4.5: Раціональні функції - множення та ділення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58242

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте обмеження до області раціональної функції.
Спрощення раціональних функцій.
Множення і ділення раціональних функцій.

Виявлення обмежень та спрощення раціональних функцій

Раціональні функції ²⁵ мають вигляд

$r ( x ) = \dfrac { p ( x ) } { q ( x ) }$,

де$p(x)$ і$q(x)$ є поліномами і$q(x)≠0$. Область раціональної функції ²⁶ складається з усіх дійсних чисел,$x$ крім тих, де знаменник$q(x)=0$. Обмеження ²⁷ - дійсні числа, для яких вираз не визначено. Ми часто виражаємо область раціональної функції з точки зору її обмежень. Наприклад, розглянемо функцію

$f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 4 x + 3 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 }$

які можуть бути написані в факторованій формі

$f ( x ) = \dfrac { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } { ( x - 2 ) ( x - 3 ) }$

Оскільки раціональні вирази невизначені, коли знаменник є$0$, ми хочемо знайти значення для$x$ цього зробити його$0$. Для цього застосовується властивість zero-product. Встановіть кожен коефіцієнт в знаменнику рівним$0$ і вирішуйте.

$\begin{array} { c } { ( x - 2 )\: ( x - 3 ) = 0 } \\ { x - 2 = 0 \quad \text { or } \quad x - 3 = 0 } \\ { x = 3 }\quad\quad\quad\quad {x=3} \end{array}$

Тому вихідна функція визначається для будь-якого дійсного числа, крім$2$ і$3$. Ми можемо висловити його домен за допомогою позначення наступним чином:

$\begin{array} { l l } { \color{Cerulean} { Set-builder\: notation } } & { \color{Cerulean} { Interval \:notation } } \\ \{ x | x \neq 2,3 \} & {( - \infty , 2 ) \cup ( 2,3 ) \cup ( 3 , \infty ) } \end{array}$

Обмеження до області раціональної функції визначаються знаменником. Після визначення обмежень ми можемо скасувати фактори та отримати еквівалентну функцію наступним чином:

Важливо зазначити, що$1$ це не обмеження для домену, оскільки вираз визначається як$0$ коли чисельник є$0$. По суті,$x=1$ це корінь. Ця функція наведена нижче:

Зверніть увагу, що на обмеженні існує вертикальна$x=2$ асимптота, а графік залишається невизначеною на обмеженні,$x=3$ як зазначено відкритою крапкою або діркою на графіку. Графік раціональних функцій загалом виходить за рамки цього підручника. Однак на цьому етапі корисно знати, що обмеження є важливою частиною графіка раціональних функцій.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Викладіть обмеження та спростіть:$g ( x ) = \dfrac { 24 x ^ { 7 } } { 6 x ^ { 5 } }$

Рішення

У цьому прикладі функція undefined where$x$ is$0$.

$g ( 0 ) = \dfrac { 24 ( 0 ) ^ { 7 } } { 6 ( 0 ) ^ { 5 } } = \dfrac { 0 } { 0 } \quad \color{Cerulean}{undefined}$

Тому домен складається з усіх дійсних чисел$x$, де$x≠0$. З таким розумінням ми можемо спростити, зменшивши раціональне вираження до найнижчих. Скасувати загальні фактори.

$g ( x ) = \dfrac { \stackrel{4\:\:\:\: x ^ { 2 }}{\cancel{24}\:\:\: \cancel{x^{7}}} } { \cancel{6}\:\:\:\:\: \cancel{x ^ { 8 }} } = 4 x ^ { 2 }$

Відповідь

$g ( x ) = 4 x ^ { 2 }$, де$x≠0$

Приклад$\PageIndex{2}$:

Викладіть обмеження та спростіть:$f ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 } { 4 x ^ { 2 } - 1 }$.

Рішення

Спочатку множник чисельник і знаменник.

$f ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 } { 4 x ^ { 2 } - 1 } = \dfrac { ( 2 x - 1 ) ( x + 3 ) } { ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) }$

Будь-яке$x$ -значення, яке робить знаменник нулем, є обмеженням. Щоб знайти обмеження, спочатку встановіть знаменник рівний нулю, а потім вирішіть

$( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) = 0$

$\begin{array} { r l } { 2 x + 1 = 0 } & { \text { or } \quad 2 x - 1 = 0 } \\ { 2 x = - 1 } & \quad\quad\quad\quad{ 2 x = 1 } \\ { x = - \dfrac { 1 } { 2 } } &\quad\quad\quad\quad\: { x = \dfrac { 1 } { 2 } } \end{array}$

Тому,$x≠±\dfrac{1}{2}$. При такому розумінні ми можемо скасувати будь-які загальні фактори.

$\begin{aligned} f ( x ) & = \dfrac {\cancel{ ( 2 x - 1 )} ( x + 3 ) } { ( 2 x + 1 ) \cancel{( 2 x -1)} } \\ & = \dfrac { x + 3 } { 2 x + 1 } \end{aligned}$

Відповідь:

$f ( x ) = \dfrac { x + 3 } { 2 x + 1 }$, де$x \neq \pm \dfrac { 1 } { 2 }$

Визначимо протилежність многочлена$P$ бути$−P$. Знаходження протилежного многочлена вимагає застосування розподільного властивості. Наприклад, протилежне многочлену$(x−3)$ пишеться як

$\begin{aligned} - ( x - 3 ) & = - 1 \cdot ( x - 3 ) \\ & = - x + 3 \\ & = 3 - x \end{aligned}$

Це призводить нас до протилежного біноміального властивості ²⁸,$−(a−b)=(b−a)$. Слід подбати про те, щоб не переплутати це з тим, що$(a+b)=(b+a)$. Це так, тому що додавання є комутативним. Загалом,

$\begin{array} { c |} -(a-b)=(b-a)\\\text{or}\\\dfrac{b-a}{a-b}=-1 \end{array} \begin{array}{c} (a-b)=(a+b)\\\text{or}\\ \dfrac{b+a}{a+b}=1\end{array}$

Також важливо нагадати, що

$\dfrac { - a } { b } = - \dfrac { a } { b } = \dfrac { a } { - b }$

Іншими словами, негативний дріб показується шляхом розміщення негативного знака або в чисельнику, перед рядком дробу, або в знаменнику. Як правило, негативних знаменників уникають.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Викладіть обмеження та спростіть:$\dfrac { 25 - x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 10 x + 25 }$.

Рішення

Почніть з факторингу чисельника і знаменника.

$\begin{aligned} \dfrac { 25 - x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 10 x + 25 } & = \dfrac { ( 5 - x ) ( 5 + x ) } { ( x - 5 ) ( x - 5 ) } \\ & = \dfrac { \color{Cerulean}{- 1 \cdot ( x - 5 ) }\color{black}{(} 5 + x ) } { ( x - 5 ) ( x - 5 ) }\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Opposite\:binomial\:property.} \\ & = \dfrac { - 1 \cdot \cancel{( x - 5 )} ( 5 + x ) } { \cancel{( x - 5 )} ( x - 5 ) } \quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ & = - \dfrac { x + 5 } { x - 5 } \end{aligned}$

Відповідь:

$ - \dfrac { x + 5 } { x - 5 }$, де$x≠5$

Важливо пам'ятати, що ми можемо скасувати лише фактори продукту. Поширеною помилкою є скасування термінів. Наприклад,

$\dfrac {\cancel{ x ^ { 2} } + 7 x - 30 } { \cancel{x ^ { 2} } - 7 x + 12 } \\ \color{red}{incorrect!}$$\begin{array} { c } { \dfrac { \cancel{x} + 10 } { \cancel{x} - 4 } } \\ { \color{red} { incorrect! } } \end{array}$$\dfrac { 2 \cancel{x-1}} {\cancel{x-1} } \\ \color{red}{incorrect!}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Викладіть обмеження та спростіть:$\dfrac { x - 2 x ^ { 2 } } { 4 x ^ { 4 } - x ^ { 2 } }$.

Відповідь

$- \dfrac { 1 } { x ( 2 x + 1 ) }$, де$x \neq 0 , \pm \dfrac { 1 } { 2 }$

www.youtube.com/В/EK2QW7OGXby

У деяких прикладах зробимо широке припущення, що знаменник ненульовий. Коли ми робимо це припущення, нам не потрібно визначати обмеження.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Спростити:$\dfrac { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } - 8 y ^ { 3 } } { x ^ { 4 } - 16 y ^ { 4 } }$. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

Рішення

Фактор чисельника шляхом групування. Коефіцієнт знаменника за допомогою формули різниці квадратів.

$\begin{aligned} \dfrac { x ^ { 3 } + 4 x y ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } y - 8 y ^ { 3 } } { x ^ { 4 } - 16 y ^ { 4 } } & = \dfrac { x \left( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right) - 2 y \left( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right) } { \left( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } \right) } \\ & = \dfrac { \left( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right) ( x - 2 y ) } { \left( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right) ( x + 2 y ) ( x - 2 y ) } \end{aligned}$

Далі скасуйте загальні фактори.

$= \dfrac { \stackrel{1}{\cancel{\left( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right)}}\stackrel{1}{ \cancel{\left( x - 2y \right)}} } { { \cancel{\left( x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right) }} ( x + 2 y )\cancel{ ( x - 2 y )} } \\ = \dfrac{1}{x+2y}$

Примітка

Коли весь чисельник або знаменник скасовується, множник$1$ завжди залишається.

Відповідь:

$ \dfrac { 1 } { x + 2 y }$

Приклад$\PageIndex{5}$:

З огляду на$f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x + 5$, спростити$\dfrac { f ( x ) - f ( 3 ) } { x - 3 }$.

Рішення

Почніть з розрахунку$f(3)$.

$\begin{aligned} f ( 3 ) & = ( 3 ) ^ { 2 } - 2 ( 3 ) + 5 \\ & = 9 - 6 + 5 \\ & = 3 + 5 \\ & = 8 \end{aligned}$

Далі підставляємо в частку, яка повинна бути спрощена.

$\begin{aligned} \dfrac { f ( x ) - f ( 3 ) } { x - 3 } & = \dfrac { x ^ { 2 } - 2 x + 5 - 8 } { x - 3 } \\ & = \dfrac { x ^ { 2 } - 2 x - 3 } { x - 3 } \\ & = \dfrac { ( x + 1 ) ( x - 3 ) } { ( x - 3 ) } \\ & = x + 1 \end{aligned}$

Відповідь:

$x+1$, де$x≠3$

Важливою величиною в математиці вищого рівня є коефіцієнт різниці ²⁹:

$\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$, де$h \neq 0$

Ця величина являє собою нахил прямої, що з'єднує дві точки на графіку функції. Лінія, що проходить через дві точки, називається січною лінією ³⁰.

Обчислення коефіцієнта різниці для багатьох різних функцій є важливим навиком для вивчення в проміжній алгебрі. Ми будемо часто стикатися з цією кількістю, коли ми продовжуємо в цьому підручнику. При обчисленні різницевого коефіцієнта ми вважаємо, що знаменник ненульовий.

Приклад$\PageIndex{6}$:

З огляду на$g ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 1$, спростити$\dfrac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h }$.

Рішення

$\begin{aligned} \dfrac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } & = \dfrac { \left( - 2 ( x + h ) ^ { 2 } + 1 \right) - \left( - 2 x ^ { 2 } + 1 \right) } { h } \\ & = \dfrac { - 2 \left( x ^ { 2 } + 2 x h + h ^ { 2 } \right) + 1 + 2 x ^ { 2 } - 1 } { h } \\ &= { \dfrac { - 2 x ^ { 2 } - 4 x h - 2 h ^ { 2 } + 1 + 2 x ^ { 2 } - 1 } { h } } \\ & = \dfrac { - 4 x h - 2 h ^ { 2 } } { h } \\ & = - 4 x - 2 h \end{aligned}$

Відповідь:

$-4x-2h$

Вправа$\PageIndex{2}$

З огляду на$f ( x ) = x ^ { 2 } - x - 1$, спростити$\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$.

Відповідь

$2 x - 1 + h$

www.youtube.com/В/XyOfirdНовини

Множення та ділення раціональних функцій

При множенні дробів ми можемо помножити чисельники і знаменники разом, а потім зменшити. Множення раціональних виразів виконується аналогічним чином. Загалом, задані многочлени$P, Q, R$, а$S$, де$Q≠0$ і$S≠0$, ми маємо

$\dfrac { P } { Q } \cdot \dfrac { R } { S } = \dfrac { P R } { Q S }$

Обмеження домену продукту складаються з обмежень кожної функції.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Дано$f ( x ) = \dfrac { 9 x ^ { 2 } - 25 } { x - 5 }$ і$g ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 2 x - 15 } { 3 x + 5 }$, знайдіть$( f \cdot g ) ( x )$ і визначте обмеження для домену.

Рішення

У цьому випадку домен$f$ складається з усіх дійсних чисел крім$5$, а домен$g$ складається з усіх дійсних чисел крім$−\dfrac{5}{3}$. Тому домен продукту складається з усіх дійсних чисел, крім$5$ і$−\dfrac{5}{3}$. Помножте функції, а потім спростіть результат.

$\begin{aligned} ( f \cdot g ) ( x ) & = f ( x ) \cdot g ( x ) \\ & = \dfrac { 9 x ^ { 2 } - 25 } { x - 5 } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } - 2 x - 15 } { 3 x + 5 } \\ & = \dfrac { ( 3 x + 5 ) ( 3 x - 5 ) } { x - 5 } \cdot \dfrac { ( x - 5 ) ( x + 3 ) } { 3 x + 5 } \quad\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ & = \dfrac {\cancel{ ( 3 x + 5 )} ( 3 x - 5 ) \cancel{( x - 5 )} ( x + 3 ) } { \cancel{( x - 5 )}\cancel{ ( 3 x + 5 )} }\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ & = ( 3 x - 5 ) ( x + 3 ) \end{aligned}$

Відповідь:

$( f \cdot g ) ( x ) = ( 3 x - 5 ) ( x + 3 )$, де$x \neq 5 , - \dfrac { 5 } { 3 }$

Для поділу двох дробів множимо на зворотний дільника. Поділ раціональних виразів виконується аналогічним чином. Загалом, задані многочлени$P, Q, R$, і$S$, де$Q≠0, R≠0$, і$S≠0$, ми маємо

$\dfrac { P } { Q } \div \dfrac { R } { S } = \dfrac { P } { Q } \cdot \dfrac { S } { R } = \dfrac { P S } { Q R }$

Обмеження до області частки складатимуться з обмежень кожної функції, а також обмежень на взаємний дільник.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Дано$f ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 13 x - 7 } { x ^ { 2 } - 4 x - 21 }$ і$g ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 } { 49 - x ^ { 2 } }$, знайдіть$( f / g ) ( x )$ і визначте обмеження.

Рішення

$\begin{aligned} ( f / g ) ( x ) & = f ( x ) \quad \div g ( x ) \\ & = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 13 x - 7 } { x ^ { 2 } - 4 x - 21 } \div \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 } { 49 - x ^ { 2 } } \\ & = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 13 x - 7 } { x ^ { 2 } - 4 x - 21 } \cdot \dfrac { 49 - x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:the\:reciprocal} \\ & = \dfrac { ( 2 x - 1 ) ( x + 7 ) } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } \cdot \dfrac { ( 7 + x ) ( 7 - x ) } { ( 2 x - 1 ) ( x + 3 ) } \quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ & = \dfrac { \cancel{(2x-1)}(x+7)(7+x)(-1)\cancel{(x-7)} } {(x+3)\cancel{(x-7)}\cancel{(2x-1)}(x+3) } \:\:\:\color{Cerulean}{Cancel.}\\ & = - \dfrac { ( x + 7 ) ^ { 2 } } { ( x + 3 ) ^ { 2 } } \end{aligned}$

У цьому випадку домен$f$ складається з усіх дійсних чисел, крім$−3$ і$7$, а домен$g$ складається з усіх дійсних чисел, крім$7$ і$−7$. Крім того,$g(x)$ зворотне має обмеження$−3$ і$\dfrac{1}{2}$. Тому домен цього частки складається з усіх дійсних чисел крім$−3, \dfrac{1}{2}$, і$±7$.

Відповідь:

$( f / g ) ( x ) = - \dfrac { ( x + 7 ) ^ { 2 } } { ( x + 3 ) ^ { 2 } }$, де$x \neq - 3 , \dfrac { 1 } { 2 } , \pm 7$

Нагадаємо, що операції множення і ділення повинні виконуватися зліва направо.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Спростити:$\dfrac { 4 x ^ { 2 } - 1 } { 6 x ^ { 2 } + 3 x } \div \dfrac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 } \cdot \dfrac { 27 x ^ { 4 } } { 2 x ^ { 2 } + x - 1 }$ (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

Рішення

Почніть з заміни коефіцієнта, який потрібно розділити на множення його зворотного.

$\begin{array} { l } { \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 1 } { 6 x ^ { 2 } + 3 x } \color{Cerulean}{\div \dfrac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 }}\color{black}{ \cdot} \dfrac { 27 x ^ { 4 } } { 2 x ^ { 2 } + x - 1 } } \\ { = \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 1 } { 6 x ^ { 2 } + 3 x } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } + 2 x + 1 } { 2 x + 1 } \cdot \dfrac { 27 x ^ { 4 } } { 2 x ^ { 2 } + x - 1 } } \\ { = \dfrac { ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) } { 3 x ( 2 x + 1 ) } \cdot \dfrac { ( x + 1 ) ( x + 1 ) } { ( 2 x + 1 ) } \cdot \dfrac { 27 x ^ { 3 } } { ( 2 x - 1 ) ( x + 1 ) } } \\ = \dfrac{\cancel{(2x+1)}\cancel{(2x-1)}\cancel{(x+1)}(x+1)\cdot \stackrel{9}{\cancel{27}} \stackrel{x^{3}}{\cancel{x^{4}}}}{\cancel{3}\cancel{ x}\cancel{ (2x+1)}(2x+1)\cancel{(2x-1)}\cancel{(x+1)}} \\ { = \dfrac { 9 x ^ { 3 } ( x + 1 ) } { ( 2 x + 1 ) } } \end{array}$

Відповідь:

$\dfrac { 9 x ^ { 3 } ( x + 1 ) } { ( 2 x + 1 ) }$

Вправа$\PageIndex{3}$

Дано$f ( x ) = \dfrac { 2 x + 5 } { 3 x ^ { 2 } + 14 x - 5 }$ і$g ( x ) = \dfrac { 6 x ^ { 2 } + 13 x - 5 } { x + 5 }$, обчислити$( f / g ) ( x )$ і визначити обмеження.

Відповідь

$( f / g ) ( x ) = \dfrac { 1 } { ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } }$, де$x \neq - 5 , - \dfrac { 5 } { 2 } , \dfrac { 1 } { 3 }$

www.youtube.com/В/UCPL1Запрошуємо

Якщо функція витрат$C$ представляє собівартість вироблених$x$ одиниць, то середня вартість ³¹$\overline{C}$ - це вартість, поділена на кількість вироблених одиниць.

$\overline { C } ( x ) = \dfrac { C ( x ) } { x }$

Приклад$\PageIndex{10}$:

Виробник визначив, що вартість в доларах виробництва светрів дається на\ 9С (х) = 0,01 х ^ {2} - 3 х + 1200\), де$x$ представляє кількість светрів, що випускаються щодня. Визначте середні витрати на виготовлення$100, 200$, і$300$ кофти на добу.

Рішення

Налаштуйте функцію, що представляє середню вартість.

$\overline { C } ( x ) = \dfrac { C ( x ) } { x } = \dfrac { 0.01 x ^ { 2 } - 3 x + 1200 } { x }$

Далі обчислити$\overline { C } (100)$$\overline { C } (200)$, і$\overline { C } (300)$.

$\begin{array} { l } { \overline { C } ( 100 ) = \dfrac { 0.01 ( \color{OliveGreen}{100}\color{black}{ )} ^ { 2 } - 3 (\color{OliveGreen}{ 100}\color{black}{ )} + 1200 } { (\color{OliveGreen}{100}\color{black}{ )} } = \dfrac { 100 - 300 + 1200 } { 100 } = \dfrac { 1000 } { 100 } = 10.00 } \\ { \overline { C } ( 200 ) = \dfrac { 0.01 ( \color{OliveGreen}{200}\color{black}{ )} ^ { 2 } - 3 ( \color{OliveGreen}{200}\color{black}{ )} + 1200 } { ( \color{OliveGreen}{200} ) } = \dfrac { 400 - 600 + 1200 } { 200 } = \dfrac { 1000 } { 200 } = 5.00 } \\ { \overline { C } ( 300 ) = \dfrac { 0.01 ( \color{OliveGreen}{300}\color{black}{ )} ^ { 2 } - 3 ( \color{OliveGreen}{300}\color{black}{ )} + 1200 } { ( \color{OliveGreen}{300}\color{black}{ )} } = \dfrac { 900 - 900 + 1200 } { 300 } = \dfrac { 1200 } { 300 } = 4.00 } \end{array}$

Відповідь:

Середня вартість виготовлення$100$ светрів в день становить$$10.00$ за светр. Якщо випускається 200 светрів, середня вартість одного светра становить$$5.00$. Якщо$300$ виробляються, то середня вартість одного светра становить$$4.00$.

Ключові винос

Спрощення раціональних виразів схоже на спрощення дробів. Спочатку множник чисельник і знаменник, а потім скасуйте загальні фактори. Раціональні вирази спрощуються, якщо в чисельнику і знаменнику відсутні загальні множники, відмінні від 1.
Спрощені раціональні функції еквівалентні значенням в області вихідної функції. Обов'язково вкажіть обмеження, якщо в проблемі не зазначено, що знаменники вважаються ненульовими.
Після множення раціональних виразів множиться як чисельник, так і знаменник, а потім скасувати загальні множники. Зверніть увагу на обмеження домену. Значення, які дають значення$0$ в знаменнику для всіх виразів, є обмеженнями.
Щоб розділити раціональні вирази, помножте чисельник на зворотний дільника.
Обмеження домену продукту складаються з обмежень до домену кожного фактора.

Вправа$\PageIndex{4}$

Спростити функцію та вказати її домен за допомогою інтервальних позначень.

$f ( x ) = \dfrac { 25 x ^ { 9 } } { 5 x ^ { 5 } }$
$f ( x ) = \dfrac { 64 x ^ { 8 } } { 16 x ^ { 3 } }$
$f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 64 } { x ^ { 2 } + 16 x + 64 }$
$f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } + x - 20 } { x ^ { 2 } - 25 }$
$g ( x ) = \dfrac { 9 - 4 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 }$
$g ( x ) = \dfrac { x - 3 x ^ { 2 } } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 }$
$g ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 2 } - 8 x - 42 } { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 }$
$g ( x ) = \dfrac { 6 x ^ { 2 } + 5 x - 4 } { 3 x ^ { 2 } + x - 4 }$
$h ( x ) = \dfrac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x - 1 } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 }$
$h ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 8 x + 20 } { 2 x ^ { 2 } - 9 x + 10 }$

Відповідь

1. $f ( x ) = 5 x ^ { 4 }$; Домен:$( - \infty , 0 ) \cup ( 0 , \infty )$

3. $f ( x ) = \dfrac { x - 8 } { x + 8 }$; Домен:$( - \infty , - 8 ) \cup ( - 8 , \infty )$

5. $g ( x ) = - \dfrac { 2 x + 3 } { x - 1 }$; Домен:$( - \infty , 1 ) \cup \left( 1 , \dfrac { 3 } { 2 } \right) \cup \left( \dfrac { 3 } { 2 } , \infty \right)$

7. $g ( x ) = \dfrac { 2 ( x - 7 ) } { 2 x - 1 }$; Домен:$( - \infty , - 3 ) \cup \left( - 3 , \dfrac { 1 } { 2 } \right) \cup \left( \dfrac { 1 } { 2 } , \infty \right)$

9. $h ( x ) = x - 1$; Домен:$( - \infty , - 1 ) \cup ( - 1 , \infty )$

Вправа$\PageIndex{5}$

Викладіть обмеження та спростіть дані раціональні вирази.

$\dfrac { 66 x ( 2 x - 5 ) } { 18 x ^ { 3 } ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } }$
$\dfrac { 26 x ^ { 4 } ( 5 x + 2 ) ^ { 3 } } { 20 x ^ { 5 } ( 5 x + 2 ) }$
$\dfrac { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } { x ^ { 2 } - 5 x - 14 }$
$\dfrac { x ^ { 2 } - 8 x + 12 } { x ^ { 2 } - 2 x - 24 }$
$\dfrac { 1 - x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } + x - 6 }$
$\dfrac { 4 - 9 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } - 8 x + 4 }$
$\dfrac { 4 x ^ { 2 } + 15 x + 9 } { 9 - x ^ { 2 } }$
$\dfrac { 6 x ^ { 2 } + 13 x - 5 } { 25 - 4 x ^ { 2 } }$
$\dfrac { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } { x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 16 x + 16 }$
$\dfrac { x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 4 x + 12 }$

Відповідь

1. $\dfrac { 11 } { 3 x ^ { 2 } ( 2 x - 5 ) } ; x \neq 0 , \dfrac { 5 } { 2 }$

3. $\dfrac { x + 3 } { x - 7 } ; x \neq - 2,7$

5. $- \dfrac { x + 1 } { 5 x + 6 } ; x \neq - \dfrac { 6 } { 5 } , 1$

7. $- \dfrac { 4 x + 3 } { 3 - x } ; x \neq \pm 3$

9. $\dfrac { 1 } { x + 4 } ; x \neq 1 , \pm 4$

Вправа$\PageIndex{6}$

Спростити дані раціональні вирази. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику є ненульовими.

$\dfrac { 50 a b ^ { 3 } ( a + b ) ^ { 2 } } { 200 a ^ { 2 } b ^ { 3 } ( a + b ) ^ { 3 } }$
$\dfrac { 36 a ^ { 5 } b ^ { 7 } ( a - b ) ^ { 2 } } { 9 a ^ { 3 } b ( a - b ) }$
$\dfrac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } }$
$\dfrac { a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$
$\dfrac { 6 x ^ { 2 } - x y } { 6 x ^ { 2 } - 7 x y + y ^ { 2 } }$
$\dfrac { y - x } { 2 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } y + 2 x y ^ { 2 } }$
$\dfrac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 2 x y ^ { 3 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } - x y ^ { 3 } - 2 y ^ { 4 } }$
$\dfrac { x ^ { 4 } y - x ^ { 2 } y ^ { 3 } } { x ^ { 3 } y + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x y ^ { 3 } }$
$\dfrac { x ^ { 3 } - x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } - y ^ { 3 } } { x ^ { 4 } - y ^ { 4 } }$
$\dfrac { y ^ { 4 } - x ^ { 4 } } { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } + y ^ { 3 } }$
$\dfrac { a ^ { 2 } - ( b + c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ^ { 2 } - c ^ { 2 } }$
$\dfrac { ( a + b ) ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { ( a + c ) ^ { 2 } - b ^ { 2 } }$
$\dfrac { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + 2 x y + y ^ { 2 } }$
$\dfrac { x ^ { 3 } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x y ^ { 3 } } { x ^ { 3 } - y ^ { 3 } }$

Відповідь

1. $\dfrac { 1 } { 4 a ( a + b ) }$

3. $\dfrac { a - b } { a + b }$

5. $\dfrac { x } { x - y }$

7. $\dfrac { x } { x + y }$

9. $\dfrac { 1 } { x + y }$

11. $\dfrac { a - b - c } { a + b - c }$

13. $\dfrac { x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } } { x + y }$

Вправа$\PageIndex{7}$

З огляду на функцію, спростити раціональний вираз.

З огляду на$f ( x ) = x ^ { 2 } - 8$, спростити$\dfrac { f ( x ) - f ( 5 ) } { x - 5 }$.
З огляду на$f ( x ) = x ^ { 2 } + 4 x - 1$, спростити$\dfrac { f ( x ) - f ( 2 ) } { x - 2 }$.
З огляду на$g ( x ) = x ^ { 2 } - 3 x + 1$, спростити$\dfrac { g ( x ) - g ( - 1 ) } { x + 1 }$.
З огляду на$g ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x$, спростити$\dfrac { g ( x ) - g ( - 4 ) } { x + 4 }$.
З огляду на$f ( x ) = 4 x ^ { 2 } + 6 x + 1$, спростити$\dfrac { f ( x ) - f \left( \dfrac { 1 } { 2 } \right) } { 2 x - 1 }$.
З огляду на$f ( x ) = 9 x ^ { 2 } + 1$, спростити$\dfrac { f ( x ) - f \left( - \dfrac { 1 } { 3 } \right) } { 3 x + 1 }$.

Відповідь

1. $x+5$, де$x \neq 5$

3. $x-4$, де$x \neg -1$

5. $2(x+2)$, де$x \neq \dfrac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Для даної функції спростити різницю частки$\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$, де$h\neq 0$.

$f ( x ) = 5 x - 3$
$f ( x ) = 3 - 2 x$
$f ( x ) = x ^ { 2 } - 3$
$f ( x ) = x ^ { 2 } + 8 x$
$f ( x ) = x ^ { 2 } - x + 5$
$f ( x ) = 4 x ^ { 2 } + 3 x - 2$
$f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c$
$f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x$
$f ( x ) = x ^ { 3 } + 1$
$f ( x ) = x ^ { 3 } - x + 2$

Відповідь

1. $5$

3. $2x+h$

5. $2x-1+h$

7. $2ax+b+ah$

9. $3 x ^ { 2 } + 3 x h + h ^ { 2 }$

Вправа$\PageIndex{9}$

Спростити продукт$f \cdot g$ і вказати його домен за допомогою інтервальних позначень.

$f ( x ) = \dfrac { 52 x ^ { 4 } } { ( x - 2 ) ^ { 2 } } , g ( x ) = \dfrac { ( x - 2 ) ^ { 3 } } { 12 x ^ { 5 } }$
$f ( x ) = \dfrac { 46 ( 2 x - 1 ) ^ { 3 } } { 15 x ^ { 6 } } , g ( x ) = \dfrac { 25 x ^ { 3 } } { 23 ( 2 x - 1 ) }$
$f ( x ) = \dfrac { 10 x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 } , g ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 4 } { 50 x ^ { 4 } }$
$f ( x ) = \dfrac { 25 - x ^ { 2 } } { 46 x ^ { 5 } } , g ( x ) = \dfrac { 12 x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + 10 x + 25 }$
$f ( x ) = \dfrac { 5 - 3 x } { x ^ { 2 } - 10 x + 25 } , g ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 6 x + 5 } { 3 x ^ { 2 } - 8 x + 5 }$
$f ( x ) = \dfrac { 1 - 4 x ^ { 2 } } { 6 x ^ { 2 } + 3 x } , g ( x ) = \dfrac { 12 x ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 }$

Відповідь

1. $( f \cdot g ) ( x ) = \dfrac { 13 ( x - 2 ) } { 3 x }$; Домен:$( - \infty , 0 ) \cup ( 0,2 ) \cup ( 2 , \infty )$

3. $( f \cdot g ) ( x ) = \dfrac { x - 2 } { 5 x ( x + 2 ) }$; Домен:$( - \infty , - 2 ) \cup ( - 2,0 ) \cup ( 0 , \infty )$

5. $( f \cdot g ) ( x ) = - \dfrac { 1 } { x - 5 }$; Домен:$( - \infty , 1 ) \cup \left( 1 , \dfrac { 5 } { 3 } \right) \cup \left( \dfrac { 5 } { 3 } , 5 \right) \cup ( 5 , \infty )$

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити частку$f/g$ та вказати його домен за допомогою інтервальних позначень.

$f ( x ) = \dfrac { 12 x ^ { 3 } } { 5 ( 5 x - 1 ) ^ { 3 } } , g ( x ) = \dfrac { 6 x ^ { 2 } } { 25 ( 5 x - 1 ) ^ { 4 } }$
$f ( x ) = \dfrac { 7 x ^ { 2 } ( x + 9 ) } { ( x - 8 ) ^ { 2 } } , g ( x ) = \dfrac { 49 x ^ { 3 } ( x + 9 ) } { ( x - 8 ) ^ { 4 } }$
$f ( x ) = \dfrac { 25 x ^ { 2 } - 1 } { 3 x ^ { 2 } - 15 x } , g ( x ) = \dfrac { 25 x ^ { 2 } + 10 x + 1 } { x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } }$
$f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - x - 6 } { 2 x ^ { 2 } + 13 x + 15 } , g ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 6 x + 9 } { 4 x ^ { 2 } + 12 x + 9 }$
$f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 64 } { x ^ { 2 } } , g ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 19 x + 24$
$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 11 x - 6 , g ( x ) = 36 - x ^ { 2 }$

Відповідь

1. $( f / g ) ( x ) = 10 x ( 5 x - 1 )$; Домен:$( - \infty , 0 ) \cup \left( 0 , \dfrac { 1 } { 5 } \right) \cup \left( \dfrac { 1 } { 5 } , \infty \right)$

3. $( f / g ) ( x ) = \dfrac { x ( 5 x - 1 ) } { 2 ( 5 x + 1 ) }$; Домен:$( - \infty , 0 ) \cup \left( 0 , \dfrac { 1 } { 5 } \right) \cup \left( \dfrac { 1 } { 5 } , \infty \right)$

5. $( f / g ) ( x ) = \dfrac { x - 8 } { x ^ { 2 } ( 2 x + 3 ) }$; Домен:$( - \infty , - 8 ) \cup \left( - 8 , - \dfrac { 3 } { 2 } \right) \cup \left( - \dfrac { 3 } { 2 } , 0 \right) \cup ( 0 , \infty )$

Вправа$\PageIndex{11}$

Помножте або діліть, як зазначено, вкажіть обмеження та спростіть.

$\dfrac { 14 ( x + 12 ) ^ { 2 } } { 5 x ^ { 3 } } \cdot \dfrac { 45 x ^ { 4 } } { 2 ( x + 12 ) ^ { 3 } }$
$\dfrac { 27 x ^ { 6 } } { 20 ( x - 7 ) ^ { 3 } } \cdot \dfrac { ( x - 7 ) ^ { 5 } } { 54 x ^ { 7 } }$
$\dfrac { x ^ { 2 } - 64 } { 36 x ^ { 4 } } \cdot \dfrac { 12 x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + 4 x - 32 }$
$\dfrac { 50 x ^ { 5 } } { x ^ { 2 } + 6 x - 27 } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } - 81 } { 125 x ^ { 3 } }$
$\dfrac { 2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 } { 3 x ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 15 x ^ { 3 } - 30 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + x - 10 }$
$\dfrac { 3 x ^ { 2 } + 14 x - 5 } { 2 x ^ { 2 } + 11 x + 5 } \cdot \dfrac { 4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 } { 6 x ^ { 2 } + x - 1 }$
$\dfrac { x ^ { 2 } + 4 x - 21 } { 5 x ^ { 2 } + 10 x } \div \dfrac { x ^ { 2 } - 6 x + 9 } { x ^ { 2 } + 9 x + 14 }$
$\dfrac { x ^ { 2 } - 49 } { 9 x ^ { 2 } - 24 x + 16 } \div \dfrac { 2 x ^ { 2 } - 13 x - 7 } { 6 x ^ { 2 } - 5 x - 4 }$
$\dfrac { 5 x ^ { 2 } + x - 6 } { 4 x ^ { 2 } - 7 x - 15 } \div \dfrac { 1 - x ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } + 9 x + 5 }$
$\dfrac { 6 x ^ { 2 } - 8 x - 8 } { 4 - 9 x ^ { 2 } } \div \dfrac { 3 x ^ { 2 } - 4 x - 4 } { 9 x ^ { 2 } + 12 x + 4 }$
$\dfrac { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } { x ^ { 2 } - 2 x - 15 } \div \dfrac { 2 x ^ { 2 } - 13 x + 18 } { 6 x ^ { 2 } - 31 x + 5 }$
$\dfrac { 8 x ^ { 2 } + x - 9 } { 25 x ^ { 2 } - 1 } \div \dfrac { 2 x ^ { 2 } - x - 1 } { 10 x ^ { 2 } - 3 x - 1 }$

Відповідь

1. $\dfrac { 63 x } { x + 12 } ; x \neq - 12,0$

3. $\dfrac { x - 8 } { 3 x ( x - 4 ) } ; x \neq - 8,0,4$

5. $5 ( x + 1 ) ; x \neq - \dfrac { 5 } { 2 } , 0,2$

7. $\dfrac { ( x + 7 ) ^ { 2 } } { 5 x ( x - 3 ) } ; x \neq - 7 , - 2,0,3$

9. $- \dfrac { 5 x + 6 } { x - 3 } ; x \neq - \dfrac { 5 } { 4 } , - 1,1,3$

11. $\dfrac { ( x + 6 ) ( 6 x - 1 ) } { ( x + 3 ) ( 2 x - 9 ) } ; x \neq - 3 , \dfrac { 1 } { 6 } , 2 , \dfrac { 9 } { 2 } , 5$

Вправа$\PageIndex{12}$

Виконайте операції і спростіть. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику є ненульовими.

$\dfrac { 1 } { 12 a b } \cdot \dfrac { 50 a ^ { 2 } ( a - b ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 6 b } { a ( a - b ) }$
$\dfrac { b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { ( a - b ) ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 12 a ( a - b ) } { 36 a ^ { 2 } b } \cdot \dfrac { 9 a b ( a - b ) } { a + b }$
$\dfrac { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } } { 5 x y } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 25 x ^ { 2 } y } { ( y + x ) ^ { 2 } }$
$\dfrac { 3 x y ^ { 2 } } { ( 2 y + x ) ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 5 x y + 2 y ^ { 2 } } { 9 x ^ { 2 } } \cdot \dfrac { x ^ { 3 } + 8 y ^ { 3 } } { 6 x y ^ { 2 } + 3 y ^ { 3 } }$
$\dfrac { 2 x + 5 } { x - 3 } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } - 9 } { 5 x ^ { 4 } } \div \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 15 x + 25 } { 25 x ^ { 5 } }$
$\dfrac { 5 x ^ { 2 } - 15 x } { 9 x ^ { 2 } - 4 } \cdot \dfrac { 3 x - 2 } { 20 x ^ { 3 } } \div \dfrac { x - 3 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 }$
$\dfrac { x ^ { 2 } + 5 x - 50 } { x ^ { 2 } + 5 x - 14 } \div \dfrac { x ^ { 2 } - 25 } { x ^ { 2 } - 49 } \cdot \dfrac { x - 2 } { x ^ { 2 } + 3 x - 70 }$
$\dfrac { x ^ { 2 } - x - 56 } { 4 x ^ { 2 } - 4 x - 3 } \div \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 11 x - 21 } { 25 - 9 x ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { 3 x ^ { 2 } - 19 x - 40 }$
$\dfrac { 20 x ^ { 2 } - 8 x - 1 } { 6 x ^ { 2 } + 13 x + 6 } \div \dfrac { 1 - 100 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } \cdot \dfrac { 10 x - 1 } { 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 }$
$\dfrac { 12 x ^ { 2 } - 13 x + 1 } { x ^ { 2 } + 18 x + 81 } \div \left( 144 x ^ { 2 } - 1 \right) \cdot \dfrac { x ^ { 2 } + 14 x + 45 } { 12 x ^ { 2 } - 11 x - 1 }$
Виробник визначив, що вартість виробництва велосипедів в доларах дається$C (x) = 0.5x^{ 2} − x + 6200$, де$x$ представляє кількість велосипедів, що випускаються щотижня. Визначте середню вартість виробництва$50, 100$, і$150$ велосипедів за тиждень.
Вартість в доларах виробництва нестандартних освітлювальних приладів задається функцією$C (x) = x^{2} − 20x + 1200$, де$x$ відображається кількість вироблених світильників за тиждень. Визначте середню вартість одиниці$20, 40$, якщо, і$50$ одиниці виробляються за тиждень.
Виробник визначив, що вартість виробництва електричних скутерів в доларах задається функцією$C (x) = 3x (x − 100) + 32,000$, де$x$ представляє кількість скутерів, вироблених за місяць. Визначте середню вартість одного скутера$50$, якщо вони виробляються за місяць.
Вартість у доларах виробництва виготовленої на замовлення литої деталі задається$C (n) = 1,900 + 0.01n$, де$n$ представляє кількість вироблених деталей. Розрахуйте середню вартість кожної деталі, якщо$2,500$ замовляються спеціальні деталі.
Вартість очищення навколишнього середовища в доларах визначається функцією$C ( p ) = \dfrac { 25,000 p } { 1 - p }$, де$p$ представляє відсоток площі, що підлягає очищенню$(0 ≤ p < 1)$. Використовуйте функцію, щоб визначити вартість очищення$50$ в% ураженої ділянки та вартість очищення до$80$% площі.
Значення нового автомобіля задається функцією,$V (t) = 16,500(t + 1)^{−1}$ де$t$ представляє вік автомобіля в роках. Визначте вартість автомобіля, коли йому$6$ виповниться роки.

Відповідь

1. $\dfrac { 25 } { a + b }$

3. $\dfrac { 5 x \left( x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } \right) } { x - y }$

5. $\dfrac { 5 x ( x + 3 ) } { x + 5 }$

7. $\dfrac { 1 } { x + 5 }$

9. $- \dfrac { 1 } { 2 x + 3 }$

11. Якщо виробляються$50$ велосипеди, середня вартість одного велосипеда становить$$148$. Якщо$100$ виробляються, то середня вартість становить$$111$. Якщо виробляються$150$ велосипеди, середня вартість становить$$115.33$.

13. Якщо виробляються$50$ скутери, середня вартість кожного становить$$490$.

15. $50$% очищення коштуватиме$$25,000$. $80$% очищення коштуватиме$$100,000$.

Вправа$\PageIndex{13}$

Опишіть обмеження до раціонального вираження$\dfrac { 1 } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$. Поясніть.
Опишіть обмеження до раціонального вираження$\dfrac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$. Поясніть.
Поясніть$x = 5$, чому це обмеження до$\dfrac { 1 } { x + 5 } \div \dfrac { x - 5 } { x }$.
Поясніть починаючому студенту алгебри, чому ми не можемо скасувати$x$ в раціональному виразі$\dfrac { x + 2 } { x }$.
Досліджуйте та обговоріть важливість коефіцієнта різниці. Що воно собою являє і в якому предметі фігурує?

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

5. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²⁵ Функції виду$r ( x ) = \dfrac { p ( x ) } { q ( x ) }$, де$p(x)$ і$q(x)$ є поліноми і$q(x) ≠ 0$.

²⁶ Множина дійсних чисел, для яких визначена раціональна функція.

²⁷ Множина дійсних чисел, для яких не визначена раціональна функція.

²⁸ Якщо дано біном$a-b$, то навпаки$- ( a - b ) = b - a$.

²⁹ Математична величина$\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$$h \neq 0$, де, яка представляє нахил січної лінії через функцію$f$.

³⁰ Лінія, яка перетинає дві точки на графіку функції.

³¹ Загальна вартість ділиться на кількість вироблених одиниць, які можуть бути представлені$\overline { C } ( x ) = \dfrac { C ( x ) } { x }$, де$C(x)$ знаходиться функція витрат.