^{2}-11x+5}{(x-1)(x-3)}} \end{aligned}\)

Далі помножте чисельник на зворотний знаменника, множник, а потім скасуйте.

\(\begin{array} { l } { = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 13 x - 7 } { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } \cdot \dfrac { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } { 2 x ^ { 2 } - 11 x + 5 } } \\ { = \dfrac { \cancel{( 2 x -1)} ( x + 7 ) } {\cancel{(x-1)} ( x + 3 ) } \cdot \dfrac { \cancel{( x - 1 )} ( x - 3 ) } { \cancel{( 2 x - 1 )} ( x - 5 ) } } \\{= \dfrac{(x+7)(x-3)}{(x+3)(x-5)}} \end{array}\)

Відповідь:

\(\dfrac { ( x + 7 ) ( x - 3 ) } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) }\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Спростіть за допомогою поділу:\(\dfrac { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { y } + \dfrac { 1 } { x } }\).

Відповідь

\(\dfrac { x - y } { x y }\)

www.youtube.com/В/4DQCL_HBINQ

Іноді складні раціональні вирази виражаються за допомогою негативних показників.

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Спростити:\(\dfrac { 2 y ^ { - 1 } - x ^ { - 1 } } { x ^ { - 2 } - 4 y ^ { - 2 } }\).

Рішення

Починаємо з переписування виразу без негативних показників.

\(\dfrac { 2 y ^ { - 1 } - x ^ { - 1 } } { x ^ { - 2 } - 4 y ^ { - 2 } } = \dfrac { \dfrac { 2 } { y } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } - \dfrac { 4 } { y ^ { 2 } } }\)

Отримати одинарні алгебраїчні дроби в чисельнику і знаменнику і потім помножити на зворотний знаменника.

\(\begin{aligned} \dfrac { \dfrac { 2 } { y } - \dfrac { 1 } { x } } { x ^ { 2 } - \dfrac { 4 } { y ^ { 2 } } } & = \dfrac { \dfrac { 2 x - y } { x y } } { \dfrac { y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } \\ & = \dfrac { 2 x - y } { x y } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } } \\ & = \dfrac { 2 x - y } { x y } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { ( y - 2 x ) ( y + 2 x ) } \end{aligned}\)

Застосуйте протилежне біноміальне властивість,\(( y - 2 x ) = - ( 2 x - y )\) а потім скасуйте.

\(\begin{array} { l } { = \dfrac { \cancel{( 2 x - y )} } { x y } \cdot \dfrac { \stackrel{x\:\:\:y}{\cancel{x ^ { 2} } \:\cancel{y ^ {2} }} } { - \cancel{( 2 x - y )} ( y + 2 x ) } } \\ { = - \dfrac { x y } { y + 2 x } } \end{array}\)

Відповідь:\(- \dfrac { x y } { y + 2 x }\)

Спосіб 2. Спрощення використання РК-дисплея

Альтернативний метод спрощення складних раціональних виразів передбачає очищення дробів шляхом множення виразу на спеціальну форму\(1\). У цьому способі помножте чисельник і знаменник на найменший спільний знаменник (РК) всіх заданих дробів.

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Спростити:\(\dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } }\).

Рішення

Крок 1: Визначте РК-дисплей всіх дробів чисельника та знаменника. В даному випадку знаменниками заданих дробів є\(1, x\), і\(x^{2}\). Тому РК-дисплей є\(x^{2}\).

Крок 2: Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей. Цей крок повинен очистити дроби як в чисельнику, так і в знаменнику.

\(\begin{aligned} \dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } } & = \dfrac { \left( 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } \right) \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } } { \left( 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } \right) \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } } \quad\quad\:\:\quad\quad\color{Cerulean}{Multiply\:numerator\:and\:denominator.} \\ & = \dfrac { 4 \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ -} \dfrac { 12 } { x } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ +} \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } } { 2 \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ -} \dfrac { 5 } { x } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ +} \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } }\quad\quad\color{Cerulean}{Distribute\:and\:then\:cancel.} \\ & = \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } \end{aligned}\)

Це залишає нам єдиний алгебраїчний дріб з многочленом в чисельнику і в знаменнику.

Крок 3: Порахуйте чисельник і знаменник повністю.

\(\begin{aligned} & = \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } \\ & = \dfrac { ( 2 x - 3 ) ( 2 x - 3 ) } { ( x - 1 ) ( 2 x - 3 ) } \end{aligned}\)

Крок 4: Скасуйте всі загальні фактори.

\(\begin{aligned} & = \dfrac { ( 2 x - 3 )\cancel{ ( 2 x - 3 )} } { ( x - 1 ) \cancel{( 2 x - 3 )} } \\ & = \dfrac { 2 x - 3 } { x - 1 } \end{aligned}\)

Примітка

Це була та сама проблема, представлена в прикладі 6, і результати тут однакові. Варто витратити час, щоб порівняти кроки, пов'язані з використанням обох методів з однієї і тієї ж проблеми.

Відповідь:\(\dfrac{2x-3}{x-1}\)

Важливо зазначити, що множення чисельника і знаменника на однаковий ненульовий коефіцієнт еквівалентно множенню на 1 і не змінює задачу.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Спрощення за допомогою РК-дисплея:\(\dfrac { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { y } + \dfrac { 1 } { x } }\).

Відповідь

\(\dfrac { x - y } { x y }\)

www.youtube.com/В/ФП7З1О

Ключові винос

• Додавання і віднімання раціональних виразів схоже на додавання і віднімання дробів. Буде потрібно загальний знаменник. Якщо знаменники однакові, то ми можемо скласти або відняти чисельники і записати результат над загальним знаменником.
• Набір обмежень до області суми або різниці раціональних функцій складається з обмежень до областей кожної функції.
• Складні раціональні вирази можуть бути спрощені в еквівалентні вирази з поліноміальним чисельником і многочленомним знаменником. Вони зводяться до найнижчих, якщо чисельник і знаменник є поліномами, які не мають спільного фактора, крім\(1\).
• Один із способів спрощення складного раціонального виразу вимагає від нас спочатку написати чисельник і знаменник як єдиний алгебраїчний дріб. Потім помножте чисельник на зворотний знаменника і спростіть результат.
• Інший метод спрощення складного раціонального виразу вимагає, щоб ми помножили його на спеціальну форму\(1\). Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей всіх знаменників як засіб для очищення дробів. Зробивши це, спростіть залишилося раціональне вираз.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Викладіть обмеження і спростіть.

1. \(\dfrac { 3 x } { 3 x + 4 } + \dfrac { 2 } { 3 x + 4 }\)
2. \(\dfrac { 3 x } { 2 x - 1 } - \dfrac { 2 x + 1 } { 2 x - 1 }\)
3. \(\dfrac { x - 2 } { 2 x ^ { 2 } - 11 x - 6 } + \dfrac { x + 3 } { 2 x ^ { 2 } - 11 x - 6 }\)
4. \(\dfrac { 4 x - 1 } { 3 x ^ { 2 } + 2 x - 5 } - \dfrac { x - 6 } { 3 x ^ { 2 } + 2 x - 5 }\)
5. \(\dfrac { 1 } { x } - 2 x\)
6. \(\dfrac { 4 } { x ^ { 3 } } - \dfrac { 1 } { x }\)
7. \(\dfrac { 1 } { x - 1 } + 5\)
8. \(\dfrac { 1 } { x + 7 } - 1\)
9. \(\dfrac { 1 } { x - 2 } - \dfrac { 1 } { 3 x + 4 }\)
10. \(\dfrac { 2 } { 5 x - 2 } + \dfrac { x } { x + 3 }\)
11. \(\dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { x - 2 }\)
12. \(\dfrac { 2 x } { x } + \dfrac { 2 } { x - 2 }\)
13. \(\dfrac { 3 x - 7 } { x ( x - 7 ) } + \dfrac { 1 } { 7 - x }\)
14. \(\dfrac { 2 } { 8 - x } + \dfrac { 3 x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } ( x - 8 ) }\)
15. \(\dfrac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 25 } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } - 10 x + 25 }\)
16. \(\dfrac { x + 1 } { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 } - \dfrac { x } { 4 x ^ { 2 } - 1 }\)
17. \(\dfrac { x } { x ^ { 2 } + 4 x } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } + 8 x + 16 }\)
18. \(\dfrac { 2 x - 1 } { 4 x ^ { 2 } + 8 x - 5 } - \dfrac { 3 } { 4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 }\)
19. \(\dfrac { 5 - x } { 7 x + x ^ { 2 } } - \dfrac { x + 2 } { 49 - x ^ { 2 } }\)
20. \(\dfrac { 2 x } { 4 x ^ { 2 } + x } - \dfrac { x + 1 } { 8 x ^ { 2 } + 6 x + 1 }\)
21. \(\dfrac { x - 1 } { 2 x ^ { 2 } - 7 x - 4 } + \dfrac { 2 x - 1 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 }\)
22. \(\dfrac { 2 ( x + 3 ) } { 3 x ^ { 2 } - 5 x - 2 } + \dfrac { 4 - x } { 3 x ^ { 2 } + 10 x + 3 }\)
23. \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 + 2 x ^ { 2 } } - \dfrac { 2 } { x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } }\)
24. \(\dfrac { 3 x } { 4 x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } } - \dfrac { 2 x ^ { 2 } } { 6 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } }\)
25. \(\dfrac { 3 x ^ { 2 } - 12 } { x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } + 16 } - \dfrac { x ^ { 2 } + 2 } { 4 - x ^ { 2 } }\)
26. \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 1 } + \dfrac { 6 x ^ { 2 } - 24 } { 2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } - 4 }\)

Відповідь

1. \(\dfrac { 3 x + 2 } { 3 x + 4 } ; x \neq - \dfrac { 4 } { 3 }\)

3. \(\dfrac { 1 } { x - 6 } ; x \neq - \dfrac { 1 } { 2 } , 6\)

5. \(\dfrac { 1 - 2 x ^ { 2 } } { x } ; x \neq 0\)

7. \(\dfrac { 5 x - 4 } { x - 1 } ; x \neq 1\)

9. \(\dfrac { 2 ( x + 3 ) } { ( x - 2 ) ( 3 x + 4 ) } ; x \neq - \dfrac { 4 } { 3 } , 2\)

11. \(\dfrac { ( x - 1 ) ( x + 2 ) } { x ^ { 2 } ( x - 2 ) } ; x \neq 0,2\)

13. \(\dfrac { 2 x - 7 } { x ( x - 7 ) } ; x \neq 0,7\)

15. \(\dfrac { x ^ { 2 } - 8 x - 5 } { ( x + 5 ) ( x - 5 ) ^ { 2 } } ; x \neq \pm 5\)

17. \(\dfrac { x + 2 } { ( x + 4 ) ^ { 2 } } ; x \neq 0 , - 4\)

19. \(\dfrac { 7 ( 5 - 2 x ) } { x ( 7 + x ) ( 7 - x ) } ; x \neq - 7,0,7\)

21. \(\dfrac { x ( 5 x - 2 ) } { ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( 2 x + 1 ) } ; x \neq - \dfrac { 1 } { 2 } , 1,4\)

23. \(\dfrac { x ^ { 2 } - 2 } { 2 x ^ { 2 } } ; x \neq 0\)

25. \(\dfrac { x ^ { 2 } + 5 } { ( x + 2 ) ( x - 2 ) } ; x \neq \pm 2\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

З огляду на\(f\) і\(g\), спростити\(f+g\) і різниця\(f-g\). Крім того, вкажіть домен за допомогою інтервальних позначень.

1. \(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x } , g ( x ) = \dfrac { 5 } { x ^ { 2 } }\)
2. \(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x + 2 } , g ( x ) = \dfrac { 2 } { x - 1 }\)
3. \(f ( x ) = \dfrac { x - 2 } { x + 2 } , g ( x ) = \dfrac { x + 2 } { x - 2 }\)
4. \(f ( x ) = \dfrac { x } { 2 x - 1 } , g ( x ) = \dfrac { 2 x } { 2 x + 1 }\)
5. \(f ( x ) = \dfrac { 6 } { 3 x ^ { 2 } + x } , g ( x ) = \dfrac { 18 } { 9 x ^ { 2 } + 6 x + 1 }\)
6. \(f ( x ) = \dfrac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 8 x + 16 } , g ( x ) = \dfrac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 4 x }\)
7. \(f ( x ) = \dfrac { x } { x ^ { 2 } - 25 } , g ( x ) = \dfrac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 4 x - 5 }\)
8. \(f ( x ) = \dfrac { 2 x - 3 } { x ^ { 2 } - 4 } , g ( x ) = \dfrac { x } { 2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 }\)
9. \(f ( x ) = \dfrac { 1 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } , g ( x ) = - \dfrac { 1 } { 4 x ^ { 2 } - 3 x - 1 }\)
10. \(f ( x ) = \dfrac { 6 } { 6 x ^ { 2 } + 13 x - 5 } , g ( x ) = - \dfrac { 2 } { 2 x ^ { 2 } + x - 10 }\)

Відповідь

1. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { x + 5 } { x ^ { 2 } } ; ( f - g ) ( x ) = \dfrac { x - 5 } { x ^ { 2 } }\); Домен:\(( - \infty , 0 ) \cup ( 0 , \infty )\)

3. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 2 \left( x ^ { 2 } + 4 \right) } { ( x + 2 ) ( x - 2 ) } ; ( f - g ) ( x ) = - \dfrac { 8 x } { ( x + 2 ) ( x - 2 ) }\); Домен:\(( - \infty , - 2 ) \cup ( - 2,2 ) \cup ( 2 , \infty )\)

5. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 6 ( 6 x + 1 ) } { x ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } } ; ( f - g ) ( x ) = \dfrac { 6 } { x ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } }\); Домен:\(\left( - \infty , - \dfrac { 1 } { 3 } \right) \cup \left( - \dfrac { 1 } { 3 } , 0 \right) \cup ( 0 , \infty )\)

7. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 5 } { ( x + 1 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) } ; ( f - g ) ( x ) = - \dfrac { 3 x - 5 } { ( x + 1 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) }\); Домен:\(( - \infty , - 5 ) \cup ( - 5 , - 1 ) \cup ( - 1,5 ) \cup ( 5 , \infty )\)

9. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 1 } { ( 3 x + 2 ) ( 4 x + 1 ) } ; ( f - g ) ( x ) = - \dfrac { 7 x + 3 } { ( x - 1 ) ( 3 x + 2 ) ( 4 x + 1 ) }\); Домен:\(\left( - \infty , - \dfrac { 2 } { 3 } \right) \cup \left( - \dfrac { 2 } { 3 } , \dfrac { 1 } { 4 } \right) \cup \left( \dfrac { 1 } { 4 } , 1 \right) \cup ( 1 , \infty )\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Викладіть обмеження і спростіть.

1. \(1 + \dfrac { 3 } { x } - \dfrac { 5 x - 1 } { x ^ { 2 } }\)
2. \(4 + \dfrac { 2 } { x } - \dfrac { 6 x - 1 } { x ^ { 2 } }\)
3. \(\dfrac { 2 x } { x - 8 } - \dfrac { 1 } { 3 x + 1 } - \dfrac { 2 x + 9 } { 3 x ^ { 2 } - 23 x - 8 }\)
4. \(\dfrac { 4 x } { x - 2 } - \dfrac { 10 } { 3 x + 1 } - \dfrac { 19 x + 18 } { 3 x ^ { 2 } - 5 x - 2 }\)
5. \(\dfrac { 1 } { x - 1 } + \dfrac { 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 }\)
6. \(\dfrac { 1 } { x - 2 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } - 4 } + \dfrac { 1 } { ( x - 2 ) ^ { 2 } }\)
7. \(\dfrac { 2 x + 1 } { x - 1 } - \dfrac { 3 x } { 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 } + \dfrac { x + 1 } { x - 2 x ^ { 2 } }\)
8. \(\dfrac { 5 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 2 x } - \dfrac { x ^ { 2 } - 4 x } { x ^ { 2 } - 2 x } + \dfrac { 4 + 2 x ^ { 2 } } { 4 + 2 x - 2 x ^ { 2 } }\)
9. \(\dfrac { x + 2 } { 2x ( 3 x - 2 ) } + \dfrac { 4 x } { ( x - 2 ) ( 3 x - 2 ) } - \dfrac { 3 x + 2 } { 2 x ( x - 2 ) }\)
10. \(\dfrac { 10 x } { x ( x - 5 ) } - \dfrac { 2 x ^ { 2 } } { ( 2 x - 5 ) ( x - 5 ) } - \dfrac { 5 x } { x ( 2 x - 5 ) }\)

Відповідь

1. \(\dfrac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } ; x \neq 0\)

3. \(\dfrac { 2 x - 1 } { x - 8 } ; x \neq - \dfrac { 1 } { 3 } , 8\)

5. \(\dfrac { x ^ { 2 } + 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } ( x + 1 ) } ; x \neq \pm 1\)

7. \(\dfrac { 2 x + 1 } { x } ; x \neq 0 , \dfrac { 1 } { 2 } , 1\)

9. \(0 ; x \neq 0 , \dfrac { 2 } { 3 } , 2\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Спрощення заданих алгебраїчних виразів. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику є ненульовими.

1. \(x ^ { - 2 } + y ^ { - 2 }\)
2. \(x ^ { - 2 } + ( 2 y ) ^ { - 2 }\)
3. \(2 x ^ { - 1 } + y ^ { - 2 }\)
4. \(x ^ { - 2 } - 4 y ^ { - 1 }\)
5. \(16 x ^ { - 2 } + y ^ { 2 }\)
6. \(x y ^ { - 1 } - y x ^ { - 1 }\)
7. \(3 ( x + y ) ^ { - 1 } + x ^ { - 2 }\)
8. \(2 ( x - y ) ^ { - 2 } - ( x - y ) ^ { - 1 }\)
9. \(a ^ { - 2 } - ( a + b ) ^ { - 1 }\)
10. \(( a - b ) ^ { - 1 } - ( a + b ) ^ { - 1 }\)
11. \(x ^ { - n } + y ^ { - n }\)
12. \(x y ^ { - n } + y x ^ { - n }\)

Відповідь

1. \(\dfrac { y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } }\)

3. \(\dfrac { x + 2 y ^ { 2 } } { x y ^ { 2 } }\)

5. \(\dfrac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 16 } { x ^ { 2 } }\)

7. \(\dfrac { 3 x ^ { 2 } + x + y } { x ^ { 2 } ( x + y ) }\)

9. \(\dfrac { a + b - a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( a + b ) }\)

11. \(\dfrac { x ^ { n } + y ^ { n } } { x ^ { n } y ^ { n } }\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Спростити. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменниках є ненульовими.

1. \(\dfrac { \dfrac { 75 x ^ { 2 } } { ( x - 3 ) ^ { 2 } } } { \dfrac { 25 x ^ { 3 } } { x - 3 } }\)
2. \(\dfrac { \dfrac { x + 5 } { 36 x ^ { 3 } } } { \dfrac { ( x + 5 ) ^ { 3 } } { 9 x ^ { 2 } } }\)
3. \(\dfrac { \dfrac { x ^ { 2 } - 36 } { 32 x ^ { 5 } } } { \dfrac { x - 6 } { 4 x ^ { 3 } } }\)
4. \(\dfrac { \dfrac { x - 8 } { 56 x ^ { 2 } } } { \dfrac { x ^ { 2 } - 64 } { 7 x ^ { 3 } } }\)
5. \(\dfrac { \dfrac { 5 x + 1 } { 2 x ^ { 2 } + x - 10 } } { \dfrac { 25 x ^ { 2 } + 10 x + 1 } { 4 x ^ { 2 } - 25 } }\)
6. \(\dfrac { \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 27 x - 7 } { 4 x ^ { 2 } - 1 } } { \dfrac { x - 7 } { 6 x ^ { 2 } - x - 1 } }\)
7. \(\dfrac { \dfrac { x ^ { 2 } - 4 x - 5 } { 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 } } { \dfrac { x ^ { 2 } - 10 x + 25 } { 2 x ^ { 2 } + 7 x + 3 } }\)
8. \(\dfrac { \dfrac { 5 x ^ { 2 } + 9 x - 2 } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 } } { \dfrac { 10 x ^ { 2 } + 3 x - 1 } { 4 x ^ { 2 } + 7 x - 2 } }\)
9. \(\dfrac { x ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { 5 } - \dfrac { 3 } { x } }\)
10. \(\dfrac { \dfrac { 4 } { x } - 3 } { 2 x ^ { 2 } }\)
11. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 3 } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { 9 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
12. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { 5 } + \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 4 } { 25 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
13. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - 36 } { 6 - \dfrac { 1 } { y } }\)
14. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 5 } - \dfrac { 1 } { y } } { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { 25 } }\)
15. \(\dfrac { 1 - \dfrac { 6 } { x } + \dfrac { 8 } { x ^ { 2 } } } { 3 - \dfrac { 5 } { x } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } } }\)
16. \(\dfrac { 2 + \dfrac { 13 } { x } - \dfrac { 7 } { x ^ { 2 } } } { 3 + \dfrac { 1 } { x } - \dfrac { 10 } { x ^ { 2 } } }\)
17. \(\dfrac { 9 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 4 } { x ^ { 2 } } } { 9 - \dfrac { 4 } { x ^ { 2 } } }\)
18. \(\dfrac { 4 - \dfrac { 25 } { x ^ { 2 } } } { 4 - \dfrac { 8 } { x } - \dfrac { 5 } { x ^ { 2 } } }\)
19. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { x } + \dfrac { 5 } { 3 x - 1 } } { \dfrac { 2 } { 3 x - 1 } - \dfrac { 1 } { x } }\)
20. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { x - 5 } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { x } - \dfrac { 3 } { x - 5 } }\)
21. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { x + 1 } + \dfrac { 2 } { x - 2 } } { \dfrac { 2 } { x - 3 } - \dfrac { 1 } { x - 2 } }\)
22. \(\dfrac { \dfrac { 4 } { x + 5 } - \dfrac { 1 } { x - 3 } } { \dfrac { 3 } { x - 3 } + \dfrac { 1 } { 2 x - 1 } }\)
23. \(\dfrac { \dfrac { x - 1 } { 3 x - 1 } - \dfrac { 1 } { x + 1 } } { \dfrac { x - 1 } { x + 1 } - \dfrac { 2 } { x + 1 } }\)
24. \(\dfrac { \dfrac { x + 1 } { 3 x + 5 } - \dfrac { 1 } { x + 3 } } { \dfrac { 2 } { x + 3 } - \dfrac { x + 1 } { x + 3 } }\)
25. \(\dfrac { \dfrac { 2 x + 3 } { 2 x - 3 } + \dfrac { 2 x - 3 } { 2 x + 3 } } { \dfrac { 2 x + 3 } { 2 x - 3 } - \dfrac { 2 x - 3 } { 2 x + 3 } }\)
26. \(\dfrac { \dfrac { x - 1 } { x + 1 } - \dfrac { x + 1 } { x - 1 } } { \dfrac { x + 1 } { x - 1 } - \dfrac { x - 1 } { x + 1 } }\)
27. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 2 x + 5 } - \dfrac { 1 } { 2 x - 5 } + \dfrac { 4 x } { 4 x ^ { 2 } - 25 } } { \dfrac { 1 } { 2 x + 5 } + \dfrac { 1 } { 2 x - 5 } + \dfrac { 4 x } { 4 x ^ { 2 } - 25 } }\)
28. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 3 x - 1 } + \dfrac { 1 } { 3 x + 1 } } { \dfrac { 3 x } { 3 x - 1 } - \dfrac { 1 } { 3 x + 1 } - \dfrac { 6 x } { 9 x ^ { 2 } - 1 } }\)
29. \(\dfrac { 1 } { 1 + \dfrac { 1 } { 1 + \dfrac { 1 } { x } } }\)
30. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { x } } { 1 - \dfrac { 1 } { 1 + \dfrac { 1 } { x } } }\)
31. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { y } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
32. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { y } + \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 4 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
33. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 25 y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { x } - \dfrac { 1 } { 5 y } }\)
34. \(\dfrac { 16 y ^ { 2 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { x } - 4 y }\)
35. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { b } + \dfrac { 1 } { a } } { \dfrac { 1 } { b ^ { 3 } } + \dfrac { 1 } { a ^ { 3 } } }\)
36. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { a } - \dfrac { 1 } { b } } { \dfrac { 1 } { b ^ { 3 } } - \dfrac { 1 } { a ^ { 3 } } }\)
37. \(\dfrac { \dfrac { x } { y } - \dfrac { y } { x } } { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 2 } { x y } + \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
38. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { y } - \dfrac { 5 } { x } } { 4 x - \dfrac { 25 y ^ { 2 } } { x } }\)
39. \(\dfrac { x ^ { - 1 } + y ^ { - 1 } } { y ^ { - 2 } - x ^ { - 2 } }\)
40. \(\dfrac { y ^ { - 2 } - 25 x ^ { - 2 } } { 5 x ^ { - 1 } - y ^ { - 1 } }\)
41. \(\dfrac { 1 - x ^ { - 1 } } { x - x ^ { - 1 } }\)
42. \(\dfrac { 16 - x ^ { - 2 } } { x ^ { - 1 } - 4 }\)
43. \(\dfrac { 1 - 4 x ^ { - 1 } - 21 x ^ { - 2 } } { 1 - 2 x ^ { - 1 } - 15 x ^ { - 2 } }\)
44. \(\dfrac { x ^ { - 1 } - 4 \left( 3 x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } { 3 - 8 x ^ { - 1 } + 16 \left( 3 x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } }\)
45. \(\dfrac { ( x - 3 ) ^ { - 1 } + 2 x ^ { - 1 } } { x ^ { - 1 } - 3 ( x - 3 ) ^ { - 1 } }\)
46. \(\dfrac { ( 4 x - 5 ) ^ { - 1 } + x ^ { - 2 } } { x ^ { - 2 } + ( 3 x - 10 ) ^ { - 1 } }\)
47. З огляду на\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x }\), спростити\(\dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }\).
48. З огляду на\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x - 1 }\), спростити\(\dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }\).
49. З огляду на\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x }\), спростити різницю коефіцієнта\(\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }\).
50. З огляду на\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x } + 1\), спростити різницю коефіцієнта\(\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }\).

Відповідь

1. \(\dfrac { 3 } { x ( x - 3 ) }\)

3. \(\dfrac { x + 6 } { 8 x ^ { 2 } }\)

5. \(\dfrac { 2 x - 5 } { ( x - 2 ) ( 5 x + 1 ) }\)

7. \(\dfrac { x + 3 } { x - 5 }\)

9. \(\dfrac { 5 x ^ { 3 } } { x - 15 }\)

11. \(\dfrac { 3 x } { x + 3 }\)

13. \(- \dfrac { 6 y + 1 } { y }\)

15. \(\dfrac { x - 4 } { 3 x + 1 }\)

17. \(\dfrac { 3 x - 2 } { 3 x + 2 }\)

19. \(- \dfrac { 8 x - 1 } { x - 1 }\)

21. \(\dfrac { 3 x ( x - 3 ) } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) }\)

23. \(\dfrac { x } { 3 x - 1 }\)

25. \(\dfrac { 4 x ^ { 2 } + 9 } { 12 x }\)

27. \(\dfrac { 2 x - 5 } { 4 x }\)

29. \(\dfrac { x + 1 } { 2 x + 1 }\)

31. \(\dfrac { x y } { x + y }\)

33. \(- \dfrac { x + 5 y } { 5 x y }\)

35. \(\dfrac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } }\)

37. \(\dfrac { x y ( x + y ) } { x - y }\)

39. \(\dfrac { x y } { x - y }\)

41. \(\dfrac { 1 } { x + 1 }\)

43. \(\dfrac { x - 7 } { x - 5 }\)

45. \(- \dfrac { 3 ( x - 2 ) } { 2 x + 3 }\)

47. \(- \dfrac { 1 } { a b }\)

49. \(- \dfrac { 1 } { x ( x + h ) }\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

1. Поясніть, чому область суми раціональних функцій така ж, як область різниці цих функцій.
2. У цьому розділі представлено два методи спрощення складних раціональних виразів. Який із двох методів, на вашу думку, є більш ефективним, і чому?

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

³² Раціональний вираз, що містить одне або кілька раціональних виразів у чисельнику або знаменнику або обох.