1.7: Розв'язування лінійних рівнянь
Цілі навчання
- Використовуйте властивості рівності для розв'язання основних лінійних рівнянь.
- Визначте та вирішуйте умовні лінійні рівняння, тотожності та протиріччя.
- Очистити дроби з рівнянь.
- Налаштуйте та вирішуйте лінійні рівняння.
Розв'язування основних лінійних рівнянь
Рівняння 129 - це твердження, яке вказує на те, що два алгебраїчні вирази рівні. Лінійне рівняння з однією змінною 130x, - це рівняння, яке можна записати в стандартному вигляді,ax+b=0 деa іb є дійсними числами іa≠0. Наприклад
3x−12=0
Рішення 131 до лінійного рівняння - це будь-яке значення, яке може замінити змінну для отримання істинного твердження. Змінна в лінійному рівнянні3x−12=0 єx і рішення єx=4. Щоб перевірити це, підставити значення4 в forx і перевірте, чи ви отримаєте true твердження.
3x−12=03(4)−12=012−12=00=0 ✓
Крім того, коли рівняння дорівнює константі, ми можемо перевірити рішення, підставивши значення в змінну і показавши, що результат дорівнює цій константі. У цьому сенсі ми говоримо, що рішення «задовольняють рівнянню».
Приклад1.7.1:
Чиa=−12 є рішенням−10a+5=25?
Рішення
Нагадаємо, що при оцінці виразів хороша практика спочатку замінити всі змінні дужками, а потім підставити відповідні значення. Використовуючи дужки, ми уникаємо деяких поширених помилок при роботі з порядком операцій.
−10a+5=−10(−12)+5=5+5=10≠25✗
Відповідь:
Ні,a=−12 не задовольняє рівняння.
Розробка методик розв'язання різних алгебраїчних рівнянь є однією з наших головних цілей в алгебрі. У цьому розділі розглядаються основні прийоми, що застосовуються для розв'язання лінійних рівнянь з однією змінною. Почнемо з визначення еквівалентних рівнянь 132 як рівнянь з однаковим набором розв'язків.
3x−5=163x=21x=7}Equivalentequations
Тут ми бачимо, що три лінійні рівняння еквівалентні тому, що вони мають один і той же набір рішень, а саме,{7}. Для отримання еквівалентних рівнянь використовують наступні властивості рівності 133. Дано алгебраїчні виразиA іB, деc є ненульовим числом:
Додаткова властивість рівності: | ЯкщоA=B, тоA+c=B+c |
---|---|
Віднімання властивості рівності: | ЯкщоA=B, тоA−c−B−c |
Властивість множення рівності: | ЯкщоA=B, тоcA=cB |
Поділ властивості рівності: | ЯкщоA=B, тоAc=Bc |
Примітка
Обережно уникнути множення або ділення обох сторін0 рівняння на. Ділення на0 не визначено і множення обох сторін на0 результати в рівнянні0=0.
Вирішуємо алгебраїчні рівняння шляхом виділення змінної з коефіцієнтом 1. Якщо задано лінійне рівняння видуax+b=c, то ми можемо вирішити його в два етапи. По-перше, використовуйте відповідну властивість рівності додавання або віднімання для виділення змінного члена. Далі виділяють змінну, використовуючи властивість рівності множення або ділення. Перевірка рішення в наступних прикладах залишається за читачем.
Приклад1.7.2:
Вирішити:7x−2=19.
Рішення
7x−2=197x−2+2=19+2Add2tobothsides.7x=217x7=217Dividebothsidesby7.x=3
Відповідь:
Рішення є3.
Приклад1.7.3:
Вирішити:56=8+12y.
Рішення
Коли жоден знак не передує терміну, він розуміється як позитивний. Іншими словами, подумайте про це як56=+8+12y. Тому починаємо з віднімання8 по обидва боки знака рівності.
56−8=8+12y−848=12y4812=12y124=y
Не має значення, з якого боку ми вибираємо ізолювати змінну, оскільки симетрична властивість 134 стверджує,4=y що еквівалентноy=4.
Відповідь:
Рішення є4.
Приклад1.7.4:
Вирішити:53x+2=−8.
Рішення
Виділіть змінний член, використовуючи властивість додавання рівності, а потім помножте обидві сторони рівняння на зворотну коефіцієнту53.
\ почати {вирівняні}\ розриву {5} {3} x + 2 & = - 8\\ розриву {5} {3} x + 2\ колір {- 2} & = - 8\ колір {- 2} {- 2}\ квадратний\ колір {Cerulean} {Відніміть\: 2\: на\: обидві\: сторони.}\\ frac {5} {3} x & = - 10\\\ колір {\ фрейк {3} {5}}\ колір {чорний} {\ cdot}\ frac {5} {3} x & =\ колір {Cerulean} {\ frac {3} {\ скасувати {5}}}\ колір {чорний} {\ cdot} (\ зміщення {-2} {\ скасувати {-10}})\ квадратний\ колір {Cerulean} {Множення\ :обидві\ :сторони\: на\:\ frac {3} {5}.}\\ 1x & = 3\ cdot (- 2)\\ x & = - 6\ кінець {вирівняний}
Відповідь:
Рішення є−6.
Підсумовуючи, щоб зберегти еквівалентні рівняння, ми повинні виконати одну і ту ж операцію з обох сторін рівняння.
Вправа1.7.1
Вирішити:23x+12=−56.
- Відповідь
-
x=−2
www.youtube.com/В/КВККХС9АД6М
Загальні рекомендації щодо розв'язання лінійних рівнянь
Зазвичай лінійні рівняння не задаються в стандартному вигляді, і тому їх вирішення вимагає додаткових кроків. При вирішенні лінійних рівнянь мета полягає в тому, щоб визначити, яке значення, якщо воно є, дасть істинне твердження при підстановці в вихідне рівняння. Зробіть це, ізолюючи змінну за допомогою наступних кроків:
- Крок 1: Спростити обидві сторони рівняння, використовуючи порядок операцій, і об'єднати всі подібні члени на одній стороні знака рівності.
- Крок 2: Використовуйте відповідні властивості рівності, щоб об'єднати подібні терміни з протилежних сторін знака рівності. Мета полягає в тому, щоб отримати змінний член з одного боку рівняння і постійний член з іншого.
- Крок 3: Розділіть або помножте за потребою, щоб ізолювати змінну.
- Крок 4: Перевірте, чи вирішує відповідь вихідне рівняння.
Ми часто стикаємося з лінійними рівняннями, де вирази з кожного боку знака рівності можуть бути спрощені. Якщо це так, то краще спростити кожну сторону спочатку перед вирішенням. Зазвичай це передбачає об'єднання однієї сторони, як терміни.
Примітка
На даний момент в нашому вивченні алгебри використання властивостей рівності має здатися рутиною. Тому відображення цих кроків в цьому тексті, як правило, синім кольором, стає необов'язковим.
Приклад1.7.5:
Вирішити:−4a+2−a=1.
Рішення
Спочатку з'єднайте подібні терміни з лівого боку знака рівності.
−4a+2−a=1Combinesame−sideliketerms.−5a+2=1Subtract2onbothsides.−5a=−1Dividebothsidesby−5.a=−1−5=15
Завжди використовуйте вихідне рівняння, щоб перевірити, чи правильне рішення.
−4a+2−a=−4(15)+2−15=−45+21⋅55−15=−4+10+15=55=1✓
Відповідь:
Рішення є15.
З огляду на лінійне рівняння у виглядіax+b=cx+d, ми починаємо процес розв'язання з об'єднання подібних членів з протилежних сторін знака рівності. Для цього використовуйте властивість додавання або віднімання рівності, щоб розмістити подібні терміни на одній стороні, щоб їх можна було об'єднати. У прикладах, які залишилися, чек залишається читачеві.
Приклад1.7.6:
Вирішити:−2y−3=5y+11.
Рішення
Відніміть з5y обох сторін, щоб ми могли об'єднати терміни за участю y з лівого боку.
−2y−3−5y=5y+11−5y−7y−3=11
Звідси вирішуйте, використовуючи методи, розроблені раніше.
−7y−3=11Add3tobothsides.−7y=14y=14−7Dividebothsidesby−7.y=−2
Відповідь:
Рішення є−2.
Рішення часто зажадає застосування розподільного майна.
Приклад1.7.7:
Вирішити:−12(10x−2)+3=7(1−2x).
Рішення
Спочатку спростіть лінійні вирази по обидва боки знака рівності.
−12(10x−2)+3=7(1−2x)Distribute−5x+1+3=7−14xCombinesame−sideliketerms.−5x+4=7−14xCombineopposite−sideliketerms.9x=3Solve.x=39=13
Відповідь:
Рішення є13.
Приклад1.7.8:
Вирішити:5(3−a)−2(5−2a)=3.
Рішення
Почніть з застосування розподільного властивості.
5(3−a)−2(5−2a)=315−5a−10+4a=35−a=3−a=−2
Тут ми вказуємо,−a що еквівалентно−1a; отже, ми вирішили розділити обидві сторони рівняння на−1.
−a=−2−1a−1=−2−1a=2
Як варіант, ми можемо помножити обидві сторони−a=−2 на негативну і досягти однакового результату.
−a=−2(−1)(−a)=(−1)(−2)a=2
Відповідь:
Рішення є2.
Вправа1.7.2
Вирішити:6−3(4x−1)=4x−7.
- Відповідь
-
x=1
www.youtube.com/В/ІАЗРФЮ-О
Існує три різних типи рівнянь. До цього моменту ми розв'язували умовні рівняння 135. Це рівняння, які вірні для певних значень. Ідентичність 136 - це рівняння, яке вірно для всіх можливих значень змінної. Наприклад,
x=xIdentity
має набір розв'язків, що складається з усіх дійсних чисел,ℝ. Протиріччя 137 - це рівняння, яке ніколи не є істинним і, таким чином, не має розв'язків. Наприклад,
x+1=x\quad\color{Cerulean}{Contradiction}
не має рішення. Використовуємо порожній набірØ, щоб вказати, що рішень немає.
Якщо кінцевим результатом розв'язання рівняння є істинне твердження, як0 = 0, то рівняння є тотожністю і будь-яке дійсне число - це рішення. Якщо рішення призводить до помилкового твердження, типу0 = 1, то рівняння є протиріччям і рішення немає.
Приклад\PageIndex{9}:
Вирішити:4 (x + 5) + 6 = 2 (2x + 3).
Рішення
\begin{aligned} 4 ( x + 5 ) + 6 & = 2 ( 2 x + 3 ) \\ 4 x + 20 + 6 & = 4 x + 6 \\ 4 x + 26 & = 4 x + 6 \\ 26 & = 6\:\: \color{red}{✗} \end{aligned}
Розв'язування призводить до помилкового твердження; отже, рівняння є протиріччям і рішення не існує.
Відповідь:
Ø
Приклад\PageIndex{10}:
Вирішити:3 (3y + 5) + 5 = 10 (y + 2) − y.
Рішення
\begin{aligned} 3 ( 3 y + 5 ) + 5 & = 10 ( y + 2 ) - y \\ 9 y + 15 + 5 & = 10 y + 20 - y \\ 9 y + 20 & = 9 y + 20 \\ 9 y & = 9 y \\ 0 & = 0 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}
Розв'язування призводить до істинного твердження; отже, рівняння є ідентичністю, а будь-яке дійсне число - це рішення.
Відповідь:
ℝ
Коефіцієнти лінійних рівнянь можуть бути будь-якими дійсними числами, навіть десятковими і дроби. Коли це так, можна використовувати властивість множення рівності для очищення дробових коефіцієнтів і отримання цілих коефіцієнтів за один крок. Якщо задані дробові коефіцієнти, то помножте обидві сторони рівняння на найменш спільний кратний знаменникам (РК).
Приклад\PageIndex{11}:
Вирішити:\frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 5 } = \frac { 1 } { 5 } x - 1.
Рішення
Очистіть дроби, множивши обидві сторони на найменш спільний кратний заданих знаменників. В даному випадку цеLCD (3, 5) = 15.
\begin{aligned} \color{Cerulean}{15}\color{Black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 5 } \right) & = \color{Cerulean}{15}\color{Black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 5 } x - 1 \right) \quad \color{Cerulean}{Multiply\: both\: sides\: by\: 15.} \\ \color{Cerulean}{15}\color{Black}{ \cdot} \frac { 1 } { 3 } x + \color{Cerulean}{15}\color{Black}{ \cdot} \frac { 1 } { 5 } & = \color{Cerulean}{15}\color{Black}{ \cdot} \frac { 1 } { 5 } x - \color{Cerulean}{15}\color{Black}{ \cdot} 1\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ 5 x + 3 & = 3 x - 15\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Solve.} \\ 2 x & = - 18 \\ x & = \frac { - 18 } { 2 } = - 9 \end{aligned}
Відповідь:
Рішення є−9.
Важливо знати, що ця методика працює лише для рівнянь. Не намагайтеся очищати дроби при спрощенні виразів. Як нагадування:
Вираз | Рівняння |
---|---|
\frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 3 } | \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 3 }=0 |
Спрощуємо вирази і вирішуємо рівняння. Якщо помножити вираз на6, ви зміните задачу. Однак, якщо помножити обидві сторони рівняння на6, ви отримаєте еквівалентне рівняння.
Невірно | Правильно |
---|---|
\frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 3 } \begin{aligned} \neq & \color{red}{6 \cdot}\color{Black}{ \left( \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 3 } \right)} \\ = & 3 x + 10 \quad \color{red}{✗} \end{aligned} |
\begin{aligned} \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 3 } & = 0 \\ \color{Cerulean}{6 \cdot}\color{Black}{ \left( \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 3 } \right)} & = \color{Cerulean}{6 \cdot}\color{Black}{ 0} \\ 3 x + 10 & = 0\quad\color{Cerulean}{✓} \end{aligned} |
Програми, що включають лінійні рівняння
Алгебра спрощує процес вирішення реальних завдань. Це робиться за допомогою букв для представлення невідомих, повторення задач у вигляді рівнянь та пропонуючи систематичні методи вирішення цих рівнянь. Для вирішення завдань, використовуючи алгебру, спочатку перекладіть формулювання задачі в математичні твердження, які описують зв'язки між заданою інформацією і невідомою. Зазвичай цей переклад на математичні твердження є складним кроком у процесі. Ключ до перекладу - уважно прочитати проблему і визначити певні ключові слова і фрази.
Ключові слова | Переклад |
---|---|
Сума, збільшена на, більше, ніж, плюс, додана до, загальна | + |
Різниця, зменшена на, віднімається від, менше, мінус | - |
Твір, помножене на, разів, в два рази | \cdot |
Коефіцієнт, розділений на, співвідношення, на | ÷ |
Є, підсумок, результат | = |
При перекладі пропозицій в математичні твердження обов'язково кілька разів прочитайте пропозицію і розібрати ключові слова і фрази. Важливо спочатку визначити змінну, «нехай x представляти...» і вказати словами, що таке невідома величина. Цей крок не тільки робить нашу роботу більш читабельною, але і змушує задуматися про те, що ми шукаємо.
Приклад\PageIndex{12}:
Коли6 віднімається з подвоєної суми8 числа і результат5. Знайдіть номер.
Рішення
Нехай n представляє невідоме число.

Щоб зрозуміти, чому ми включили дужки в набір, необхідно вивчити структуру наступних двох пропозицій і їх переклади:
«удвічі більше суми числа і 8» |
2 (н+8) |
«сума подвоєного числа і 8» |
2н+8 |
Ключовим було зосередитися на фразі «вдвічі більше суми», це спонукало нас згрупувати суму в дужках, а потім помножити на2. Після перекладу речення в математичне твердження ми потім вирішуємо.
\begin{aligned} 2 ( n + 8 ) - 6 & = 5 \\ 2 n + 16 - 6 & = 5 \\ 2 n + 10 & = 5 \\ 2 n & = - 5 \\ n & = \frac { - 5 } { 2 } \end{aligned}
Перевірте.
\begin{aligned} 2 ( n + 8 ) - 6 & = 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 5 } { 2 }}\color{Black}{ +} 8 \right) - 6 \\ & = 2 \left( \frac { 11 } { 2 } \right) - 6 \\ & = 11 - 6 \\ & = 5 \quad\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}
Відповідь:
Число є−\frac{5}{2}.
Далі слідують загальні рекомендації по налаштуванню та вирішенню проблем зі словами.
- Крок 1: Прочитайте проблему кілька разів, визначте ключові слова та фрази та впорядкуйте задану інформацію.
- Крок 2: Визначте змінні, призначивши букву або вираз невідомим величинам.
- Крок 3: Перекладіть та налаштуйте алгебраїчне рівняння, яке моделює задачу.
- Крок 4: Розв'яжіть отримане алгебраїчне рівняння.
- Крок 5: Нарешті, дайте відповідь на питання у формі речення і переконайтеся, що це має сенс (перевірте його).
Наразі налаштуйте всі свої рівняння, використовуючи лише одну змінну. Уникайте двох змінних, шукаючи зв'язок між невідомими.
Приклад\PageIndex{13}:
Прямокутник має периметр вимірювальних92 метрів. Довжина в2 метри менше ширини в3 рази. Знайдіть розміри прямокутника.
Рішення
Речення «Довжина на 2 метри менше, ніж в 3 рази більше ширини» дає нам зв'язок між двома змінними.
wДозволяти представляти ширину прямокутника.
3w−2Дозволяти представляти довжину.

Речення «Прямокутник має периметр розміром 92 метри» передбачає алгебраїчне налаштування. 92Підставляємо периметр і3w−2 вираз довжини у відповідну формулу наступним чином:
P = \quad2 l\:\:\:\:\: +\:\:\: 2 w
\color{Cerulean}{\downarrow} \quad\:\:\:\quad \color{Cerulean}{\downarrow}\quad\quad\quad\quad
\color{OliveGreen}{92}\color{Black}{ =} 2 (\color{OliveGreen}{ 3 w - 2}\color{Black}{ )} + 2 w
Після того, як ви встановили алгебраїчне рівняння з однією змінною, вирішіть для ширини,w.
\begin{array} { l } { 92 = 2 ( 3 w - 2 ) + 2 w \color{Cerulean}{ Distribute. } } \\ { 92 = 6 w - 4 + 2 w \quad\: \color{Cerulean} { Combine\: like\: terms. } } \\ { 92 = 8 w - 4 \quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean} { Solve\: for\: w. } } \\ { 96 = 8 w } \\ { 12 = w } \end{array}
Використовуйте3w−2, щоб знайти довжину.
l = 3 w - 2 = 3 ( \color{OliveGreen}{12}\color{Black}{ )} - 2 = 36 - 2 = 34
Для перевірки переконайтеся, що периметр дорівнює92 метрам.
\begin{aligned} P & = 2 l + 2 w \\ & = 2 ( 34 ) + 2 ( 12 ) \\ & = 68 + 24 \\ & = 92 \end{aligned}
Відповідь:
Прямокутник вимірює1234 метри за метрами.
Приклад\PageIndex{14}:
Враховуючи4 \frac{3}{8} відсоткову річну процентну ставку, скільки часу знадобиться,$2,500$437.50 щоб дати прості відсотки?
Рішення
Нехай t представляє час, необхідний для заробітку$437.50 при4 \frac{3}{8}%. Організуйте інформацію, необхідну для використання формули для простого інтересу,I=prt.
Надані відсотки за часовий період: |
I=$437.50 |
Дано принципал: |
p=$2,500 |
Задана ставка: |
r= 4 \frac{3}{8}%=4.375%=0.04375 |
Далі підставляємо всі відомі величини в формулу і потім вирішуємо для єдиного невідомого, т.
\begin{aligned} I & = p r t \\ \color{OliveGreen}{437.50} & \color{Black}{=} \color{OliveGreen}{2500}\color{Black}{ (}\color{OliveGreen}{ 0.04375}\color{Black}{ )} t \\ 437.50 & = 109.375 t \\ \frac{437.50}{\color{Cerulean}{109.375}} & \color{Black}{=} \frac { 109.375 t } { \color{Cerulean}{109.375} } \\ 4 & = t \end{aligned}
Відповідь:
Потрібні4 роки, щоб$2,500 інвестувати під4 \frac{3}{8}%, щоб заробити$437.50 в простих відсотках.
Приклад\PageIndex{15}:
Сьюзен вклала свої загальні заощадження$12,500 на два рахунки, заробляючи прості відсотки. Її рахунок пайового фонду заробив7% минулого року, а її компакт-диск заробив4.5%. Якщо її загальний відсоток за рік був$670, скільки було на кожному рахунку?
Рішення
Відносини між двома невідомими є те, що вони загальні$12,500. Коли задіяна загальна сума, загальною методикою, яка використовується для уникнення двох змінних, є представлення другої невідомої як різниці загальної кількості та першої невідомої.
Нехайx представляють суму, вкладену в ПІФ.
12,500 − xДозволяти представляти решту суми, вкладеної в компакт-диск.
Організуйте дані.
Відсотки, зароблені в ПІФ: |
\begin{aligned} I & = p r t \\ & = x \cdot 0.07 \cdot 1 \\ & = \color{OliveGreen}{0.07 x} \end{aligned} |
Відсотки, зароблені на компакт-диску: |
\begin{aligned} I & = p r t \\ & = ( 12,500 - x ) \cdot 0.045 \cdot 1 \\ & = \color{OliveGreen}{0.045 ( 12,500 - x )} \end{aligned} |
Загальний відсоток: |
\color{OliveGreen}{$670} |
Загальний відсоток - це сума відсотків, зароблених з кожного рахунку.
\color{Cerulean}{mutual fund interest + CD interest = total interest}
0.07x + 0.045(12,500−x) = 670
Це рівняння моделює задачу з однією змінною. Вирішити для\(x\).
\begin{aligned} 0.07 x + 0.045 ( 12,500 - x ) & = 670 \\ 0.07 x + 562.5 - 0.045 x & = 670 \\ 0.025 x + 562.5 & = 670 \\ 0.025 x & = 107.5 \\ x & = \frac { 107.5 } { 0.025 } \\ x & = 4,300 \end{aligned}
Використовуйте12,500−x, щоб знайти суму на компакт-диску.
12,500−x=12,500−\color{OliveGreen}{4,300}\color{Black}{=}8,200
Відповідь:
Сьюзен інвестувала$4,300 на рівні7% в пайовий фонд і$8,200 під4.5% в компакт-диск.
Ключові виноси
- Розв'язування загальних лінійних рівнянь передбачає виділення змінної1, з коефіцієнтом, з одного боку знака рівності. Для цього спочатку використовують відповідну властивість рівності додавання або віднімання, щоб виділити змінний член з одного боку знака рівності. Далі виділяють змінну, використовуючи властивість рівності множення або ділення. Нарешті, перевірте, чи вирішує ваше рішення вихідне рівняння.
- Якщо рішення лінійного рівняння призводить до істинного твердження типу0 = 0, то рівняння є тотожністю, а набір розв'язків складається з усіх дійсних чисел,ℝ.
- Якщо рішення лінійного рівняння призводить до помилкового твердження типу0 = 5, то рівняння є протиріччям і рішення немає,Ø.
- Очистіть дроби, множивши обидві сторони рівняння на найменш спільний кратний усіх знаменників. Розподіліть і помножте всі члени на РК, щоб отримати еквівалентне рівняння з цілими коефіцієнтами.
- Спростити процес вирішення реальних задач шляхом створення математичних моделей, що описують взаємозв'язок між невідомими. Використовуйте алгебру для вирішення отриманих рівнянь.
Вправа\PageIndex{3}
Визначте, чи є дане значення рішенням.
- −5x + 4 = −1 ; x = −1
- 4x − 3 = −7 ; x = −1
- 3y − 4 = 5; y = \frac{9}{3}
- −2y + 7 = 12 ; y = −\frac{5}{2}
- 3a − 6 = 18 − a; a = −3
- 5 (2t − 1) = 2 − t; t = 2
- ax − b = 0; x = \frac{b}{a}
- ax + b = 2b; x = \frac{b}{a}
- Відповідь
-
1. Ні
3. Так
5. Ні
7. Так
Вправа\PageIndex{4}
Вирішити.
- 5x − 3 = 27
- 6x − 7 = 47
- 4x + 13 = 35
- 6x − 9 = 18
- 9a + 10 = 10
- 5 − 3a = 5
- −8t + 5 = 15
- −9t + 12 = 33
- \frac{2}{3} x + \frac{1}{2} = 1
- \frac{3}{8} x + \frac{5}{4} = \frac{3}{2}
- \frac{1 − 3y}{5} = 2
- \frac{2 − 5y}{6} = −8
- 7 − y = 22
- 6 − y = 12
- Вирішити дляx: ax − b = c
- Вирішити дляx: ax + b = 0
- Відповідь
-
1. 6
3. \frac{11}{2}
5. 0
7. −\frac{5}{4}
9. \frac{3}{4}
11. −3
13. −15
15. x = \frac{b+c}{a}
Вправа\PageIndex{5}
Вирішити.
- 6x − 5 + 2x = 19
- 7 − 2x + 9 = 24
- 12x − 2 − 9x = 5x + 8
- 16 − 3x − 22 = 8 − 4x
- 5y − 6 − 9y = 3 − 2y + 8
- 7 − 9y + 12 = 3y + 11 − 11y
- 3 + 3a − 11 = 5a − 8 − 2a
- 2 − 3a = 5a + 7 − 8a
- \frac{1}{3} x −\frac{3}{2} + \frac{5}{2} x = \frac{5}{6} x + \frac{1}{4}
- \frac{5}{8} + \frac{1}{5} x −\frac{3}{4} = \frac{3}{10} x − \frac{1}{4}
- 1.2x − 0.5 − 2.6x = 2 − 2.4x
- 1.59 − 3.87x = 3.48 − 4.1x − 0.51
- 5 − 10x = 2x + 8 − 12x
- 8x − 3 − 3x = 5x − 3
- 5 (y + 2) = 3 (2y − 1) + 10
- 7 (y − 3) = 4 (2y + 1) − 21
- 7 − 5 (3t − 9) = 22
- 10 − 5 (3t + 7) = 20
- 5 − 2x = 4 − 2 (x − 4)
- 2 (4x − 5) + 7x = 5 (3x − 2)
- 4 (4a − 1) = 5 (a − 3) + 2 (a − 2)
- 6 (2b − 1) + 24b = 8 (3b − 1)
- \frac{2}{3} (x + 18) + 2 = \frac{1}{3} x − 13
- \frac{2}{5} x − \frac{1}{2} (6x − 3) = \frac{4}{3}
- 1.2 (2x + 1) + 0.6x = 4x
- 6 + 0.5 (7x − 5) = 2.5x + 0.3
- 5 (y + 3) = 15 (y + 1) − 10y
- 3 (4 − y) − 2 (y + 7) = −5y
- \frac{1}{5} (2a + 3) −\frac{1}{2} = \frac{1}{3} a + \frac{1}{10}
- \frac{3}{2} a = \frac{3}{4} (1 + 2a) −\frac{1}{5} (a + 5)
- 6 − 3 (7x + 1) = 7 (4 − 3x)
- 6 (x − 6) − 3 (2x − 9) = −9
- \frac{3}{4} (y − 2) + \frac{2}{3} (2y + 3) = 3
- \frac{5}{4} − \frac{1}{2} (4y − 3) = \frac{2}{5} (y − 1)
- −2 (3x + 1) − (x − 3) = −7x + 1
- 6 (2x + 1) − (10x + 9) = 0
- Вирішити дляw: P = 2l + 2w
- Вирішити дляa: P = a + b + c
- Вирішити дляt: D = rt
- Вирішити дляw: V = lwh
- Вирішити дляb: A = \frac{1}{2} bh
- Вирішити дляa:s = \frac{1}{2}at^{2}
- Вирішити дляa: A = \frac{1}{2}h (a + b)
- Вирішити дляh: V = \frac{1}{3}πr^{2}h
- Вирішити дляF: C = \frac{5}{9} (F − 32)
- Вирішити дляx: ax + b = c
- Відповідь
-
1. 3
3. −5
5. −\frac{17}{2}
7. ℝ
9. \frac{7}{8}
11. 2.5
13. Ø
15. 3
17. 2
19. Ø
21. −\frac{5}{3}
23. −81
25. 1.2
27. ℝ
29. 0
31. Ø
33. \frac{6}{5}
35. ℝ
37. w = \frac{P − 2l}{2}
39. t = \frac{D}{r}
41. b = \frac{2A}{h}
43. a = \frac{2A}{h} − b
45. F = \frac{9}{5} C + 32
Вправа\PageIndex{6}
Налаштуйте алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.
Проблеми з числом
- Коли3 віднімається від суми числа і10 результат є2. Знайдіть номер.
- Сума3 разів на число і12 дорівнює3. Знайдіть номер.
- Тричі сума числа і6 дорівнює числу5 разів. Знайдіть номер.
- Подвоєна сума числа і4 дорівнює сумі3 числа і дорівнює сумі числа і1. Знайдіть номер.
- Більше ціле число1 більше, ніж3 в рази інше ціле. Якщо сума цілих чисел дорівнює57, знайдіть цілі числа.
- Більше ціле число5 більше, ніж удвічі інше ціле число. Якщо сума цілих чисел дорівнює83, знайдіть цілі числа.
- Одне ціле число3 менше, ніж двічі інше ціле число. Знайти цілі числа, якщо їх сума дорівнює135.
- Одне ціле число10 менше, ніж4 інше ціле число. Знайти цілі числа, якщо їх сума дорівнює100.
- Сума трьох послідовних цілих чисел дорівнює339. Знайти цілі числа.
- Сума чотирьох послідовних цілих чисел дорівнює130. Знайти цілі числа.
- Сума трьох послідовних парних чисел дорівнює174. Знайти цілі числа.
- Сума чотирьох послідовних парних чисел дорівнює116. Знайти цілі числа.
- Сума трьох послідовних непарних цілих чисел дорівнює81. Знайти цілі числа.
- Сума чотирьох послідовних непарних цілих чисел дорівнює176. Знайти цілі числа.
- Відповідь
-
1. −5
3. 9
5. 14, 43
7. 46, 89
9. 112, 113, 114
11. 56, 58, 60
13. 25, 27, 29
Вправа\PageIndex{7}
Проблеми геометрії
- Довжина прямокутника на5 сантиметри менше, ніж в два рази більше його ширини. Якщо периметр дорівнює134 сантиметрам, знайдіть довжину і ширину.
- Довжина прямокутника в4 сантиметри більше, ніж в3 рази більше його ширини. Якщо периметр дорівнює64 сантиметрам, знайдіть довжину і ширину.
- Ширина прямокутника на половину менше його довжини. Якщо периметр вимірює36 дюйми, знайдіть розміри прямокутника.
- Ширина прямокутника на4 дюйми менше його довжини. Якщо периметр вимірює72 дюйми, знайдіть розміри прямокутника.
- Периметр квадрата дорівнює48 дюймам. Знайдіть довжину кожної сторони.
- Периметр рівностороннього трикутника дорівнює96 дюймам. Знайдіть довжину кожної сторони.
- Окружність кола вимірює80π одиниці виміру. Знайдіть радіус.
- Окружність кола вимірює25 сантиметри. Знайдіть радіус, округлений до найближчої сотої.
- Відповідь
-
1. Ширина:24 сантиметри; довжина:43 сантиметри
3. Ширина:6 дюйми; довжина:12 дюйми
5. 12дюймів
7. 40одиниць
Вправа\PageIndex{8}
Прості проблеми з інтересами
- За скільки років потрібно$1,000 вкладати під5\frac{1}{2}%, щоб заробити$165 на прості відсотки?
- За скільки років потрібно$20,000 вкладати під6\frac{1}{4}%, щоб заробити$3,125 на прості відсотки?
- За якою річною процентною ставкою$6500 необхідно інвестувати2 роками, щоб поступитися$1,040 в прості відсотки?
- За якою річною процентною ставкою$5,750 необхідно інвестувати на1 рік, щоб поступитися$333.50 в прості відсотки?
- Якщо прості відсотки, зароблені5 роками, були,$1,860 а річна процентна ставка становила6%, то що було основним?
- Якщо прості відсотки, зароблені2 роками, були,$543.75 а річна процентна ставка становила3\frac{3}{4}%, то що було основним?
- Скільки років знадобиться,$600 щоб подвоїти заробіток простих відсотків під5% річної ставки? (Підказка: Щоб подвоїти, інвестиції повинні заробляти$600 в простих відсотках.)
- Скільки років знадобиться,$10,000 щоб подвоїти заробіток простих відсотків під5% річної ставки? (Підказка: Щоб подвоїти, інвестиції повинні заробляти$10,000 в простих відсотках.)
- Джим інвестував$4,200 в два рахунки. Один рахунок заробляє3% простих відсотків, а інший заробляє6%. Якщо відсотки за1 роком були$159, скільки він вклав у кожен рахунок?
- Джейн вклала$6,500 свої заощадження на два рахунки. Вона має частину його на компакт-диску під5% річних відсотків, а решта на ощадному рахунку, який заробляє4% річних відсотків. Якщо прості відсотки, зароблені з обох рахунків, припадають$303 на рік, то скільки у неї на кожному рахунку?
- Хосе поклав торішній бонус$8,400 на два рахунки. Він інвестував частину в компакт-диск з2.5% річних відсотків, а решту - у фонд грошового ринку з1.5% річних відсотків. Його загальний інтерес за рік був$198. Скільки він вклав в кожен рахунок?
- Мері вклала свої загальні заощадження$3,300 на два рахунки. Її рахунок пайового фонду заробив6.2% минулого року, а її компакт-диск заробив2.4%. Якщо її загальний відсоток за рік був$124.80, скільки було на кожному рахунку?
- Аліса інвестує гроші на два рахунки, один з3 відсотками річних відсотків, а інший з5% річних відсотків. Вона вкладає3 рази стільки ж в рахунок з вищою прибутковістю, як і в нижчий прибутковий рахунок. Якщо її загальний відсоток за рік становить$126, скільки вона вклала в кожен рахунок?
- Джеймс інвестував спадщину в двох окремих банках. Один банк запропонував5\frac{1}{2}% річної процентної ставки, а інший6\frac{1}{4}%. Він вклав в більш прибутковий банківський рахунок вдвічі більше, ніж в інший. Якщо його сумарний простий відсоток за1 рік був$5,760, то якою була сума його спадщини?
- Відповідь
-
1. 3років
3. 8%
5. $6,200
7. 20років
9. Він інвестував$3,100 по3% і$1,100 під6%.
11. Хосе інвестував$7,200 в компакт-диск і$1,200 в фонд грошового ринку.
13. Аліса інвестувала$700 в3% і$2,100 під5%.
Вправа\PageIndex{9}
Проблеми рівномірного руху
- Якщо Джиму потрібні1 \frac{1}{4} години, щоб проїхати40 милі, щоб працювати, то яка середня швидкість Джима?
- Джил зайняв3 \frac{1}{2} години, щоб проїхати189 милі додому від коледжу. Якою була її середня швидкість?
- З якою швидкістю повинен їздити Джим, якщо він бажає проїхати176 милі в2 \frac{3}{4} годинами?
- Джеймс і Мартін змогли проїхати1,140 милі від Лос-Анджелеса до Сіетла. Якщо загальна поїздка зайняла19 години, то якою була їх середня швидкість?
- Відповідь
-
1. 32миль на годину
3. 64миль на годину
Вправа\PageIndex{10}
- Що розглядається як основна справа алгебри? Поясніть.
- Яке походження слова алгебра?
- Створіть власну ідентичність або протиріччя та поділіться нею на дошці обговорень. Надайте рішення та поясніть, як ви його знайшли.
- Опублікуйте щось, що ви знайшли особливо корисним чи цікавим у цьому розділі. Поясніть чому.
- Провести веб-пошук «рішення лінійних рівнянь». Поділіться посиланням на веб-сайт або відеоурок, який ви вважаєте корисним.
- Відповідь
-
1. Відповідь може відрізнятися
3. Відповідь може відрізнятися
5. Відповідь може відрізнятися
Виноски
129 Заява, що вказує на те, що два алгебраїчні вирази рівні.
130 Рівняння, яке можна записати в стандартному виглядіax + b = 0, деa іb є дійсними числами іa ≠ 0.
131 Будь-яке значення, яке може замінити змінну в рівнянні для отримання істинного твердження.
132 Рівняння з однаковим набором розв'язків.
133 Властивості, які дозволяють отримати еквівалентні рівняння шляхом додавання, віднімання, множення та ділення обох сторін рівняння на ненульові дійсні числа.
134 Дозволяє вирішувати для змінної по обидва боки знака рівності,x = 5 тому що еквівалентно5 = x.
135 Рівняння, які вірні для певних значень.
136 Рівняння, яке вірно для всіх можливих значень.
137 Рівняння, яке ніколи не є істинним і не має рішення.