1.6: Поліноми та їх операції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58275

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Визначте многочлен і визначте його ступінь.
Додайте і відніміть многочлени.
Множимо і ділимо многочлени.

Визначення

Многочлен ¹¹² - це спеціальний алгебраїчний вираз з долями, які складаються з коефіцієнтів дійсних чисел і змінних факторів з цілими числовими показниками. Нижче наведено кілька прикладів многочленів:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
\(3 x ^ { 2 }\)	\(7 x y + 5\)	\(\frac { 3 } { 2 } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x + 1\)	\(6 x ^ { 2 } y - 4 x y ^ { 3 } + 7\)

Ступінь члена ¹¹³ у поліномі визначається як показник змінної, або якщо в члені є більше однієї змінної, ступінь - це сума їх показників. Нагадаємо, що\(x^{0} = 1\); будь-який постійний термін може бути записаний як твір\(x^{0}\) і самого себе. Звідси ступінь постійного терміну є\(0\).

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
Термін	Ступінь
\(3 x ^ { 2 }\)	\(2\)
\(6 x ^ { 2 } y\)	\(2+1=3\)
\(7 a ^ { 2 } b ^ { 3 }\)	\(2+3=5\)
\(8\)	\(0\), так як\(8 = 8x^{0}\)
\(2x\)	\(1\), так як\(2x=2x^{1}\)

Ступінь многочлена ¹¹⁴ - найбільша ступінь з усіх його членів.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
многочлен	Ступінь
\(4 x ^ { 5 } - 3 x ^ { 3 } + 2 x - 1\)	\(5\)
\(6 x ^ { 2 } y - 5 x y ^ { 3 } + 7\)	\(4\), тому що\(5xy^{3}\) має ступінь\(4\).
\(\frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 4 }\)	\(1\), тому що\(\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x^{1}\)

Особливий інтерес представляють поліноми з однією змінною ¹¹⁵, де кожен член має вигляд\(a_{n}x^{n}\). Тут\(a_{n}\) є будь-яке дійсне число і\(n\) будь-яке ціле число. Такі многочлени мають стандартну форму:

\(a _ { n } x ^ { n } + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 }\)

Зазвичай ми влаштовуємо терміни поліномів у порядку убування на основі ступеня кожного члена. Провідний коефіцієнт ¹¹⁶ - коефіцієнт змінної з найбільшою потужністю, в даному випадку,\(a_{n}\).

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Пишіть в стандартному вигляді:\(3 x - 4 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 - 2 x ^ { 4 }\).

Рішення

Оскільки терміни визначаються розділеними додаванням, пишемо наступне:

\(\begin{array} { l } { 3 x - 4 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 - 2 x ^ { 4 } } \\ { = 3 x + ( - 4 ) x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 + ( - 2 ) x ^ { 4 } } \end{array}\)

У такому вигляді ми бачимо, що віднімання в оригіналі відповідає негативним коефіцієнтам. Оскільки додавання є комутативним, ми можемо написати терміни в порядку спадання на основі ступеня наступним чином:

\(\begin{array} { l } { = ( - 2 ) x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } + ( - 4 ) x ^ { 2 } + 3 x + 7 } \\ { = - 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 3 x + 7 } \end{array}\)

Відповідь:

\(- 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 3 x + 7\)

Класифікуємо многочлени за кількістю членів і ступенем:

Таблиця\(\PageIndex{4}\)
Вираз	Класифікація	Ступінь
\(5x^{7}\)	Мономіал ¹¹⁷ (один семестр)	\(7\)
\(8x^{6}-1\)	Біноміал ¹¹⁸ (два члени)	\(6\)
\(-3x^{2} +x-1\)	Тримінал ¹¹⁹ (три строки)	\(2\)
\(5 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 3 x - 6\)	Многочлен (багато членів)	\(3\)

Ми можемо додатково класифікувати многочлени з однією змінною за їх ступенем:

Таблиця\(\PageIndex{5}\)
многочлен	Ім'я
\(5\)	Постійна ¹²⁰ (ступінь\(0\))
\(2x+1\)	Лінійний ¹²¹ (ступінь\(1\))
\(3 x ^ { 2 } + 5 x - 3\)	Квадратний ¹²² (ступінь\(2\))
\(x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1\)	Кубічний ¹²³ (ступінь\(3\))
\(7 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } - 7 x + 8\)	Многочлен четвертого ступеня

У цьому тексті ми називаємо будь-який многочлен\(n\) ступеня\(n ≥ 4\) поліномом th-го ступеня. Іншими словами, якщо ступінь є\(4\), ми називаємо многочлен поліном четвертого ступеня. Якщо ступінь є\(5\), ми називаємо це поліном п'ятого ступеня, і так далі.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Створіть, чи є наступний многочлен лінійним або квадратичним, і дайте провідний коефіцієнт:\(25 + 4 x - x ^ { 2 }\).

Рішення

Найвища сила є\(2\); отже, це квадратичний многочлен. Рерайтинг в стандартному вигляді у нас

\(- x ^ { 2 } + 4 x + 25\)

Ось\(- x ^ { 2 } = - 1 x ^ { 2 }\) і таким чином провідний коефіцієнт є\(−1\).

Відповідь:

Квадратний; провідний коефіцієнт:\(−1\)

Додавання та віднімання многочленів

Почнемо з спрощення алгебраїчних виразів, які виглядають як\(+ (a + b)\) або\(− (a + b)\). Тут коефіцієнти фактично мають на увазі бути\(+1\) і\(−1\) відповідно, і тому застосовується розподільна властивість. Помножте кожен член в дужках на ці фактори наступним чином:

\(\begin{array} { l } { + ( a + b ) = + 1 ( a + b ) = ( + 1 ) a + ( + 1 ) b = a + b } \\ { - ( a + b ) = - 1 ( a + b ) = ( - 1 ) a + ( - 1 ) b = - a - b } \end{array}\)

Використовуйте цю ідею як засіб усунення дужок при додаванні і відніманні поліномів.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Додати:\(9 x ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } - 5 \right)\).

Рішення

Властивість\(+ (a + b) = a + b\) дозволяє нам усунути дужки, після чого ми можемо потім поєднувати подібні терміни.

\(\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } - 5 \right) & = 9 x ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 5 \\ & = 10 x ^ { 2 } - 5 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(10x^{2} − 5\)

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Додати:\(\left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 9 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 x y - 7 \right)\).

Рішення

Пам'ятайте, що змінні частини повинні бути точно такими ж, перш ніж ми зможемо додати коефіцієнти.

\(\begin{array} { l } { \left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 9 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 x y - 7 \right) } \\ { = \color{Cerulean}{\underline{ 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 }}} \color{Black}{-} \color{OliveGreen}{\underline{\underline {4 x y}}} \color{Black}{+ \underline{\underline{\underline{9}}}} + \color{Cerulean}{\underline{2 x ^ { 2 } y ^ { 2 }}} \color{Black}{-} \color{OliveGreen}{\underline{\underline {6 x y}}} \color{Black} {- \underline{\underline{\underline{7}}}}} \\ { = 5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 10 x y + 2 } \end{array}\)

Відповідь:

\(5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 10 x y + 2\)

При відніманні многочленів дуже важливими стають дужки.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Відніміть:\(4 x ^ { 2 } - \left( 3 x ^ { 2 } + 5 x \right)\).

Рішення

Властивість\(− (a + b) = −a − b\) дозволяє нам видалити дужки після віднімання кожного члена.

\(\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } - \left( 3 x ^ { 2 } + 5 x \right) & = 4 x ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } - 5 x \\ & = x ^ { 2 } - 5 x \end{aligned}\)

Відповідь:

\(x^{2} − 5x\)

Віднімання кількості еквівалентно множенню її на\(−1\).

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Відніміть:\(\left( 3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } \right) - \left( 2 x ^ { 2 } - x y + 3 y ^ { 2 } \right)\).

Рішення

Розподіліть\(−1\), видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни. Множення членів многочлена на\(−1\) змінює всі ознаки.

\(\begin{array} { l } { = 3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } + x y - 3 y ^ { 2 } } \\ { = x ^ { 2 } - x y - 2 y ^ { 2 } } \end{array}\)

Відповідь:

\(x^{2} − xy − 2y^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Відніміть:\(\left( 7 a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \right) - \left( a ^ { 2 } - 2 a b + 5 b ^ { 2 } \right)\).

Відповідь

\(6 a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 }\)

www.youtube.com/В/ІДТРЕБ_ПК3А

Множення многочленів

Використовуйте правило добутку для показників\(x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }\), щоб помножити мономіал на многочлен. Іншими словами, при множенні двох виразів з однаковою базою додайте показники. Щоб знайти добуток мономіалів, помножте коефіцієнти і складіть показники змінних факторів з однаковою базою. Наприклад,

\(\begin{aligned} 7 x ^ { 4 } \cdot 8 x ^ { 3 } & = 7 \cdot 8 \cdot x ^ { 4 } \cdot x ^ { 3 } \color{Cerulean} { Commutative \:property } \\ & = 56 x ^ { 4 + 3 } \quad\quad \color {Cerulean} { Product \:rule \:for \:exponents } \\ & = 56 x ^ { 7 } \end{aligned}\)

Щоб помножити многочлен на мономіал, застосуєте розподільну властивість, а потім спрощуйте кожен член.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Помножити:\(5 x y ^ { 2 } \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - x y + 1 \right)\).

Рішення

Застосовуємо розподільну властивість, а потім спрощуємо.

\(\begin{array} { l } { = \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }} \color{Black}{\cdot} 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }}\color{Black}{ \cdot} x y + \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }} \color{Black}{ \cdot 1 }} \\ { = 10 x ^ { 3 } y ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 5 x y ^ { 2 } } \end{array}\)

Відповідь:

\(10 x ^ { 3 } y ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 5 x y ^ { 2 }\)

Підводячи підсумок, множення полінома на мономіал передбачає розподільну властивість та правило добутку для експонентів. Помножте всі члени многочлена на мономіал. Для кожного члена помножте коефіцієнти і додайте показники змінних, де основи однакові.

Точно так само, як ми використовували розподільну властивість для розподілу мономіала, ми використовуємо його для розподілу біноміалу.

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ ( c + d )} & = \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ \cdot} c + \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ \cdot} d \\ & = a c + b c + a d + b d \\ & = a c + a d + b c + b d \end{aligned}\)

Тут ми застосовуємо властивість distributive кілька разів, щоб отримати кінцевий результат. Цей же результат виходить за один крок, якщо застосувати розподільну властивість до\(a\) і\(b\) окремо наступним чином:

Це часто називають методом FOIL. Помножте перше, зовнішнє, внутрішнє, а потім останнє члени.

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Помножити:\(( 6 x - 1 ) ( 3 x - 5 )\).

Рішення

Розподіліть,\(6x\)\(−1\) а потім комбінуйте подібні терміни.

\(\begin{aligned} ( 6 x - 1 ) ( 3 x - 5 ) & = \color{Cerulean}{6 x}\color{Black}{ \cdot} 3 x - \color{Cerulean}{6 x}\color{Black}{ \cdot} 5 + ( \color{OliveGreen}{- 1}\color{Black}{ )} \cdot 3 x - ( \color{OliveGreen}{- 1}\color{Black}{ )} \cdot 5 \\ & = 18 x ^ { 2 } - 30 x - 3 x + 5 \\ & = 18 x ^ { 2 } - 33 x + 5 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(18 x ^ { 2 } - 33 x + 5\)

Розглянемо наступні два розрахунки:

Таблиця\(\PageIndex{6}\)
\(\begin{aligned} ( a + b ) ^ { 2 } & = ( a + b ) ( a + b ) \\ & = a ^ { 2 } + a b + b a + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + a b + a b + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} ( a - b ) ^ { 2 } & = ( a - b ) ( a - b ) \\ & = a ^ { 2 } - a b - b a + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - a b - a b + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \end{aligned}\)

Це призводить нас до двох формул, які описують ідеальні квадратні триноми ¹²⁴:

\(\begin{array} { l } { ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } } \\ { ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } } \end{array}\)

Ми можемо використовувати ці формули, щоб швидко квадратувати біном.

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Помножити:\((3x+5)^{2}\)

Рішення

Ось\(a=3x\) і\(b=5\). Застосовуємо формулу:

Відповідь:

\(9 x ^ { 2 } + 30 x + 25\)

Цей процес повинен стати рутинним досить, щоб його виконували подумки. Наш третій спеціальний продукт:

\(\begin{aligned} ( a + b ) ( a - b ) & = a ^ { 2 } - a b + b a - b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } \color{red}{- a b + a b}\color{Black}{ -} b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \end{aligned}\)

Цей твір називається різницею квадратів ¹²⁵:

\(( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }\)

Біноміали\((a + b)\) і\((a − b)\) називаються сполученими біноміалами ¹²⁶. При множенні сполучених бічленів середні члени протилежні, а їх сума дорівнює нулю; добуток сам по собі є біноміальним.

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Помножити:\((3xy + 1) (3xy − 1)\).

Рішення

\(\begin{aligned} ( 3 x y + 1 ) ( 3 x y - 1 ) & = ( 3 x y ) ^ { 2 } - 3 x y + 3 x y - 1 ^ { 2 } \\ & = 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 1 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(9x^{2}y^{2} − 1\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Помножити:\(\left( x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 y ^ { 2 } \right)\).

Відповідь

\(\left( x ^ { 4 } - 25 y ^ { 4 } \right)\)

www.youtube.com/В/Р7Р3ФДП6_С

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Помножити:\((5x − 2)^{3}\).

Рішення

Тут ми виконуємо по одному виробу за раз.

Відповідь:

\(125x^{2} − 150x^{2} + 60x − 8\)

Поліноми, що ділять

Використовуйте часткове правило для показників\(\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }\), щоб розділити многочлен на мономіал. Іншими словами, при діленні двох виразів з однаковою базою віднімайте показники. У цьому розділі будемо вважати, що всі змінні в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{12}\):

Розділити:\(\frac { 24 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } { 8 x ^ { 3 } y ^ { 2 } }\).

Рішення

Розділіть коефіцієнти і застосуйте часткове правило, віднімаючи показники аналогічних баз.

\(\begin{aligned} \frac { 24 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } { 8 x ^ { 3 } y ^ { 2 } } & = \frac { 24 } { 8 } x ^ { 7 - 3 } y ^ { 5 - 2 } \\ & = 3 x ^ { 4 } y ^ { 3 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3 x ^ { 4 } y ^ { 3 }\)

При діленні многочлена на мономіал ми можемо розглядати мономіал як спільний знаменник і розбивати дріб, використовуючи таку властивість:

\(\frac { a + b } { c } = \frac { a } { c } + \frac { b } { c }\)

Застосування цієї властивості призведе до термінів, які можна розглядати як коефіцієнти мономов.

Приклад\(\PageIndex{13}\):

Розділити:\(\frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } }\).

Рішення

Розбийте дріб, розділивши кожен член в чисельнику на мономіал в знаменнику, а потім спростіть кожен член.

\(\begin{aligned} \frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } & = - \frac { 5 x ^ { 4 } } { 5 x ^ { 2 } } + \frac { 25 x ^ { 3 } } { 5 x ^ { 2 } } - \frac { 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } \\ & = - \frac { 5 } { 5 } x ^ { 4 - 2 } + \frac { 25 } { 5 } x ^ { 3 - 2 } - \frac { 15 } { 5 } x ^ { 2 - 2 } \\ & = - 1 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 1 } - 3 x ^ { 0 } \\ & = - x ^ { 2 } + 5 x - 3 \cdot 1 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(- x ^ { 2 } + 5 x - 3\)

Ми можемо перевірити наш ділення, помноживши нашу відповідь, частку, на мономіал у знаменнику, дільник, щоб побачити, чи отримаємо ми вихідний чисельник, дивіденд.

Таблиця\(\PageIndex{7}\)
\({\frac{Dividend}{Divisor}=Quotient}\)	\(\frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } = - x ^ { 2 } + 5 x-3\)
або	або
*\(Dividend = Divisor\cdot Quotient\)*	\(- 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } = 5 x ^ { 2 } ( - x ^ { 2 } + 5x-3)\)

Та ж техніка, намічена для ділення на мономіал, не працює для поліномів з двома і більше долями в знаменнику. У цьому розділі ми окреслимо процес, званий поліноміальним довгим діленням ¹²⁷, який заснований на алгоритмі ділення дійсних чисел. Для наочності будемо вважати, що всі вирази в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{14}\):

Розділити\(\frac { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 } { x - 2 }\):

Рішення

\(x−2\)Ось дільник і\(x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4\) є дивідендом. Щоб визначити перший член частки, розділіть провідний член дивіденду на провідний член дільника.

Помножте перший член частки на дільник, пам'ятаючи про розподіл, і вибудовуйте як терміни з дивідендом.

Відніміть отриману величину з дивідендів. Подбайте про те, щоб відняти обидва терміни.

Збиваємо залишилися терміни і повторюємо процес.

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Зверніть увагу, що провідний термін усувається і що результат має ступінь, яка на один менше. Повний процес ілюструється нижче:

Поліноміальне довге ділення закінчується тоді, коли ступінь залишку менше ступеня дільника. Тут залишок є\(0\). Тому біном ділить многочлен рівномірно, і відповідь - частка, показана над планкою поділу.

\(\frac { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 } { x - 2 } = x ^ { 2 } + 5 x + 2\)

Щоб перевірити відповідь, помножте дільник на частку, щоб побачити, чи отримаєте ви дивіденд, як показано нижче:

\(x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = ( x - 2 ) \left( x ^ { 2 } + 5 x + 2 \right)\)

Це залишається читачеві як вправу.

Відповідь:

\(x ^ { 2 } + 5 x + 2\)

Далі демонструємо випадок, коли є ненульовий залишок.

Так само, як і у випадку з дійсними числами, остаточна відповідь додає до частки дріб, де залишок - чисельник, а дільник - знаменник. Загалом, при діленні ми маємо:

\(\frac{Dividend}{Divisor}=\color{Cerulean}{Quotient}\color{Black}{+}\frac{\color{OliveGreen}{Remainder}}{\color{Black}{Divisor}}\)

Якщо ми помножимо обидві сторони на дільник, який ми отримаємо,

\(Dividend=\color{Cerulean}{Quotient}\color{Black}{\times}Divisor +\color{OliveGreen}{Remainder}\)

Приклад\(\PageIndex{15}\):

Розділити:\(\frac { 6 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { 2 x - 1 }\).

Рішення

Оскільки знаменник є біноміальним, почніть з налаштування багаточленного довгого ділення.

Для початку визначте, які мономіальні часи\(2x−1\) призводять в провідний термін.\(6x^{2}\) Це частка заданих провідних термінів:\((6x^{2})÷(2x)=3x\). \(3x\)Помножте на дільник\(2x−1\) і вирівняйте результат з подібними долями дивідендів.

Відніміть результат з дивідендів і збийте постійний термін\(+3\).

Віднімання усуває провідний термін. \(2x−1\)Помножте на\(−1\) і вибудовуйте результат.

Відніміть ще раз і зверніть увагу, що у нас залишився залишок.

Постійний термін\(2\) має ступінь\(0\) і, таким чином, поділ закінчується. Тому

\(\frac { 6 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { 2 x - 1 } = \color{Cerulean}{3 x - 1}\color{Black}{ +} \frac { \color{OliveGreen}{2} } {\color{Black}{ 2 x - 1} }\)

Щоб перевірити, що цей результат правильний, множимо наступним чином:

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{ {quotient }}\color{Black}{ \times} divisor + \color{OliveGreen} {remainder} & \color{Black}{=} \color{Cerulean}{( 3 x - 1 )}\color{Black}{ (} 2 x - 1 ) + \color{OliveGreen}{2} \\ & = 6 x ^ { 2 } - 3 x - 2 x + 1 + 2 \\ & = 6 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = dividend\:\: \color{Cerulean}{✓} \end{aligned} \)

Відповідь:

\(3 x - 1 + \frac { 2 } { 2 x - 1 }\)

Іноді деякі повноваження змінних, здається, відсутні в межах полінома. Це може призвести до помилок при вишикуванні подібних термінів. Тому, вперше навчившись ділити поліноми за допомогою довгого ділення, заповніть відсутні члени нульовими коефіцієнтами, званими заповнювачами ¹²⁸.

Приклад\(\PageIndex{16}\):

Розділити:\(\frac { 27 x ^ { 3 } + 64 } { 3 x + 4 }\).

Рішення

Зверніть увагу, що біноміал в чисельнику не має термінів зі ступенем\(2\) або\(1\). Поділ спрощується, якщо ми перепишемо вираз із заповнювачами:

\(27 x ^ { 3 } + 64 = 27 x ^ { 3 } + \color{OliveGreen}{0 x ^ { 2 }}\color{Black}{ +}\color{OliveGreen}{ 0 x}\color{Black}{ +} 64\)

Налаштуйте поліноміальне довге ділення:

Починаємо з 27x3÷3x=9x2 і працюємо решту алгоритму поділу.

Відповідь:

\(9 x ^ { 2 } - 12 x + 16\)

Приклад\(\PageIndex{17}\):

Розділити:\(\frac { 3 x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 23 x - 7 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }\).

Рішення

Почніть процес з поділу провідних членів, щоб визначити провідний термін частки\(3x^{4}÷x^{2}=\color{Cerulean}{3x^{2}}\). Подбайте про розподіл і вибудовуйте подібні терміни. Продовжуйте процес до тих пір, поки залишок не матиме градус менше\(2\).

Залишок - це\(x−2\). Напишіть відповідь з залишком:

\(\frac { 3 x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 23 x - 7 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 } = 3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 + \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }\)

Відповідь:

\(3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 + \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }\)

Поліноміальне довге ділення вимагає часу і практики, щоб освоїти. Працюйте багато проблем і пам'ятайте, що ви можете перевірити свої відповіді, помноживши частку на дільник (і додаючи залишок, якщо він присутній), щоб отримати дивіденд.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Розділити:\(\frac { 6 x ^ { 4 } - 13 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } - 14 x + 6 } { 3 x - 2 }\).

Відповідь

\(2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + x - 4 - \frac { 2 } { 3 x - 2 }\)

www.youtube.com/В/К9НРВМ Река

Ключові винос

Поліноми - це спеціальні алгебраїчні вирази, де члени є добутком дійсних чисел і змінних з цілими числовими показниками.
Ступінь многочлена з однією змінною є найбільшим показником змінної, знайденої в будь-якому терміні. Крім того, члени многочлена, як правило, розташовані в порядку спадання на основі ступеня кожного члена.
При додаванні поліномів видаліть пов'язані дужки, а потім об'єднайте подібні терміни. При відніманні многочленів розподіліть\(−1\), зніміть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
Для множення многочленів застосовують розподільну властивість; помножте кожен член у першому многочлені з кожним членом у другому многочлені. Потім комбінуйте подібні терміни.
При діленні на мономіал розділіть всі члени чисельника на мономіал, а потім спростіть кожен член.
При діленні многочлена на інший многочлен застосовують алгоритм ділення.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Задані многочлени запишіть в стандартній формі.

\(1 − x − x^{2}\)
\(y − 5 + y^{2}\)
\(y − 3y^{2} + 5 − y^{3}\)
\(8 − 12a^{2} + a^{3} − a\)
\(2 − x^{2} + 6x − 5x^{3} + x^{4}\)
\(a^{3} − 5 + a^{2} + 2a^{4} − a^{5} + 6a\)

Відповідь

1. \(- x ^ { 2 } - x + 1\)

3. \(- y ^ { 3 } - 3 y ^ { 2 } + y + 5\)

5. \(x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 6 x + 2\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Класифікуйте даний многочлен як мономіальний, біноміальний або триноміальний і вкажіть ступінь.

\(x^{2} − x + 2\)
\(5 − 10x^{3}\)
\(x^{2}y^{2} + 5xy − 6\)
\(−2x^{3}y^{2}\)
\(x^{4} − 1\)
\(5\)

Відповідь

1. 7. Тримінал; ступінь\(2\)

3. Тримінал; ступінь\(4\)

5. Біноміальна; ступінь\(4\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вкажіть, чи є многочлен лінійним або квадратичним, і дайте провідний коефіцієнт.

\(1 − 9x^{2}\)
\(10x^{2}\)
\(2x − 3\)
\(100x\)
\(5x^{2} + 3x − 1\)
\(x − 1\)
\(x − 6 − 2x^{2}\)
\(1 − 5x\)

Відповідь

1. квадратичний,\(−9\)

3. Лінійні,\(2\)

5. квадратичний,\(5\)

7. квадратичний,\(−2\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\(\left( 5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } - 6 x + 7 \right)\)
\(\left( x ^ { 2 } + 7 x - 12 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } - x + 3 \right)\)
\(\left( x ^ { 2 } + 5 x + 10 \right) + \left( x ^ { 2 } - 10 \right)\)
\(\left( x ^ { 2 } - 1 \right) + ( 4 x + 2 )\)
\(\left( 10 x ^ { 2 } + 3 x - 2 \right) - \left( x ^ { 2 } - 6 x + 1 \right)\)
\(\left( x ^ { 2 } - 3 x - 8 \right) - \left( 2 x ^ { 2 } - 3 x - 8 \right)\)
\(\left( \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } x - 1 \right) - \left( \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } \right)\)
\(\left( \frac { 4 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } x + \frac { 10 } { 6 } \right) - \left( \frac { 3 } { 10 } x ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 3 } { 5 } \right)\)
\(\left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 7 x y - 5 \right) - \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y - 4 \right)\)
\(\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } + 6 x y + y ^ { 2 } \right)\)
\(\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 5 a b - 2 \right) + ( 7 a b - 2 ) - \left( 4 - a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right)\)
\(\left( a ^ { 2 } + 9 a b - 6 b ^ { 2 } \right) - \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) + 7 a b\)
\(\left( 10 x ^ { 2 } y - 8 x y + 5 x y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } y - 4 x y \right) + \left( x y ^ { 2 } + 4 x y \right)\)
\(\left( 2 m ^ { 2 } n - 6 m n + 9 m n ^ { 2 } \right) - \left( m ^ { 2 } n + 10 m n \right) - m ^ { 2 } n\)
\(\left( 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 5 x y + 2 \right) - \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 \right) + ( 2 x y - 3 )\)
\(\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) - \left( 5 x ^ { 2 } - 2 x y - y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } - 7 x y \right)\)
\(\left( \frac { 1 } { 6 } a ^ { 2 } - 2 a b + \frac { 3 } { 4 } b ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 5 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } b ^ { 2 } \right) + \frac { 11 } { 8 } a b\)
\(\left( \frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 7 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x y + \frac { 7 } { 3 } y ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } x y\)
\(\left( x ^ { 2 n } + 5 x ^ { n } - 2 \right) + \left( 2 x ^ { 2 n } - 3 x ^ { n } - 1 \right)\)
\(\left( 7 x ^ { 2 n } - x ^ { n } + 5 \right) - \left( 6 x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 8 \right)\)
Відняти\(4y − 3\) від\(y^{2} + 7y − 10\).
Відняти\(x^{2} + 3x − 2\) від\(2x^{2} + 4x − 1\).
Правий круглий циліндр має висоту, яка дорівнює радіусу підстави,\(h = r\). Знайдіть формулу для площі поверхні в перерахунку на\(h\).
Прямокутна тверда речовина має ширину, яка вдвічі перевищує висоту, і довжину, яка в\(3\) рази перевищує висоту. Знайдіть формулу для площі поверхні через висоту.

Відповідь

1. \(7 x ^ { 2 } - 9 x + 5\)

3. \(2 x ^ { 2 } + 5 x\)

5. \(9 x ^ { 2 } + 9 x - 3\)

7. \(\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 7 } { 4 } x - \frac { 1 } { 2 }\)

9. \(- x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y - 1\)

11. \(2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 12 a b - 8\)

13. \(9 x ^ { 2 } y + 6 x y ^ { 2 }\)

15. \(7 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 3 x y - 6\)

17. \(- \frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } a b - \frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 }\)

19. \(- \frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } a b - \frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 }\)

21. \(y ^ { 2 } + 3 y - 7\)

23. \(S A = 4 \pi h ^ { 2 }\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Помножити

\(- 8 x ^ { 2 } \cdot 2 x\)
\(- 10 x ^ { 2 } y \cdot 5 x ^ { 3 } y ^ { 2 }\)
\(2 x ( 5 x - 1 )\)
\(- 4 x ( 3 x - 5 )\)
\(7 x ^ { 2 } ( 2 x - 6 )\)
\(- 3 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - x + 3 \right)\)
\(- 5 y ^ { 4 } \left( y ^ { 2 } - 2 y + 3 \right)\)
\(\frac { 5 } { 2 } a ^ { 3 } \left( 24 a ^ { 2 } - 6 a + 4 \right)\)
\(2 x y \left( x ^ { 2 } - 7 x y + y ^ { 2 } \right)\)
\(- 2 a ^ { 2 } b \left( a ^ { 2 } - 3 a b + 5 b ^ { 2 } \right)\)
\(x ^ { n } \left( x ^ { 2 } + x + 1 \right)\)
\(x ^ { n } \left( x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 1 \right)\)
\(( x + 4 ) ( x - 5 )\)
\(( x - 7 ) ( x - 6 )\)
\(( 2 x - 3 ) ( 3 x - 1 )\)
\(( 9 x + 1 ) ( 3 x + 2 )\)
\(\left( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 y ^ { 2 } \right)\)
\(\left( 5 y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) \left( 2 y ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } \right)\)
\(( 3 x + 5 ) ( 3 x - 5 )\)
\(( x + 6 ) ( x - 6 )\)
\(\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right)\)
\(( a b + 7 ) ( a b - 7 )\)
\(\left( 4 x - 5 y ^ { 2 } \right) \left( 3 x ^ { 2 } - y \right)\)
\(( x y + 5 ) ( x - y )\)
\(( x - 5 ) \left( x ^ { 2 } - 3 x + 8 \right)\)
\(( 2 x - 7 ) \left( 3 x ^ { 2 } - x + 1 \right)\)
\(\left( x ^ { 2 } + 7 x - 1 \right) \left( 2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 \right)\)
\(\left( 4 x ^ { 2 } - x + 6 \right) \left( 5 x ^ { 2 } - 4 x - 3 \right)\)
\(( x + 8 ) ^ { 2 }\)
\(( x - 3 ) ^ { 2 }\)
\(( 2 x - 5 ) ^ { 2 }\)
\(( 3 x + 1 ) ^ { 2 }\)
\(( a - 3 b ) ^ { 2 }\)
\(( 7 a - b ) ^ { 2 }\)
\(\left( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 }\)
\(\left( x ^ { 2 } - 6 y \right) ^ { 2 }\)
\(\left( a ^ { 2 } - a + 5 \right) ^ { 2 }\)
\(\left( x ^ { 2 } - 3 x - 1 \right) ^ { 2 }\)
\(( x - 3 ) ^ { 3 }\)
\(( x + 2 ) ^ { 3 }\)
\(( 3x + 1 ) ^ { 3 }\)
\(( 2x - 3 ) ^ { 3 }\)
\(( x + 2 ) ^ { 4 }\)
\(( x - 3 ) ^ { 4 }\)
\(( 2x - 1 ) ^ { 4 }\)
\(( 3x - 1 ) ^ { 4 }\)
\(\left( x ^ { 2 n } + 5 \right) \left( x ^ { 2 n } - 5 \right)\)
\(\left( x ^ { n } - 1 \right) \left( x ^ { 2 n } + 4 x ^ { n } - 3 \right)\)
\(\left( x ^ { 2 n } - 1 \right) ^ { 2 }\)
\(\left( x ^ { 3 n } + 1 \right) ^ { 2 }\)
Знайдіть продукт\(3x-2\) і\(x^{2}-5x-2\).
Знайдіть продукт\(x^{2}+4\) і\(x^{3}-1\).
Кожна сторона квадрата вимірює\(3x^{3}\) одиниці виміру. Визначте площу в розрізі\(x\).
Кожен край куба вимірює\(2x^{2}\) одиниці виміру. Визначте обсяг в перерахунку\(x\).

Відповідь

1. \(-16x^{3}\)

3. \(10 x ^ { 2 } - 2 x\)

5. \(14 x ^ { 3 } - 42 x ^ { 2 }\)

7. \(- 5 y ^ { 6 } + 10 y ^ { 5 } - 15 y ^ { 4 }\)

9. \(2 x ^ { 3 } y - 14 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 }\)

11. \(x ^ { n + 2 } + x ^ { n + 1 } + x ^ { n }\)

13. \(x ^ { 2 } - x - 20\)

15. \(6 x ^ { 2 } - 11 x + 3\)

17. \(3 x ^ { 4 } - 16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 y ^ { 4 }\)

19. \(9 x ^ { 2 } - 25\)

21. \(a ^ { 4 } - b ^ { 4 }\)

23. \(12 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 5 y ^ { 3 }\)

25. \(x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } + 23 x - 40\)

27. \(2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } - 24 x ^ { 2 } - 4 x + 1\)

29. \(x ^ { 2 } + 16 x + 64\)

31. \(4 x ^ { 2 } - 20 x + 25\)

33. \(a ^ { 2 } - 6 a b + 9 b ^ { 2 }\)

35. \(x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 4 y ^ { 4 }\)

37. \(a ^ { 4 } - 2 a ^ { 3 } + 11 a - 10 a + 25\)

39. \(x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } + 27 x - 27\)

41. \(27 x ^ { 3 } + 27 x ^ { 2 } + 9 x + 1\)

43. \(x ^ { 4 } + 8 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } + 32 x + 16\)

45. \(16 x ^ { 4 } - 32 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } - 8 x + 1\)

47. \(x ^ { 4 n } - 25\)

49. \(x ^ { 4 n } - 2 x ^ { 2 n } + 1\)

51. \(3 x ^ { 3 } - 17 x ^ { 2 } + 4 x + 4\)

53. \(9 x ^ { 6 }\)квадратні одиниці

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Розділити.

\(\frac { 125 x ^ { 5 } y ^ { 2 } } { 25 x ^ { 4 } y ^ { 2 } }\)
\(\frac { 256 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 64 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } }\)
\(\frac { 20 x ^ { 3 } - 12 x ^ { 2 } + 4 x } { 4 x }\)
\(\frac { 15 x ^ { 4 } - 75 x ^ { 3 } + 18 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } }\)
\(\frac { 12 a ^ { 2 } b + 28 a b ^ { 2 } - 4 a b } { 4 a b }\)
\(\frac { - 2 a ^ { 4 } b ^ { 3 } + 16 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 8 a b ^ { 3 } } { 2 a b ^ { 2 } }\)
\(\frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 3 x + 9 } { x + 3 }\)
\(\frac { x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } - 9 x + 20 } { x - 5 }\)
\(\frac { 6 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 7 x - 6 } { 2 x - 3 }\)
\(\frac { 9 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - x + 1 } { 3 x - 1 }\)
\(\frac { 16 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } - 39 x + 17 } { 4 x - 3 }\)
\(\frac { 12 x ^ { 3 } - 56 x ^ { 2 } + 55 x + 30 } { 2 x - 5 }\)
\(\frac { 6 x ^ { 4 } + 13 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - x + 6 } { 3 x + 2 }\)
\(\frac { 25 x ^ { 4 } - 10 x ^ { 3 } + 11 x ^ { 2 } - 7 x + 1 } { 5 x - 1 }\)
\(\frac { 20 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } + 10 x + 5 } { 2 x + 1 }\)
\(\frac { 25 x ^ { 4 } - 45 x ^ { 3 } - 26 x ^ { 2 } + 36 x - 11 } { 5 x - 2 }\)
\(\frac { 3 x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 1 } { x - 2 }\)
\(\frac { x ^ { 4 } + x - 3 } { x + 3 }\)
\(\frac { x ^ { 3 } - 10 } { x - 2 }\)
\(\frac { x ^ { 3 } + 15 } { x + 3 }\)
\(\frac { y ^ { 5 } + 1 } { y + 1 }\)
\(\frac { y ^ { 6 } + 1 } { y + 1 }\)
\(\frac { x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } - 7 x - 1 } { x ^ { 2 } - x + 2 }\)
\(\frac { 6 x ^ { 4 } + x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 2 x + 4 } { 3 x ^ { 2 } - x + 1 }\)
\(\frac { 2 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 8 x - 3 } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 }\)
\(\frac { 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } - 4 x + 3 } { x ^ { 2 } + x - 3 }\)
\(\frac { x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } { x ^ { 2 } - 1 }\)
\(\frac { x ^ { 4 } + x - 1 } { x ^ { 2 } + 1 }\)
\(\frac { x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 } } { x + y }\)
\(\frac { 2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } - 3 y ^ { 3 } } { x - y }\)
\(\frac { 8 a ^ { 3 } - b ^ { 3 } } { 2 a - b }\)
\(\frac { a ^ { 3 } + 27 b ^ { 3 } } { a + 3 b }\)
Знайдіть частку\(10 x ^ { 2 } - 11 x + 3\) і\(2x-1\).
Знайдіть частку\(12 x ^ { 2 } + x - 11\) і\(3x-2\).

Відповідь

1. \(5x\)

3. \(5 x ^ { 2 } - 3 x + 1\)

5. \(3 a + 7 b - 1\)

7. \(x ^ { 2 } - 2 x + 3\)

9. \(3 x ^ { 2 } - x + 2\)

11. \(4 x ^ { 2 } + 5 x - 6 - \frac { 1 } { 4 x - 3 }\)

13. \(2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 5 x + 3\)

15. \(10 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 4 x + 3 + \frac { 2 } { 2 x + 1 }\)

17. \(3 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 13 x + 26 + \frac { 51 } { x - 2 }\)

19. \(x ^ { 2 } + 2 x + 4 - \frac { 2 } { x - 2 }\)

21. \(y ^ { 4 } - y ^ { 3 } + y ^ { 2 } - y + 1\)

23. \(x ^ { 2 } - 3 x + 1 - \frac { 3 } { x ^ { 2 } - x + 2 }\)

25. \(2 x - 3\)

27. \(x ^ { 2 } + 4 x - 1\)

29. \(x ^ { 2 } + 5 x y - y ^ { 2 }\)

31. \(4 a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 }\)

33. \(5x-3\)

Виноски

¹¹² Алгебраїчний вираз, що складається з членів з коефіцієнтами дійсних чисел та змінних з цілими числовими показниками.

¹¹³ Показник змінної. Якщо в терміні є більше однієї змінної, ступінь члена - це сума їх показників.

¹¹⁴ Найбільша ступінь з усіх його термінів.

¹¹⁵ Поліном, де кожен член має вигляд\(a_{n}x^{n}\), де будь-яке\(a_{n}\) дійсне число і\(n\) є будь-яким цілим числом.

¹¹⁶ Коефіцієнт терміну з найбільшим ступенем.

¹¹⁷ Многочлен з одним терміном.

¹¹⁸ Многочлен з двома доходами.

¹¹⁹ Многочлен з трьома доходами.

¹²⁰ Поліном зі ступенем\(0\).

¹²¹ Поліном зі ступенем\(1\).

¹²² Поліном зі ступенем\(2\).

¹²³ Поліном зі ступенем\(3\).

¹²⁴ Триноми, отримані шляхом зведення в квадрат біноміалів\((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) і\((a − b)^{2} = a^{2} − 2ab + b^{2}\).

¹²⁵ Спеціальний продукт, отриманий шляхом множення сполучених бічленів\(( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }\).

¹²⁶ Біноміали\((a + b)\) і\((a − b)\).

¹²⁷ Процес ділення двох многочленів за допомогою алгоритму ділення.

¹²⁸ Терміни з нульовими коефіцієнтами, які використовуються для заповнення всіх відсутніх показників у межах полінома.