1.9: Поліноми

Многочлен - це сума мономов. Отже, вирази на кшталт:

\[x^{2}+3 x+7\nonumber\]

\[-2 x^{3}+4 x^{2}-5 x+2\nonumber\]

\[x+x^{2}\nonumber\]

\[-4 x^{3}\nonumber\]

\[x^{2} y+\dfrac{x y z^{2}}{6}-8 y^{2} z^{2}\nonumber\]

є прикладами многочленів. Однак такі поліноми не є:

\[\dfrac{x^{2}+3 x+4}{x+5}\nonumber\]

\[\dfrac{2 x^{2} y z^{3}}{-x y^{2}}\nonumber\]

\[-4 x \sqrt{6 x}\nonumber\]

Ступінь многочлена - це найвища потужність змінної (ів), яка має ненульовий коефіцієнт.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Ступінь\(-2 x^{3}+4 x^{2}-5 x+2\) є\(3\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Визначте, чи є даний вираз многочленом і якщо так, то знайдіть його ступінь.

а)\(5 x^{3}+4 x^{2}-3 x+7\)

Це многочлен 3 ступеня.

б)\(\dfrac{2}{x^{2}+3 x-4}\)

Це не многочлен.

в)\(2 x^{3}+5 x^{4}+3 x-8\)

Це многочлен 4 ступеня.

г)\(6.2 \times 10^{-5} x^{8}\)

Це многочлен 8 ступеня.

Многочлен з одним терміном називається моном. Наприклад,\(2 a^{5}\) і\(-3 x y^{2}\) є мономи. Многочлен з двома домінами називається біном. \(5 x^{2}+3 x\)є прикладом двочлена. Многочлен з трьома домінками називається тріноміалом. \(3 x^{2}+5 x-1\)є тріпоном. Він має три терміни:\(3 x^{2}, 5 x\) і -1

Так само, як ми робили в розділі 4 при оцінці виразів, ми також можемо оцінити поліноми.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Оцінити заданий многочлен за заданим значенням змінної (s):

1. \(3 x+7\)коли\(x=2\):\[3(2)+7=6+7=13 \nonumber\]
2. \(x^{2}+3 x+2\)коли\(x=5\):\[(5)^{2}+3(5)+2=25+15+2=42 \nonumber\]
3. \(2 x^{3}+4 x^{2}-3 x\)коли\(x=-2\):\[2(-2)^{3}+4(-2)^{2}-3(-2)=2(-8)+4(4)-(-6)=-16+16+6=6 \nonumber\]
4. \(-4 x^{7}-3 x^{4}\)коли\(x=-1\):\[-4(-1)^{7}-3(-1)^{4}=-4(-1)-3(1)=4-3=1 \nonumber\]
5. \(2 x^{2} y-5 x^{3} y^{2}\)коли\(x=-3\) і\(y=2\):

\ [\ почати {вирівнювати*}
2 (-3) ^ {2} (2) -5 (-3) ^ {3} (2) ^ {2} &=2 (9) (2) -5 (-27) (4)\\
&=18 (2) +135 (4)\\
&=36+540\\
&=576
\ кінець {вирівнювати*}\]

Функція позначення

Конкретний вид позначень, званий позначенням функцій, може бути використаний для представлення поліномів. У цьому позначенні використовується буква (назва функції) і змінна під рукою (наприклад,\(x .)\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

1. \(f(x)=3 x+7\)представляє многочлен у\(3 x+7\) вигляді функції, що викликається\(f\). The\(x\) in\(f(x)\) означає, що змінна в многочлені є\(x\).
2. \(g(x)=x^{2}+3 x+2\)представляє многочлен у\(x^{2}+3 x+2\) вигляді функції, що викликається\(g \). Знову ж таки, in означає, що змінна в многочлені є\(x\).\(x\)\(g(x)\)
3. \(f(x, y)=2 x^{2} y-5 x^{3} y^{2}\)представляє многочлен у\(2 x^{2} y-5 x^{3} y^{2}\) вигляді функції, що викликається\(f \). The\(x\) і\(y\) in\(f(x, y)\) вказують на те, що змінні в\(x\) многочлені є і\(y\).

Ви дізнаєтеся про функції та позначення функцій у класі попереднього числення, але тут ми використовуємо позначення, оскільки це полегшує прохання оцінити многочлен при заданому значенні змінної (ів), як ми бачили в прикладі 7.3.

Так, наприклад, знайти\(f(2)\)\(f(x)=3 x+7\) коли просять оцінити многочлен\(3 x+7\) коли\(x=2 \). Отже,\(f(2)=3 \cdot 2+7=13\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

\(f(x)=x^{2}-1\). Знайти\(f(-3)\)

Рішення

\[f(-3)=(-3)^{2}-1=9-1=8 \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{5}\)

\(g(x)=-3 x^{3}+5 \). Знайти\(g(-2)\).

Рішення

\[g(-2)=-3 \cdot(-2)^{3}+5=-3 \cdot(-8)+5=24+5=29 \nonumber\]

Проблема виходу

Оцініть\(f(-1)\) для функції\(f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}-x\)