1.6: Поліноми та їх операції

Цілі навчання

• Визначте многочлен і визначте його ступінь.
• Додайте і відніміть многочлени.
• Множимо і ділимо многочлени.

Визначення

Многочлен ¹¹² - це спеціальний алгебраїчний вираз з долями, які складаються з коефіцієнтів дійсних чисел і змінних факторів з цілими числовими показниками. Нижче наведено кілька прикладів многочленів:

Таблиця$\PageIndex{1}$

$3 x ^ { 2 }$

$7 x y + 5$

$\frac { 3 } { 2 } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x + 1$

$6 x ^ { 2 } y - 4 x y ^ { 3 } + 7$

Ступінь члена ¹¹³ у поліномі визначається як показник змінної, або якщо в члені є більше однієї змінної, ступінь - це сума їх показників. Нагадаємо, що$x^{0} = 1$; будь-який постійний термін може бути записаний як твір$x^{0}$ і самого себе. Звідси ступінь постійного терміну є$0$.

Таблиця$\PageIndex{2}$

Термін	Ступінь
$3 x ^ { 2 }$	$2$
$6 x ^ { 2 } y$	$2+1=3$
$7 a ^ { 2 } b ^ { 3 }$	$2+3=5$
$8$	$0$, так як$8 = 8x^{0}$
$2x$	$1$, так як$2x=2x^{1}$

Ступінь многочлена ¹¹⁴ - найбільша ступінь з усіх його членів.

Таблиця$\PageIndex{3}$

многочлен	Ступінь
$4 x ^ { 5 } - 3 x ^ { 3 } + 2 x - 1$	$5$
$6 x ^ { 2 } y - 5 x y ^ { 3 } + 7$	$4$, тому що$5xy^{3}$ має ступінь$4$.
$\frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 4 }$	$1$, тому що$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x^{1}$

Особливий інтерес представляють поліноми з однією змінною ¹¹⁵, де кожен член має вигляд$a_{n}x^{n}$. Тут$a_{n}$ є будь-яке дійсне число і$n$ будь-яке ціле число. Такі многочлени мають стандартну форму:

$a _ { n } x ^ { n } + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 }$

Зазвичай ми влаштовуємо терміни поліномів у порядку убування на основі ступеня кожного члена. Провідний коефіцієнт ¹¹⁶ - коефіцієнт змінної з найбільшою потужністю, в даному випадку,$a_{n}$.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Пишіть в стандартному вигляді:$3 x - 4 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 - 2 x ^ { 4 }$.

Рішення

Оскільки терміни визначаються розділеними додаванням, пишемо наступне:

$\begin{array} { l } { 3 x - 4 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 - 2 x ^ { 4 } } \\ { = 3 x + ( - 4 ) x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 + ( - 2 ) x ^ { 4 } } \end{array}$

У такому вигляді ми бачимо, що віднімання в оригіналі відповідає негативним коефіцієнтам. Оскільки додавання є комутативним, ми можемо написати терміни в порядку спадання на основі ступеня наступним чином:

$\begin{array} { l } { = ( - 2 ) x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } + ( - 4 ) x ^ { 2 } + 3 x + 7 } \\ { = - 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 3 x + 7 } \end{array}$

Відповідь:

$- 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 3 x + 7$

Класифікуємо многочлени за кількістю членів і ступенем:

Таблиця$\PageIndex{4}$

Вираз	Класифікація	Ступінь
$5x^{7}$	Мономіал ^117 (один семестр)	$7$
$8x^{6}-1$	Біноміал ^118 (два члени)	$6$
$-3x^{2} +x-1$	Тримінал ^119 (три строки)	$2$
$5 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 3 x - 6$	Многочлен (багато членів)	$3$

Ми можемо додатково класифікувати многочлени з однією змінною за їх ступенем:

Таблиця$\PageIndex{5}$

многочлен	Ім'я
$5$	Постійна ^120 (ступінь$0$)
$2x+1$	Лінійний ^121 (ступінь$1$)
$3 x ^ { 2 } + 5 x - 3$	Квадратний ^122 (ступінь$2$)
$x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1$	Кубічний ^123 (ступінь$3$)
$7 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } - 7 x + 8$	Многочлен четвертого ступеня

У цьому тексті ми називаємо будь-який многочлен$n$ ступеня$n ≥ 4$ поліномом th-го ступеня. Іншими словами, якщо ступінь є$4$, ми називаємо многочлен поліном четвертого ступеня. Якщо ступінь є$5$, ми називаємо це поліном п'ятого ступеня, і так далі.

Приклад$\PageIndex{2}$

Створіть, чи є наступний многочлен лінійним або квадратичним, і дайте провідний коефіцієнт:$25 + 4 x - x ^ { 2 }$.

Рішення

Найвища сила є$2$; отже, це квадратичний многочлен. Рерайтинг в стандартному вигляді у нас

$- x ^ { 2 } + 4 x + 25$

Ось$- x ^ { 2 } = - 1 x ^ { 2 }$ і таким чином провідний коефіцієнт є$−1$.

Відповідь:

Квадратний; провідний коефіцієнт:$−1$

Додавання та віднімання многочленів

Почнемо з спрощення алгебраїчних виразів, які виглядають як$+ (a + b)$ або$− (a + b)$. Тут коефіцієнти фактично мають на увазі бути$+1$ і$−1$ відповідно, і тому застосовується розподільна властивість. Помножте кожен член в дужках на ці фактори наступним чином:

$\begin{array} { l } { + ( a + b ) = + 1 ( a + b ) = ( + 1 ) a + ( + 1 ) b = a + b } \\ { - ( a + b ) = - 1 ( a + b ) = ( - 1 ) a + ( - 1 ) b = - a - b } \end{array}$

Використовуйте цю ідею як засіб усунення дужок при додаванні і відніманні поліномів.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Додати:$9 x ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } - 5 \right)$.

Рішення

Властивість$+ (a + b) = a + b$ дозволяє нам усунути дужки, після чого ми можемо потім поєднувати подібні терміни.

$\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } - 5 \right) & = 9 x ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 5 \\ & = 10 x ^ { 2 } - 5 \end{aligned}$

Відповідь:

$10x^{2} − 5$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Додати:$\left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 9 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 x y - 7 \right)$.

Рішення

Пам'ятайте, що змінні частини повинні бути точно такими ж, перш ніж ми зможемо додати коефіцієнти.

$\begin{array} { l } { \left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 9 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 x y - 7 \right) } \\ { = \color{Cerulean}{\underline{ 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 }}} \color{Black}{-} \color{OliveGreen}{\underline{\underline {4 x y}}} \color{Black}{+ \underline{\underline{\underline{9}}}} + \color{Cerulean}{\underline{2 x ^ { 2 } y ^ { 2 }}} \color{Black}{-} \color{OliveGreen}{\underline{\underline {6 x y}}} \color{Black} {- \underline{\underline{\underline{7}}}}} \\ { = 5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 10 x y + 2 } \end{array}$

Відповідь:

$5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 10 x y + 2$

При відніманні многочленів дуже важливими стають дужки.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Відніміть:$4 x ^ { 2 } - \left( 3 x ^ { 2 } + 5 x \right)$.

Рішення

Властивість$− (a + b) = −a − b$ дозволяє нам видалити дужки після віднімання кожного члена.

$\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } - \left( 3 x ^ { 2 } + 5 x \right) & = 4 x ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } - 5 x \\ & = x ^ { 2 } - 5 x \end{aligned}$

Відповідь:

$x^{2} − 5x$

Віднімання кількості еквівалентно множенню її на$−1$.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Відніміть:$\left( 3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } \right) - \left( 2 x ^ { 2 } - x y + 3 y ^ { 2 } \right)$.

Рішення

Розподіліть$−1$, видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни. Множення членів многочлена на$−1$ змінює всі ознаки.

Малюнок$\PageIndex{1}$

$\begin{array} { l } { = 3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } + x y - 3 y ^ { 2 } } \\ { = x ^ { 2 } - x y - 2 y ^ { 2 } } \end{array}$

Відповідь:

$x^{2} − xy − 2y^{2}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Відніміть:$\left( 7 a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \right) - \left( a ^ { 2 } - 2 a b + 5 b ^ { 2 } \right)$.

Відповідь

$6 a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 }$

www.youtube.com/В/ІДТРЕБ_ПК3А

Множення многочленів

Використовуйте правило добутку для показників$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$, щоб помножити мономіал на многочлен. Іншими словами, при множенні двох виразів з однаковою базою додайте показники. Щоб знайти добуток мономіалів, помножте коефіцієнти і складіть показники змінних факторів з однаковою базою. Наприклад,

$\begin{aligned} 7 x ^ { 4 } \cdot 8 x ^ { 3 } & = 7 \cdot 8 \cdot x ^ { 4 } \cdot x ^ { 3 } \color{Cerulean} { Commutative \:property } \\ & = 56 x ^ { 4 + 3 } \quad\quad \color {Cerulean} { Product \:rule \:for \:exponents } \\ & = 56 x ^ { 7 } \end{aligned}$

Щоб помножити многочлен на мономіал, застосуєте розподільну властивість, а потім спрощуйте кожен член.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Помножити:$5 x y ^ { 2 } \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - x y + 1 \right)$.

Рішення

Застосовуємо розподільну властивість, а потім спрощуємо.

Малюнок$\PageIndex{2}$

$\begin{array} { l } { = \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }} \color{Black}{\cdot} 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }}\color{Black}{ \cdot} x y + \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }} \color{Black}{ \cdot 1 }} \\ { = 10 x ^ { 3 } y ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 5 x y ^ { 2 } } \end{array}$

Відповідь:

$10 x ^ { 3 } y ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 5 x y ^ { 2 }$

Підводячи підсумок, множення полінома на мономіал передбачає розподільну властивість та правило добутку для експонентів. Помножте всі члени многочлена на мономіал. Для кожного члена помножте коефіцієнти і додайте показники змінних, де основи однакові.

Точно так само, як ми використовували розподільну властивість для розподілу мономіала, ми використовуємо його для розподілу біноміалу.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ ( c + d )} & = \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ \cdot} c + \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ \cdot} d \\ & = a c + b c + a d + b d \\ & = a c + a d + b c + b d \end{aligned}$

Тут ми застосовуємо властивість distributive кілька разів, щоб отримати кінцевий результат. Цей же результат виходить за один крок, якщо застосувати розподільну властивість до$a$ і$b$ окремо наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{3}$

Це часто називають методом FOIL. Помножте перше, зовнішнє, внутрішнє, а потім останнє члени.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Помножити:$( 6 x - 1 ) ( 3 x - 5 )$.

Рішення

Розподіліть,$6x$$−1$ а потім комбінуйте подібні терміни.

$\begin{aligned} ( 6 x - 1 ) ( 3 x - 5 ) & = \color{Cerulean}{6 x}\color{Black}{ \cdot} 3 x - \color{Cerulean}{6 x}\color{Black}{ \cdot} 5 + ( \color{OliveGreen}{- 1}\color{Black}{ )} \cdot 3 x - ( \color{OliveGreen}{- 1}\color{Black}{ )} \cdot 5 \\ & = 18 x ^ { 2 } - 30 x - 3 x + 5 \\ & = 18 x ^ { 2 } - 33 x + 5 \end{aligned}$

Відповідь:

$18 x ^ { 2 } - 33 x + 5$

Розглянемо наступні два розрахунки:

Таблиця$\PageIndex{6}$

$\begin{aligned} ( a + b ) ^ { 2 } & = ( a + b ) ( a + b ) \\ & = a ^ { 2 } + a b + b a + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + a b + a b + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \end{aligned}$

$\begin{aligned} ( a - b ) ^ { 2 } & = ( a - b ) ( a - b ) \\ & = a ^ { 2 } - a b - b a + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - a b - a b + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \end{aligned}$

Це призводить нас до двох формул, які описують ідеальні квадратні триноми ¹²⁴:

$\begin{array} { l } { ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } } \\ { ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } } \end{array}$

Ми можемо використовувати ці формули, щоб швидко квадратувати біном.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Помножити:$(3x+5)^{2}$

Рішення

Ось$a=3x$ і$b=5$. Застосовуємо формулу:

Малюнок$\PageIndex{4}$

Відповідь:

$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25$

Цей процес повинен стати рутинним досить, щоб його виконували подумки. Наш третій спеціальний продукт:

$\begin{aligned} ( a + b ) ( a - b ) & = a ^ { 2 } - a b + b a - b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } \color{red}{- a b + a b}\color{Black}{ -} b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \end{aligned}$

Цей твір називається різницею квадратів ¹²⁵:

$( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }$

Біноміали$(a + b)$ і$(a − b)$ називаються сполученими біноміалами ¹²⁶. При множенні сполучених бічленів середні члени протилежні, а їх сума дорівнює нулю; добуток сам по собі є біноміальним.

Приклад$\PageIndex{10}$:

Помножити:$(3xy + 1) (3xy − 1)$.

Рішення

$\begin{aligned} ( 3 x y + 1 ) ( 3 x y - 1 ) & = ( 3 x y ) ^ { 2 } - 3 x y + 3 x y - 1 ^ { 2 } \\ & = 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 1 \end{aligned}$

Відповідь:

$9x^{2}y^{2} − 1$

Вправа$\PageIndex{2}$

Помножити:$\left( x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 y ^ { 2 } \right)$.

Відповідь

$\left( x ^ { 4 } - 25 y ^ { 4 } \right)$

www.youtube.com/В/Р7Р3ФДП6_С

Приклад$\PageIndex{11}$:

Помножити:$(5x − 2)^{3}$.

Рішення

Тут ми виконуємо по одному виробу за раз.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Відповідь:

$125x^{2} − 150x^{2} + 60x − 8$

Поліноми, що ділять

Використовуйте часткове правило для показників$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$, щоб розділити многочлен на мономіал. Іншими словами, при діленні двох виразів з однаковою базою віднімайте показники. У цьому розділі будемо вважати, що всі змінні в знаменнику ненульові.

Приклад$\PageIndex{12}$:

Розділити:$\frac { 24 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } { 8 x ^ { 3 } y ^ { 2 } }$.

Рішення

Розділіть коефіцієнти і застосуйте часткове правило, віднімаючи показники аналогічних баз.

$\begin{aligned} \frac { 24 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } { 8 x ^ { 3 } y ^ { 2 } } & = \frac { 24 } { 8 } x ^ { 7 - 3 } y ^ { 5 - 2 } \\ & = 3 x ^ { 4 } y ^ { 3 } \end{aligned}$

Відповідь:

$3 x ^ { 4 } y ^ { 3 }$

При діленні многочлена на мономіал ми можемо розглядати мономіал як спільний знаменник і розбивати дріб, використовуючи таку властивість:

$\frac { a + b } { c } = \frac { a } { c } + \frac { b } { c }$

Застосування цієї властивості призведе до термінів, які можна розглядати як коефіцієнти мономов.

Приклад$\PageIndex{13}$:

Розділити:$\frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } }$.

Рішення

Розбийте дріб, розділивши кожен член в чисельнику на мономіал в знаменнику, а потім спростіть кожен член.

$\begin{aligned} \frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } & = - \frac { 5 x ^ { 4 } } { 5 x ^ { 2 } } + \frac { 25 x ^ { 3 } } { 5 x ^ { 2 } } - \frac { 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } \\ & = - \frac { 5 } { 5 } x ^ { 4 - 2 } + \frac { 25 } { 5 } x ^ { 3 - 2 } - \frac { 15 } { 5 } x ^ { 2 - 2 } \\ & = - 1 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 1 } - 3 x ^ { 0 } \\ & = - x ^ { 2 } + 5 x - 3 \cdot 1 \end{aligned}$

Відповідь:

$- x ^ { 2 } + 5 x - 3$

Ми можемо перевірити наш ділення, помноживши нашу відповідь, частку, на мономіал у знаменнику, дільник, щоб побачити, чи отримаємо ми вихідний чисельник, дивіденд.

Таблиця$\PageIndex{7}$

${\frac{Dividend}{Divisor}=Quotient}$	$\frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } = - x ^ { 2 } + 5 x-3$
або	або
$Dividend = Divisor\cdot Quotient$	$- 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } = 5 x ^ { 2 } ( - x ^ { 2 } + 5x-3)$

Та ж техніка, намічена для ділення на мономіал, не працює для поліномів з двома і більше долями в знаменнику. У цьому розділі ми окреслимо процес, званий поліноміальним довгим діленням ¹²⁷, який заснований на алгоритмі ділення дійсних чисел. Для наочності будемо вважати, що всі вирази в знаменнику ненульові.

Приклад$\PageIndex{14}$:

Розділити$\frac { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 } { x - 2 }$:

Рішення

$x−2$Ось дільник і$x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4$ є дивідендом. Щоб визначити перший член частки, розділіть провідний член дивіденду на провідний член дільника.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Помножте перший член частки на дільник, пам'ятаючи про розподіл, і вибудовуйте як терміни з дивідендом.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Відніміть отриману величину з дивідендів. Подбайте про те, щоб відняти обидва терміни.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Збиваємо залишилися терміни і повторюємо процес.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Зверніть увагу, що провідний термін усувається і що результат має ступінь, яка на один менше. Повний процес ілюструється нижче:

Малюнок$\PageIndex{10}$

Поліноміальне довге ділення закінчується тоді, коли ступінь залишку менше ступеня дільника. Тут залишок є$0$. Тому біном ділить многочлен рівномірно, і відповідь - частка, показана над планкою поділу.

$\frac { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 } { x - 2 } = x ^ { 2 } + 5 x + 2$

Щоб перевірити відповідь, помножте дільник на частку, щоб побачити, чи отримаєте ви дивіденд, як показано нижче:

$x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = ( x - 2 ) \left( x ^ { 2 } + 5 x + 2 \right)$

Це залишається читачеві як вправу.

Відповідь:

$x ^ { 2 } + 5 x + 2$

Далі демонструємо випадок, коли є ненульовий залишок.

Малюнок$\PageIndex{11}$

Так само, як і у випадку з дійсними числами, остаточна відповідь додає до частки дріб, де залишок - чисельник, а дільник - знаменник. Загалом, при діленні ми маємо:

$\frac{Dividend}{Divisor}=\color{Cerulean}{Quotient}\color{Black}{+}\frac{\color{OliveGreen}{Remainder}}{\color{Black}{Divisor}}$

Якщо ми помножимо обидві сторони на дільник, який ми отримаємо,

$Dividend=\color{Cerulean}{Quotient}\color{Black}{\times}Divisor +\color{OliveGreen}{Remainder}$

Приклад$\PageIndex{15}$:

Розділити:$\frac { 6 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { 2 x - 1 }$.

Рішення

Оскільки знаменник є біноміальним, почніть з налаштування багаточленного довгого ділення.

Малюнок$\PageIndex{12}$

Для початку визначте, які мономіальні часи$2x−1$ призводять в провідний термін.$6x^{2}$ Це частка заданих провідних термінів:$(6x^{2})÷(2x)=3x$. $3x$Помножте на дільник$2x−1$ і вирівняйте результат з подібними долями дивідендів.

Малюнок$\PageIndex{13}$

Відніміть результат з дивідендів і збийте постійний термін$+3$.

Малюнок$\PageIndex{14}$

Віднімання усуває провідний термін. $2x−1$Помножте на$−1$ і вибудовуйте результат.

Малюнок$\PageIndex{15}$

Відніміть ще раз і зверніть увагу, що у нас залишився залишок.

Малюнок$\PageIndex{16}$

Постійний термін$2$ має ступінь$0$ і, таким чином, поділ закінчується. Тому

$\frac { 6 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { 2 x - 1 } = \color{Cerulean}{3 x - 1}\color{Black}{ +} \frac { \color{OliveGreen}{2} } {\color{Black}{ 2 x - 1} }$

Щоб перевірити, що цей результат правильний, множимо наступним чином:

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{ {quotient }}\color{Black}{ \times} divisor + \color{OliveGreen} {remainder} & \color{Black}{=} \color{Cerulean}{( 3 x - 1 )}\color{Black}{ (} 2 x - 1 ) + \color{OliveGreen}{2} \\ & = 6 x ^ { 2 } - 3 x - 2 x + 1 + 2 \\ & = 6 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = dividend\:\: \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Відповідь:

$3 x - 1 + \frac { 2 } { 2 x - 1 }$

Іноді деякі повноваження змінних, здається, відсутні в межах полінома. Це може призвести до помилок при вишикуванні подібних термінів. Тому, вперше навчившись ділити поліноми за допомогою довгого ділення, заповніть відсутні члени нульовими коефіцієнтами, званими заповнювачами ¹²⁸.

Приклад$\PageIndex{16}$:

Розділити:$\frac { 27 x ^ { 3 } + 64 } { 3 x + 4 }$.

Рішення

Зверніть увагу, що біноміал в чисельнику не має термінів зі ступенем$2$ або$1$. Поділ спрощується, якщо ми перепишемо вираз із заповнювачами:

$27 x ^ { 3 } + 64 = 27 x ^ { 3 } + \color{OliveGreen}{0 x ^ { 2 }}\color{Black}{ +}\color{OliveGreen}{ 0 x}\color{Black}{ +} 64$

Налаштуйте поліноміальне довге ділення:

Малюнок$\PageIndex{17}$

Починаємо з 27x3÷3x=9x2 і працюємо решту алгоритму поділу.

Малюнок$\PageIndex{18}$

Відповідь:

$9 x ^ { 2 } - 12 x + 16$

Приклад$\PageIndex{17}$:

Розділити:$\frac { 3 x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 23 x - 7 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }$.

Рішення

Малюнок$\PageIndex{19}$

Почніть процес з поділу провідних членів, щоб визначити провідний термін частки$3x^{4}÷x^{2}=\color{Cerulean}{3x^{2}}$. Подбайте про розподіл і вибудовуйте подібні терміни. Продовжуйте процес до тих пір, поки залишок не матиме градус менше$2$.

Малюнок$\PageIndex{20}$

Залишок - це$x−2$. Напишіть відповідь з залишком:

$\frac { 3 x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 23 x - 7 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 } = 3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 + \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }$

Відповідь:

$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 + \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }$

Поліноміальне довге ділення вимагає часу і практики, щоб освоїти. Працюйте багато проблем і пам'ятайте, що ви можете перевірити свої відповіді, помноживши частку на дільник (і додаючи залишок, якщо він присутній), щоб отримати дивіденд.

Вправа$\PageIndex{3}$

Розділити:$\frac { 6 x ^ { 4 } - 13 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } - 14 x + 6 } { 3 x - 2 }$.

Відповідь

$2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + x - 4 - \frac { 2 } { 3 x - 2 }$

www.youtube.com/В/К9НРВМ Река

Ключові винос

• Поліноми - це спеціальні алгебраїчні вирази, де члени є добутком дійсних чисел і змінних з цілими числовими показниками.
• Ступінь многочлена з однією змінною є найбільшим показником змінної, знайденої в будь-якому терміні. Крім того, члени многочлена, як правило, розташовані в порядку спадання на основі ступеня кожного члена.
• При додаванні поліномів видаліть пов'язані дужки, а потім об'єднайте подібні терміни. При відніманні многочленів розподіліть$−1$, зніміть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
• Для множення многочленів застосовують розподільну властивість; помножте кожен член у першому многочлені з кожним членом у другому многочлені. Потім комбінуйте подібні терміни.
• При діленні на мономіал розділіть всі члени чисельника на мономіал, а потім спростіть кожен член.
• При діленні многочлена на інший многочлен застосовують алгоритм ділення.

Вправа$\PageIndex{4}$

Задані многочлени запишіть в стандартній формі.

1. $1 − x − x^{2}$
2. $y − 5 + y^{2}$
3. $y − 3y^{2} + 5 − y^{3}$
4. $8 − 12a^{2} + a^{3} − a$
5. $2 − x^{2} + 6x − 5x^{3} + x^{4}$
6. $a^{3} − 5 + a^{2} + 2a^{4} − a^{5} + 6a$

Відповідь

1. $- x ^ { 2 } - x + 1$

3. $- y ^ { 3 } - 3 y ^ { 2 } + y + 5$

5. $x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 6 x + 2$

Вправа$\PageIndex{5}$

Класифікуйте даний многочлен як мономіальний, біноміальний або триноміальний і вкажіть ступінь.

1. $x^{2} − x + 2$
2. $5 − 10x^{3}$
3. $x^{2}y^{2} + 5xy − 6$
4. $−2x^{3}y^{2}$
5. $x^{4} − 1$
6. $5$

Відповідь

1. 7. Тримінал; ступінь$2$

3. Тримінал; ступінь$4$

5. Біноміальна; ступінь$4$

Вправа$\PageIndex{6}$

Вкажіть, чи є многочлен лінійним або квадратичним, і дайте провідний коефіцієнт.

1. $1 − 9x^{2}$
2. $10x^{2}$
3. $2x − 3$
4. $100x$
5. $5x^{2} + 3x − 1$
6. $x − 1$
7. $x − 6 − 2x^{2}$
8. $1 − 5x$

Відповідь

1. квадратичний,$−9$

3. Лінійні,$2$

5. квадратичний,$5$

7. квадратичний,$−2$

Вправа$\PageIndex{7}$

1. $\left( 5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } - 6 x + 7 \right)$
2. $\left( x ^ { 2 } + 7 x - 12 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } - x + 3 \right)$
3. $\left( x ^ { 2 } + 5 x + 10 \right) + \left( x ^ { 2 } - 10 \right)$
4. $\left( x ^ { 2 } - 1 \right) + ( 4 x + 2 )$
5. $\left( 10 x ^ { 2 } + 3 x - 2 \right) - \left( x ^ { 2 } - 6 x + 1 \right)$
6. $\left( x ^ { 2 } - 3 x - 8 \right) - \left( 2 x ^ { 2 } - 3 x - 8 \right)$
7. $\left( \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } x - 1 \right) - \left( \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } \right)$
8. $\left( \frac { 4 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } x + \frac { 10 } { 6 } \right) - \left( \frac { 3 } { 10 } x ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 3 } { 5 } \right)$
9. $\left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 7 x y - 5 \right) - \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y - 4 \right)$
10. $\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } + 6 x y + y ^ { 2 } \right)$
11. $\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 5 a b - 2 \right) + ( 7 a b - 2 ) - \left( 4 - a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right)$
12. $\left( a ^ { 2 } + 9 a b - 6 b ^ { 2 } \right) - \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) + 7 a b$
13. $\left( 10 x ^ { 2 } y - 8 x y + 5 x y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } y - 4 x y \right) + \left( x y ^ { 2 } + 4 x y \right)$
14. $\left( 2 m ^ { 2 } n - 6 m n + 9 m n ^ { 2 } \right) - \left( m ^ { 2 } n + 10 m n \right) - m ^ { 2 } n$
15. $\left( 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 5 x y + 2 \right) - \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 \right) + ( 2 x y - 3 )$
16. $\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) - \left( 5 x ^ { 2 } - 2 x y - y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } - 7 x y \right)$
17. $\left( \frac { 1 } { 6 } a ^ { 2 } - 2 a b + \frac { 3 } { 4 } b ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 5 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } b ^ { 2 } \right) + \frac { 11 } { 8 } a b$
18. $\left( \frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 7 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x y + \frac { 7 } { 3 } y ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } x y$
19. $\left( x ^ { 2 n } + 5 x ^ { n } - 2 \right) + \left( 2 x ^ { 2 n } - 3 x ^ { n } - 1 \right)$
20. $\left( 7 x ^ { 2 n } - x ^ { n } + 5 \right) - \left( 6 x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 8 \right)$
21. Відняти$4y − 3$ від$y^{2} + 7y − 10$.
22. Відняти$x^{2} + 3x − 2$ від$2x^{2} + 4x − 1$.
23. Правий круглий циліндр має висоту, яка дорівнює радіусу підстави,$h = r$. Знайдіть формулу для площі поверхні в перерахунку на$h$.
24. Прямокутна тверда речовина має ширину, яка вдвічі перевищує висоту, і довжину, яка в$3$ рази перевищує висоту. Знайдіть формулу для площі поверхні через висоту.

Відповідь

1. $7 x ^ { 2 } - 9 x + 5$

3. $2 x ^ { 2 } + 5 x$

5. $9 x ^ { 2 } + 9 x - 3$

7. $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 7 } { 4 } x - \frac { 1 } { 2 }$

9. $- x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y - 1$

11. $2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 12 a b - 8$

13. $9 x ^ { 2 } y + 6 x y ^ { 2 }$

15. $7 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 3 x y - 6$

17. $- \frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } a b - \frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 }$

19. $- \frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } a b - \frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 }$

21. $y ^ { 2 } + 3 y - 7$

23. $S A = 4 \pi h ^ { 2 }$

Вправа$\PageIndex{8}$

Помножити

1. $- 8 x ^ { 2 } \cdot 2 x$
2. $- 10 x ^ { 2 } y \cdot 5 x ^ { 3 } y ^ { 2 }$
3. $2 x ( 5 x - 1 )$
4. $- 4 x ( 3 x - 5 )$
5. $7 x ^ { 2 } ( 2 x - 6 )$
6. $- 3 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - x + 3 \right)$
7. $- 5 y ^ { 4 } \left( y ^ { 2 } - 2 y + 3 \right)$
8. $\frac { 5 } { 2 } a ^ { 3 } \left( 24 a ^ { 2 } - 6 a + 4 \right)$
9. $2 x y \left( x ^ { 2 } - 7 x y + y ^ { 2 } \right)$
10. $- 2 a ^ { 2 } b \left( a ^ { 2 } - 3 a b + 5 b ^ { 2 } \right)$
11. $x ^ { n } \left( x ^ { 2 } + x + 1 \right)$
12. $x ^ { n } \left( x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 1 \right)$
13. $( x + 4 ) ( x - 5 )$
14. $( x - 7 ) ( x - 6 )$
15. $( 2 x - 3 ) ( 3 x - 1 )$
16. $( 9 x + 1 ) ( 3 x + 2 )$
17. $\left( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 y ^ { 2 } \right)$
18. $\left( 5 y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) \left( 2 y ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } \right)$
19. $( 3 x + 5 ) ( 3 x - 5 )$
20. $( x + 6 ) ( x - 6 )$
21. $\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right)$
22. $( a b + 7 ) ( a b - 7 )$
23. $\left( 4 x - 5 y ^ { 2 } \right) \left( 3 x ^ { 2 } - y \right)$
24. $( x y + 5 ) ( x - y )$
25. $( x - 5 ) \left( x ^ { 2 } - 3 x + 8 \right)$
26. $( 2 x - 7 ) \left( 3 x ^ { 2 } - x + 1 \right)$
27. $\left( x ^ { 2 } + 7 x - 1 \right) \left( 2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 \right)$
28. $\left( 4 x ^ { 2 } - x + 6 \right) \left( 5 x ^ { 2 } - 4 x - 3 \right)$
29. $( x + 8 ) ^ { 2 }$
30. $( x - 3 ) ^ { 2 }$
31. $( 2 x - 5 ) ^ { 2 }$
32. $( 3 x + 1 ) ^ { 2 }$
33. $( a - 3 b ) ^ { 2 }$
34. $( 7 a - b ) ^ { 2 }$
35. $\left( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 }$
36. $\left( x ^ { 2 } - 6 y \right) ^ { 2 }$
37. $\left( a ^ { 2 } - a + 5 \right) ^ { 2 }$
38. $\left( x ^ { 2 } - 3 x - 1 \right) ^ { 2 }$
39. $( x - 3 ) ^ { 3 }$
40. $( x + 2 ) ^ { 3 }$
41. $( 3x + 1 ) ^ { 3 }$
42. $( 2x - 3 ) ^ { 3 }$
43. $( x + 2 ) ^ { 4 }$
44. $( x - 3 ) ^ { 4 }$
45. $( 2x - 1 ) ^ { 4 }$
46. $( 3x - 1 ) ^ { 4 }$
47. $\left( x ^ { 2 n } + 5 \right) \left( x ^ { 2 n } - 5 \right)$
48. $\left( x ^ { n } - 1 \right) \left( x ^ { 2 n } + 4 x ^ { n } - 3 \right)$
49. $\left( x ^ { 2 n } - 1 \right) ^ { 2 }$
50. $\left( x ^ { 3 n } + 1 \right) ^ { 2 }$
51. Знайдіть продукт$3x-2$ і$x^{2}-5x-2$.
52. Знайдіть продукт$x^{2}+4$ і$x^{3}-1$.
53. Кожна сторона квадрата вимірює$3x^{3}$ одиниці виміру. Визначте площу в розрізі$x$.
54. Кожен край куба вимірює$2x^{2}$ одиниці виміру. Визначте обсяг в перерахунку$x$.

Відповідь

1. $-16x^{3}$

3. $10 x ^ { 2 } - 2 x$

5. $14 x ^ { 3 } - 42 x ^ { 2 }$

7. $- 5 y ^ { 6 } + 10 y ^ { 5 } - 15 y ^ { 4 }$

9. $2 x ^ { 3 } y - 14 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 }$

11. $x ^ { n + 2 } + x ^ { n + 1 } + x ^ { n }$

13. $x ^ { 2 } - x - 20$

15. $6 x ^ { 2 } - 11 x + 3$

17. $3 x ^ { 4 } - 16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 y ^ { 4 }$

19. $9 x ^ { 2 } - 25$

21. $a ^ { 4 } - b ^ { 4 }$

23. $12 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 5 y ^ { 3 }$

25. $x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } + 23 x - 40$

27. $2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } - 24 x ^ { 2 } - 4 x + 1$

29. $x ^ { 2 } + 16 x + 64$

31. $4 x ^ { 2 } - 20 x + 25$

33. $a ^ { 2 } - 6 a b + 9 b ^ { 2 }$

35. $x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 4 y ^ { 4 }$

37. $a ^ { 4 } - 2 a ^ { 3 } + 11 a - 10 a + 25$

39. $x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } + 27 x - 27$

41. $27 x ^ { 3 } + 27 x ^ { 2 } + 9 x + 1$

43. $x ^ { 4 } + 8 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } + 32 x + 16$

45. $16 x ^ { 4 } - 32 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } - 8 x + 1$

47. $x ^ { 4 n } - 25$

49. $x ^ { 4 n } - 2 x ^ { 2 n } + 1$

51. $3 x ^ { 3 } - 17 x ^ { 2 } + 4 x + 4$

53. $9 x ^ { 6 }$квадратні одиниці

Вправа$\PageIndex{9}$

Розділити.

1. $\frac { 125 x ^ { 5 } y ^ { 2 } } { 25 x ^ { 4 } y ^ { 2 } }$
2. $\frac { 256 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 64 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } }$
3. $\frac { 20 x ^ { 3 } - 12 x ^ { 2 } + 4 x } { 4 x }$
4. $\frac { 15 x ^ { 4 } - 75 x ^ { 3 } + 18 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } }$
5. $\frac { 12 a ^ { 2 } b + 28 a b ^ { 2 } - 4 a b } { 4 a b }$
6. $\frac { - 2 a ^ { 4 } b ^ { 3 } + 16 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 8 a b ^ { 3 } } { 2 a b ^ { 2 } }$
7. $\frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 3 x + 9 } { x + 3 }$
8. $\frac { x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } - 9 x + 20 } { x - 5 }$
9. $\frac { 6 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 7 x - 6 } { 2 x - 3 }$
10. $\frac { 9 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - x + 1 } { 3 x - 1 }$
11. $\frac { 16 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } - 39 x + 17 } { 4 x - 3 }$
12. $\frac { 12 x ^ { 3 } - 56 x ^ { 2 } + 55 x + 30 } { 2 x - 5 }$
13. $\frac { 6 x ^ { 4 } + 13 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - x + 6 } { 3 x + 2 }$
14. $\frac { 25 x ^ { 4 } - 10 x ^ { 3 } + 11 x ^ { 2 } - 7 x + 1 } { 5 x - 1 }$
15. $\frac { 20 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } + 10 x + 5 } { 2 x + 1 }$
16. $\frac { 25 x ^ { 4 } - 45 x ^ { 3 } - 26 x ^ { 2 } + 36 x - 11 } { 5 x - 2 }$
17. $\frac { 3 x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 1 } { x - 2 }$
18. $\frac { x ^ { 4 } + x - 3 } { x + 3 }$
19. $\frac { x ^ { 3 } - 10 } { x - 2 }$
20. $\frac { x ^ { 3 } + 15 } { x + 3 }$
21. $\frac { y ^ { 5 } + 1 } { y + 1 }$
22. $\frac { y ^ { 6 } + 1 } { y + 1 }$
23. $\frac { x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } - 7 x - 1 } { x ^ { 2 } - x + 2 }$
24. $\frac { 6 x ^ { 4 } + x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 2 x + 4 } { 3 x ^ { 2 } - x + 1 }$
25. $\frac { 2 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 8 x - 3 } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 }$
26. $\frac { 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } - 4 x + 3 } { x ^ { 2 } + x - 3 }$
27. $\frac { x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$
28. $\frac { x ^ { 4 } + x - 1 } { x ^ { 2 } + 1 }$
29. $\frac { x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 } } { x + y }$
30. $\frac { 2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } - 3 y ^ { 3 } } { x - y }$
31. $\frac { 8 a ^ { 3 } - b ^ { 3 } } { 2 a - b }$
32. $\frac { a ^ { 3 } + 27 b ^ { 3 } } { a + 3 b }$
33. Знайдіть частку$10 x ^ { 2 } - 11 x + 3$ і$2x-1$.
34. Знайдіть частку$12 x ^ { 2 } + x - 11$ і$3x-2$.

Відповідь

1. $5x$

3. $5 x ^ { 2 } - 3 x + 1$

5. $3 a + 7 b - 1$

7. $x ^ { 2 } - 2 x + 3$

9. $3 x ^ { 2 } - x + 2$

11. $4 x ^ { 2 } + 5 x - 6 - \frac { 1 } { 4 x - 3 }$

13. $2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 5 x + 3$

15. $10 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 4 x + 3 + \frac { 2 } { 2 x + 1 }$

17. $3 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 13 x + 26 + \frac { 51 } { x - 2 }$

19. $x ^ { 2 } + 2 x + 4 - \frac { 2 } { x - 2 }$

21. $y ^ { 4 } - y ^ { 3 } + y ^ { 2 } - y + 1$

23. $x ^ { 2 } - 3 x + 1 - \frac { 3 } { x ^ { 2 } - x + 2 }$

25. $2 x - 3$

27. $x ^ { 2 } + 4 x - 1$

29. $x ^ { 2 } + 5 x y - y ^ { 2 }$

31. $4 a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 }$

33. $5x-3$

Виноски

¹¹² Алгебраїчний вираз, що складається з членів з коефіцієнтами дійсних чисел та змінних з цілими числовими показниками.

¹¹³ Показник змінної. Якщо в терміні є більше однієї змінної, ступінь члена - це сума їх показників.

¹¹⁴ Найбільша ступінь з усіх його термінів.

¹¹⁵ Поліном, де кожен член має вигляд$a_{n}x^{n}$, де будь-яке$a_{n}$ дійсне число і$n$ є будь-яким цілим числом.

¹¹⁶ Коефіцієнт терміну з найбільшим ступенем.

¹¹⁷ Многочлен з одним терміном.

¹¹⁸ Многочлен з двома доходами.

¹¹⁹ Многочлен з трьома доходами.

¹²⁰ Поліном зі ступенем$0$.

¹²¹ Поліном зі ступенем$1$.

¹²² Поліном зі ступенем$2$.

¹²³ Поліном зі ступенем$3$.

¹²⁴ Триноми, отримані шляхом зведення в квадрат біноміалів$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ і$(a − b)^{2} = a^{2} − 2ab + b^{2}$.

¹²⁵ Спеціальний продукт, отриманий шляхом множення сполучених бічленів$( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }$.

¹²⁶ Біноміали$(a + b)$ і$(a − b)$.

¹²⁷ Процес ділення двох многочленів за допомогою алгоритму ділення.

¹²⁸ Терміни з нульовими коефіцієнтами, які використовуються для заповнення всіх відсутніх показників у межах полінома.